江苏省南通市启东中学2019_2020学年高一数学上学期第一次质量检测试题(创新班,含解析)

江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一数学上学期第一次质量检

测试题（创新班，含解析）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{1A =，2

2cos 2

θ

，3}，集合{cos }B θ=，若[0θ∈，2π)且B A ?，则θ= ( )

A. 0

B.

π2

C. π

D.

3π2

【答案】A 【解析】 【分析】

B ?A ，可得：cos θ＝1，或cos θ2

22

cos

θ

=，或cos θ＝3（舍去），由θ∈[0，2π），即可

得出θ

【详解】∵B ?A ，

∴cos θ＝1，或cos θ2

22

cos

θ

=，或cos θ＝3（舍去），

∵θ∈[0，2π），∴由cos θ＝1，可得θ＝0， 由cos θ2

2

222

2

cos

cos θ

θ

==-1，无解．

综上可得：θ＝0． 故选：A ．

【点睛】本题考查了集合之间的关系、元素与集合之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题．

2.已知非零向量,m n 满足43m n =，cos ,m n =1

3

．若()n tm n ⊥+，则实数t 的值为 A. 4 B. –4

C. 94

D. –94

【答案】B 【解析】

【详解】由43m n =，可设3,4(0)m k n k k ==>， 又()n tm n ⊥+，所以

2

2221()cos ,34(4)4160

3

n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ?+=?+?=?+=???+=+=

所以4t =-，故选B ． 【

此处有视频，请去附件查看】

3.下列说法正确的是( )

A. 因为sin(π)sin x x -=，所以π是函数sin y x =的一个周期；

B. 因为tan(2π)tan x x +=，所以2π是函数tan y x =的最小正周期；

C. 因为π

4x =时，等式πsin()sin 2x x +=成立，所以π2

是函数sin y x =的一个周期；

D. 因为π

cos()cos 3x x +≠，所以π3

不是函数cos y x =的一个周期．

【答案】D 【解析】 【分析】 由周期函数的定义可判断A ；由tan （x +π）＝tan x ，结合周期函数的定义可判断B ；

由x 3

π

=

，等式2sin x sinx π??

+=

???

不成立，结合周期函数的定义可判断C ；由周期函数的定义，可判断D ．

【详解】由sin(π)sin x x -=，不满足周期函数的定义，故A 错误；

tan （2π+x ）＝tan x ，所以2π是函数y ＝tan x 的一个正周期，由tan （x +π）＝tan x ， 可得π是函数y ＝tan x 的最小正周期，故B 错误；

4

x π

=

时，等式2sin x sinx π??+=

???成立，但x 3π=，等式2sin x sinx π??

+= ???

不成立，

所以

2

π

不是函数y ＝sin x 的一个周期，故C 错误； 由3cos x cosx π??

+≠ ??

?，由周期函数的定义，可得3

π

不是函数y ＝cos x 的一个周期，故D 正确． 故选：D ．

【点睛】本题考查周期函数的定义和应用，考查诱导公式的应用，以及推理能力，属于基础

题．

4.将函数sin(2)3y x π

=-

图象上的点(,)4

P t π

向左平移s （0s >） 个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） A. 12

t =

，s 的最小值为6π

B. 3t =

，s

的最小值为6π

C. 12

t =

，s 的最小值为3π

D. 3t =

，s

的最小值为3π

【答案】A 【解析】

【详解】由题意得，1

sin(2)432

t π

π=?

-=， 可得，

因为 P'位于函数sin 2y x

=的

图象上

所以，

可得，

s 的最小值为，故选A.

【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.

5.ABC ?是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点

F ，使得2DE EF =，则AF BC 的值为（ ）

A. 58

- B.

18

C.

14

D.

118

【答案】B 【解析】

试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33

()24

DF DE b a ==-， 1353

()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，

∴253531

44848

AF BC a b b ?=-?+=-+=.

【考点】向量数量积

【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．

6.若3

cos()45

π

α-=，则sin 2α=（ ） A. 7

25 B. 15

C. 1

5

-

D. 725

-

【答案】D 【解析】

试题分析：2

237cos 22cos 1214

4525ππαα????????

-=--=?-=- ? ? ???????????，

且cos 2cos 2sin 24

2ππααα??????

-=-=

???????????，故选D.

【考点】三角恒等变换

【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．

7.已知关于x 的方程2

2

cos cos 2sin

02

C

x x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( )

A. 直角三角形

B. 等腰三角形

C. 钝角三角形

D. 等边三角

形 【答案】B 【解析】

分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状．

详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2， 根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22

C

=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=

1

2

x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，

∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选B ．

点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

8.已知α∈R ，sin 2cos αα+=

，则tan2α=( ) A.

43

B.

34 C. 34

-

D. 43

-

【答案】C 【解析】 【分析】

将sin 2cos αα+=

两边同时平方，利用商数关系将正弦和余弦化为正切，通过解方程

求出tan α，再利用二倍角的正切公式即可求出tan2α. 【

详

解

】

()22222

225sin 4sin cos 4cos sin 2cos =sin 4sin cos 4cos =2sin cos αααααααααααα++=++++再同时除以2

cos α，整理得22

tan 4tan 45tan 12

ααα++=?+23tan 8tan 30αα--= 故tan 3α=或1tan 3α=-，代入2

2tan tan21tan α

αα=-，得3tan 24

α=-. 故选C.

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方关系，商数关系，属于基础题.

9.已知方程2cos cos 0x x a +-=有解，则a 的取值范围是( ) A. [0，2] B. [1，2]

C. 1

[4-，2]

D. 1[4

-，

)+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

方程cos 2x +cos x ﹣a ＝0有解?函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点,由f （x ）＝cos 2x +cos x 2

11

()2

4

cosx =+-

利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】方程cos 2x +cos x ﹣a ＝0有解?函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点．

f （x ）＝cos 2x +cos x 2

11()24cosx =+-

∈124??

-????

，

， 则a ∈124??-????

，

，函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点． 故选：C ．

【点睛】本题考查了二次函数与三角函数的单调性、方程的解转化为函数图象的交点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10.已知

sin cos 2sin cos αααα

+=-，则3π

sin(5π)sin()2αα-?-=( )

A.

3

4 B.

310

C. 310

±

D. 310

-

【答案】B 【解析】 【分析】 由

sin cos 2sin cos αα

αα

+=-得tan α，根据诱导公式和同角三角函数间的基本关系化简所求为tan α

的齐次式即可求出原式的值． 【详解】已知

sin cos 2sin cos αα

αα

+=-故tan α＝3，

又()223πsin cos sin(5π)sin(

)sin cos 2sin cos αααααααα

-?-=--=+ 故原式＝2

tan 31tan 10

αα=+． 故选：B

【点睛】此题考查学生灵活运用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值，是一道综合题．

11.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点403，π??

???

中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.

6

π

B. 4π

C.

3

π D.

2

π 【答案】A 【解析】 【分析】

利用函数的对称中心，求出?的表达式，然后确定| ? |的最小值． 【详解】∵函数y ＝3cos （2x +

?）的图象关于点403，π?? ???

中心对称， ∴4232k ππ?π?

+=+，得136k π?π=-，k ∈Z ，由此得||6

min π

?=． 故选A.

【点睛】本题是基础题，考查三角函数中余弦函数的对称性，考查计算能力，对于k 的取值，

确定|

? |的最小值，是基本方法．

12.在平面内，定点A，B，C，D 满足DA=DB=DC,DA?DB=DB?DC=DC?DA=–2，

动点P，M满足AP=1，PM=MC，则2

BM的最大值是

A.

43

4

B.

49

4

C.

3763

+

D.

37233

+

【答案】B

【解析】

试题分析：甴已知易得120,2

ADC ADB BDC DA DB DC

∠=∠=∠=?===.以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()

()()

2,0,1,3,1,3.

A B C

---

设(),,

P x y由已知1

AP=，得()22

21

x y

-+=，又

13133

,,,,,

222

x y x y

PM MC M BM

????

-+++

=∴∴=

? ?

? ?

????

()()2

2

2

+133

4

x y

BM

++

∴=，它表示圆

()22

21

x y

-+=上的点()

x y

，与点()

1,33

--

的距离的平方的

1

4

，()()22

2

2

max

149

3331

44

BM

??

∴=++=

?

??

，故选B.

【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题

【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出

120

ADC ADB BDC

∠=∠=∠=?，且2

DA DB DC

===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点,,,

A B C D的坐标，同时动点P的轨迹是圆，则

(

)

(2

2

2

14

x y BM +++=

，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的

数学思想．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.函数2

tan 1

y x =

-的定义域是______．

【答案】(),,2442k k k k k Z ππππππππ????-+?++∈ ? ??

???

【解析】 【

分析】

利用正切函数性质及分母不为0列不等式求解即可 【详解】由题知：原式有意义则2

2

k x k π

π

ππ-

<<+

且 tan 1x ≠

即224k x k x k ππ

ππππ?

-<<+????≠+

??

，故函数2tan 1y x =-的定义域是

(),,2442k k k k k Z ππππππππ????-+?++∈ ? ?????

故答案为：(),,2

442k k k k k Z π

πππππππ?

??

?

-

+

?++∈ ? ??

???

【点睛】本题考查函数的定义域的求法，熟记正切函数的基本性质是关键，考查计算能力． 14.已知a 的方向与x 轴的正向所成的角为120，且||2a =，则a 的坐标为_______________． 【答案】（﹣11， 【解析】 【分析】

根据题意画出向量，利用三角函数的定义求得对应点的坐标即可． 【详解】向量a 的方向与x 轴的正向所成的角为120°，且|a |＝2， 如图所示，向量a 的终点为A 或B ， 由三角函数的定义，可得A （﹣1，

B （﹣1，3-）；

所以a 的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，3-）． 故答案为：（﹣1，3）或（﹣1，3-）．

【点睛】本题考查了平面向量的坐标求法问题，是基础题． 15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45

，cos C =5

13，a =1，则b =___.

【答案】

21

13

【解析】

试题分析：因为45cos ,cos 513A C =

=，且,A C 为三角形的内角，所以312

sin ,sin 513

A C ==，63

sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65

B A

C A C A C A C π=-+=+=+=

，

又

因

为

sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13

a B

b A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式

【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

16.设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3

x a bx c ??-=+ ??

?

，则满足条件

的有序实数组的组数为 .

【答案】4 【解析】

【详解】试题分析：

当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x π

π

ππ-

=-

+=+

，5(,)(3,)3

b c π

=，又

4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3

b c π

=-，注意到[0,2)c π∈，

所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的

也有2组：(23,)3π--，

,2(23,)3

π-，，故共有4组. 【考点】三角函数

【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 三、解答题：本大题共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A B

A B B A

+=+． (1)证明：2a b c +=； (2)求证：cos C ≥

12

． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）先切化弦并将分式通分，利用两角和正弦公式结合正弦定理即可证明 （2）利用余弦定理结合基本不等式证明 【详解】（1）tan tan 2(tan tan )cos cos A B

A B B A

+=

+则sin sin sin sin 2(

)cos cos cos cos cos cos A B A B

A B A B B A

+=+??，即()sin sin cos sin cos sin sin sin sin 2(

)2cos cos cos cos cos cos cos cos A B A B B A A B

A B A B A B A B A B

++++=∴=

?? 由正弦定理得2c a b =+

（2）由余弦定理得

()2

2222222332124242cos 22222

a b ab ab a b a b ab a b c C ab ab ab ab +??+-+-?- ?+-??===≥=

当且仅当a b =等号成立，则cos C ≥

1

2

成立 【点睛】本题考查余弦定理，两角和的正弦、余弦公式，商的关系的综合应用，熟练掌握公式并会应用是解本题的关键，考查学生的化简计算能力． 18.已知α为第三象限角，且f (α)＝sin()cos(2)tan()

sin()tan(2)

παπααππαπα---++- ．

（1）化简f (α)； （2）若3π1

cos()25

α-=，求()f α的值； （3）若32π

3

α=-

，求()f α的值． 【答案】（1）f （α）＝﹣cos α；（2）f

（α）=（3）f （α）＝12

【解析】 【

分析】

（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理后，利用同角三角函数的基本关系约分求得函数f （α）的解析式．

（2）利用诱导公式求得sin α的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得cos α，代入（1）

中函数解析式求得答案． （3）利用诱导公式化大角为小角代入求值即可

【详解】（1）f （α）=sin()cos(2)tan()

sin()tan(2)

παπααππαπα---++-=

sin cos t n t n sin ααααααα

??-=-?（）

cos α

（2）∵cos （a 32π-）15=，∴sin α1

5

=-，

∵a 是第三象限角， ∴cos α==，

∴f （α）＝﹣cos α=

（3）f （α）＝﹣cos 3241

cos 332

ππ????-

=-= ? ????? 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用．利用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负．

19.已知x ∈R ，a ∈R 且0a ≠，向量2(cos OA a x =，1)，(2OB =sin 2)x a -，

()f x OA OB =?．

（1）求函数()f x 的解析式，并求当0a >时，()f x 的单调递增区间； （2）当[0x ∈，π

]2

时，()f x 的最大值为5，求a 的值；

（3）当1a =时，若不等式|()|2f x m -<在[0x ∈，π

]2

上恒成立，求实数m 的取值范围．

【答案】（1）f （x ）=＝2a sin （2x 6π+

），单调递增区间为[k π3

π-，k π6π

+]（k ∈Z ）；（2）a ＝﹣5或a 5

2

=

．（3）（0，1）． 【解析】 【分析】

（1）化简f （x ）＝2a sin （2x 6

π+

），再利用三角函数性质求单调区间； （2）讨论a 的正负，确定最大值，求得a ；

（3）化简不等式，转化恒成立问题为函数的最值问题，即可求解．

【详解】（1）f （x ）OA =?OB =2a cos 2

x sin2x ﹣a ＝2a sin （2x 6

π

+）， ∵a ＞0，

∴2k π2π

-

≤2x 6π

+

≤2k π2

π

+

（k ∈Z ）

∴函数f （x ）的单调递增区间为[k π3π-，k π6

π

+]（k ∈Z ）

（2）f （x ）＝2a sin （2x 6

π

+），

当x ∈[0，2π]时，2x 6π+∈[6π，76

π

]；

若a ＞0，2a ＝5，则a 52=

； 若a ＜0，﹣a ＝5，则a ＝﹣5； 综上所述，a ＝﹣5或a 52

=

． （3）∵|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，2π

]上恒成立， ∴f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，x ∈[0，2π

]上恒成立，

∴f （x ）max ﹣2＜m ＜f （x ）min +2，x ∈[0，2

π

]

∵f （x ）＝2sin （2x 6π+）在[0，2

π

]上的最大值为2，最小值为﹣1．

∴0＜m ＜1．

即实数m 的取值范围为（0，1）．

【点睛】本题考查了平面向量的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性很强，属于难题． 20.已知在ABC 中，D 为BC 中点，1an 2t BAD ∠=，1

an 3

t CAD ∠=． (1)求BAC ∠的值；

(2)

若AD =ABC 面积． 【答案】（1）∠BAC 4

π

=（2）4．

【解析】 【分析】

（1）直接利用两角和的正切公式求出结果． （2）在△ABC 和△ABD

，利用正弦定理得以AC AD =

，求得AC ＝4，AB ＝

，再利用三角形的面积公式的应用求出结果．

【详解】（1）在△ABC 中，D 为BC 中点，12tan BAD ∠=

，1

3

tan CAD ∠=． 所以tan ∠BAC ＝tan （∠BAD +∠CAD ）11

23111123

+

=

=-?，

由于0＜∠BAC ＜π，故∠BAC 4

π

=．

（2）如图

由

1

2

tan BAD

∠=，

1

3

tan CAD

∠=，所以

5

sin BAD

∠=，

10

sin CAD

∠=．

在△ABC和△ABD，利用正弦定理

BD AD

sin BAD sinB

=

∠

，

BC AC

sin BAC sinB

=

∠

得

4

BC

sin

AC

BD

AD

sin BAD

π

=

∠

，又BC＝2BD，

所以

210

AC

AD

=，由于10

AD=，所以AC＝4，

同理可得AB＝22．

所以

112

2244

22

ABC

S AB ACsin BAC

=?∠=???=．

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的和角公式的运用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

21.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花．若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1,正方形的面积为S2．

(1)用a，θ表示S1和S2；

(2)当a固定，θ变化时，求1

2

S

S取最小值时的角

θ．

【答案】（1）S 112=a 2sin θcos θ；S 2＝2

1asin cos sin cos θθθθ?? ?+??

；（2）当θ4π=时，12S S 的值最小，最小值为

9

4

． 【解析】 【分析】

（1）据题三角形ABC 为直角三角形，利用三角函数分别求出AC 和AB ，得出三角形ABC 的面积S 1；

设正方形PQRS 的边长为x ，利用三角函数分别表示出BQ 和RC ，由BQ +QR +RC ＝a 列出方程求出x ，算出S 2；

（2）化简比值1

2

S S ，设t ＝sin2θ来化简求出S 1与S 2的比值，利用三角函数的增减性求出比

值的最小值以及对应此时的θ．

【详解】（1）在Rt △ABC 中，AB ＝a cos θ，AC ＝a sin θ，

所以S 112=

AB ?AC 1

2

=a 2sin θcos θ； 设正方形的边长为x 则BP x

sinB

=，AP ＝x cos θ，

由BP +AP ＝AB ，得

x

sin θ

+x cos θ＝a cos θ， 解得x 1asin cos sin cos θθ

θθ

=+；

所以S 2＝x 22

1asin cos sin cos θθθθ??= ?

+??

；

（2）()2

12112sin cos S S sin cos θθθθ

+=? 2

11222sin sin θθ

??+ ??

?=

11

24

sin θ=

+sin2θ+1， 令t ＝sin2θ，因为 0＜θ2

π

＜

，

所以0＜2θ＜π，则t ＝sin2θ∈（0，1]，

所以

1211

4

S S t =+t +1； 设g （t ）11

4

t =+

t +1， 则g ′（t ）211

4

t =-+，t ∈（0，1]；

所以函数g （t ）在（0，1]上递减，

因此当t ＝1时g （t ）有最小值g （t ）min ＝g （1）1114=+?1+19

4

=， 此时sin2θ＝1，解得θ4

π

=

；所以当θ4

π

=

时，

12S S 的值最小，最小值为94

． 【点睛】本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合题．

22.设O 为坐标原点，定义非零向量(OM a =，)b 的“相伴函数”为()sin cos ()f x a x b x x =+∈R ，

向量OM =(a ，)b 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．

(1)设函数ππ

()2sin()cos()36

h x x x =--+，求证：()h x S ∈；

(2)记(0OM =，2)的“相伴函数”为()f x ，

若函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；

(3)已知点(M a ，)b 满足22431a ab b -+=，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值．当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）13k <<（3）34?

?-∞- ???

，

【解析】 【分析】

（1）依题意，将ππ()2sin()cos()36h x x x =--+可化为h （x

）1sin 2x x =-于是结论可

证；

（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围

（3）由f （x

）（x +φ）可求得x 0＝2k π2

π

+-φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，

其中tan x 0a b

=

，换元求得a

b 的范围，再利用二倍角的正切可求得tan2x 0的范围．

【详解】（1）∵ππ()2sin()cos()36h x x x =--

+1sin 2x x =-

∴函数h （x ）的相伴向量OM =（12-

， ∴h （x ）∈S

（2）∵()2cos f x x =则

4sin 1,06()2cos 14cos 1,23x x g x x x x x πππππ??

?+-≤≤ ?????

=+-=????+-<≤ ?????

，

[0x ∈，2π]

则()g x 在03π?

?

??

?，单调递增，3ππ??

???，单调递减，53ππ?? ???，单调递增，523ππ?? ???

，单调递减，又()()()401,3,1,5,2133

g g g g g ππ

ππ????

====-= ?

?????

；函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，实数k 的取

值范围为13k <<

（3）OM 的相伴函数f （x ）＝a sin x +b cos

x =（x +φ）， 其中cos

φ=

，sin

φ=

当x +φ＝2k π2

π

+

，k ∈Z 即x 0＝2k π2π+-φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，

∴tan x 0＝tan （2k π2

π

+

-φ）＝cot φa b

=

， ∴tan2x 0022022211()a

tanx b a b a

tan x b a b

?

=

==---． 令m b a =，则()()222

3411043410m m a m m -+-=∴?=-+≥ 解得113

m ≤< （m=1不

成立）

则tan2x0

2

1

m

m

=

-，（

1

1

3

m

≤<）

∵

1

y m

m

=-单调递增，故m

1

m

-∈

8

,0

3

??

-?

???

∴tan03 4

2x

??

∈-∞-

???

，

【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，考查综合分析与解不等式的能力，难度大，属于难题．