第三章第三讲 向量空间的基及坐标

第一节向量空间

第二节向量的线性相关性

第三节向量空间的基及向量的坐标第四节欧氏空间

第五节线性变换

设V 是一向量空间,α1,α2,…,αr ∈V 且满足

(1)α1,α2,…,αr 线性无关;

(2)?β∈V ,β可由α1,α2,…,αr 线性表出.

一、向量空间的基与维数

则称向量组α1, α2, …, αr 为向量空间V 的一组基底(基)，而r 称为向量空间V 的维数，记为dim V = r . §3 向量空间的基及向量的坐标

定义1规定：零空间的维数为0,它没有基.

由上定义可知，向量空间的基就是它的一个极大无关组.由于向量组的极大无关组是不唯一的，所以向量空间的基也是不唯一的.

例2例1设R n 为全体n 维向量构成的向量空间,证明n 维向

量组e 1=(1,0,0,…,0),e 2=(0,1,0,…,0),…,e n =(0,0,0,…,1)是R n 的基,且dim R n =n.

由矩阵判别法知e 1,e 2,…,e n 线性无关.设

α=(x 1,

x 2,…,x r )为任一n 维向量,显然有

α= x 1 e 1+ x 2 e 2+… + x n e n .所以α可由e 1, e 2, …,e n 线性表出,即e 1, e 2, …, e n 是R n 的基,从而dim R n = n.

证设V 为一向量空间，且dim V = r , 而α1, α2, …, αr 为V 中r 个线性无关的向量，证明α1, α2, …, αr 必为向量空间V 的一组基.

证

上一页

显然α1, α2, …, αr 线性无关，任取β∈V , 由于dim V =r ,

则α1, α2, …, αr , β线性相关，于是存在不全为零的实数k 1, k 2, …, k r , k , 使k 1 α1+ k 2 α2+ …+ k r αr + k β= 0 . 若k = 0, 则k 1, k 2, …, k r 不全为零，且

k 1 α1+ k 2 α2+ …+ k r αr = 0.

从而α1, α2, …, αr 线性相关，与题设矛盾.

证故k ≠0. 从而由k 1 α1+ k 2 α2+ …+ k r αr + k β= 0.得

r r k k k k k k αααβ----= 2211即β可由α1, α2, …, αr 线性表示，由定义1知α1, α2, …,αr 为V 的一组基.

若向量空间V 为r 维的，则V 中任意r

个线性无关的向量是V 的一组基.

定理1

例3证明向量组

α1 = (1, 2, 1), α2 = (3, 0, -1), α3 = (2, -3, 5)

为空间R 3的一组基.

由于dim R 3 = 3, 故只要证明α1, α2 , α3 线性无关即可.

5

31710

01

2

4 532103121 --=-- ,0 3-1724 ≠=∴α1, α2 , α3 线性无关，从而α1, α2 , α3 可构成空间R 3 的一组基.

证上一页

注意：任意n 个线性无关的n 维向量都是R n 的

一组基.

二、向量在给定基下的坐标

设α1, α2, …, αm 是向量空间V 的一个基, ?β∈V , β

可由α1, α2, …, αm 线性表出:β= x 1 α1 + x 2 α2 +… + x m αm ,则组合系数(x 1, x 2, …, x m ) 称为向量β在基α1, α2, …, αm 下的坐标.

( x 1, x 2, …, x m ∈R )

(5.1)

§3 向量空间的基及向量的坐标

定义2注：β在基α1, α2, …, αm 下的坐标是唯一的.

β= y 1 α1 + y 2 α2 +… + y m αm , (5.2)

由(5.1)式减去(5.2)式, 得

(x 1-y 1) α1 + (x 2-y 2) α2 +… + (x m -y m ) αm = 0, 由于α1, α2, …, αm 线性无关, 故

x 1-y 1 = x 2-y 2 =…= x m -y m = 0,

事实上, 若还有另一坐标(y 1, y 2, …, y m ), 即

例4

=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,已知e

1

e n=(0,0,0,…,1)是R n的基.而对R n中任一向

量β,有

β=( x

, x2, …, x n) = x1 e1+ x2 e2+… + x n e n ,

1

所以β在基e

, e2, …, e n 下的坐标就是其自身.

1

, e2, …, e n 称为空间R n的标准基.

故e

1

例5设α1=(1,1,1)T ,α2=(1,1,-1)T ,α3

=(1,-1,-1)T ,证明α1,α2,α3是R 3的一个基,并求β=(1,2,1)T 在这个基下的坐标.

解以α1, α2 , α3 为列向量构成矩阵A , 因为

,

041

111111

11≠-=---=A 所以α1, α2 , α3 线性无关, 从而是R 3 的一个基.令β= x 1 α1 + x 2 α2 + x 3α3 , 即

?????=--=-+=++.1,2,1321321321x x x x x x x x x ?

x 1= 1,x 2= 1/2,x 3= -1/2.

所以β在基α1, α2 , α3下的坐标为(1, 1/2, -1/2 ).

练习

设α1=(1,1,2),α2=(1,3,0),α3=(1,0,1),证明α1,α2,α3是R 3的一个基,并求β=(0,-1,3)在这个基下的坐标.

Dim R 3 =3, 而,

041

01031211≠-= 解

所以α1, α2 , α3 线性无关, 从而是R 3 的一个基.令β= x 1 α1 + x 2 α2 + x 3α3,

所以β在基α, α, α下的坐标为(2, -1, -1).

即( 0, -1, 3) =x 1 (1, 1, 2) + x 2 (1, 3, 0) + x 3 (1, 0, 1),

则x 1+ x 2+ x 3 = 0,x 1+ 3x 2= -1,2x 1+ x 3

= 3,x 1= 2,x 2= -1,x 3= -1.?

三、基变换与坐标变换公式

设向量空间V 的维数为r ,则V 中任意r 个线性无关的向量都是V 的基,对于不同的基,同一个向量的坐标一般是不同的.

§3 向量空间的基及向量的坐标

设α1,α2,…,αr 及β1,β2,…,βr 是向量空间V 的两个基.那么由基的定义,向量βi (i =1,2,…,r )可由α1,α2,…,αr 唯一线性表出.设

.

2211r rr r r r a a a αααβ+++= ,

22221122r r a a a αααβ+++= ,

12211111r r a a a αα+++= αβ

,2122221112`11?????

???????=rr r r r r a a a a a a a a a A 矩阵A 称为由基α1,α2,…,αr 到基β1,β2,…,βr 的过渡矩阵,它是可逆的.

令即.),,,(),,,(21

22221112112121????????????=rr r r r r r r a a a a a a a a a αααβββ(1)

将(1)式简记为:

(β1,β2,…,βn )=(α1,α2,…,αn )A (2)

新基旧基过渡矩阵

公式(2)称为基变换公式.

上一页

.

,,,21下的坐标在基列正好是的第矩阵r i i A αααβ 注：

例6

求R 3中由标准基e 1=(1,0,0),e 2=(0,1,0),e 3=(0,0,1),到基α1=(1,1,2),α2=(1,3,0),α3=(1,0,

1)的过渡矩阵.

????

??????=102031111),,(),,(321321e e e ααα ∴所求过渡矩阵为????

??????=102031111A 解上一页

将上式用矩阵表示为

将基变换公式代入得

????????????=r r x x x 21,21),,(αααα. ),,(21,21?????

???????=r r y y y A ααα设向量α在基α1,α2,…,αr 与基β1,β2,…,βr 下的坐标分别为(x 1,x 2,…,x r )与(y 1,y 2,…,y r )即r r x x x αααα+++= 2211(3)r r y y y βββ+++= 2211,),,(21,21?????

???????=r r y y y βββ????

????????=r r x x x 21,21),,(αααα

由向量坐标的唯一性, 可得

????????????=????????????r r y y y A x x x 2121 .21121????????????=????????????-r r x x x A y y y 或(4)

上式说明了α在两个不同基下的坐标之间的关系, 称为坐标变换公式.

新坐标旧坐标

:

设由向量空间V 的基α1,α2,…,αr 到基β1,β2,…,βr 的过渡矩阵A ,而向量α在基α1,α2,…,αr 与基β1,β2,…,βr 下的坐标为(x 1,x 2,…,x r )与(y 1,y 2,…,y r ),则

. 21121?????

???????=????????????-n n x x x A y y y (β1, β2, …, βr ) = (α1, α2 , …, αr ) A ,

且

例7设R 3中两组基分别为α1=(1,2,1)T ,α2=(2,3,3)T ,

α3=(3,7,1)T ,β1=(3,1,4)T ,β2=(5,2,1)T ,β3=(1,1,-

6)T .求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵A ，并求向量α=2β1–β2+β3在基α1,α2,α3下的坐标.则,131732321614121153A ??????????=??????????-解

上一页A ),,(),,(321321αααβββ=011

31732321≠=

.812492094171276141211531317323211

??????????---=??????????-??????????=∴-A ????

??????-=??????????112321A x x x ??????????-??????????---=11281249209417127.4758??????????=由坐标变换公式可得向量α= 2β1-β2+β3在基α1，α2,α3下的坐标为

练习设R 3中一组基为α1=(-3,1,-2),α2=(1,-1,-1),

α3=(2,3,-1),求向量α=(1,0,0)在基α1,α2,α3下的坐标.

设α=(1,0,0)在基α1,α2,α3下的坐标为(y 1,y 2,

y 3),在基e 1,e 2,e 3下的坐标为(x 1,x 2,x 3)=(1,0,0),则由于

(α1, α2 , α3) = (e 1, e 2, e 3 )??????????-----11231121

3∴由基e 1,e 2, e 3 (旧基)到基α1, α2 , α3 (新基)的过渡

矩阵为

解

??????????=??????????-0011321A y y y ????????????????????------=0012111175532.152????

??????=从而

????

??????-----=112311213A