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天津理工概率论习题答案

第一章随机变量习题一

系班

姓名学号

1、写出下列随机试验的样本空间

(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和

Ω= {}18

43,,, (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数

Ω= {}

,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，

如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。

Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x

(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x

其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度

(6 ) .10只产品中有3只次品，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出，写出抽取次数的基本空间U =

“在 ( 6 ) 中，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U =

解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。}

其中 ei 表示 “ 抽取 i 次 ” 的事件。 i = 3、 4、 …、

( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… }

其中 ei 表示 “ 抽取 i 次 ” 的事件。 i = 3、 4、 …

2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系

(1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18x 与22≤x 相容事件 (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品互不相容 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品对立事件解: 互不相容:φ=AB

; 对立事件 : φ=AB )1( 且 Ω=?B A

3、设A,B,C 为三事件，用A,B,C 的运算关系表示下列各事件

(1)A 发生，B 与C 不发生 - C B A (2)A 与B 都发生，而C 不发生 - C AB (3)A,B,C 中至少有一个发生 -C B A ?? (4)A,B,C 都发生 -ABC (5)A,B,C 都不发生 - C B A (6)A,B,C 中不多于一个发生 -C B C A B A ?? (7)A,B,C 中不多于两个发生-C B A ?? (8)A,B,C 中至少有两个发生-BC AC AB ??

4、盒内装有10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件A 表示“取到的球的号码为偶数”，事件B 表示“取到的球的号码为奇数”，事件C 表示“取到的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.

(1)B A 必然事件 (2)AB 不可能事件

(3)C 取到的球的号码不小于5 (4)C A 1或2或3或4或6或8或10 (5)AC 2或4 (6)C A 5或7或9

(7)C B 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或10 5、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.

(1)B B A B A = 成立

(2)B A B A = 不成立

(3)C B A C B A = 不成立 (4)φ=))((B A AB 成立 (5)若B A ?，则AB A = 成立 (6)若φ=AB ，且A C ?，则φ=BC 成立 (7)若B A ?，则A B ?

成立

(8)若A B ?，则A B A = 成立

7、设一个工人生产了四个零件，i A 表示事件“他生产的第i 个零件是正品”),,,(4321=i ，用1A ,2A ,3A ,4A 的运算关系表达下列事件.

(1)没有一个产品是次品； (1) 43211A A A A B =

(2)至少有一个产品是次品；(2) 432143212A A A A A A A A B =???= (3)只有一个产品是次品；(3) 43214321432143213A A A A A A A A A A A A A A A A B ???=

(4)至少有三个产品不是次品

4)432143214321432143214A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B ????=

8. 设 E 、F 、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式： (1)()()F E F E (2) ()()()

F E F E F E （3）()()

G F F E 解 :(1) 原式 ()()()()

E F F F E F E E E == (2) 原式 ()()()()

E F F E F F E F E F E === (3) 原式 ()()()()()G E F G F F F G E F E ==

9、设B A ,是两事件且7060.)(,.)(==B P A P ，问(1)在什么条件下)(AB P 取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？解: (1)6.0)(,=?AB P B A

(2)3.0)(,==?AB P S B A

10. 设事件 A ， B ， C 分别表示开关 a ， b ， c 闭合， D 表示灯亮，则可用事件A ，B ，C 表示：(1) D = AB C ；(2) D = ()C B A 。

11、设A,B,C 是三事件，且81

041======)(,)()(,)()()(AC P BC P AB P C P B P A P ，

求A,B,C 至少有一个发生的概率.

解:)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=??

00810414141=+---++=

ABC AB ?

0)()(0=<≤AB P ABC P

0)(=∴ABC P

12. (1)设事件 A , B 的概率分别为 51 与 4

，且 A 与 B 互斥，则 )(B A P =

(2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只

球，则取到的3 只都是红球的事件的概率等于 ___14

285____。 (3) 一袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果从每只袋中各摸一只球，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概率

等于 ___13

24___。

(4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E 的三个相互独立的事件，

已知P(A1) = α , P(A2) = β，P(A3) = γ ，则A1 , A2 , A3 至少有一个发生的概率是 1- (1- α)(1- β)(1- γ) .

(5) ．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，

则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 __34

57____。 13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求

(1)恰有90个次品的概率； (2)至少有2个次品的概率.

解: 200

1500110

1100

90400)1(C C C P =

??????+-=2000150019911001400200150020011001)2(C C C C C P 14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手

同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的，求“中”的概率.

解:=A “甲中” =B “乙中”

98.072.08.09.0)()()()(=-+=-+=?AB P B P A P B A P

15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概率是多少？解: 8

88!)(=

A P 16、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？解：设所求事件=A “至少有两个人的生日在同一个月的”

=A “任何两个人的生日都不在同一个月”

427

.0121)(1)(,12)(4412

4412=-=-==A A P A P A A P

17、将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各是多少？

解：3个球放入4个杯子中去共有34种放法，设i B 表示杯子中球的最大个数为n 的

事件),,(321=n ,1B 表示每只杯子最多只能放一个球，共有3

4A 种方法，故83

41==A B P )(;2B 表示有一只杯子中放2个球，先在3个球中任取2只放入4个

杯子中的任意一只，共有423?C 种方法，剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3种放法，故2B 包含的基本事件数为363423=??C ，于是

16943632==

)(B P ;3B 表示有一只杯子中放3个球，共有4种方法，故1614

3==

)(B P . 18. 设一个质点等可能地落在 xoy 平面上的三角形域 D 内

( 其中 D 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2所围成的 ) ，设事件 A 为：

质点落在直线 y = 1 的下侧，求 P(A) 。 y 21

o 2 x

D 1

432221121

??+==)()(D D A P

19、(1)已知504030.)(,.)(,.)(===B A P B P A P ，求)|(B A B P

(2)已知2

3141===

)|(,)|(,)(B A P A B P A P ，求)(B A P 解: (1)250.)|(=?B A B P (2)3

?)(B A P 20、一批产品共100个,其中有次品5个，每次从中任取一个，取后不放回,

设i A ( i =1，2，3，)表示第i 次抽到的是次品，求：

()99412=

A A P ，()

999512=A A P ，()

12=A A P ()

999412=

A A P ，()983213=A A A P ， ()

213=A A A P

21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，

乙厂的合格率是80%。若用事件A 、A 分别表示甲、乙两厂产品，B 表示合格品。试写出有关事件的概率.

(1)=)(A P 70%

(2)=)(A P 30% (3)=)|(A B P 95%

(4)=)|(A B P 80% (5)=)|(A B P 5% (6)=)|(A B P 20%

22、袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一球，每人

取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，……，最后一人取得红球的概率各是多少？解: 解：设i A 第i 个人取得红球的事件),,,(1021 =i ,

则i A 为第i 个人取得白球的事件，

显然10

)(1=

A P ,)(212121212φ==?=A A A A A A A A A 10

91109)|()()()(121212=?=?==∴A A P A P A A P A P

同理10

1!10!9)()(1092110==

=A A A A P A P 23、某种动物由出生活到20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4，问现年20岁的这种动物活支25岁以上的概率是多少？

解：设A 为{由出生活到20岁}的事件，B 为{由出生活到25岁}的事件

则所求事件的概率为)

()

()|(A P AB P A B P =

B AB A B =∴?

8040====

..)()()()()|(A P B P A P AB P A B P

24、十个考签中四个难的，三人参加抽签，(不放回)甲先、乙次、丙最后，记事件

A,B,C 分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求)(),(),(),(ABC P B A P AB P A P . 解：152)(,104)(==

AB P A P 154)(=B A P 30

1)(=ABC P 25. 设 0< P(C) <1 ，试证：对于两个互不相容的事件 A ，B ，恒有

P { ( A B )∣C} = P{A ∣C} + P{B ∣C}

证:

()[]

()

C P C B A P C B A P +=

()()C P BC AC P +=

()()()

C P BC P AC P +=

()()

C B P C A P += 26、设事件A 与B 互斥，且10<<)(B P ，证明)

()

()|(B P A P B A P -=

证明：由于φ=AB ，故B A B B A A =?=)(

)1)(()

(1)

()()()|(≠-=

∴B P B P A P B P B A P B A P

27、一批零件为100个，次品率为10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次才能取得正品的概率是多少？

解：设i A 为{第i 次取到正品}，)3,2,1(=i 由于次品率为10%，故100个零件约有90个正品，次品10个，设A 为{第三次抽到正品}，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，则由一般乘法公式得

)|()|()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P A P ==0083.098

9099910010=??=

28、设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000 个男人和 2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。

解:

A ：“ 抽到的一人为男人”；

B ： “ 抽到的一人为色盲者”

则 ()()201

1005,53===

A B P A P ()

()

400

1000025,52==

=A B P A P

()()()()()

1000

3140015220153=

?+?=+=A B P A P A B P A P B P

29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n 只白球，m 只红球；乙袋中装有N 只白球，M 只红

球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？

解：设1H 表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，

2H 表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，

B 表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，

所求事件21BH BH B ?=

由全概率公式：)|()()|()()(2211H B P H P H B P H P B P ?+=

易知：m n m

H P m n n H P +=+=)(,)(21 1)|(,11)|(21++=+++=M N N

H B P M N N H B P

于是1

11)(++++++++=M N N

m n m M N N m n n B P

30、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例分别为25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是5%,4%,2%

(1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？

(2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？

解：设=A “所取出的一件产品是废品”，=1B “产品系甲车间生产”，

=2B “产品系乙车间生产”， =3B “产品系丙车间生产”

已知25.0)(1=B P 35.0)(2=B P 4.0)(3=B P

05.0)|(1=B A P 04.0)|(2=B A P 02.0)|(3=B A P

(1)由全概率公式：

∑==?+?+?==3

0345.002.04.004.035.005.025.0)()|()(i i i B P B A P A P

(2)由贝叶斯公式：

3623.00345.005

.025.0)()()|()|(111≈?==

A P

B P B A P A B P

4058.00345

.004

.035.0)()()|()|(222≈?==

A P

B P B A P A B P

2319.00345

.04

.002.0)()()|()|(333≈?==

A P

B P B A P A B P

所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.

31、如图1,2,3,4,5表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p ，且设各继电器接点闭合与否相互独立，求L 至R 是通路的概率.

解: 设i A 为第i 只继电器闭合的事件，B 为有电流从L 流向R 的事件，已知)5,2,1()( ==n p A P i

显然4325315421A A A A A A A A A A B ???=

故)()()()()()(52414325315421A A A A P A A A P A A A P A A P A A P B P -+++=

)()()()(4352315432415321A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P ---- )()()(352413524142531A A A A A P A A A A A P A A A A A P ++- )()()(543212534143152A A A A A P A A A A A P A A A A A P -++ 54322522p p p p +-+=

32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4盒是丙厂

生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为0.8，0.7，0.6， 0.5 ，现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品，试问该盒产品属于哪一个厂生产的可能性最大？

解: A i ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙，丙，丁厂生产 ”

B ： “ 所取一个元件为不合格品 ”

则 ()18

51=

A P ， ()1872=

A P ， ()1843=A P ， ()18

24=A P ()2.01=A B P ， ()3.02=A B P ， ()4.03=A B P ， ()

5.04=A B P

由全概率公式 : ()()()i i i A B P A P B P ∑==4

180

由贝叶斯公式 :

()()()()57

10,5716,5721,57104321====

B A P B A P B A P B A P 故该盒产品由乙厂生产的可能性最大

33、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7。

飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6。若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.

解：设)3,2,1,0(=n A i 表示“恰有i 人击中飞机”，B 为飞机被击落，

36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0)(1=??+??+??=A P 同理41.07.05.04.07.05.06.03.05.04.0)(2=??+??+??=A P

14.07.05.04.0)(3=??=A P

易知2.0)|(,0)|(10==A B P A B P ，1)|(,6.0)|(32==A B P A B P

由全概率公式

)()|()()|()()|()()|()(33221100A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P B P +++= 458.014.0141.06.036.02.009.00=?+?+?+?=

34、袋中装有1-N 只白球，一只红球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只白球，这样继续摸下去，问第k 次摸球时摸到白球的概率是多少？

解：设事件A 表示第k 次摸到白球，则事件A 表示第k 次摸到红球。

因为袋中只有1只红球，而每次摸出一球总换入一只白球，故为了第k 次摸到红球，前k-1次一定不能摸到红球，因此A 等价于下列事件: 在前k-1次摸球时都摸到白球而第k 次摸出红球，所以

N N N

N A P k k

k 1

)11(1)1()(11?-=?-=-- 因此N N A P A P k 1)11(1)(1)(1?--=-=-

第2章一维随机变量习题2

一. 填空题：

1.设离散型随机变量 ξ 的分布函数是 (){

}x P x F ≤=ξ，则用 F (x) 表示概 {}0x P =ξ = __________。解：()()000--x F x F

2.设随机变量 ξ 的分布函数为 ()()+∞<<∞-+=

x arctgx x F π

21 则 P{ 0<ξ<1} = ____14_____。解： P{ 0<ξ<1} = =-)0(F )1(F 1

3.设 ξ 服从参数为 λ 的泊松分布，且已知 P{ ξ = 2 } = P{ ξ = 3 }，

则 P{ ξ = 3 }= ___

278

e - 或 3.375e -3____。

4.设某离散型随机变量 ξ 的分布律是 {

}???===,2,1,0,!

k k C k P K

λξ，

常数 λ>0，则 C 的值应是 ___ e -λ

_____。

解：

{}λλλλξ-∞

=∞

=∞==?=?=?=?==∑

∑∑e C Ce k C k C

k P K

K K

K K 11!

5 设随机变量 ξ 的分布律是 {}4,3,2,1,21=??

??==k A k P k

则

??????<<252

ξP = 0.8 。

解：

()A A k P k 1615

1618141214

=??? ??+++==∑=ξ 令

1A = 得 A =1615

()()212521

=+==??

? ??<<ξξξp p P 8.041211516=??????+=

6.若定义分布函数 (){}x P x F ≤=ξ，则函数 F(x)是某一随机变量 ξ 的分布函数的充要条件是

F ( x ) 单调不减，函数 F (x) 右连续，且 F (- ∞ ) = 0 ， F ( + ∞ ) = 1

7. 随机变量) ,a (N ~

2σξ，记{}σ<-ξ=σa P )(g ，

则随着σ的增大，g()σ之值保持不变。

8. 设 ξ ~ N ( 1， 1 )，记ξ 的概率密度为 ?( x ) ，分布函数为 F ( x )，则

{}{}=≥=≤11ξξP P

0.5 。

9、分别用随机变量表示下列事件

(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件

.“收到呼唤3次”}

{3=X ，

“收到呼唤次数不多于6次”}{}{k X X k ==≤=6

(2)抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件. “长度等于10cm ” = }{10=X ；

“长度在10cm 到10.1cm 之间” = }.{11010≤≤X

(3)检查产品5件，设A 为至少有一件次品，B 为次品不少于两件，试用随机变量表示事件

AB ,B A ,B ,B ,A .

解: }{}{0===X 没有次品

}{}{2<==X 次品少于两件 }{}{2≥==X B 次品不少于两件 }{}{1≥==X B A 至少有一件次品

}{}{2<==X AB 次品数不到两件

10 、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以x 表示取出的3只球中的最

大号码，则X 的分布律为:

二. 计算题：

1、将一颗骰子抛掷两次，以1X 表示两次所得点数之和，以2X 表示两次中得到的小的点数，试分别写出21,X X 的分布律.

2、设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数.求X 的分布律；.

3、(1)设随机变量X 的分布律为：0,,2,1,0k ,!

k a }k X {P k >λ=λ== 为常数，试确定常数a

. 解: 因

∑∑

∑

∞=∞

=∞

==λ=λ=

=0k k

k 0

k 1!

k a !k a }k X {P 1ae =?λ, 故 λ-=e a

(2)设随机变量X 的分布律为：N ,,2,1k ,N

}k X {P ==

=，试确定常数a .

1a 1N 1

aN N

1a N a }k X {P N

1k N

k N

k =?=?====∑∑

∑=== 4、飞机上载有3枚对空导弹，若每枚导弹命中率为0.6，发射一枚导弹如果击中敌机则停止，如

果未击中则再发射第二枚，再未击中再发射第三枚，求发射导弹数的分布律.

5、汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地。设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4，求汽车首次停止前进(即遇到红灯，或到达目的地)时，已通过的信号灯的分布律.

解：汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量，用x 表示x 可取值为0,1,2,3,4，又设A 的表示事件：{汽车将通过时第i 盏信号灯开绿灯}，4,3,2,1=n

由题意4.0)(,6.0)(==n n A P A P

}0{=x 表示{已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯)},故4.0}(}0{1===A P x P }1{=x 表示{已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯),故4.06.0)()()(}1{2121?====A P A P A A P x P .

同理4.06.0)()()()(}2{2321321?====A P A P A P A A A P x P 4.06.0)()()()()(}3{343214321?====A P A P A P A P A A A A P x P 4432143216.0)()()()()(}4{====A P A P A P A P A A A A P x P

于是x 的分布律为?????==?==4

k ,6.03

,2,1,0k ,4.06.0}k x {P 4

即

6、自动生产线调整以后出现废品的机率为p ，生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的分布律.

7、一大楼内装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻：

(1)恰有两个设备被使用的概率是多少？ 0729.0)9.0()1.0(}2{322

5===C x P

(2)至少有3个设备被使用的概率是多少？

00856.0)9.0()1.0(9.0)1.0()9.0()1.0(}3{055

54452335=++=≥C C C x P

(3)至多有3个设备被使用的概率是多少？

99954.0])1.0(9.0)1.0([1}3{1)3{555445=+-=>-=≤C C x P x P

(4)至少有1个设备被使用的概率是多少？

40951

.0)9.0()1.0(1}1{500

5=-=≥C x P 8、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，

(1)进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率. (2)进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率.

解：(1)P {5次独立试验,指示灯发出信号}=163.0)3.0(7.0)3.0()7.0()3.0(55

54452335=++C C C

(2)P {7次独立试验,指示灯发出信号}

353.0)7.0()3.0()6.0(3.0)7.0()3.0(15

2276177007=++-=C C C

9、设某批电子管正品率为

43，次品率为4

，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管子就不再继续测试，试求测试次数的分布律.

解：解：设测试次数为x ，则随机变量x 的可能取值为： ,3,2,1，当k x =时，相当于{前1-k

次测得的都是次品管子，而第k 次测得的是正品管子}的事件，

)41(}{1-==k k X P ，),2,1( =k

10、每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，

(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？

解：已知n 次独立射击中至少击中一次的概率为n

P )8.0(1)2.01(1-=--=； (1)要使9.0)8.0(1≥-=n

P ，必须3.108

.0lg 1

.0lg ≈≥

n ，即射击次数必须不小于11=n 次. (2)要使99.0)8.0(1≥-=n

P ，必须64.208

.0lg 01

.0lg ≈≥

n ，即射击次数必须不小于21=n 次

11、电话站为300个用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，试用泊松定理近似计算，在一小时内有4个用户使用电话的概率.

解：由二项分布得k

n k k n q p C k x P -==}{

29644

300)99.0()01.0(}4{C x P ==

现用泊松定理近似计算，301.0,300==∴==np p n λ ,

故

168.0!

43}4{3

4=≈=-e x P

12、某一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为

0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？ (利用泊松定理计算)

解：设x 为发生事故的次数，则k k k

C k x P -==10001000)9999.0()0001.0(}{

用泊松定理计算，1.00001.01000=?=np

00468.01.01}1{}0{1}2{1.01.0=--==-=-=>--e e x P x P x P

13设X 服从泊松分布，且已知}2{}1{===X P X P ，求}4{=X P

解：!

}{k e k x P k λ

λ-=

=，由}2{}1{===x P x P ，得

12λ

λλ--=

e e ，

)0,0(0,2>===λλλλ因为舍去 0903.0!

42}4{2

4===-e x P

14、. 求离散型随机变量 ξ 的分布律为 ()k b k P λξ==， ( k = 1， 2， …)，的充分必要条件。

解：由≥1()k

b k P λξ==0≥

且

()1k P 1

k ==ξ∑∞= b 1b 1b b b 0

k k 1

k k

+=λ?+=λ

+?∑∑∞

=∞

b 111+=λ-?

? λ=+1

1b 且 b > 0

15 设ξ服从参数λ = 1的指数分布，求方程 4x 2 + 4ξx + ξ + 2 = 0无实根的概率。解：

0)2(16162<+ξ-ξ=? 知 21<ξ<- 故

0x e 1dx e }21{P ---==<ξ<-?

16. 已知连续型随机变量 ξ 的概率密度为 ??

???≤≤+= x B Ax x 03

1)( 且知 ξ

在区间 ( 2，3 )内取值的概率是在区间 ( 1，2 ) 内取值的概率的二倍，试确定常数 A ，B 。

解：由条件

{}{}21232<<=<<ξξp p

即

()()??

+=+32

dx B Ax 2dx B Ax 知有 1

0A B += 又由

()?+∞

∞

-=?1dx x 即 ()?=+=+3

1B 2A 4dx B Ax

解 ?????=+=+1

24021B A B A 得 A = 13 ，B = -16

17、设有函数

?≤≤=其它,00,sin )(π

x x x F 试说明)(x F 能否是某随机变量的分布函数. 解：不能

因为当 ππ

时， ? ( x ) = sin x < 0 故在 ??

???23,

0π 上， ? ( x ) = sin x 不是非负。

18、设某人计算一连续型随机变量x 的分布函数为：

????

?≥<≤<

≤<=1

,114

0,sin 0,0)(x x x x x x x F π

试问他的计算结果是否正确？答：不正确

19、在区间],0[a 上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标，这个质点落在],0[a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求x 的分布函数.

解：P { 0 < ξ ≤ x } = cx ；()????

???≤<≤<=x a a x a

x x x F

10 0

20、设连续型随机变量X 的分布函数为

)0(0,0

,)(>??

?<≥+=-λλx x Be A x F x

求(1)常数A ,B

(2)}3{},2{>≤X P X P

(3)概率密度)(x f

解: (1)1,1==B A

(2)λ

32,1---e

(3)???<≥=-0

,00

,)(x x e x f x λλ

21、某种型号的电子管寿命X (以小时计)，具有如下概率密度：

???

??>=其它

,01000,1000

)(2

x x x f 现有一大批此种电子管(设各电子管损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？并求)(x F .

解：设使用寿命为x 小时

?=--=-=≤-=>1500

10001500100023

|)1000(110001}1500{1}1500{x dx x x P x P

1}1500{=

≤x P ，所求事件的概率：+≤?>=322

5)]1500([)]1500([x P x P C P 5554452335)]1500([)1500()]1500([)]1500([)]1500([>+≤>+≤>x P C x P x P C x P x P C

243

232)32(31)32(5)31()32(10)31()32(10542332=+??+??+??=

再求??∞--===x x x

dx x dx x f x F 100021000

11000)()(

?????≥-

=其它,0

1000,1000

1)(x x

x F 22、设随机变量X 具有对称的概率密度)(x f ，即)(x f 为偶函数，)()(x f x f =-，证明：对任意0>a 有：

(1)?-=

-=-a dx x f a F a F 0)(2

)(1)( ; (2))](1[2}|{|a F a X P -=> (3)1)(2}|{|-=

-∞

-=-a dx x f a F )()(，令x x -=，

a a F dx x f dx x f dx x f x d x f dx x f a F )(1)()()()()()()(

又因为：

)]()([21

21)(2121)(210a F a F dx x f dx x f a a a ---=-=-??- )(12

)(21]1)(2[2121))](1()([2121a F a F a F a F a F -=+-=--=---= (2))](1[2}|{|a F a x P -=>

证明：)]()([1}{1}|{|1}|{|a F a F a x a P a x P a x P ---=≤<--=≤-=>

)](1[2)(22)(1)(1)]](1[)([1a F a F a F a F a F a F -=-=-+-=---=

(3)1)(2}|{|-=

证明：)()(}{}{}|{|a F a F a x a P a x a P a x P --=≤<-=<<-=<

1)(2)](1[)(-=--=a F a F a F

23、设顾客在银行的窗口等待服务的时间X (以小时计)服从指数分布，其概率密度为

???>=-其它,00

1)(5

x e x f x

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求}1{≥Y P .

解：5,4,3,2,1,,0,)1(}{5225k k e e

(4)}3{>X P (5)确定c 使得}{}{c X P c X P ≤=> 解：(1)=≤<}52{x P 5328.0 (2)9710.0

(3)6977.0

(4)5.0 (5)3=c

25、一个工厂生产的电子管寿命X (以小时计)，服从参数160=μ，σ的正态分布，若要求80.0}200120{≥≤

}200120{-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤<σ

26、公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01米以下设计的，设男子身高x 服从cm cm 6,170==σμ的正态分布，即)6,170(~2N X 问车门的高度应如何确定？

解：设车门高度为h cm ，按设计要求01.0}{≤≥h x P ，或99.0}{≥

设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头的机会不超过0.01。

x e x f N x x ,21)(),1.0(~2

2π

x y x e y e y x x 1',ln ,0',=

=>== ?????

+∞

<<=其它,00,1][ln )(y y y f y ? 即??

???+∞<

y y

e y y π? (2)1122

≥+=x y ，当1>y 时，Y 的分布函数，

{}21{}12{}{)(22-≤≤--=-≤

=≤+=≤=y x y P y x P y x P y Y P y F Y

π 当1≤y 时，0)(=y F Y ，Y 的概率密度

1)()(y y y f y f y y F y Y ? 即??

(3)0||,||≥==x y x Y ，当0>y 时，Y 的分布函数

-=≤<-=≤=≤=y y

Y dx x f y x y P y x P y Y P y F )(}{}|{|}{)(

当0≤y 时，0)(=y F Y ，Y 的概率密度???≤>='=0

,00

,)(2)()(y y y f y F y γ?

29、设电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9安~11安之间，若此电流通过2欧姆的电阻，在其上消耗的功率为2

2I W =，求W 的概率密度.

解：由题意I 的概率密度为?????<<=其它