姜启源《数学模型》第三版课件ch4
第四章数学规划模型
4.1 奶制品的生产与销售4.2自来水输送与货机装运4.3汽车生产与原油采购4.4接力队选拔和选课策略4.5饮料厂的生产与检修4.6 钢管和易拉罐下料
数学规划模型
实际问题中的优化模型m
i x g t s x x x x f z Max Min i T
n ,2,1,0)(..)
,(),()(1=≤==或x ~决策变量
f (x )~目标函数
g i (x )≤0~约束条件多元函数条件极值决策变量个数n 和
约束条件个数m 较大最优解在可行域
的边界上取得
数学规划
线性规划非线性规划整数规划
重点在模型的建立和结果的分析
企业生产计划
4.1 奶制品的生产与销售
空间层次
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。
时间层次
若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。
本节课题
例1 加工奶制品的生产计划
1桶牛奶
3公斤A
1
12小时
8小时
4公斤A2
或
获利24元/公斤
获利16元/公斤
50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A
1制订生产计划，使每天获利最大
?35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少??可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?
?A
1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？
每天：
1桶牛奶3公斤A 112小时
8小时
4公斤A 2
或
获利24元/公斤获利16元/公斤
x 1桶牛奶生产A 1
x 2桶牛奶生产A 2
获利24×3x 1获利16×4x 2原料供应
50
21≤+x x 劳动时间480
81221≤+x x 加工能力10031≤x 决策变量
目标函数
216472x x z Max +=每天获利约束条件
非负约束
,21≥x x 线性规划模型(LP)
时间480小时至多加工100公斤A 150桶牛奶每天
模型分析与假设
比
例
性可
加
性连续性x i 对目标函数的“贡献”与x i 取值成正比x i 对约束条件的
“贡献”与x i 取值成正比
x i 对目标函数的“贡献”与x j 取值无关x i 对约束条件的“贡献”与x j 取值无关
x i 取值连续
A 1,A 2每公斤的获利是与各自产量无关的常数
每桶牛奶加工出A 1,A 2的数量和时间是与各自产量无关的常数
A 1,A 2每公斤的获利是与相互产量无关的常数
每桶牛奶加工出A 1,A 2的数量和时间是与相互产量无关的常数加工A 1,A 2的牛奶桶数是实数
线性规划模型
模型求解
图解法
x 1x 2
A B C D
l 1
l 2
l 3
l 4
l 550
21≤+x x 48081221≤+x x 10031≤x 0
,21≥x x 约
束
条件50
:211=+x x l 480812:212=+x x l 1003:13=x l 0:,0:2514==x l x l 2
16472x x z Max +=目标函数
Z =0
Z =2400
Z =3600z =c (常数) ~等值线
c 在B (20,30)点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数可行域为直线段围成的凸多边形目标函数的等值线为直线
最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。
模型求解
软件实现
LINDO 6.1
max 72x1+64x2st
2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100end
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1)
3360.000
V ARIABLE
V ALUE REDUCED COST X120.0000000.000000X2
30.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)0.00000048.0000003)
0.000000
2.000000
4)40.000000
0.000000
NO.ITERATIONS=
2
DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No
20桶牛奶生产A 1, 30桶生产A 2，利润3360元。
结果解释
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 1)
3360.000
V ARIABLE
V ALUE REDUCED COST X120.0000000.000000X2
30.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)0.00000048.0000003)
0.000000
2.000000
4)40.000000
0.000000
NO.ITERATIONS=
2
原料无剩余
时间无剩余加工能力剩余40
max 72x1+64x2st
2）x1+x2<50
3）12x1+8x2<4804）3x1<100end 三种资源
―资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
结果解释
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 1)
3360.000
V ARIABLE
V ALUE REDUCED COST X120.0000000.000000X2
30.000000
0.000000ROW SLACK OR SURPLUS
DUAL PRICES
2)0.00000048.0000003)0.000000 2.0000004)
40.000000
0.000000
NO.ITERATIONS=2
最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增
量
原料增加1单位, 利润增长48 时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润
影子价格
?35元可买到1桶牛奶，要买吗？
35 <48, 应该买！
?聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？2元！
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES
V ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X172.000000
24.000000
8.000000
X264.0000008.00000016.000000RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW
CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
250.00000010.000000 6.6666673480.00000053.33333280.0000004
100.000000
INFINITY
40.000000
最优解不变时目标函
数系数允许变化范围
DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?
Yes
x 1系数范围(64,96)
x 2系数范围(48,72) ?A 获利增加到30元/千克，应否改变生产计划
x 1系数由24 ?3=72
增加为30?3=90，在允许范围内
不变！
(约束条件不变)
结果解释RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
V ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X172.000000
24.000000
8.000000
X264.0000008.00000016.000000RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW
CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
250.00000010.000000 6.6666673480.00000053.33333280.0000004
100.000000
INFINITY
40.000000
影子价格有意义时约束右端的允许变化范围
原料最多增加10 时间最多增加53
?35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？最多买10桶!
(目标函数不变)
例2 奶制品的生产销售计划在例1基础上深加工
1桶
牛奶3千克A 1
12小时
8小时
4公斤A 2或
获利24元/公斤
获利16元/公斤0.8千克B 1
2小时,3元1千克
获利44元/千克
0.75千克B 22小时,3元
1千克
获利32元/千克制订生产计划，使每天净利润最大
?30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？
50桶牛奶, 480小时
至多100公斤A 1
?B 1，B 2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？
1桶
牛奶
3千克A 1
12小时
8小时
4千克A 2或获利24元/千克
获利16元/kg 0.8千克B 1
2小时,3元1千克
获利44元/千克
0.75千克B 2
2小时,3元
1千克
获利32元/千克
出售x 1 千克A 1,x 2 千克A 2，X 3千克B 1, x 4千克B 2原料供应劳动时间
加工能力
决策
变量目标函数利润
约束条件
非负约束
,≥x x x 5千克A 1加工B 1，x 6千克A 2加工B 26
543213332441624x x x x x x z Max --+++=504
36251≤+++x x x x 480
22)
(2)(46251≤+++++x x x x x x 100
51≤+x x 附加约束
5
380x .x =64750x .x =
模型求解
软件实现LINDO 6.1 504
3)26251≤+++x x x x 480
22)
(2)(4)3656251≤+++++x x x x x x OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 1)3460.800
V ARIABLE V ALUE REDUCED COST
X10.000000 1.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000
X4
0.0000000.000000X524.0000000.000000X60.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)0.000000 3.1600003)0.000000 3.260000
4)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2600334)26521≤+++x x x x 4480
4624)36521≤+++x x x x DO RANGE
(SENSITIVITY)
ANALYSIS? No
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1)3460.800
V ARIABLE V ALUE REDUCED COST X10.000000 1.680000
X2168.0000000.000000
X319.2000010.000000
X40.0000000.000000
X524.0000000.000000
X60.000000 1.520000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)0.000000 3.160000
3)0.000000 3.260000
4)76.0000000.000000
5)0.00000044.000000
6)0.00000032.000000
NO.ITERATIONS=2
结果解释
每天销售168 千克A
2
和19.2 千克B
1
，
利润3460.8（元）
8桶牛奶加工成A
1
，42桶
牛奶加工成A
2
，
将得到的24千克A
1
全部
加工成B
1
除加工能力外均
为紧约束
结果解释OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1)3460.800
V ARIABLE V ALUE REDUCED COST
X10.000000 1.680000
X2168.0000000.000000
X319.2000010.000000
X40.0000000.000000
X524.0000000.000000
X60.000000 1.520000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)0.000000 3.160000
3)0.000000 3.260000
4)76.0000000.000000
5)0.00000044.000000增加1桶牛奶使利润增
长3.16×12=37.92
50
4
3
)26
2
5
1≤
+
+
+x
x
x
x
600
3
3
4)2
6
5
2
1
≤
+
+
+x
x
x
x4
增加1小时时间使利
润增长3.26
30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，
应否投资？现投资150元，可赚回多少？
投资150元增加5桶牛奶，
可赚回189.6元。（大于
增加时间的利润增长）
结果解释B
1,B
2
的获利有10%的波动，对计划有无影响
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
V ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE X1 24.000000 1.680000 INFINITY
X2 16.000000 8.150000 2.100000
X3 44.000000 19.750002 3.166667
X4 32.000000 2.026667 INFINITY
X5 -3.000000 15.800000 2.533334
X6 -3.000000 1.520000 INFINITY
…… ……
DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes
B
1
获利下降10%，超出X3 系数允许范围
B
2
获利上升10%，超出X4 系数允许范围波动对计划有影响
生产计划应重新制订：如将x
3的系数改为39.6
计算，会发现结果有很大变化。
4.2自来水输送与货机装运
运输问题
生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；
各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。
其他费用:450元/千吨
?应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？?若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？
元/千吨甲乙丙丁A 160130220170B 140130190150C
190
200
230
/
引水管理费例1自来水输送
收入：900元/千吨支出A ：50B ：60
C ：50
甲：30；50乙：70；70丙：10；20
丁：10；40水库供水量(千吨
)
小区基本用水量(千吨
)
小区额外用水量(千吨
)
（以天计）
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