导学案027平面向量的数量积与平面向量的应用举例

平面向量的数量积与平面向量的应用举例

考纲要求

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，

5.会用向量方法解决简单的平面几何问题．

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

考情分析

1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直关系是难点．

2.以向量为载体考查三角函数及解析几何问题是高考考查的重点．

3.多以选择题、填空题的形式出现，难度适中，但灵活多变.

教学过程

基础梳理

一、两个向量的夹角

1．定义

已知两个非零向量a和b，作 OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．

2．范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝ .

3．向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.

二、平面向量数量积

1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a||b|2cosθ叫做a与b的数量积，记作a2b，即a2b＝ .

规定02a＝0.

当a⊥b时，θ＝90°，这时a2b＝ .

2．a2b的几何意义： a2b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．

三、向量数量积的性质

1．如果e是单位向量，则a2e＝e2a＝．2．a⊥b? .

3．a2a＝，|a|＝ .

4．cos〈a，b〉＝ .

5．|a2b| |a||b|.

四、数量积的运算律

1．交换律a2b＝.

2．分配律(a＋b)2c＝.

3．对λ∈R，λ(a2b)＝＝．

五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则

1．a2b＝.

2．a⊥b?.

3．|a|＝ .

4．cos〈a，b〉＝

双基自测

1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是 ( ) A．|a|＝a2a B．|a2b|＝|a|2|b|

C．λ(a2b)＝λa2b D．|a2b|≤|a|2|b|

2．(20112辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a2(2a－b)＝0，则k ＝ ( )

A．－12 B．－6

C．6 D．12

3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为( )

A．2 B.3 2

C．－2 D．－3 2

4．OA＝(－1,2)，OB＝(3，m)，OA⊥AB，则实数m＝________.

5．(20112安徽高考)已知向量a，b满足(a＋2b)2(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．

典例分析

考点一、平面向量数量积的运算

[例1] (20102广东高考)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x)满足条件(8a －b)2c ＝30，则x ＝ ( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3

[例2] (20112江西高考)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π

3，若向量b 1＝e 1

－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 12b 2＝________.

变式1．(20122金华联考)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则 AE.BD

＝________.

向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算，如(a 2b)c ≠a(b 2c).

考点二、平面向量的垂直与夹角

[例3] (20112湖北高考)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于 ( )

A ．－π

4

B.π6

C.π4

D.

3π4

变式2.若本例条件不变，求λ为何值时，λa ＋b 和a －b 的夹角为90°？

[例4] (20112新课标全国卷)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，

若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.

变式3(20122佛山质检)已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a ，b 的夹角为 ( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

1．求两非零向量的夹角时要注意 (1)向量的数量积不满足结合律；

(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角． 2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a2b 及|a |，|b |或得出它们的关系.

考点三、平面向量的模

[例5] (20112天津高考)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝2，

BC ＝1，P 是腰上的动点，则|PA ＋3PB|的最小值为________．

变式3．(20122江西重点盟校联考)已知向量a ＝(2,1)，a2b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝ ( )

A. 5

B.10 C ．5

D ．25

变式4．(20122青田质检)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝?

?

???cos x ，－12.

(1)当a ⊥b 时，求|a ＋b |的值；

(2)求函数f (x )＝a 2(b －a )的最小正周期．

利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法

(1)|a|2＝a2＝a2a；

(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a2b＋b2；

(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.

一个条件

两个向量垂直的充要条件：a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

两个探究

(1)若a2b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？

(2)若a2b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？

三个防范

(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac?b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a2b＝a2c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．

(2)数量积运算不适合结合律，即(a2b)c≠a(b2c)，这是由于(a2b)c表示一个与c共线的向量，a(b2c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a2b)c与a(b2c)不一定相等．

(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB→与BC→的夹角应为120°，而不是60°.

本节检测

1．(20112广东高考)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c2(a＋2b)＝( ) A．4 B．3

C．2 D．0

2．已知m ＝(－5,3)，n ＝(－1,2)，当(λm ＋n )⊥(2n ＋m )时，实数λ的值为( )

A.5

8

B ．－316

C ．－3

8

D.38

3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大、小值分别是

( )

A ．42，0

B ．4,2 2

C ．16,0

D ．4,0

4．(20122永州模拟)已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB

|＝6，|BC |＝8，|CA |

＝10，则AB 2BC ＋BC 2CA ＋CA 2AB

的值等于( )

A ．100

B ．96

C ．－100

D ．－96

5．(20122杭州第二次质检)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝23

3

|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

6．(20112江苏高考)已知e 1、e 2是夹角为

2π

3

的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a2b ＝0，则实数k 的值为________．

7．(20122烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果

AB 的长为2，则(AB ＋AC )2AD

的值为________．

自我反思