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湖北省襄阳市2018年1月调研测试高三文科数学试题word版

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2018年1月襄阳市普通高中调研统一测试

高三数学(文史类)

本试题卷共11页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，将考号对应数字涂黑。

2.选择题作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合

{|1}

x y

M x

=+=，{|1}

x y

N y

=+=，则M∩N =

A．φB．{(3，0)，(2，0)}

C．{3，2} D．[－3，3]

2.已知i与j为互相垂直的单位向量，2λ

=-=+

，

a i j

b i j，且a与b的夹角为锐角，则实数

λ的取值范围是

A．

(2)()

-+∞

，，B．

()

+∞

，

C．

(2)(2)

-∞--

，，D．

()

-∞，

3.已知倾斜角为θ 的直线l与直线230

x y

+-=垂直，则cos2θ的值为

A．3

B．

-C．

D．

4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四

斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头

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细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为 A ．9斤 B ．9.5斤 C ．6斤 D ．12斤 5. 6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为 6. 已知点P (1，2)和圆C ：22220x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是 A ．R B

．(-∞

．(

．(0)

7. 已知F 1、F 2是双曲线M ：22

214y x m

-=的焦点

，y x =

是双曲线M 的一条渐近线，离心率等于3

的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，P 是椭圆E 与双曲线M 的一个公共点，设

|PF 1|·|PF 2| = n ，则 A ．n = 12 B ．n = 24

C ．n = 36

D ．12n ≠且24n ≠且36n ≠

8. 已知函数2017

sin 01()log 1x x f x x x π?=?>?，，≤≤，若a 、b 、c 互不相等，且f (a ) = f (b ) = f (c )，则

a b c ++ 的取值范围是 A ．(1，2 017) B ．(1，2 018) C ．[2，2 018] D ．(2，2 018)

9. 设双曲线22

221(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，过F 2的直线

与双曲线的右支交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e = A

．3+B

．5-

．1+D

．4-

正视图

俯视图

A B C D

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10. 如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点M 自点A 开始沿弧A －B －C －O －A －D －C

做匀速运动，则其在水平方向(向右为正)的速度()v g t =的图像大致为 11. 已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为()y f x '=，满足()()f x f x '<，f (0) = 1，则不

等式()x f x e <的解集为 A ．(0)+∞，

B ．(1)+∞，

C ．(2)-+∞，

D ．(4)+∞，

12. 已知定义在R 的函数()y f x =对任意的x 满足(1)()f x f x +=-，当11x -<≤，

()f x x =．函数|log |0

()10a x x g x x x

>??

=?-

点，则实数a 的取值范围是

A ．1(0)(7)7+∞，，

B ．11(][79)97，，

C ．11[)(79]97，，

D ．1

[1)

(19]9

，，

第Ⅱ卷

第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。第13－21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22－23题为选考题，考生按要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．

的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13. 等比数列{a n }各项均为正数，384718a a a a +=，

则12

103l o l l

g a a a +++

▲ ．

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14. 已知实数x 、y 满足20350

x y x y x y -??-+??>?>??≤≥，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．

15. 两个不共线向量OA OB 、的夹角为θ，M 、N 分别为线段OA 、OB 的中点，点C 在直线MN

上，且()OC xOA yOB x y =+∈R ，，则22x y +的最小值为 ▲ ．

16. 若函数()y f x =对定义域D 内的每一个x 1，都存在唯一的x 2∈D ，使得12()()1f x f x ?=成

立，则称f (x )为“自倒函数”．给出下列命题：

①()sin [])22

f x x x π

=∈-

，是自倒函数；

②自倒函数f (x )可以是奇函数； ③自倒函数f (x )的值域可以是R ；

④若()()y f x y g x ==，都是自倒函数，且定义域相同，则()()y f x g x =?也是自倒函数．则以上命题正确的是 ▲ (写出所有正确命题的序号)．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分)

已知{a n }的前n 项和24n S n n =-． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；

(Ⅱ)求数列7{}2n n a

-的前n 项和T n ．

18. (本小题满分12分)

在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，已知sin cos a B b A =，

cos 5B =．

(Ⅰ)求cos C 的值；

(Ⅱ)若a = 15，D 为AB 边上的点，且2AD = BD ，求CD 的长．

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19. (本小题满分12分)

如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是

BD 的中点，1

2AE CD =，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图

所示．

(Ⅰ)求证：EM ∥平面ABC ； (Ⅱ)求出该几何体的体积．

20. (本小题满分12分)

动点P 到定点F (0，1)的距离比它到直线2y =-的距离小1，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ．

(Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)求证：0AB MF ?=； (Ⅲ)求△ABM 的面积的最小值．

C D

直观图

侧视图俯视图

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21. (本小题满分12分)

已知函数ln ()x

m x n

f x e +=(m 、n 为常数，e = 2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y = f (x )

在点(1，f (1))处的切线方程是2

y e

=．

(Ⅰ)求m 、n 的值；

(Ⅱ)求f (x )的最大值；

(Ⅲ)设ln(1)

()()2x e x g x f x +'=?(其中()f x '为f (x )的导函数)，证明：对任意x > 0，都有

2()1g x e -<+．

(注：1

[ln(1)]1

x x '+=+)

请考生在22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：

2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(24)P --，的直线l 的参数方程为

：24x y ?=-???

?=-?? (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点．

(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (Ⅱ)若| PM |，| MN |，| PN |成等比数列，求a 的值．

23. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数()|32|f x x =+． (Ⅰ)解不等式()4|1|f x x <--；

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(Ⅱ)已知1m n +=(m ，n > 0)，若11

||()(0)x a f x a m n

--+>≤恒成立，求实数a 的取值范围．

数学(文史类)参考答案及评分标准

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。一．选择题：DCBAD CADBB AC 二．填空题：13．20 14．4 15．1

16．①② 三．解答题：

17．(Ⅰ)解：当n ≥2时，2214[4(1)(1)]52n n n a S S n n n n n -=-=-----=- 2分当n = 1时，113a S ==，适合上式 ∴52n a n =-

4分

(Ⅱ)解：令171

n n n n a n b --+=

= 23213451

222222

n n n n n T --+=++++++

6分 23112341222222

n n n n n T -+=+++++ 8分两式相减得：2111111

222222

n n n n T -+=++++-

10分

1()1321312212

n n

n n n -++=+-=-- ∴13

n n n T -+=-．

12分 18．(Ⅰ)解：由sin cos a B b A =得：sin sin sin cos A B B A = 2分 ∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴sin 0B ≠

因此，tan 1A =，故4

A π

4分

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由3cos 5B =

得：4sin 5

B == 6分

∴cos cos[()]cos()cos cos sin

sin 4

C A B A B B B π

π=-+=-+=-+ 8分 (Ⅱ)

解：由cos C

sin C == 9分

由正弦定理得：

1521sin

4c π=?=，∴2143BD c == 11分

在△BCD 中，2223

1514215141695

CD =+-???=

∴CD = 13．

12分

19．(Ⅰ)证：∵M 为DB 的中点，取BC 中点G ，连接EM 、MG 、AG ，则

MG ∥DC ，且1

MG DC =

2分 ∴MG ∥AE 且MG = AE

4分故四边形AGME 为平行四边形，∴EM ∥AG

6分又AG ?平面ABC ，EM ?平面ABC ，∴EM ∥平面ABC ． 8分

(Ⅱ)解：由己知，AE = 2，DC = 4，AB ⊥AC ，且AB = AC = 2 ∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥AB 又AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面ACDE ∴AB 是四棱锥B －ACDE 的高

10分

梯形ACDE 的面积()(24)2

622

AE DC AB S +?+?===

∴1

B ACDE V Sh -==，即所求几何体的体积为4．

12分

20．(Ⅰ)解：由已知，动点P 在直线2y =-上方，条件可转化为动点P 到定点F (0，1)的距离等于它到直线1y =-距离 1分 ∴动点P 的轨迹是以F (0，1)为焦点，直线1y =-为准线的抛物线故其方程为24x y =．

2分

(Ⅱ)证：设直线AB 的方程为：1y kx =+

由

{

241

x y y kx ==+得：2440x kx --= 3分设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则44A B A B x x k x x +==-，

4分

由24x y =得：214

y x =，∴1

2y x '=

∴直线AM 的方程为：211

()42A

A A y x x x x -=- ① 5分直线BM 的方程为：211

()42

B B y x x x x -=- ② 6分

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①－②得：2222

111)()()422

B A A B B A x x x x x x x -=-+-（，即22A B x x x k +==

7分

将2

A B x x x +=代入①得：22

111142244B A A A A B A

x x y x x x x x --==- ∴1

14A B y x x ==-

故(21)M k -， 9分 ∴(22)(())B A B A MF k AB x x k x x =-=--，

，， ∴2()2()0B A B A AB MF k x x k x x ?=---=

10分

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，点M 到AB

的距离||d MF == ∵2||||||2()444A B A B AB AF BF y y k x x k =+=++=++=+

∴32

2211

||4(1)4(1)422

S AB d k k ==?+?+≥

∴当k = 0时，△ABM 的面积有最小值4．

12分 21．(Ⅰ)解：由ln ()x

m x n f x e +=，得ln ()(0)x m nx mx x

f x x xe --'=>

2分由已知得(1)0m n

f e

-'==，解得m = n 3分又2

(1)n f e e

=，∴n = 2，m = 2． 4分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得：2(1ln )

()x

x x x f x xe --'=

当x ∈(0，1)时，1ln 0x x x -->；当x ∈(1，＋∞)时，1ln 0x x x --< ∴当x ∈(0，1)时，()0f x '>；当x ∈(1，＋∞)时，()0f x '< 6分 ∴f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)

∴x = 1时，max 2

()f x e =．

8分

(Ⅲ)证：ln(1)(1ln )ln(1)

()()(0)2x e x x x x x g x f x x x

+--+'=?=>

对任意x > 0，2

()1g x e -<+等价于2(1)1ln ln(1)

x e x x x x -+--<+

令()1ln (0)p x x x x x =-->，则()ln 2p x x '=-- 由()ln 20p x x '=--=得：2x e -=

∴当x ∈(0，2e -)时，()0p x '>，p (x )单调递增当x ∈(2e -，＋∞)时，()0p x '<，p (x )单调递减

所以p (x )的最大值为22()1p e e --=+，即21ln 1x x x e ---+≤

10分

设()ln(1)q x x x =-+，则()01

q x x '=

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∴当x ∈(0，＋∞)时，q (x )单调递增，q (x ) > q (0) = 0

故当x ∈(0，＋∞)时，()ln(1)0q x x x =-+>，即1ln(1)

x >+

11分

∴22

(1)1ln 1ln(1)x e x x x e x --+--+<+≤

∴对任意x > 0，都有2()1g x e -<+．

12分

22．(Ⅰ)解：由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得：2(sin )2cos a ρθρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为：22y ax =(a > 0)

2分

由24x y ?=-????=-??消去参数t 得直线l 的普通方程为2y x =- 4分

(Ⅱ)解：将直线l

的参数方程24x y ?=-????=-??代入22y ax =中得：

2(4)8(4)0t a t a -+++=

6分设M 、N 两点对应的参数分别为t 1、t 2

，则有1212)8(4)t t a t t a +=+=+，

8分 ∵2||||||PM PN MN ?=，∴2212121212()()4=t t t t t t t t -=+- 即28(4)40(4)a a +=+，解得1a =．

10分

23．(Ⅰ)解：不等式()4|1|f x x <--可化为：|32||1|4x x ++-< ①

当23x <-时，①式为3214x x ---+<，解得52

43x -<<-；

2分当213x -≤≤，①式为3214x x +-+<，解得2132x -<≤；

4分

当x > 1时，①式为3214x x ++-<，无解．

综上所述，不等式()4|1|f x x <--的解集为51

()42

-，．

6分

(Ⅱ)解：

1111()()24n m

m n m n m n m n

+=++=++≥ 令22232()||()|||32|42322x a x g x x a f x x a x x a x a x a x a ?

++<-??

=--=--+=--+-??

--->???

，，，≤≤

∴23x =-时，max 10

()3g x =

8分

高三数学(文史类) 第 11 页 (共 11 页)

要使不等式恒成立，只需max 2()43g x a =

+≤，即1003

a <≤ ∴实数a 取值范围是10

(0]3，．

10分