郑州大学高等代数2010考研真题
郑 州 大 学
2010年攻读硕士学位研究生入学试题
学科、专业：数学、数学各专业 研究方向：数学各方向
考试科目：高等代数（A ）915 (共2页) 答案一律写在考点统一发的答题纸上，否则无效 一填空（每小题5分，共30分）
*
1
*
1.31,1______
2A A A A A -=??-= ???
为阶方阵，是它的伴随矩阵，已知则行列式
()()112.31,1,0,0T
ij A a a b AX b ====为阶正交阵，且，则线性方程组的解是_______
()()
()()2
2
2
1231223313.,,22f
x x x x x x x x x =-+-+-实二次型的秩是_____
()
4._____A n t tE A t ∈-设为阶实对称矩阵，特征值为1，2，...,n ，则
时，正定填上的取值区间2122212D 2....____n n D A A +++=5.已知阶行列式的值是d ，它的第行所有元素都是，n>1
则的第行所有元素的代数余子式之和A
12346.4V A V 10001100
A A 00200
1
2εεεεA ????????????
已知是维线性空间的线性变换，在的基，，，的矩阵为=，那么的全体特征子空间的维数和是_____
二、计算与证明（共8题，每题15分，共120分）
1231231232351.320,,534,,x x x x x ax a b x x x b
a b a b -+=??
-++=??-+=?线性方程组参数取何值时方程组无解？
取何值时方程组有唯一解？取何值时方程组有无穷多解？（不需要求解方程组）
()()22
1
111221222.P 2V ,V 1
2,,,103
62A 0ij P A AX X X V E i j ?-=??
=∈
???
数域上级矩阵构成的线性空间为的线性变换，
已知令表示元素为其余元素都为的阶矩阵，求在E ,E ,E ,E 下的矩阵，并分别求值域AV 与核A
的一组基。
1
233.2
4612
3??
?
--- ? ??
?求复矩阵A=的初等因子和约当标准型.
()()()()()()()1231212312123124.,L L ,1,2,1,2,2,1,1,1,1,3,2,02,4,2,3,1,7,0,5αααββαααββαααββ==--==---=--=分别由向量,,与生成的子空间=,,，的和空间与交空间的基以及维数.
()5.A 01,2,...,1,0.A k k n n k n P >=-=设为实对称矩阵，记P 为为A 的k 阶顺序主子式，已知P 但证明：为半正定矩阵。
()
()()()()
()()()
()1211121212221
2126.,V ,,...,,,...,A ......
......
,,...
,,n n n n n n n n n A αααααααααααααααααααααααα??
?
?
= ?
?
???≠设,...,是维欧式空间中的一组向量，而证明当且仅当0时，,...,线性无关.
()()()
()()22
2
127....1,n i f
x x a x a x a a f
x =---+设为互不相同的整数，证明
在有理数域上不可约。
()()()
8.A ,m n A n B n s AB r B ?=?=设为矩阵，r 为矩阵，证明：r