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2010 年江苏高考数学试卷评析

绝密★启用前学科网 2010年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ试题

2010 年江苏高考数学试卷评析

参考公式:学锥体的体积公式: V 锥体=

1

3

Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 是高。 一、填空题:本大题共14小题,每小题5

分,共70分。请把答案填写在答题卡相应的位.......置上..

.学科网1、设集合A={-1,1,3},B={a+2,a 2+4},A ∩B={3},则实数a =______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3∈B, a+2=3, a=1.

2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i (其中i 为虚数单位),则z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与3+2 i 的模相等,z 的模为2。

3、盒子中有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_ ▲__.

[解析]考查古典概型知识。31

62

p =

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= 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。

[解析]考查频率分布直方图的知识。 100×(0.001+0.001+0.004)×5=30

5、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数,则实数a =_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。

g(x)=e x +ae -x 为奇函数,由g(0)=0,得a =-1。

6、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线112

42

2=-y x 上一点M ,点M 的横坐标是3,则M 到

双曲线右焦点的距离是___▲_______ [解析]考查双曲线的定义。4

22

MF e d ===,d 为点M 到右准线1x =的距离,d =2,MF=4。

7、右图是一个算法的流程图,则输出S 的值是______▲_______

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[解析]考查流程图理解。2412223133,++++=< 输出2

5

122263S =++++= 。 8、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数,a 1=16,则a 1+a 3+a 5=____▲_____

[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(a k ,a k 2)处的切线方程为:22(),k k k y a a x a -=-当0y =时,解得2

k

a x =, 所以1135,1641212

k

k a a a a a +=

++=++=。 9、在平面直角坐标系xOy 中,已知圆42

2

=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c 的取值范围是______▲_____

[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2,圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,

||

113

c <,c 的取值范围是(-13,13)。 10、定义在区间??

?

?

?20π,

上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ,过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P 1P 2的长即为sinx 的值,

且其中的x 满足6cosx=5tanx ,解得sinx=

23。线段P 1P 2的长为23

11、已知函数21,0

()1,

0x x f x x ?+≥=?的x 的范围是__▲___。

[解析]

考查分段函数的单调性。2

2

12(1)10

x x

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x x ?->??∈-?->?? 12、设实数x,y 满足3≤2

xy ≤8,4≤y x 2≤9,则43

y

x 的最大值是 ▲ 。

。来源[解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想。

22()[16,81]x y ∈,2111[,]83xy ∈,322421()[2,27]x x y y xy

=?∈,43

y x 的最大值是27。

13、在锐角三角形ABC ,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,6cos b a

C a b

+=, 则

tan tan tan tan C C

A B

+=____▲_____。 [解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。 当A=B 或a=b 时满足题意,此时有:1cos 3C =

,21cos 1tan 21cos 2C C C -==+

,tan 2C =,

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1tan tan tan 2

A B C

==

=,

tan tan tan tan C C

A B

+= 4。 (方法二)226cos 6cos b a C ab C a b a b +=?=+,22222222

36,22

a b c c ab a b a b ab +-?=++=

2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B +++=?=?=?由正弦定理,得:上式=222

2

2214113cos ()662

c c c c C ab a b =

?===+?

14、将边长为1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记

2

(S =梯形的周长)梯形的面积

,则S 的最小值是____▲____。

[解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。

设剪成的小正三角形的边长为x ,

则:22

2

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(3)(01)1x S x x -==<<- (方法一)利用导数求函数最小值。

22(3)()1x S x x -=-

,2222

(26)(1)(3)(2)

()(1)x x x x S x x -?---?-'=-

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222222

(26)(1)(3)(2)2(31)(3)

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(1)(1)x x x x x x x x -?---?----==-- 1

()0,01,3

S x x x '=<<=,

当1(0,]3x ∈时,()0,S x '<递减;当1

[,1)3

x ∈时,()0,S x '>递增;

故当13x =

时,S

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。 (方法二)利用函数的方法求最小值。

令111

3,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈

,则:222186681t S t t t t

==-+--+-

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故当131,83x t =

=时,S

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。 二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy 中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0,求t 的值。 [解析]

本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分14分。

(1)(方法一)由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-

,则 (2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=

所以|||AB AC AB AC +=-=

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故所求的两条对角线的长分别为。

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(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D ,两条对角线的交点为E ,则:

E 为B 、C 的中点,E (0,1)

又E (0,1)为A 、D 的中点,所以D (1,4)

故所求的两条对角线的长分别为BC=AD=;

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(2)由题设知:OC =(-2,-1),(32,5)AB tOC t t -=++

由(t -)·=0,得:(32,5)(2,1)0t t ++?--=, 从而511,t =-所以11

5

t =-

。 或者:2· AB OC tOC = ,(3,5),AB = 211

5||

AB OC t OC ?==-

16、(本小题满分14分)

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如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD=DC=BC=1,AB=2,AB ∥DC ,∠BCD=900。 (1)求证:PC ⊥BC ;

(2)求点A 到平面PBC 的距离。

[解析]

本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。

(1)证明:因为PD ⊥平面ABCD ,BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC 。

由∠BCD=900,得CD ⊥BC ,

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又PD DC=D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD 。

因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC 。

(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等。 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD=DC ,PF=FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F 。

易知DF=

2

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,故点A 到平面PBC (方法二)体积法:连结AC 。设点A 到平面PBC 的距离为h 。 因为AB ∥DC ,∠BCD=900,所以∠ABC=900。 从而AB=2,BC=1,得ABC ?的面积1ABC S ?=。 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1,得三棱锥P-ABC 的体积1133

ABC V S PD ?=

?=。 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC 。

又PD=DC=1,所以PC =

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由PC ⊥BC ,BC=1,得PBC ?的面积PBC S ?=。

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由A PBC P ABC V V --=,1

1

33

PBC S h V ?== ,得h =

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故点A 到平面PBC

17、(本小题满分14分)

某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位:m ),如示意图,垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ,仰角∠ABE=α,∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一组α、β的值,tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位:m ),使α与

β之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m ,试问d 为多少时,α-β

最大?

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[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)

tan tan H H AD AD ββ=?=,同理:tan H AB α=,tan h

BD β

=。

AD —AB=DB ,故得

tan tan tan H H h βαβ-=,解得:tan 4 1.24

124tan tan 1.24 1.20

h H αβα?===--。

因此,算出的电视塔的高度H 是124m 。 (2)由题设知d AB =,得tan ,tan H H h H h

d AD DB d αβ-=

===, 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d

αβαβαβ--

--====

--+?+-+?+

()H H h d d

-+≥,(

当且仅当d =取等号)

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故当d =tan()αβ-最大。 因为02

π

βα<<<

,则02

π

αβ<-<

,所以当d =α-β最大。

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故所求的d

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是m 。

18、(本小题满分16分)

在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15

92

2=+y x 的左、右顶点为A 、B ,右焦点为F 。设过点T (m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。

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(1)设动点P 满足42

2

=-PB PF ,求点P 的轨迹; (2)设3

1

,221=

=x x ,求点T 的坐标; (3)设9=t ,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)。

[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。

(1)设点P (x ,y ),则:F (2,0)、B (3,0)、A (-3,0)。

由42

2

=-PB PF ,得2222

(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92

x =

。 故所求点P 的轨迹为直线92

x =

(2)将31,221=

=x x 分别代入椭圆方程,以及0,021<>y y 得:M (2,53)、N (13,209

-) 直线MTA 方程为:03

52303

y x -+=

+-,即113y x =+, 直线NTB 方程为:03

2010393

y x --=

---,即5562y x =-。 联立方程组,解得:7103x y =??

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?=??

所以点T 的坐标为10(7,

)3

。 (3)点T 的坐标为(9,)m

直线MTA 方程为:

03093y x m -+=-+,即(3)12m

y x =+, 直线NTB 方程为:03093y x m --=--,即(3)6

m

y x =-。 分别与椭圆1592

2=+y x 联立方程组,同时考虑到123,3x x ≠-≠, 解得:2223(80)40(,)8080m m M m m -++、222

3(20)20(,)2020m m

N m m

--++。 当12x x ≠时,直线MN 方程为:22

2

22

2222

203(20)

202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =,解得:1x =。此时必过点D (1,0);

当12x x =时,直线MN 方程为:1x =,与x 轴交点为D (1,0)。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D (1,0)。 或者以下解法:

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19、(本小题满分16分)

设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知3122a a a +=,数列{}n

S 是公差为d

的等差数列。

(1)求数列{}n a 的通项公式(用d n ,表示);

(2)设c 为实数,对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,,不等式k n m cS S S >+都成立。求证:c 的最大值为

2

9

。 [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析及论证的能力。满分16分。

(1)由题意知:0d >,

(1)(1)n d n d =-=-

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21323213233()a a a a S S S S =+?=?-=,2221)]2),d a d -=

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化简,得:2211,a d d d a d -+===

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22(1),n d n d nd S n d =+-==,

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当2n ≥时,222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-,适合1n =情形。 故所求2(21)n a n d =-

(2)2

2

2

2

2

2

2

2

2

m n k S S cS m d n d c k d m n c k +>?+>??+>?, 22

2

m n c k

+<恒成立。 又n m k n m ≠=+且3,222

2

2

2

29

2()()92

m n m n m n k k ++>+=?

>, 故9

2

c ≤

,即c 的最大值为29。

或以下解法:

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20、(本小题满分16分)

设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数,其导函数为)('x f 。如果存在实数a 和函数

)(x h ,其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0,使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ,则称

函数)(x f 具有性质)(a P 。 (1)设函数)(x f 2

ln (1)1

b x x x +=+

>+,其中b 为实数。 (i)求证:函数)(x f 具有性质)(b P ; (ii)求函数)(x f 的单调区间。 (2)已知函数)(x g 具有性质)2(P 。给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数,

21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,且1,1>>βα,

若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围。

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 (1)(i)'()f x 222121(1)(1)(1)b x bx x x x x +=

-=-+++ ∵1x >时,2

1

()0(1)h x x x =

>+恒成立,

∴函数)(x f 具有性质)(b P ;

(ii)(方法一)设2

2

2()1()124

b b x x bx x ?=-+=-+-,()x ?与)('x f 的符号相同。

当2

10,224

b b ->-<<时,()x ?0>,)('x f 0>,故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增; 当2b =±时,对于1x >,有)('x f 0>,所以此时)(x f 在区间),1(+∞上递增; 当2b <-时,()x ?图像开口向上,对称轴12

b

x =

<-,而(0)1?=, 对于1x >,总有()x ?0>,)('x f 0>,故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增; (方法二)当2b ≤时,对于1x >,222()121(1)0x x bx x x x ?=-+≥-+=-> 所以)('x f 0>,故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增; 当2b >时,()x ?图像开口向上,对称轴12

b

x =

>,方程()0x ?=的两根为:

22b b +(0,1)>=

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当x ∈时,()x ?0<,)('x f 0<,故此时)(x f 在区间

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上递减;同理得:)(x f 在区间)+∞上递增。

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综上所述,当2b ≤时,)(x f 在区间),1(+∞上递增;

当2b >时,)(x f 在上递减;)(x f 在)+∞上递增。

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(2)由题意,得:22'()()(21)()(1)g x h x x x h x x =-+=- 又)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0,

所以对任意的),1(+∞∈x 都有()0g x '>,()g x 在(1,)+∞上递增。 又1212,(21)()x x m x x αβαβ+=+-=--。 当1

,12

m m >

≠时,αβ<,且112212(1)(1),(1)(1)x m x m x x m x m x αβ-=-+--=-+-,

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综合以上讨论,得:所求m的取值范围是(0,1)。

或有以下解法:

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数学Ⅱ(附加题)

21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请.选.定其中

..内作答

...两题

..区域

...。

.....答题

..,并在相应的

若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.选修4-1:几何证明选讲

(本小题满分10分)

AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交AB延长线于点C,若DA=DC,求证:AB=2BC。

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[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力。 (方法一)证明:连OD ,则:OD ⊥DC ,

又OA=OD ,DA=DC ,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO , ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO , 所以∠DCO=300,∠DOC=600,

所以OC=2OD ,即OB=BC=OD=OA

,所以AB=2BC 。 (方法二)

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B . 选修4-2:矩阵与变换 (本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设k 为非零实数,矩阵M=????

??100k ,N=??

?

???0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1,△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍,求k 的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点,考查运算求解能力。满分10分。 解:由题设得0010011010k k MN ??????

==?

???????????

由00220010001022k k --??????

=??????--??????

,可知A 1(0,0)、B 1(0,-2)、C 1(k ,-2)。 计算得△ABC 面积的面积是1,△A 1B 1C 1的面积是||k ,则由题设知:||212k =?=。

所以k 的值为2或-2。

C . 选修4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分10分)

在极坐标系中,已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a 的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力。满分10分。 解:22cos ρρθ=,圆ρ=2cos θ的普通方程为:22222,(1)1x y x x y +=-+=,

直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为:340x y a ++=,

1,=解得:2a =,或8a =-。

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D . 选修4-5:不等式选讲 (本小题满分10分)

设a 、b 是非负实数,求证:3322)a b a b +≥+。

2010 年江苏高考数学试卷评析

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力。满分10分。

证明:3322)a b a b a b ++=+

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55]=-

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2432234]=++++

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因为实数a 、b ≥0,所以上式≥0。即有3322)a b a b ++。 或有以下解法:

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[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分。请在答题卡指定.....区域..内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、(本小题满分10分)

某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%;乙产品的一等品率为90%,二等品率为10%。生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。

(1)记X (单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求X 的分布列; (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

[解析] 本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解能力。满分10分。 解:(1)由题设知,X 的可能取值为10,5,2,-3,且

P (X=10)=0.8×0.9=0.72, P (X=5)=0.2×0.9=0.18, P (X=2)=0.8×0.1=0.08, P (X=-3)=0.2×0.1=0.02。 由此得X 的分布列为:

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(2)设生产的4件甲产品中一等品有n 件,则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥,解得14

5

n ≥, 又n N ∈,得3n =,或4n =。

所求概率为3

3440.80.20.80.8192P C =??+=

答:生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

23、(本小题满分10分) 已知△ABC 的三边长都是有理数。

(1)求证cosA 是有理数;(2)求证:对任意正整数n ,cosnA 是有理数。

[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。 (方法一)

(1) 证明:设三边长分别为,,a b c ,222cos 2b c a A bc

+-=,∵,,a b c 是有理数,

222b c a +-是有理数,分母2bc 为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性, ∴2222b c a bc

+-必为有理数,∴cosA 是有理数。

(2)①当1n =时,显然cosA 是有理数;

当2n =时,∵2cos22cos 1A A =-,因为cosA 是有理数, ∴cos 2A 也是有理数;

②假设当(2)n k k ≤≥时,结论成立,即coskA 、cos(1)k A -均是有理数。 当1n k =+时,cos(1)cos cos sin sin k A kA A kA A +=-,

1

cos(1)cos cos [cos()cos()]2k A kA A kA A kA A +=---+,

11

cos(1)cos cos cos(1)cos(1)22

k A kA A k A k A +=--++,

解得:cos(1)2cos cos cos(1)k A kA A k A +=--

∵cosA ,cos kA ,cos(1)k A -均是有理数,∴2cos cos cos(1)kA A k A --是有理数, ∴cos(1)k A +是有理数。 即当1n k =+时,结论成立。

综上所述,对于任意正整数n ,cosnA 也是有理数。 (方法二)

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