2019年河南省中考数学模试卷(一)含答案解析

2019年河南省中考数学模试卷（一）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．﹣3的绝对值是（）

A．﹣3 B．3 C．D．

2．中国的陆地面积和领水面积共约9970000km2，9970000这个数用科学记数法可表示为（）

A．9.97×105B．99.7×105C．9.97×106D．0.997×107

3．如图是由棱长为1的正方体搭成的某几何体三视图，则图中棱长为1的正方体的个数是（）

A．9 B．8 C．7 D．6

4．一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式kx+1≥﹣3x+b的解集在数轴上表示正确的是（）

A．B．C．D．

5．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．

根据以上图表信息，参赛选手应选（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）

A．45° B．50° C．55° D．60°

7．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）

A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）

8．如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（）

A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为，则a、b的值分别为（）

A．，B．，﹣ C．，﹣ D．﹣，

10．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是（）

A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）2017

二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分）

11．计算： +（π﹣2）0+（﹣1）2017= ．

12．已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是．13．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=上，第二象限的点B在反比例函数y=上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为．

14．如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为．

15．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为．

三、解答题（本题共8小题，共75分．）

16．先化简，再求值：÷，其中m是方程x2+2x﹣3=0的根．

17．在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分．某高校组织课外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，根据数据整理成如图所示的不完整统计表和统计图．已知A，B两组户数频数直方图的高度比为1：5．

月信息消费额分组统计表

请结合图表中相关数据解答下列问题：

（1）这次接受调查的有户；

（2）在扇形统计图中，“E”所对应的圆心角的度数是；

（3）请你补全频数直方图；

（4）若该社区有2000户住户，请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少？

18．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．

（1）求证：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；

②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形．

19．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．

（1）求斜坡CD的高度DE；

（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）

20．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．

（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？

（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？

21．根据下列要求，解答相关问题：

（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程

①构造函数，画出图象：

根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；抛物线的对称轴x=﹣1，开口向下，顶点（﹣1，2）与x轴的交点是（0，0），（﹣2，0），用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象如图1所示；

②数形结合，求得界点：

当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为；

③借助图象，写出解集：

由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为．

（2）利用（1）中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2﹣2x+1＜4的解集．

①构造函数，画出图象；

②数形结合，求得界点；

③借助图象，写出解集．

（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2+bx+c ＞0（a＞0）的解集．

22．（1）问题发现：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC，请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是．

（2）拓展探究：

如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；

（3）类比延伸：

如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

23．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，

0），C（0，﹣3），对称轴是直线x=1．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；

（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．﹣3的绝对值是（）

A．﹣3 B．3 C．D．

【考点】15：绝对值．

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．

【解答】解：|﹣3|=3．

故﹣3的绝对值是3．

故选：B．

2．中国的陆地面积和领水面积共约9970000km2，9970000这个数用科学记数法可表示为（）

A．9.97×105B．99.7×105C．9.97×106D．0.997×107

【考点】科学计数法．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：9970000=9.97×106，

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．如图是由棱长为1的正方体搭成的某几何体三视图，则图中棱长为1的正方体的个数是（）

A．9 B．8 C．7 D．6

【考点】U3：由三视图判断几何体．

【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二层正方体

的个数，相加即可．

【解答】解：由俯视图易得最底层有6个正方体，第二层有2个正方体，那么共有6+2=8个正方体组成，

故选B．

4．一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式kx+1≥﹣3x+b的解集在数轴上表示正确的是（）

A．B．C．D．

【考点】FD：一次函数与一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．

【分析】观察图象，直线y=kx+1落在直线y=﹣3x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求．

【解答】解：∵一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象交点为P（3，4），

∴当x≥3时，kx+1≥﹣3x+b，

∴不等式kx+1≥﹣3x+b的解集为x≥3，

在数轴上表示为：

故选B．

5．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．

根据以上图表信息，参赛选手应选（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

【考点】W7：方差；W1：算术平均数．

【分析】根据方差的计算公式求出丁的成绩的方差，根据方差的性质解答即可．

【解答】解：由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，

则丁的成绩的平均数为：×（8+8+9+7+8+8+9+7+8+8）=8，

丁的成绩的方差为：×[（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=0.4，

∵丁的成绩的方差最小，

∴丁的成绩最稳定，

∴参赛选手应选丁，

故选：D．

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）

A．45° B．50° C．55° D．60°

【考点】M6：圆内接四边形的性质；M4：圆心角、弧、弦的关系．

【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．

【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，

∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．

∵=，∠BAC=25°，

∴∠DCE=∠BAC=25°，

∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．

故选B．

7．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）

A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）

【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；L8：菱形的性质．

【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标．

【解答】解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，

∴∠BE0=∠B′FO=90°，

∵四边形OABC是菱形，

∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC，

∴∠AOC+∠C=180°，

∵∠C=120°，

∴∠AOC=60°，

∴∠AOB=30°，

∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，

∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2，

∴∠B′OF=45°，

在Rt△B′OF中，

OF=OB′?cos45°=2×=，

∴B′F=，

∴点B′的坐标为：（，﹣）．

故选D．

8．如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（）

A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的性质可知BO=DO，又因为E为OD的中点，所以DE：BE=1：3，根据相似三角形的性质可求出S△DEF：S△BAE．然后根据=，即可得到结论．

【解答】解：∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，

∴DO=BO，

又∵E为OD的中点，

∴DE=DB，

∴DE：EB=1：3，

又∵AB∥DC，

∴△DFE∽△BAE，

∴=（）2=，

∴S△DEF=S△BAE，

∵=，

∴S△AOB=S△BAE，

∴S△DEF：S△AOB==1：6，

故选C．

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为，则a、b的值分别为（）

A．，B．，﹣ C．，﹣ D．﹣，

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【分析】确定出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：如图，

∵y=ax2+bx=x2+bx=（x+）2﹣，

∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），对称轴为直线x=﹣，

当x=﹣时，y=，

∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，

×（+）×（﹣）=．

解得b=﹣，

故选：C．

10．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是（）

A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）2017

【考点】D2：规律型：点的坐标．

【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，

∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，

∴D1E1=C1D1sin30°=，

则B2C2===（）1，

同理可得：B3C3==（）2，

故正方形A n B n C n D n的边长是：（）n﹣1，

则正方形A2017B2017C2017D2017的边长为：（）2016，

故选：C．

二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分）

11．计算： +（π﹣2）0+（﹣1）2017= ﹣2 ．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．

【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的定义分别化简进而求出答案．

【解答】原式=﹣2+1﹣1

=﹣2．

故答案为：﹣2．

12．已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是a=1 ．【考点】AA：根的判别式．

【分析】由一元二次方程的定义可得出a≠0，再利用根的判别式△=b2﹣4ac，套入数据即可得出△=（a﹣2）2≥0，可得出a≠2且a≠0，设方程的两个根分别为x1、x2，利用根与系数的关系可得出x1?x2=，再根据x1、x2均为正整数，a为整数，即可得出结论．

【解答】解：∵方程ax2﹣（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，

∴a≠0．

∵△=（a+2）2﹣4a×2=（a﹣2）2≥0，

∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，

当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．

∵方程有两个不相等的正整数根，

∴a≠2且a≠0．

设方程的两个根分别为x1、x2，

∴x1?x2=，

∵x1、x2均为正整数，

∴为正整数，

∵a为整数，a≠2且a≠0，

∴a=1，

故答案为：a=1．

13．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=上，第二象限的点B在反比例函数y=上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为﹣．

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，则面积的比等于相似比的平方，即tanA 的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解．

【解答】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．

则∠BDO=∠ACO=90°，

则∠BOD+∠OBD=90°，

∵OA⊥OB，

∴∠BOD+∠AOC=90°，

∴∠BOD=∠AOC，

∴△OBD∽△AOC，

∴=（）2=（tanA）2=，

又∵S△AOC=×2=1，

∴S△OBD=，

∴k=﹣．

故答案为：﹣．

14．如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为2π﹣4 ．

【考点】MO：扇形面积的计算；H7：二次函数的最值；KQ：勾股定理．

【分析】由OC=4，点C在上，CD⊥OA，求得DC==，运用S△OCD=OD?，求得OD=2时△OCD的面积最大，运用阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积求解．

【解答】解：∵OC=4，点C在上，CD⊥OA，

∴DC==

∴S△OCD=OD?

∴=OD2?（16﹣OD2）=﹣OD4+4OD2=﹣（OD2﹣8）2+16

∴当OD2=8，即OD=2时△OCD的面积最大，

∴DC===2，

∴∠COA=45°，

∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积﹣△OCD的面积=﹣×2×2=2π﹣4，

故答案为：2π﹣4．

15．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为或15 ．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．

【分析】如图1，根据折叠的性质得到AB′=AB=5，B′E=BE，根据勾股定理得到BE2=（3﹣BE）2+12，

于是得到BE=，如图2，根据折叠的性质得到AB′=AB=5，求得AB=BF=5，根据勾股定理得到CF=4根据相似三角形的性质列方程得到CE=12，即可得到结论．

【解答】解：如图1，∵将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，

∴AB′=AB=5，B′E=BE，∴CE=3﹣BE，∵AD=3，∴DB′=4，∴B′C=1，∵B′E2=CE2+B′C2，∴BE2=（3﹣BE）2+12，

∴BE=，

如图2，∵将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，

∴AB′=AB=5，

∵CD∥AB，

∴∠1=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∵AE垂直平分BB′，

∴AB=BF=5，

∴CF=4，

∵CF∥AB，

∴△CEF∽△ABE，

∴，

即=，

∴CE=12，∴BE=15，

综上所述：BE的长为：或15，

故答案为：或15．

三、解答题（本题共8小题，共75分．）

16．先化简，再求值：÷，其中m是方程x2+2x﹣3=0的根．

【考点】6D：分式的化简求值；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】首先根据运算顺序和分式的化简方法，化简÷，然后应用因数分解法解一元二次方程，求出m的值是多少；最后把求出的m的值代入化简后的算式，求出算式÷的值是多少即可．

【解答】解：÷

=

=

∵x2+2x﹣3=0，

∴（x+3）（x﹣1）=0，

解得x1=﹣3，x2=1，

∵m是方程x2+2x﹣3=0的根，

∴m1=﹣3，m2=1，

∵m+3≠0，

∴m≠﹣3，

∴m=1，

所以原式=

=

=

17．在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分．某高校组织课外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，根据数据整理成如图所示的不完整统计表和统计图．已知A，B两组户数频数直方图的高度比为1：5．

月信息消费额分组统计表

请结合图表中相关数据解答下列问题：

（1）这次接受调查的有50 户；

（2）在扇形统计图中，“E”所对应的圆心角的度数是28.8°；

（3）请你补全频数直方图；

（4）若该社区有2000户住户，请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少？

【考点】VB：扇形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．【分析】（1）根据A、B两组户数直方图的高度比为1：5，即两组的频数的比是1：5，据此即可求得A组的频数；利用A和B两组的频数的和除以两组所占的百分比即可求得总数；

（2）用“E”组百分比乘以360°可得；

（3）利用总数乘以百分比即可求得C组的频数，从而补全统计图；

（4）利用总数2000乘以C、D、E的百分比即可．

【解答】解：（1）A组的频数是：10×=2；

∴这次接受调查的有（2+10）÷（1﹣8%﹣28%﹣40%）=50（户），

故答案为：50；

（2）“E”所对应的圆心角的度数是360°×8%=28.8°，

故答案为：28.8°；