2016版优化方案高一数学人教版必修三习题第三章概率3.3.1训练案

[A.基础达标]

1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )

A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性

B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关

C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个

D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性

解析：选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.

2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )

A.13

B.23

C.14

D.34

解析：选A.记M ＝“射线OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”．如图所示，作射线OD ，OE 使∠AOD ＝30°，∠AOE ＝60°.

当OC 在∠DOE 内时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，此时的测度为度数30，所

有基本事件的测度为直角的度数90.所以P (M )＝3090＝13

. 3．在2015年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )

A.110

B.19

C.111

D.910

解析：选A.记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，则A 所占时间区域长度为1分钟，

而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P (A )＝110

. 4．已知在一个边长为2的正方形中有一个圆，随机向正方形内丢一粒豆子，若落入圆内的概率为0.3，则该圆的面积为( )

A ．0.6

B ．0.8

C ．1.2

D ．1.6

解析：选C.记“豆子落入圆内”为事件A ，豆子落入正方形内任一点的机会都是等可能

的，这是一个几何概型，P (A )＝S 圆S 正

，所以S 圆＝P (A )×S 正＝0.3×22＝1.2.因此，圆的面积为1.2. 5．(2013·高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最

大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB

＝( ) A.12

B.14

C.32

D.74

解析：选D.由于满足条件的点P 发生的概率为12

，且点P 在边CD 上运动，根据图形的对称性当点P 在靠近点D 的CD 边的14

分点时，EB ＝AB (当点P 超过点E 向点D 运动时，PB >AB )．设AB ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 交AB 于点F ，则

BF ＝34x .在Rt △FBE 中，EF 2＝BE 2－FB 2＝AB 2－FB 2＝716x 2，即EF ＝74x ，∴AD AB ＝74

. 6．(2015·西安质检)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取点，则该点落在三棱锥A 1-ABC 内的概率是______．

解析：设正方体的棱长为a ，

则所求概率P ＝VA 1-ABC VABCD -A 1B 1C 1D 1＝13×12a 2·a a 3＝1

6. 答案：16

7.如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一

条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．

解析：记“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A .构成事件A 的区域最大

角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概

型的概率公式得P (A )＝60°360°＝16

. 答案：16

8.(2014·高考福建卷)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，

有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

解析：由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000

＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.

答案：0.18

9．如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆

周四等分的三个分点．

(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取

3

个点，求这

3

个点组成直

角三角形的概率；

(2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．

解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角

三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310

. (2)连接MP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，

易求得OD ＝22，

当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12

×22×8＝82， 所以只有当S 点落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S 扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12

×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π

. 10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内分为白色、黑色、

蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面

直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设射

箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中“黄心”

的概率为多少？

解：因为射中靶面内任一点都是等可能的，

所以基本事件总数为无限个．

此问题属于几何概型，事件对应的测度为面积，

总的基本事件为整个箭靶的面积，

它的面积为π???

?12222

cm 2； 记事件A ＝{射中“黄心”}，它的测度为“黄心”的面积，它的面积为π????12.222 cm 2， P (A )＝“黄心”的面积箭靶的面积＝π????12.222

π???

?12222＝1100， 所以射中“黄心”的概率为1100

. [B.能力提升]

1．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，即可中奖，小明希望中奖，则他应当选择的游戏盘为( )