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专题二 一元函数微积分的应用巩固练习

专题二 一元函数微积分的应用巩固练习

1.判断椭圆线()cos 02,0sin x a t t a b y b t

π=⎧≤≤>>⎨=⎩在哪一点的曲率最大(小)?

2.在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任意一点(),P x y 处曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是x 轴与法线的交点),且曲线在点()1,1处的切线与x 轴平行.

3.某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为

6V ,流入湖泊内不含A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3

V .已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年起,限定排入湖中含A 污水的浓度不超过0m V

.问至多经历多少年,湖泊中污染物A 的含量降至0m 以内?(注:设湖水中A 的浓度是均匀的).

4.设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为2a ,2b ,用过此柱体底面的短轴且与底面成α02πα⎛

⎫<< ⎪⎝⎭

角的平面截此柱体,得一椭圆体形,求此楔形体的体积V . 5.一单位质量的物体作简谐振动cos S a nt =,试求在

14周期内其动能对时间的平均值. 6.某建筑工地打地基时,需要用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打都将克服土层对桩的阻力而做功,设土层对桩的阻力大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k ,0k >),汽锤第一次击打将桩打进地下a (单位:m ).根据设计方案,要求汽锤每次击打木桩时所做的功与与前一次击打时所做的功之比为常数r ()01r <<.试求:

(1)汽锤击打木桩3次后,可将桩打进地下多深?

(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?

7.一底为8cm ,高为6cm 的等腰三角形片,沿直地沉没在水中,顶在上,底在下,且与水面平行,而顶离水面3cm ,试求它每面所受的压力.