(最全)高中数学概率统计知识点总结(最新整理)
∑ (x - x ) ∑ ( y - y ) n
2
n
2
i =1
i i =1
i
∑ (x - x ) ∑ ( y - y ) n 2
n
2
i =1
i i =1
i
1 2 n 1 2 n n i i
i
i
i
一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。
概率与统计
x + x + ??? + x x + x + ??? + x 2、平均数：①、常规平均数： x = 1 2 n
n
②、加权平均数： x = 1 1 2 2 n n
+ + ??? + 1 2 n
3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。
4、方差： s 2
= 1
[(x - x )2
+ (x - x )2
+ ??? + (x - x )2 ]
n
1 2 n
二、频率直方分布图下的频率
1、频率 =小长方形面积： f = S = y ? d ；频率=频数/总数
2、频率之和： f + f + ??? + f = 1；同时 S + S + ??? + S = 1 ；
三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。
2、平均数： x = x f + x f + x f + ??? + x f x = x S + x S + x S + ??? + x S 1 1
2 2
3 3
n n
1 1
2 2
3 3
n n
3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于 0.5 时 x 的值。
4、方差： s 2 = (x - x )2 f + (x - x )2 f + ??? + (x - x )2 f
1
1
2
2
n
n
四、线性回归直线方程： y ? = b ?x + a ?
n n
∑
(x i - x )( y i - y ) ∑ x i y i - nxy 其中： b ? = i =1 = i =1 ,
a ? = y -
b ?x
∑n (x - x )2 ∑ x 2 - nx 2
i =1
i
i
i =1
1、线性回归直线方程必过样本中心(x , y ) ；
2、b ? > 0 : 正相关； b ? < 0 : 负相关。
3、线性回归直线方程： y ? = b ?x + a ? 的斜率b ? 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析
1、残差： e ? = y - y
? （残差=真实值—预报值）。分析： e ? 越小越好；
i
i
i
i
2、残差平方和： ∑n
( y - y ? )2
， i =1
分析：①意义：越小越好； ②计算： ∑n
( y - y ? )2 = ( y - y ? )2 + ( y - y ? )2 + ??? + ( y - y ? )2
i =1
i i 1 1 2 2 n n
∑n
( y - y
? )2 3、拟合度（相关指数）： R 2
= 1-
i =1
，分析：①. R 2 ∈(0,1] 的常数；
②.越大拟合度越高；
∑n ( y - y )2
i =1
n
n
∑ (x i - x )( y i - y ) ∑ x i y i - nx ? y
4、相关系数： r =
i =1
=
i =1
分析：①.
r ∈[-1,1] 的常数； ②. r > 0 :正相关； r < 0 : 负相关
③. r ∈[0, 0.25]；相关性很弱； 六、独立性检验
1、2×2 列联表：
2、独立性检验公式 r ∈(0.25, 0.75) ；相关性一般；
r ∈[0.75,1]；相关性很强；
①． k 2 = n (ad - bc )2
(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )
②．犯错误上界 P 对照表
3、独立性检验步骤
距
x 1
x 2
合计
y 1 a b a + b y 2
c d
c +
d 合计
a + c
b + d
n
0 0
①．计算观察值k ： k =
n (ad - bc )2
；
(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )
②．查找临界值k ：由犯错误概率 P ，根据上表查找临界值k ； ③．下结论： k ≥ k ：即犯错误概率不超过 P 的前提下认为： ,有 1-P 以上的把握认为： ; k < k ：即犯错误概率超过 P 的前提认为： ,没有 1-P 以上的把握认为：
;
【经典例题】
题型 1 与茎叶图的应用
例 1（2014 全国）某市为考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了 50 位市民。根据这 50 位市民 （1） 分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；
（2） 分别估计该市的市民对甲、乙 部门的评分做于 90 的概率； （3） 根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价。
题型 2 频率直方分布图的应用
例 2（2015 广东）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180) ，[180, 200) ，[ 200, 220) ，
[ 220, 240) ，[ 240, 260) ，[ 260, 280) ，[ 280,300] 分组的频率分布直方图如图 2，
（1） 求直方图中 x 的值； （2） 求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为[ 220, 240) ，[ 240, 260) ，[ 260, 280) ，
[ 280,300] 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则 月平均用电量在[ 220, 240) 的用户中应抽取多少户？
练习 2 （2014 全国 1）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)
频数 6 26 38 22 8
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图： (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生 产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产 品至少要占全部产品的80%”的规定？
题型 3 计算线性回归方程
例 3（2015 重庆）随着我国经济的发展，居民
年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4
5 储蓄存款 y （千亿元） 5
6 7 8 10
（1） 求 y 关于t 的回归方程 y
? = b t + a ? （2） 用所求回归方程预测该地区 2015 年（ t =6）的人民币储蓄存款.
练习 3（2014 全国 2）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y （单位：千元）的数据如下表：
（1） 求 关于的线性回归方程； （2） 利用（1）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.
题型 4 线性回归分析
例 4（2016 全国 3）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾 无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码 1–7 分别对应年份 2008–2014.
(1). 由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；
(2). 求出 y 关于t 的回归方程 y
? = b ?t + a ? （系数精确到 0.01）， 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据： ∑ y i i =1
= 9.32 ， ∑t i y i i =1
= 40.17 ，
= 0.55 ，≈2.646.
7
7 ∑ i =1
7
( y - y )
2
i
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9