2008级高代II期末试题A卷
2008-2009
学年第二学期高等代数期末试题
（数学班、经济实验班、金融实验班） 考试时间2009年6月15日上午8：00-10：00
1 .
4
3
()223f x x x x =-+-的所以有理根
。
2. 已知1i -是多项式4
3
2
()4522
f x x x x x =
-+--的一个根，该多项式在复
数域上的全部根为 。 3 . βα,为欧氏空间中两个向量，2
2
2
α
β
αβ
+=+?
.
4 . 设3阶矩阵A 的三个特征值为1，2，-2，矩阵B 与A 相似，则矩阵
B
的伴随矩阵*B 的三个特征值为__________。
5设ε1,ε2,ε
3与η1,η2,η3，是线性空间
P 3的两组基，则由基ε1,ε2,
ε3 到基η1,η2,η3 的过渡矩阵为
_________________
其中ε1=（1，0，1），ε2 =（2，1，0），ε3 =（1，1，1）, η1=（1，2，-1），η2 =（2，2，-1），η3 =（2，-1，1）。
6. 设
3215
0211
4A ?? ?= ? ??
?
的三个特征根为123λλλ，，，则123
++λλλ
=_________，123λλλ?? =____________。
7. 令P [x] n 表示一切次数不大于1n -的多项式连同零多项式组成的线性空间，
:()()
f x f x '→A ，则
A
关于基
21
{1,,,,}
n x x x
- 下的矩阵
是 。
8. 已知四阶矩阵A 共有三个不同的特征根，分别是2,1,3-- 。那么A 的行列式
||A 的可能值是_______________。
9数域
P
线性空间V 的子空间12V V +是直和的充分必要条件有
_____________，_____________________（至少写出两个）。 10. 设)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,2,2(--===γβα
则：
（1）、求向量β长度为__________，α与β的距离为________,
α
与β的夹角为____________。
(2)、α，β,γ的一个标准正交的向量组为: _________。
二.（12分）已知
()4
3
2
241f
x x x x x =
+
-
--
，
()3
2
1
g x x x x =+--，求()()(),f x g x
.（12分）给定n 维实线性空间V 的基n ααα ,,21，设
V ∈βα,在该基下的坐标分别为),,,(21n x x x ， ),,,(21n y y y ，定义实数
n n y x y x y x +++= 2211],[βα,
证明:
)1( 实数],[βα构成V
的内积；
)2( 在该内积意义下n ααα ,,21是的一组标准正交基.
.（9分）设A是数域P上的n阶矩阵，()
m x是数域P上的一个不可约多形式，且()
m A=0，试证：对于P上的任意多形式
f A可逆。
f A 或者()
f x必有()0
()
. (15分) 设σ是数域P 上四维线性空间V 的线性变
换，4321,,,εεεε是V 的一组基，并且
43211333)(εεεεεσ-+--=
43212333)(εεεεεσ+---=
4
3213333)(εεεεεσ---=
43214333)(εεεεεσ--+-=
1. 写出σ在基4321,,,εεεε下的矩阵A 。
2. 求出σ的全部特征值和特征向量。
3. 求一正交矩阵T 使AT T 1-成对角形矩阵（写出此对角形矩阵）。
.(12分) 设n 阶矩阵
A
和B 满足AB B A =+，且
n λλλ,,,21 是A 的特征值,
证明：（1）1≠i λ ，),,2,1(n i =;
（2）若A 是实对称矩阵，则存在正交矩阵P ，使得 11
2
12,
,,
11
1n n P BP diag λλλλλλ-??=?
?---??