复习卷二答案
复习卷二
一、填空题（每小题3分，共15分）.
1．在积分曲线族?=xdx y sin 2中，过点)0,3(π
的曲线为 1cos 2+-=x y .
2．定积分1
2
2
1sin (
21)1
x x d x x -+-=+?π.
3．微分方程02=+'y y 的通解是x ce y 2-=.
4. 设)(x f 是连续函数，且?+=2
)(3)(dx x f x x f ，则=?dx x f 2
)(5
2-
. 5．
?
+x t t t x 1
2
d 1d d = )
1(21
x +.
二、单项选择题（每小题3分，共18分）. 1．下列关系式中错误的是( B )．
A. C x f x f d +=?)()(；
B. )()(x f dx x f d =?；
C. C x f dx x f +='?)()(；
D.
)()(x f dx x f dx
d
=?. 2． x x d cos 20
4?π
的值为( C )．
A ．π83；
B ． 83；
C ． π163；
D ．16
3
.
3．设12,y y 是''()'()0y p x y q x y ++=的解，则( D )也是它的解．
A ． 12y y ；
B ．112y y y +
； C ．12
y
y ； D ．1122C y C y +.
4．设()arcsin f x dx x C =+?，则()x f x dx =?（ D ）．
A ．C x +-21；
B ．
C x +-212； C ． C x +--212；
D ．C x +--21.
5．微分方程2(1)20x y xy '''++=满足初始条件(0)0,y =(0)1y '=的特解为（ A ）．
A ．arctan y x =；
B ． arccos y x =；
C ．arcsin y x =；
D ．arccot y x =.
6．下列反常积分发散的是（ C ）．
A ．x x d 111
2?∞++； B ．x x x d 1arctan 12?∞++； C ．x x d )
1(1
102?-； D ．x x x d ln 10?.
三、（6分）计算极限
?
?+→x x x dt
t dt
t 0
3
sin )1ln(lim
2 .
解：
分
分分6...................................................25........................................2lim 3.........................sin 2)1ln(lim sin )1ln(lim
33
03
200
30
2==+=+→→→?
?x x x x
x dt
t dt
t x x x x x 四、（6分）求?
-20
d )1(x x f ，其中=)(x f ??
?<<-≤≤0
1,1
0,e x e x x x . 解：设t x =-1，
分
分分
6 (11)
5..........................
d d d 2.................................d )(d )1(1
0101
1
1
1120
+=+-+=-+=+=+=
=
-???
??
--e e e e e te e e t e t te t e t t f x x f t t t
t
五、（6分）求一阶线性微分方程 1
tan cos y y x x
'-=
的通解. 解：通解为
[]tan tan ln cos ln cos 1...........................2cos 1cos 11cos ..............................4cos cos 1.....................................cos xdx
xdx x x y e e dx C x e e dx C x xdx C x x x C x --??
?
?=+????
??
=+??
??
??
=
+????
=+???分分...............6分
六、（6分）求不定积分 4
1
dx x x
+?. 解：设4x t =， 3
24
114dx t dt t t x x
=++?
?....................2分 241t dt t =+?211
41
t dt t -+=+?14(1)1t dt t =-++? 221
4(ln 1)2244ln 1t t t C
t t t C
=-+++=-+++……………………… 5分 44
244ln
1x x x C =-+++……………… 6分
七、（7分）求齐次方程 0)2(22=+-dy x dx xy y 满足初始条件1
2x y ==的特解.
解：原方程可化为2
2
2)(22x y x y x
xy y dx dy -=--=，令u x y =，则
,
dy du y ux u x dx dx ==+ ………………… 2分
代入方程得22u u dx
du
x
u -=+， 分离变量得x dx
u u du =-2
，两边积分得，c x u u ln ln )1ln(+=-， 所以,1cx u u =- 故原方程的通解为1
2
-=cx cx y ，……………5分 又21==y x 时，，所以2=c ，
特解为1
222
-=x x y . …………………………… 7分
八、（7分）计算由曲线2x y =和直线1=y 所围平面图形 1. 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积； 2. 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.
解：πππππ58
522111411=-=-=??--dx x dx V x ………………………4分
ππ2
1
10==?ydy V y ………………………………………………7分
九、（9分）求微分方程2443x y y y e '''-+=的通解.
解：特征方程为2440r r -+=，特征根为122r r ==， ………………2分
齐次方程的通解为212()x Y C C x e =+，…………………………… 4分 又2λ=是二重特征根，设特解为*22x y x Ae =，代入关系式
()()m Q x P x ''=，即323,2A A ==
，所以特解为*223
2
x y x e =………7分 所以微分方程的通解为222123
()2
x x y C C x e x e =++………………9分
十、（9分）设曲线 .x y e =
(1) 在此曲线上求一点A ，使曲线在该点的切线通过坐标原点(0,0)O . (2) 求位于曲线x y e =下方和切线OA 的左方以及x 轴上方之间图形的面积. 解：设曲线上过点00(,)A x y 的切线方程为 000()x x y e e x x -=-，又曲线过原点， 求出01x =，0y e =，故(1,)A e …………………………………………3分 所求面积0
1
()x
x A e dx e ex dx -∞
=+-??…………………………………… 6分
10
2
1(1)2
2
x
x
e e e e e e -∞
=+-
=+--=
………………………………………………9分
十一、（6分）一个锥顶向上的圆锥形蓄水池装满了水，高为10米，底半径为4米，问要把池内的水全部吸出，需要做多少功？(计算过程中，水的密度ρ、圆周率π和重力 加速度g 的值不要求代入).
解：根据如图所示建立的坐标系，距离原点x 米处 取一小的薄片，则克服重力需要做的功为
22
()5
dW Gx mgx x dx g x ρπ===………………3分
所以 1010102300
24()525dW x g xdx g x dx ρπρπ==??? 400g ρπ= (6)
y
x
o
十二、（5分） 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()f x M '≤，()0f a =， 证明：
2
2
()()b a
f x dx M b a ≤-?
.
证明：()f x 在[,]a b 上连续，所以任意[],x a b ∈，有))(()()(a x f a f x f -'=-ξ，2分
()[()()]b b a
a
f x dx f x f a dx =-?
??-'=b a dx a x f ))((ξ?-≤b
a
dx a x M )(
2
)(2
a b M -=，
结论得到证明。…………………………………………………………………5分