四边形练习题

如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．

（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．

如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，

（1）求证：AE=EP；

（2）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

在矩形ABCD中，E是BC边上的动点（点E不与端点B、C重合），以AE为边，在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上，连接AC、FC，并过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H．

（1）如图1，当AB=BC时；

①求证：矩形AEFG是正方形；

②猜想AC、FC的位置关系，并证明你的猜想．

（2）如图2，当AB≠BC时，上面的猜想还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．

【问题情境】

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

【探究展示】

（1）证明：AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．

（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）∠PBD的度数为，点D的坐标为（用t表示）；

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠ENC．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE．

∴∠ENC=∠MAE．

∴MA=MN．

在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE（AAS）．

∴AD=NC．

∴MA=MN=NC+MC

=AD+MC．

（2）AM=DE+BM成立．

证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．

∵AF⊥AE，

∴∠FAE=90°．

∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

在△ABF和△ADE中，

∴△ABF≌△ADE（ASA）．

∴BF=DE，∠F=∠AED．

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE．

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠FAB

=∠FAM．

∴∠F=∠FAM．

∴AM=FM．

∴AM=FB+BM=DE+BM．

（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．

证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠EPC．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE．

∴∠EPC=∠MAE．

∴MA=MP．

在△ADE和△PCE中，

∴△ADE≌△PCE（AAS）．

∴AD=PC．

∴MA=MP=PC+MC

=AD+MC．

②结论AM=DE+BM不成立．

证明：假设AM=DE+BM成立．

过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．

∵AQ⊥AE，

∴∠QAE=90°．

∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

∴∠Q=90°﹣∠QAB

=90°﹣∠DAE

=∠AED．

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE．

∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠QAB

=∠QAM．

∴∠Q=∠QAM．

∴AM=QM．

∴AM=QB+BM．

∵AM=DE+BM，

∴QB=DE．

在△ABQ和△ADE中，

∴△ABQ≌△ADE（AAS）．

∴AB=AD．

与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．

∴AM=DE+BM不成立．

（1）如图1，

由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）

∴AO=PQ．

∵四边形OABC是正方形，

∴AO=AB=BC=OC，

∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．

∵DP⊥BP，

∴∠BPD=90°．

∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．∵AO=PQ，AO=AB，

∴AB=PQ．

在△BAP和△PQD中，

∴△BAP≌△PQD．

∴AP=DQ，BP=PD．

∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°．

∵AP=t，

∴DQ=t．

∴点D坐标为（t，t）．

故答案为：45°，（t，t）．

（2）①若PB=PE，

则∠PBE=∠PEB=45°．

∴∠BPE=90°．

∵∠BPD=90°，

∴∠BPE=∠BPD．

∴点E与点D重合．

∴点Q与点O重合．

与条件“DQ∥y轴”矛盾，

∴这种情况应舍去．

②若EB=EP，

则∠PBE=∠BPE=45°．

∴∠BEP=90°．

∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC．在△POE和△ECB中，

∴△POE≌△ECB．

∴OE=BC，OP=EC．

∴OE=OC．

∴点E与点C重合（EC=0）．

∴点P与点O重合（PO=0）．

∵点B（﹣4，4），

∴AO=CO=4．

此时t=AP=AO=4．

③若BP=BE，

在Rt△BAP和Rt△BCE中，

∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．

∴AP=CE．

∵AP=t，

∴CE=t．

∴PO=EO=4﹣t．

∵∠POE=90°，

∴PE=

=（4﹣t）．

延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．

在△FAB和△ECB中，

∴△FAB≌△ECB．

∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．

∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠EBC=45°．∴∠FBP=∠FBA+∠ABP

=∠EBC+∠ABP=45°．

∴∠FBP=∠EBP．

在△FBP和△EBP中，（3）∵EP=CE+AP，

∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE

=AO+CO

=4+4

=8．

∴△POE周长是定值，该定值为8．

∴△FBP≌△EBP．

∴FP=EP．

∴EP=FP=FA+AP

=CE+AP．

∴EP=t+t=2t．

∴（4﹣t）=2t．

解得：t=4﹣4

∴当t为4秒或（4﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形．