圆周角定理及其推论

圆周角定理及其推论

知识技能

1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；

2、准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。

数学思考

1．通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。

2．通过观察图形，提高学生的识图的能力

3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。

解决问题

1．在探索圆周角定理的过程中，学会运用分类讨论的数学思想转化的数学思想解决问题。

2．渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．

情感态度

引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

教学重点

圆周角的概念和圆周角定理及其推论的应用．

教学难点

1．认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。

2．推论的灵活应用以及辅助线的添加

一教学过程

活动1

问题

如图，同学甲站在圆心O 位置，同学乙站在靠墙的位置C, 同学丙丁站在其他靠墙的位置D、E。得到的视角分别是∠AOB,∠ACB ，∠ADB，∠AEB 这些视角中哪些是圆心角？其他各角具备什么共同特征？从而引出圆周角定义，并会判断。

（教师演示课件或图片，展示一个圆柱形的海洋馆，接着出示海洋馆横截面示意图。

教师结合示意图和圆心角的定义，引导学生得出圆周角的定义，由学生口述，教师板书)

圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角。

强调：定义中的两个条件缺一不可。利用几何画板演示，让学生辨析圆周角。接下来给学生一组辨析题：

练习1：判别图7-29中各圆形中的角是不是圆周角，并说明理由．

活动2：探究圆周角定理，并证明圆周角定理。

问题1：①同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系？

②同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与∠ADB，∠AEB的大小关系怎样？

问题2：㈠一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？圆心与圆周角的位置关系有几种？㈡当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2所发现的结论？

㈢对于②③两种情况你也能证明吗？

教师提出问题，引导学生用度量工具量角器，动手实验进行度量，发现结论。

由学生归纳发现的规律，教师板书：

同弧所对的圆周角度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

教师提问，学生动手画，思考并回答。

教师概括：虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只

有三种情况：①圆心在圆周角的一边上、②圆心在圆周角内部、③圆心在圆周角外部．

教师引导，学生写出已知，求证，并完成证明。

（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半.

提出必须用严格的数学方法去证明.

证明:(圆心在圆周角上)

（2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系：

当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.

证明：作出过C的直径（略）

让学生分析、研究，并充分交流．

活动3：探索圆周角定理的推论

问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？

问题2：在⊙O中，若= ，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，

若∠C=∠G ，是否得到= 呢

问题3：（1）一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是什么样的角？

（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?

注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若= ，则∠C=

∠G；但反过来当∠C=∠G，在同圆或等圆中，可得若= ，否则不一定成立．这时教师要求学生举出反面例子：

若∠C=∠G，则≠，从而得到圆周角的又一条性质

老师组织学生归纳：

同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

重视：同弧说明是“同一个圆”；等弧说明是“在同圆或等圆中”．

问题：“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通过交流获得知识）

学生通过问题3中两个问题的解决，在教师引导下得推论

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径．

教师指出：这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟练掌握．

巩固练习1：判断题：

1．等弧所对的圆周角相等；（）

2．相等的圆周角所对的弧也相等；（）

3．90°的角所对的弦是直径；（）

4．同弦所对的圆周角相等．（）

活动4：圆周角定理及其推论的应用

例1 如图7-30，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC．

（例1由教师引导学生结合图形分析证明思路，证明过程请一名中等生上黑板完成，其它同学把证明写在练习本上．）

例2如图24.1-15, ⊙O的直径AB为10cm, 弦AC为6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长。

活动5：小结，布置作业师生交流：①分析解题思路；

②作辅助线的方法，充分利用直径所对的圆周角为直角

③解题推理过程（要规范）．

指导学生共同小结

知识：本节课主要学习了圆周角定理及其推论．推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握．

能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角思想方法。

在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想．分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题．作业：1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？

（2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？

说明：一条弧所对的圆周角有无数多个，却这条弧所对的圆周角的度数只有一个，但一条弦所对的圆周角的度数只有两个．

（3）如图7-33在⊙O中，DE=2BC，∠EOD=64°，求∠A的度数？

教学反思：圆周角与圆心角的关系是近几年圆中的重点考点，所以要求学生熟练掌握。本节课从实际生活入手，创设问题情境，激发学生的求知欲和学习兴趣，使学生在运用数学知识解答问题中获得成功的体验。但是圆周角定理证明中的分类讨论会让学生感到棘手，应高度重视重视。