小学数学教材中分数运算的比较研究

小学数学教材中分数运算的比较研究

—以美国、新加坡和中国为例（张艳【孔企平】华东师大2011）

一、文章概况：

第一章对研究的背景、意义、问题及研究思路和步骤进行了介绍;

第二章,对已有相关文献进行了较为详细的梳理;

第三章,对本研究使用的方法、研究的对象、教材比较分析的框架、研究的信效度及研究限制进行了论述;

第四、第五章,着重借助教材分析框架对美国、新加坡和中国教材中分数运算内容的处理进行比较分析,通过研究发现教材在内容和顺序、使用的分数结构类型、例题和任务的认知水平、任务的问题类型存在一些异同.

二、研究的意义

国内关于数学教材方面的比较研究,在内容上大多是就不同国家或版本的教材进行整体或某一知识领域(例如,数与代数、空间与几何、统计与概率等)进行比较分析。由于研究内容广、涉及知识点多,从而导致研究结果并不能深入的反映出教材中某一知识点的具体处理情况。

本文在研究内容的选择上则针对小学数学教材中分数运算这一具体内容进行深入的比较研究,从而弥补了己有研究对教材中某一知识点处理情况的分析不够深入的缺陷;

传统的数学教材比较研究大多是对数学教材的编排特点、呈现方式等这些宏观层面进行比较分析,本研究不仅涉及到教材的这些宏观层面,更是深入到教材编排背后学生的认知方式这一微观层面进行分析。

通过不同角度对所选择的教材进行分析比较,不仅能让我们专注于教材中分数运算这一具体的领域作深层次的分析,同时也丰富了比较的视角。

此外,本文采用比较法和内容分析法从横向维度(教材的总体比较)和纵向维度(教材的具体设计)两个维度对三个国家的教材进行比较分析,可以较深入的把握三个国家的四套小学数学教材针对分数运算这一主题处理的异同及其背后的文化因素。

1.通过比较,丰富对小学数学教材的理论研究

2通过比较,发现我国小学数学教材的不足

3 通过比较,保持我国小学数学教材建设自身的优势

三、研究问题的确定

本文通过参照CharalambosYCharalambous(2010)总结的教材分析框架,选择其中六条标准从横向维度(教材的总体比较)和纵向维度(教材的具体设计)对美国、新加坡和中国三个不同国家的四套小学数学教材中分数运算进行深入的分析比较,从中发现各套教材处理方式上的相同点和不同点,从而揭示出各套教材提供给学生的学习机会及文化背景的异同。由于所选的三个国家在教育制度、历史、大小、语言、经济、文化和学生在国际比较研究中的数学成就各有特点。本研究期望这些异同会对我国的小学数学教材的建设提供参考,促进学生在数学学习上获得更好的发展。

本文确定了以下几个研究问题:

(一)美国、新加坡和中国三个国家的四套小学数学教材对分数各种运算的处理有何异同?

这一问题具体包括:首先,在总体上三个国家的四套小学数学教材中分数运算处理上有哪些异同?该问题又包括以下几方面:教材的设计背景、与分数运算有关的主题包括哪些、主题的次序是怎样的、主题所在的年级水平。其次,在具体的教材设计方面,四套小学数学教材中分数运算处理上有哪些异同?该问题又包括:教材中与分数运算有关的例题是如何呈现的(包括例题的程序、

结构、表述、完整性、背景、图表展示、解题方法)和教材中任务所涉及的分数结构类型、所体现的潜在认知方式和学生回答问题的类型方面有何异同。

(二)四套教材对学生分数运算的学习有何期望?

这个问题包括了以下内容:第一,从横向维度(教材的总体比较)可以看出各国教材分数运算主题的处理对学生掌握该知识点的广度有何期望?第二,从纵向维度(教材的具体设计),各国教材分数运算的处理对学生认知水平有何期望?

(三)四套教材在分数运算处理方式上产生差异的因素有哪些?

(四)三个国家对分数运算处理的异同对我国的数学教材编写有何启示?

四、研究综述

1首先对国内外已有数学教材比较研究的进展进行回顾;其次,对分数运算的课堂教学研究进展进行回顾;在此基础上重点对分数运算的相关教材研究进展情况及一些目前尚需进一步完善的问题进行回顾。

第一节：数学教材比较的研究综述

1日本三个版本和美国四个版本的七年级数学教材中有关整数加减法的内容进行了比较,结果发现日本教材中包含了更多的例题和相关解释说明,而美国教材虽然也包括了大致相同数量的例题,但多了许多无关的说明。

2在比较目前日本和美国一年级的数学教材时,s~y&Liu(1997)发现日本教材的特征包括较短的解释、计算和文字问题分布均等,而美国的教材解释详细,并且强调重复和图片的穿插“

3中、日、美分数除法概念处理和内容组织进行了比较分析,研究发现亚洲国家的教材对分

数概念的处理是作为乘法的逆运算,而美国教材中倾向于把分数除法作为整数除法的拓展。

4此外,中国教材多使用插图辅助问题解决,日本教材更多使用数字、文字解释和图示来示范,。

这类研究基本上是对所选择的教材进行静态的内容多少、呈现方式或意识形态进行分析,对于不同教材中任务的认知水平程度没有做出分析。此外,所选择的教材一般局限于某一个年级,对同一知识点在不同年级的分布和动态发展情况缺少比较分析。最后,这些研究也没有涉及到分数运算方面的内容

5从数学特征、情境特征和表现要求三个方面比较了中美数学教材中整数加减法的问题设定,研究发现两国教材在问题的表现要求存在差异。发现中国教材中的数学问题比美国的更有挑战性,而美国教材中的非传统问题比中国更多

6对中国、新加坡和美国初中数学教材中问题解决的过程进行分析。结果发现亚洲的两套教材在问题的解答中一般策略的使用上几乎没有“怎样执行计划?”,而美国教材中超过2/3的问题解答至少与波利亚问题解决阶段中两个相匹配;中国在问题解决中使用特定策略的方法分布最集中,新加坡教材中的分布较为广泛,其表述也最为明确。

7张天孝和唐彩斌(2005)就美国、日本和德国小学数学教材的共同特点进行了研究,研究发现三个国家的小学数学教材都十分重视问题解决和知识的应用,并且提倡现代技术的应用。

8曹培英(2000)从数与计算、量与测量、几何初步知识、代数初步知识、统计初步知识和应用题六方面就中日小学数学教材的编排进行了比较,结果表明,两套教材数学计算教学内容的容量基本相当

9我国台湾地区的吴丽玲采用内容分析法对台湾、美国和新加坡小学五、六年级教材中分数内容就教学目标、单元数、活动数、教学时数以及问题情景与概念的编排进行了对比分析。

10国外的相关研究多集中在学生的认知特点方面,即学生对分数运算这一内容所表现出来的学习特点、困难情况及原因,国内的研究侧重于教师在课堂上如何促进学生对分数运算的理解和学习方面。

六、研究方法：比较研究法、内容分析法

首先,收集、整理、分析国内外关于数学教材比较和分数运算方面的己有研究资料,在此基础上梳理出国内外数学教材比较和分数运算方面的研究现状,并对其进行文献述评,从中发现研究方法和研究内容上尚需完善之处。

其次,参考有关教材比较分析的理论和分数运算的相关研究,建立起本研究所使用的教材分析框架,从横向(教材的总体比较)和纵向(教材的具体设计)两个维度、共六条标准来具体分析四套教材中分数运算内容的处理异同。

最后,以所用教材分析框架为指导,按不同的类目对四套教材中与分数运算有关的例题、习题进行定性和定量的统计分析。定量分析主要是利用计数来得到各类别或组观察的单位个数或以百分比等统计量和统计图表来描述四套教材中对分数运算按其不同分类标准的分布情况。定性分析主要是根据定量分析的结果来进一步深入分析定量统计的内容,按不同的类目进行比较异同,在此基础上探讨导致三个国家的教材处理异同的主要因素,并得出对我国小学数学教材中分数运算的处理可供借鉴的启示。

横向维度主要包括两大类:教材的背景资料和总体结构。第一类主要对教材和编写的背景进行简要的介绍;第二类与教材所包括的主题和主题的编排次序有关。

纵向维度,把教材的分析标准分成三类:第一类是教材与学生的联系(涉及到数学教材是怎样向学生呈现数学信息的;第二类是对学生的要求,即数学教材对学生投入认知水平的要求;第三类是联系,即对数学教材中不同类型的知识之间、教材与课堂活动以及教材与校外情境之间的联系进行详细分析。

结论：

1我国的两套教材在分数运算内容的广度上均小于美国和新加坡。以分数加减法运算为例,我国的教材仅包括同分母分数加减和异分母分数加减,而新加坡和美国加州教材除此之外,还有带分数的加减运算,美国加州的教材最为详细几乎涵盖了分数加减运算的所有例题

2在分数运算分布的年级水平方面,美国和新加坡的教材更体现了循序

渐进、螺旋式上升的编排方式。例如,我国分数加减运算主要出现在三年级和五

年级的教材中,而新加坡教材从两年级、美国加州从三年级开始,每个年级都循

序渐进的安排有分数的相关运算,下一年级的知识不仅会对上一年级的知识有所

回顾,而且会在此基础之上进一步延续和

3本研究所分析的教材中关于分数运算编排的顺序大致相同。例如,先从最简

单的同分母运算开始,然后从分母是倍数关系的异分母再过渡到分母不是倍数的

异分母运算,接着是假分数或带分数的运算

4在分数的乘除法运算中所不同的是,三个国家的教材在呈现分数乘除法运算

时是按照运算的类型进行编排的(先是所有类型分数的乘法运算,接着是除法运

算),教材的这种安排方式提醒我们,教材的编排不仅要考虑到学生的认知特点,

同事要考虑到数学知识本身的特点

5。在分数的加减法运算中部分一整体结构是用来发展分

数概念的主要结构。中国的两套教材,除人教版有一个例子没有明显结构外,都

毫无例外的使用了该结构。新加坡教材中少数部分一整体结构还伴随着运算结

构。在分数乘除法运算中,除了比率结构仅出现在人教版教材中,其他的结构(例

如,运算、测量和商)在教材中更常见些。有趣的是,美国加州教材中大部分任

务侧重于使用测量结构,这一结构对理解分数的概念和分数加减运算都很关键

(Lamon,2001;Keijzer&孔rwel,2001)。Behr和他的同事认为测量结构和部分一

整体结构比起来,是理解分数加法运算的自然之道

6不同国家的例题存在显著差异。新加坡教

材中的例题使用的分数结构类型最多。美国教材中的例题提供了较多的解释说

明。各国的例题都使用对话框采用多种方法来促进对分数运算的理解。这些策略

不仅使学生了解不同类型的分数结构对分数概念的解释,同时促进学生对不同类

型的分数结构建立联系。一般而言,当其它教材中的例题只提供了部分过程,希

望学生进行补充完整,美国的教材则为学生提供了进行分数运算时可供遵循的完

整而清晰的步骤,但这样可能会降低学生的认知水平

新加坡数学课程的出发点是:“培养学生的数学问题解决能力”，教材中任务的内容也多围绕着生活与工作的需要,而不是数学本身的需要。此外,新加坡的教材也注重信息技术的应用,强调计算器的使用。

美国加州;2005年修订后的标准对学生在数学基础知识的掌握、数学运算能力和问题解决能力的训练上都更加重视。这些特点在教材中得到充分体现,在比较中发现,加州小学数学教材非常注重习题的使用,不仅表现在其习题数量的庞大上,其类型也是相当多样化的。