高等数学第1章课后习题答案(科学出版社).

第一章函数、极限、连续

习题1-1

1．求下列函数的自然定义域：

x3

+ (1)

y=21-x

x-1arccos (3) y=解：(1)解不等式组?

(2) y=arctan1

x?3x≠1?

(4) y=?. ?3 , x=1??x+3≥0得函数定义域为[-3,-1) (-1,1) (1,+∞); 2?1-x≠0?3-x2≥0(2)解不等式组?得函数定义域为[ ; ?

x≠0

x-1?-1≤≤1?(3)解不等式组?得函数定义域为[-4,-2) (3,6]; 5

2??x-x-6>0

(4)函数定义域为(-∞,1].

2．已知函数f(x)定义域为[0,1]

，求ff(cosx),f(x+c)+f(x-c) (c>0)义域．

解：函数f

要有意义，必须0≤

1，因此f的定义域为[0,1]；同理得函数f(cosx)定义域为[2kπ-,2kπ+]； 22

?0≤x+c≤11函数f(x+c)+f(x-c)要有意义，必须?，因此，（1）若c<，定义域为：2?0≤x-c≤1

（2）若c=[c,1-c]；的定ππ111，定义域为：{；（3）若c>，定义域为：?． 222 1?x-a?3．设f(x)=2 1-?,a>0,求函数值f(2a),f(1)． x?|x-a|?

解：因为f(x)=

f(2a)=1?x-a?1- ?，所以 2x?|x-a|?1?a?1?1-a1-=0，f(1)=1- ?2 4a?a?12 ?-

a??2 ,a>1,． =???0 ,0

4. 证明下列不等式:

(1) 对任何x∈R有 |x-1|+|x-2|≥1;

(2) 对任何n∈Z+有 (1+1)n+1>(1+1)n; n+1n

(3) 对任何n∈Z+及实数a>1有 a-1≤a-1. n1n

证明：（1）由三角不等式得

|x-1|+|x-2|≥|x-1-(x-2)|=1

（2）要证(1+1)n+1>(1+1)n，即要证1+1>

n+

1nn+1=111(1+)+(1+)+ +(1+)+11 < =1+n+1n+1

得证。

（3）令h=a-1，则h>0。当n≥2时由Bernouli不等式，有

a=(1+h)>1+nh=1+n(a-1) n1n1n

所以

a-1<1

na-1， n

a-1 n又当n=1时，有 a-1=1

n

故对任何n∈Z及实数a>1有 a-1≤a-1. +1n

n

5. 试将下列直角坐标方程化为极坐标方程，而把极坐标方程化为直角坐标方程: 22 (1) ρ=4; (2) x-y=1; (3) x=8y2; (4) θ=π. 425

22222解：(1) x+y=16；(2) ρ(5-7sinθ)=10；(3) 8ρsinθ-cosθ=0；(4) y=x (x≥0)

6．判断下列各组函数中的f(x)与g(x)是否为同一函数？说明理由！

(1) f(x)=ln

2x,g(x)=-ln)x ； )(2) f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x； (3) f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 ; 3x+x(4)

f(x)=1+x,g(x)= ； x

解：(1) 是； (2) 不是，因为定义域不同； (3) 不是，因为定义域不同；(4) 不是，因为定义域不同．

7．试确定下列函数的单调区间： 3-x(1) y=+ln(-x)； (2) y=； (3) y=1-sinx. x1-x

3解：(1) 函数的定义域为(-∞,0)，此时，函数y1=单调递减，y2=ln(-x)也是单调递x

减，则y=y1+y2在(-∞,0)内也是递减的．

(2) 函数的定义域为(-∞,1) (1,+∞)，而y=1在(-∞,1)及(1,+∞)上单调递减，故x-1

y=-x1是在其定义域单调递减． =1+1-xx-1

(3) 函数的定义域为(-∞,+∞)，在(2kπ-π

2,k2π+π

2函)数是单调递减的，在

(2kπ+π

2,k2π+3π函数是单调递增的. )2

(2) y=tan1； x8. 判定下列函数的奇偶性： (1) y=x2+2cosx-1；

ex+e-x

(3) y=；

(4) y=2

解：(1)因为定义域为R关于原点对称，且f(-x)=x2+2cosx-1=f(x)，所以是偶函数．

1(2) 因为定义域为R\{0}关于原点对称，且f(-x)=-tan=-f(x)，所以是奇函数． x -xxe+e(3) 因为定义域为R关于原点对称，且f(-x)==f(x)，所以是偶函数． 2 (4) 虽然定义域为R关于原点对称，但

f(-x)==lg(x+-1=-lg(x≠f(x),-f(x)，所以是非奇非偶函数．

9．设f(x)是定义在[-l,l]上的任意函数，证明：

(1) f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数；

(2) f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式.

证明：（1）令g(x)=f(x)+f(-x),h(x)=f(x)-f(-x)，则它们的定义域为[-l,l]，且

g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)，

所以f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数．

f(x)+f(-x)f(x)-f(-x)f(x)+f(-x)（2）任意函数f(x)=，由（1）可知是偶函数，+222 f(x)-f(-x)是奇函数，所以命题得证． 2

10．判断下列函数是否是周期函数？若是，指出其最小正周期：

(1) y=|cosx|； (2) y=xcot2x

(3) y=2-sinπ2x； (4) y=sin2x.

解：(1)周期函数，最小正周期为π；

(2)不是周期函数；

2(3)周期函数，最小正周期为；π

(4)周期函数，最小正周期为π．

11．求下列函数的反函数： 2x

(1) y=x； (2)

y=lnx+． 2-1

yy解：(1) 依题意，2x=，则x=log2，所以反函数为 y-1y-1

xf-1(x)=log2,x∈(-∞,1) (1,+∞)． x-1

ey1ex1-1(2) 依题意， x=-y，所以反函数为f(x)=-x, x∈R 2e2e

12．试判断下列函数由哪些基本初等函数复合而成：

202(1) y=e(1+x)； (2) y=(arcsinx2)4； (3) y=3cosx；

(4) y=ln(1． (解：(1) 由y=eu,u=v20,v=1+x复合而成；

(2) 由y=u4,u=arcsinv,v=x2复合而成；

(3) 由y=3u,u=v2,v=cosx复合而成；

(4)

由y=lnu,u=1v=1+x2复合而成；

?1 , |x|<1 ,?13．设f(x)=?0, |x|=1, g(x)=ex，求f(g(x))与g(f(x))，并作出函数图形．

?-1, |x|>1,?

?e, |x|<1 ,?1 , x<0 ,??解：f(g(x))=?0 , x=0, g[f(x)]=?1, |x|=1,图略。

?-1, x>0,?-1??e, |x|>1,

14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r，高为H．当倒进溶液后液面的高度为h时，溶液的体积为V．试把h表示为V的函数，并指出其定义区间．

V解：依题意有V=πr2h，则h=2,V∈[0,πr2H]．πr

15．收音机每台售价为90元，成本为60元．厂方为了鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1元，但最低价为每台75元．

(1) 将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；

(2) 将厂方所获的利润L表示成订购量x的函数；

(3) 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？

?90, x≤100?解：依题意有(1) p=?190-x, 100

?75, x>115?

?30x, x≤100?(2) L=?(130-x)x, 100

?15x, x>115?

(3) L=15000元

习题1-2

1．设xn=2n-3(n=1,2,3, )， 3n+1

222(1) 求|x1-|,|x20-|,|x1000-|的值； 333

2-6(2) 求N，使当n>N时，不等式|xn-|≤10成立； 3

2(3) 对实数ε>0，求N，使当n>N时，不等式|xn-|≤ε成立． 3

21211237211解：(1) |a1-|=|--|=, |a10-|=|-|=, 343123613183

21997211 |a1000-|=|． -|=3300139003

1112<4，则只要n>12222, 取N≥12222, 故当(2) 要使 |an-|<10-4, 即 3(3n+1)103

2n>N时，不等式|an-|<10-4成立． 3

2n-3211211-ε3-|=<ε，即n>(3)要使|an-|<ε成立，只要|, 取39ε3n+139n+3

2?11-3ε?n>NN≥1+?，那么当时， |a-|<ε成立. n?9ε3??

2．当x→1时，y=x2+2→3．问δ等于多少，使当|x-1|<δ时，|y-3|<0.01？

135解：令 |x-1|<，则<|x+1|<，要使 222

5|y-3|=|x2+2-3|=|x2-1|=|x-1||x+1|<|x-1|<0.01， 2

只要|x-1|<0.004，所以取δ=0.004，使当 |x-1|<δ 时，|y-4|<0.01成立．

2x2-13．当x→∞时，y=2→2．问X等于多少，使当|x|>X时，|y-2|<0.001？ x+2 22x-155解：要使|y-2|=|2-2|=2≤2<0.001, 只要x2>5000,

即|x|>x+2x+2x

了,

所以取X=

4．根据极限的定义证明： a=1； (3) lim(3x-1)=2； (1) lim=0（a为常数）； (2)

n→∞n→∞nx→13x+5x2-4 (4) lim=3. =-4；(5) limx→∞x-1x→-2x+2

0解： (1) ?ε>0，若a=0，则任取正整数N，当n>N时, 总有|-0|=0<ε；若a≠0，n a|a||a||a|a要使|-0|=，取正整数N=[]+1，当n>N时,总有|-0|<ε，综<ε，只需n>nnεεn a上可得lim=0；n→∞n

1(2) ?ε>0,

要使,

取N=,当n>N-1|=≤2<ε,

即n>n1|<ε,

则=1；时,

总有n→∞(3) ?ε>0,要使|3x-1-2|=3|x-1|<ε，只要|x-1|<

总有|3x-1-2|<ε，所以lim(3x-1)=2；x→1ε3，取δ=ε3，则当0<|x-1|<δ时，

x2-4(4) 对?ε>0，要使|-(-4)|=|x-(-2)|<ε，取δ=ε，当0<|x-(-2)|<δ时，总有x+2

2x-4x2-4|-(-4)|<ε，所以lim=-4；x→-2x+2x+2

3x+5883x+5-3=|(5) 对|x|>1，有|, ?ε>0, 要使|-3|<ε,只要x-1|x-1|x|-|1x-1

8883x+53x+5<ε,即|x|>+1,取X=1+，则当|x|>X时,有|-3|<ε,故有lim=3．x→∞x-1|x|-1εεx-1

5．用ε-X或ε-δ语言，写出下列各函数极限的定义：

(1) limf(x)=a； (2) limf(x)=a；x→-∞

x→ax→+∞x→af(x)=b． (3) limf(x)=b； (4) lim-+

解: (1) ?ε>0, ?X

(2) ?ε>0, ?X

(3) ?ε>0, ?δ

(4) ?ε>0, ?δ

n→∞>0, 当x<-X时, 总有|f(x)-a|<ε; >0, 当x>X, 总有|f(x)-a|<ε; >0, 当a0 当a-δ

lim|xn|=|a|．并举例说明：如果数列{|xn|}收敛，但数列{xn}不

一定收敛．

证明: 因为limxn=a,所以?ε>0,?N1,当n>N1时,有|xn-a|<ε.不妨假设a>0,由收敛

n→∞

数列的保号性可知:?N2,当n>N2时,有xn>0,取N=max{N1,N2}, 则对上述ε,当n>N时, 6

有||xn|-|a||=|xn-a|<ε.故lim|xn|=|a|.同理可证a<0时,lim|xn|=|a|成立.

n→∞

n→∞

反之,如果数列{|xn|}有极限, 但数列{|xn|}未必有极限.如：数列xn=(-1), |xn|=1，显然lim|xn|=1, 但limxn不存在．

n→∞

n→∞

n

7．对于数列{xn}，若limx2k-1=a，limx2k=a，证明：limxn=a．

k→∞

k→∞

n→∞

证明: 由于limx2k-1=a, 所以, ?ε>0, ?N1>0, 当k>N1时，有|x2k-1-a|<ε, 同理, 对

k→∞

上述ε,?N2>0, 当k>N2时, 有|x2k-a|<ε．取N=max{N1,N2}, ?ε>0, 当n>N时, |xn-a|<ε成立, 故limxn=a．

n→∞

8．证明：若limf(x)=A，limf(x)=A，则limf(x)=A．

x→+∞

x→-∞

x→∞

证明: 由于limf(x=)A,则对?ε>0,?X1>0,当x>X1时,有|f(x)-A|<ε．又

x→+∞

x→-∞

,则?X2>0,当x<-X2,有|f(x)-A|<ε.取X=max{X1,X2},当|x|>X时,总有limf(x=)A

x→∞

|f(x)-A|<ε,故有limf(x)=A.

习题1-3

1．求下列极限：

3

+n-3； (1) lim2n

n→∞6n3-2n+3

132n-1

(3) lim(+2+ +n)；

n→∞222

(5) lim(x3-3x+5)；

x→2

?1?11

++ + (2) lim??；n→∞1?33?5(2n-1)(2n+1)??3n+2n (4) limn+1；n+1n→∞3-2

3

x+1

(6)lim2；

x→2x-5x+3

x2-1

(7)lim2；

x→1x+4x-5

(x+h)2-x2

(9) lim；

h→0h

(11) x→1

x3-x2-9x+9

(8) lim；

x→-3x3+27

1??12

-(10)lim

?；x→28-x32-x??

3x2-1

(12)lim2；

x→∞x+7x-3

x3+3x

(13) lim3；

x→∞2x-7x+8x2+3x-8

(14) lim；

x→∞7x4+5x3

(15)lim(2x3-3x+6)；(16)

lim

x→∞ x→+∞

132+2-33

=1；解：(1)lim2n+n-3=lim

n→∞6n3-2n+3n→∞6-2+33nn

?1?11

++ +(2) lim?? n→∞1?33?5(2n-1)(2n+1)??

．

1?11111?1?1?1=lim?1-+-+ +-=lim1-?n→∞2?2n+1?=2；n→∞23352n-12n+1????

-112n-1(3) lim(1+3

2+ +2nn)=lim(3-n-2-n)=3；n→∞2n→∞2222

21+()nnn13+23(4) limn+1=；lim=n→∞3-2n+1n→∞3-2?()n3

3

(5) lim(x3-3x+5)=(limx)3-3limx+5=7；x→2x→2x→2

(limx)3+1x3+1x→2==-3；(6)lim22x→2x-5x+3(limx)-5limx+3 x→2x→2

x2-1(x-1)(x+1)x+11=lim=lim=；(7)lim2x→1x+4x-5x→1(x-1)(x+5)x→1x+53 x3-x2-9x+9(x-1)(x-3)8=lim=；(8) lim32x→-3x→-3x+27x-3x+99

(x+h)2-x

2(x2+2xh+h2)-x2

(9) lim=lim=lim(2x+h)=2x；h→0h→0h→0

2

3x-

1(12)lim2=lim

=3; x→∞x

→∞x+7x-373 1+-2xx3-1x3+3x1(13) lim3=lim=; x→∞2x-7x+8x→∞2-2+32xx 138+3-322x+3x-8=0; (14) lim=lim43x→∞7x+5xx→∞7+x

(15)lim(2x3-3x+6)=limx3(2-x→∞x→∞1+32

(16)lim x→+∞=limx36+3)=∞; 2xx 8

=lim

22-x=lim1x=1．

?ex, x>0

2．设函数f(x)=?f(x)是否存在？?0, x=0,试讨论limx→0?1-3x2,x<0?

解：因为limlimf(x)=limf(x)，所以f(x)=limex=1,limf(x)=lim(1-3x2=)，即1-+--++x→0x→0x→0x→0x→0x→0limf(x)存在．x→0

?2x+1, x<0,3．设f(x)=?若极限limf(x)存在，则a等于什么? x→02x+a, x≥0.?

解：因为lim所以，当limf(x)=limf(x)，f(x)=lim2x+1=2,limf(x)=lim(2x+a)=a，-+--++x→0x→0x→0x→0x→0x→0即a=2时，limf(x)存在．x→0

4．

已知lim(5x=1，其中a,b,c为常数，求a和b的值．

x→+∞

解：因为lim(5x= limx→+∞

2

xc?25-a=0?a=25=1，所以?= lim=lim，则．?xx=1b=10?

(25-a)x+b-

．

习题1-4

1．计算下列极限：

x1xx112xx-2xx(1)(1-)； (2) lim(1-)； (3) lim()-3； (4)

lim()．x→∞x→3x→∞33xx+2 11解：(1) lim(1-)2x=lim[(1+)-x]-2=e-2；

x→∞x→0x-x

11--x1x-3

xx3(2) lim(1-)=lim[(1-)]=e3；x→∞x→033

11?xx1x-3x3-3-33)=e3；(3) lim()=lim(1+x→33x→23

2?(-4)x-2x4-x+4-24)=lim[(1-)?(1-)] (4) lim(x→∞x+2x→∞x+2x+2

2?(-4)4-x+4-2=lim(1-)4?lim(1-)=e-4 x→∞x→∞x+2x+2

2．计算下列极限

sin3x3tanx-sinx； (2) limxsin； (3)lim；3x→0sin5xx→∞x→0xx x(4) lim1-cos2x；

(5)lim3nsinn（x为不等于零的常数）．5n→∞3x→0 x2

sin3xsin3x5x33解：(1)lim=lim??=；x→0sin5xx→03xs in5x55

3sin3=3；(2) limxsin=3limx→∞x→∞3x

x

xsintanx-sinxsinx(1-cosx)1sinx1(3) lim=lim=lim?()2=；

33x→0x→0xxxcosx2x→0x2

2

21-cos2x2sin2xsinx?(4) lim=lim=lim?=∞ 55x→0+x→0+x→0+x?x2x2

xsinnx=x (5) lim3nsinn=xlimn→∞n→∞x3

3n

3．利用极限存在准则证明： (1) lim+

(1)

的极限存在；

(2)

lin（1a>0为常数）；??(3)

lim+ =1；n→∞1(4) limx[]=1．x→0+x (1) 证明：

x2x1>0，假设xn>xn-1>0成立，则

xn+1=xn，

由数学归纳法只数列{xn}单调递增．

又因为x1<1

，假设xn<1

xn+1=1

0

1≤a?a?≤1+，又lim1=lim 1+?=1，所以=1．n→∞n→∞nn?

n?

+ +≤(3)

， 10

又n=n=1，所以

??lim+ =1．n→∞1?1?1(4) 证明：对任一x∈R，有x-1≤[x]≤x，则当x≠0时，有-1≤??≤． x?x?x

11?1??1?+x因为x→0，所以x>0，此时，x(-1)≤x??≤x?，由夹逼准则得lim ?x?=1．x→0+xx?x???

习题1-5

1．用极限定义证明：

x2-42+5x(1) y=为当x→-2时的无穷小； (2) y=为当x→0时的无穷大． xx-2

x2-4|δ时, 总有证明: (1) ?ε>0,因为|,取-0=|x|+2|δ=ε,则当0<|x+2

x2-4x2-1x2-4为当x→-2时的无穷小； |-0<|ε,故 lim=0，从而y=x→1x+1x-2x-2

2-5x222|=|-5|>-5>M,所以 (2) ?M>0, ?δ=,当0<|x|<δ时,总有|xx|x|M+5

2+5x2+5x为当x→0时的无穷大. lim=∞，即y=x→0xx

2．计算下列极限： 1cosx(1) limsinx； (2) lim2；x→∞xx→∞x

arctanx(3) lim； (4) limxarccot(lgx)．x→0x→∞lnx

11解：(1) 因为sinx在(-∞,+∞)上有界，lim=0，由定理3知limsinx=0；

x→∞xx→∞x

1cosx(2) 因为cosx在(-∞,+∞)上有界，lim2=0，由定理3知lim2=0；x→∞xx→∞x 1arctanx(3) 因为arctanx在(-∞,+∞)上有界，lim=0，由定理3知lim=0；

x→∞lnxx→∞lnx

(4) 因为arccot(lgx)在(-∞,+∞)上有界，limx=0，由定理3知limxarccot(lgx)=0

x→0x→0

3．函数y=x2cosx在(0,+∞)内是否有界？该函数是否为x→+∞时的无穷大？解答: 因为?M>0,取N0=[M]+1,?x0=2N0π∈(0,+∞)，使得

yN0=(2N0π)cos(2N0π)=(2N0π)>M，

所以y=x2cosx在(0,+∞)内是无界的. 22

但，若取xn=2nπ+,则yn=0,故当n→∞时, yn→0(xn→+∞)，当x→+∞时，函数2

y=x2cosx不是无穷大量．π

4．证明：函数y=11sin在其定义域上无界，但它不是x→0时的无穷大． xx

1

2N0π+证明：因为?M>0,取N0=[M]+1,?x0=2∈(0,+∞)，使得

yN0=(2N0π+)sin(2N0π+)=2N0π+>M， 222

所以y=πππ11sin在(0,+∞)内是无界的. xx

1,则yn=0,故当n→∞时, yn→0(xn→+∞)，当x→+∞时，函数2nπ但，若取xn= y=11sin不是无穷大量． xx

5．利用等价无穷小的性质，求下列极限：

3xsin(kx)(1)lim； (2) lim（k,t是不为零常数）；x→0sin5xx→0tantx

ln(1+3x-2x2)3x+5x2-x3

(3) lim； (4)lim

3；x→0x→0tan3x

2arctanx(5) limsinx2； (6)

x→0x→0 e3-1

x2+tanx-sin5xlim(7) lim；(8) 3+x→0x→0tan3x-x

?a+b?(9) lim ?,其中a>0,b>0,均为常数. x→02??

3x3x3解：(1)lim=lim=；x→0sin5xx→05x5

sin(kx)kxk(2) lim=lim=；x→0tantxx→0txt

ln(1+3x-2x2)3x-2x2

(3) lim=lim=1；x→0x→0tan3x3x

3x+5x2-x33x+5x2-x33(4)lim3=lim=；x→0x+2arctanxx→02x2

222arcsinxxx=lim=3lim=3； (5)

limtanx2x→0x

→0tanx2x→0tanx2

e3

-13xx3x

12x(6) ==lim?2x→0x→x→0(3x)x→12

=1= 18x2+tanx-sin5x-4x4(7) lim；

=lim=-x→0x→03xtan3x-x33

12x1(8)lim； =lim=lim?lim=x→0+x→0x→0+1x→0+2x?x2

a3limln(ax+bx3

(9)lim()x=ex→0

x→02x1+bxx)ln(2=e3limx→0ax+bx-2+1)2x

=e1xx(a+b-2)3limx→0x=e3(ax-1)+(bx-1)lim2x→0x=e3(lna+lnb)2=(ab)． 3

2

6．证明：当x→0时，ln(1+x)~x．

11ln(1+x)x=limln(1+x)=ln[lim(1+x)x]=lne=1，ln(1+x)~x．证明：因为lim当x→0时，x→0x→0x→0x

17. 证明：当x→

01 x.

n

1+x-1证明：因为=limx→0x→0n-1n-2xx++

+1]nn

1=lim=1，x→0n-1+n-2+ +1]n

1所以，当x→

01 x. n

8．当x→0时，若(1-asinx)-1与xarctanx是等价无穷小，试求a．解：依题意有lim

1

24124(1-asinx)-1=1，因为当x→0时，x→0xarctanx141242(1-asinx)-1=??1+(-asinx)??-1

1

2411?(-asinx2) ?(-ax2)，arctanx x， 441?(-ax2)(1-asinx)-1a=lim=-=1，故a=-4．所以limx→0x→0xarctanxx24

习题1-6

1．研究下列函数的连续性：

?x, x是有理数(1) f(x)=|x| (2) f(x)=?

?0, x是无理数

解：（1）在(-∞,+∞)内连续；

（2）f(x)在R上处处不连续。

2．讨论下列函数的间断点的类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续．

(1) f(x)=sgnx； (2) f(x)=sinx

1

x 1+e

x4-1(3) f(x)=[x]； (4)f(x)=2； x-1 2x-11(5)f(x)=2； (6) f(x)=xsinxx-3x+2 解：(1) x=0为跳跃间断点；

sinx(2) 因为lim=0，所以x=0为可去间断点，补充定义f(0)=0，则函数f(x)在

1x→01+ex

(-∞,+∞)内连续；

(3) x=n,n=0,±1,±2, 为跳跃间断点；

x4-1(4) 因为lim2所以x=±1为可去间断点，补充定义f(1)=2,f(-1)=2，则函数

f(x)=2，x→±1x-1

在(-∞,+∞)内连续；

(5) x=1为可去向断点，若令f(1)=-2,则f(x)在x=1连续；x=2为第二类向断点．1(6) 因为limx=0，所以x=0为可去间断点，补充定义f(0)=0，则函数f(x)在

x→0x

(-∞,+∞)内连续；

?sinx, x<0,3．当a取何值时，函数f(x)=?在x=0处连续．a+x, x≥0?

解：因为limf(x)=limsinx=0,limf(x)=lim(a+x)=a,f(0)=a,所以，依题意有a=0. --

++x→0x→0x→0x→0

?2cosx, x≤c4．设f(x)=?其中b,c是已知常数．试选择a，使f(x)为连续函数． 2ax+b, x>c?

22解：因为limf(x)=lim2cosx=2cosc,limf(x)=lim(ax+b)=ac+b,f(c)=2cosc,所--

++x→cx→cx→0x→c

以，若c=0,则f(x)为连续函数必要求b=2,此时a可取任意实数；若c≠0,则取

2cosc-b，就可以使得f(x)为连续函数． a=c2

5．证明: 若函数f(x)在区间I上最大值与最小值相等，则f(x)是区间I上的常值函数． 14

证明：设maxf(x)=minf(x)=M，则对?x∈I,M≤f(x)≤M，即f(x)=M( x?∈I)

x∈Ix∈I，

所以f(x)是区间I上的常值函数．

6．证明: 方程x-2+3sinx=0在区间(0,)内至少存在一个实根． 2

证明：令f(x)=x-2+3sinx，则f(x)在[0,]上连续，又f(0)=-2<0，f()=+1>0,222

根据零点定理，f(x)=x-2+3sinx在开区间(0,)内至少有一点ξ使f(ξ)=0，即方程2 x-2+3sinx=0在区间(0,)内至少存在一个实根． 2

7．证明方程x=asinx+b至少存在一个正根，并且它的根不超过a+b，其中

a>0,b>0．ππππππ证明：令f(x)=x-asinx-b，并取正整数k，使得2kπ+π

2>a+b，则f(x)在

[0,2kπ+]上连续，又f(0)=-b<0，f(2kπ+)=2kπ+-a-b>0,根据零点定理，222

f(x)=x-asinx-b在开区间(0,2kπ+ππππ

2即方程x=asinx+b至)内至少有一点ξ使f(ξ)=0，

少存在一个正根．又因为x=asinx+b≤a+b，所以它的根不超过a+b．

微积分课后题答案第九章习题详解

第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??

郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==

（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷(B ) 一、选择题。(每题4分，共20分) 1?假设对任意的 x R ，都有(x) f(x) g(x)，且]im[g(x) (x)] 0，则 lim f (x)() A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C. 一定不存在 D.不一定存在 1 x 2. 设函数f(x) lim 2n ，讨论函数f (x)的间断点，其结论为( ) n 1 x A.不存在间断点 B.存在间断点x 1 C.存在间断点x 0 D.存在间断点x 1 x 2 X 1 3. 函数f (x) 一2 . 1 —2的无穷间断点的个数为( ) X 1 \ x 7.[x]表示取小于等于x 的最大整数，则lim x - x 0 x f(x) asinx A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数f (x)在( )内单调有界, ｛X n ｝为数列，下列命题正确的是( A.若｛x n ｝收敛，则｛ f (x n ) ｝收敛 B.若｛&｝单调，则｛ f (x n ) ｝收敛 0若｛ f (X n ) ｝收敛，则仏｝收敛 D.若｛ f (X n ) ｝单调，则 ｛X n ｝收敛 5.设｛a n ｝, ｛b n ｝, ｛C n ｝均为非负数列，且 lim n a n 0,lim b n 1,limc n n n ，则() A. a n b n 对任意n 成立 B. b n C n 对任意n 成立 C.极限lim a n C n 不存在 n D. 极限lim b n C n 不存在 n 二、填空题(每题 4分，共 20分) 6.设 X, f (X) 2f (1 X) 2 x 2x , 则 f (X) 8.若 lim]1 X X ( 丄 X a)e x ] 1, 则实数a 9.极限lim X (X 2 X a)(x b) 10.设 f (X)在 x 0处可导, f (0) 0,且f (0) b ，若函数 F(x) 在x 0处连续, 则常数 A

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中

高等数学第一章练习题答案

第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →

5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学第一章测试题

高等数学第一章测试题 一、单项选择题（20分） 1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是（ ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是 （ ） (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、 设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ） （A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1） 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ，下列说法正确的是（ ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断

高等数学上复旦第三版 课后习题答案

283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??

284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；

高等数学第一章练习题

第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。 （A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（） （A）必不存在 （B）至多只有有限多个 （C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数） （A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在 （D）数列{ x n }一定不存在极限

9.数列 （A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（） （A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一 （C）先确定δ后给定ε　 （D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（） （A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值 （B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C） f（x）在x0的函数值可以不存在 （D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（） （A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（） （A）无穷大量可能是有界量

高数第一章综合测试题复习过程

第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无

微积分课后题答案习题详解

微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷（B ） 一、选择题。（每题4分，共20分） 1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤?，且0)]()([lim =-∞→x x g x ?，则)(lim x f x ∞ →（ ） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在 2.设函数n n x x x f 211lim )(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（ ） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x x x x x f +--=的无穷间断点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（ ） A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛 B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛 C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛 D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛 5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞ →∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（ ） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立 C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在 D. 极限n n n c b ∞ →lim 不存在 二、填空题（每题4分，共20分） 6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+?，则=)(x f ____________。 7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=??????→x x x 2lim 0__________。 8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a x x ，则实数=a ___________。 9.极限=???? ??+-∞→x x b x a x x ))((lim 2 ___________。 10.设)(x f 在0=x 处可导，b f f ='=)0(,0)0(且，若函数?????=≠+=00sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续，则常数=A ___________。

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）

高等数学上册第一章测试试卷

理科A 班第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷

高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解

习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ;

解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

高数课后题答案及详解

2019年广西满分作文：毕业前的最后一堂课时光飞逝，白马过隙。2019高考如约而至，距离我的那年高考也已有二十岁的年份。烈日的阳光，斑驳的光影，仿佛又把我拉进了在宽窄巷子的学堂里最后冲刺的时光。 高中即将毕业，意味着每个人将为人生方向的开启选好时光的阀门，单纯的学历生涯即将告一段落。课堂上朗朗整齐的晨读和起立，行礼的流程将渐行远去。它是青春懵懂的里程，也是最为单纯的诗书礼仪，课桌黑板走廊都将记录这里每个人在经历人生的最后一课，无论是同学还是老师。 记得1999年炙热的炎夏，当年的二十八中还隐藏在老成都皇城宽窄巷子里面，距离高考还有一周，同学们已经不再像之前那样紧张忙碌的复习节奏，三三两两，甚至结伴到学校周围看看能不能捡到老皇城留下的一砖半瓦，为自己这里的高中学涯留点念想。 还记得是用过学校食堂的午餐，在最后一节考前动员课上完以后，大家就会各自回到家中，为最后到来的大考最最后的准备。课堂的气氛很是轻松，甚至我和我的同桌还在讨论中午学校食堂红椒肉丝的白糖是否搁多了，随着班主任走进教室，踏上讲台，一如既往地喊道：上课！接着就是值日生的“起立敬礼老师好”的三重奏，最后一节课的师生礼仪完毕后，班主任转身在黑板上用粉笔撰写了四个大字“勇往直前”，语重心长的寄语和感慨在此不表，大家彼此默契的拿出早已准备好的记事本开始彼此留言签名，数言珍语，寥寥几笔都赫然纸上。 人生最后一堂课，没有习题的讲解和紧张备考的威严氛围。三年同窗，彼此单纯的朝夕相处和课桌校园间的点滴生活早已让这个班级凝成了一片经脉。“聚是一团火，散是满天星，不求桃李满天下，只愿每人福满多。”班主任最后这句话至今印刻脑海。二十载已过，当时班主任的心境早已能够理解，也希望每年高考时，同学志愿看天下！

高等数学(上)第一章练习题

高等数学（上）第一章练习题 一．填空题 1． 12sin lim sin _________.x x x x x →∞??+= ??? 2． lim 9x x x a x a →∞+??= ?-?? ， 则__________.a = 3． 若21lim 51x x ax b x →++=-，则___________,___________.a b == 4． 02lim __________.2x x x e e x -→+-= 5． 1(12)0()ln(1)0 x x x f x x k x ?-<=?++≥?在0x =连续，则k = 6． 已知当0x →时，()1 2311ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a = 7． 设21()cos 1 x k x f x x x π?+≥=??? 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________. 9．()1lim 123n n n n →∞++= 10 ．lim x →+∞?=? 11 ．lim x ax b →+∞?-=? 0 ，则a = b = 12．已知111()23x x e f x e +=+ ，则0x =是第 类间断点 二．单项选择题 13． 当0x →时, 变量211sin x x 是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界变量但不是无穷小, D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0 lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=. 15． 如果0lim ()x x f x -→和0 lim ()x x f x +→存在, 则_____________.