第三章图形的平移与旋转讲义正式
第三章图形的平移与旋转讲义
基础概念专练：
⒈ 下列现象属于旋转的是（ ）
A.摩托车在急刹车时向前滑动
B.飞机起飞后冲向空中的过程
C.幸运大转盘转动的过程
D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车
2．在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是（ ）
3.如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ） A ．向右平移7格
B ．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴 对称，再以AB 为对称轴作轴对称
C ．绕AB 的中点旋转1800，再以AB 为对称轴作轴对称
D ．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格 4．在图形旋转中，下列说法错误的是（ ）
A.图形上各点的旋转角度相同
B.对应点到旋转中心距离相等
C.由旋转得到的图形也一定可以由平移得到
D.旋转不改变图形的大小、形状
5．如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案转的角度不同，它是( )．
6．如图所示，将△AB C ′沿着XY 方向平移一定的距离
成为△MNL ，就得到△MNL ，则下列结论中正确的是（ ） ①AM ∥BN ；②AM=BN ；③BC=ML ；④∠ACB=∠MNL A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
7．如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′ 交AC 于点D ，若∠A ′DC=90°，则∠A 度数为（ ） A.45° B.55° C.65° D.75°
8．如图，P 是等边△AB C 内部一点，∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的大小之比是5:6:7，所以PA 、PB 、PC 的长为边的三角形的三个角的大小之比是（ ） A. 2:3:4 B. 3:4:5 C. 4:5:6 D. 不能确定
9．如图，正方形ABCD 与正方形EFGH 边长相等，对于这个图案有下面说法：（1）这个图案可以看作是正方形ABCD 绕点O 旋转45°，前后的图形共同组成的；(2) 这个图案
A B
C
（A ） （B ） （C ） （D
）
第6题图 第7题图 第8题图
B A ’
可以看作△ABC 绕点O 分别旋转45°、90°、135°、180°、225°(3) 这个图案可以看作△BOC 绕点O 分别旋转°45、90°、135°、180°、225°、270°、315°. 则上述结论中正确的有( )．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10．如图11-10，O 是锐角△ABC 内一点，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝ 120°, P 是△ABC 内不同于O 的另一点, △A ′BO ′、△A ′BP ′分 别由△AOB 、△APB 旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论中正确 的有( )．①△O ′BO 为等边三角形，且A ′、O ′、O 、C 在一条直线上． ②A ′O ′＋O ′O ＝AO ＋BO ． ③A ′P ′＋P ′P ＝PA ＋PB ． ④PA ＋PB ＋PC>AO ＋BO ＋CO ．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．一个正方形绕着它的中心至少旋转________度，能够和原图形重合． 12.如图4,将⊿ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20,B 点落在D 点位置,A 点落
在E 位置,若AC ⊥DE,则∠BAC = _____________.
13．如图，△ABC 按逆时针方向绕点O 旋转了60°后成为△DEF ，那么
OA ＝_____，∠COF ＝_____度, ∠A ＝______。
14．在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=4, 现将△ABC 沿CB 方向平移到△
A 1
B 1
C 1的位置，若平移距离为3厘米， △ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分的面积是 。
15．分针旋转一周，时针旋转了 度，下午3点半时，时针和分针的夹角是 度， 秒
针经过20秒，秒针转过 度。
16．如图，正方形ABC D 、EFGH 的边长都为2，点E 是正方形ABC D 两条对角线的交点，
正方形EFGH 绕着点E
旋转，在旋转过程中，两正方形重叠的面积始终是
． 17．如图，将含30度角的直角三角板，沿着较长直角边BC 所在直线按图所示滚动一周，则B 点转动的度数为 ． 解答题部分：
18、如图8，△ABC 是直角三角形，∠C=90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°。
（1）试画出旋转后的△DCE ，其中B 与D 是对应点。
（2）在画出的图形中，已知AB=5，BC=3，求BE 的长。
19.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △ 的三个顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． （1）画出△ABC 向平移4个单位后的△A 1B 1C 1；
（2）画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2，并求点A 旋转到A 2所经过的路线长．
D F G H
E B A C 13题图 16题图 17题图 A
D
C
B A
20.如图，在正方形ABC D中，∠EAF=45°,把△ADF绕着点A，按顺时针方向旋转90°，到△ABM的位置.ME与EF相等吗？为什么？
21.如图,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得
到正方形EFCG，EF交AD于H，求FH的长
综合题专练：
1．如图10，在等边三角形ABC内部有一点P，已知，
112
,
131=
∠
=
∠BPC
APB
求以PA、PB、PC为边的三角形的各角的度数。
2、.如图，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们
的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、
C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）
（图1）（图2）（图3）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，
请证明：A H﹦
DH
（图4）（图5）（图6）
B
3、（1）如图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．
求∠AEB 的大小；
（2）如图，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠)，求∠AEB 的大小.
4、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O （0，0），A （3，0），B （0，4），请你画出以格点为顶点，OA ，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ；
（3）如图2，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°，得到△DBE ，连接AD ，DC ，∠DCB=30度．求证：DC 2+BC 2=AC 2，即四边形ABCD 是勾股四边形．
5、已知∠AOB=90°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB （或它们的反向延长线）相交于点D 、E 。 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），易证：OD+OE= OC 。
当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD 、OE 、OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
C B
O
D A B A O D C
E
23．(8分)将两块全等的含30°角的三角尺如图15(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3． (1)将△ECD 沿直线l 向左平移到图15(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______； (2)将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图15(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数=______；
(3)将△ECD 沿直线AC 翻折到图15(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证：AF =FD ′．
22、如图，等腰直角△ABC 中，∠ABC=90°，点P 在AC 上，将△ABP 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ ．
（1）求∠PCQ 的度数；
（2）当AB=4，AP ：PC=1：3时，求PQ 的大小； （3）当点P 在线段AC 上运动时（P 不与A 重合），请写出一个反映PA 2，PC 2，PB 2之间关系的等式，并加以证明．
26．（本小题满分8分）
已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==?，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，
EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1
2
DEF CEF ABC S S S +=
△△△． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
图15(3) 图15(4)
F E
C
A D B
l
D 'E
C
A D B
l
E 'D '图15(1) 图15(2)
C 'E '
E
C
A D
B l
l
B D A C
E
A
E C
F B
D
A
D
F
C
B
A
D
B
C
E F A
B
C
P
Q
26．解：图2成立；图3不成立． ························································································ 2分 证明图2：
过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥， 则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°
再证MDE NDF DM DN ∠=∠=， 有DME DNF △≌△
D M
E D N
F S S ∴=△△
D E F
C E
F D M C N D E C F S S S
S
∴==+△△四边形四边形
由信息可知1
2
ABC DMCN S S =△四边形 1
2
D E F C E F A B C
S S S ∴+=△△
△ ·················································································· 4分 图3不成立，DEF CEF ABC S S S △△△、、的关系是： 1
2
D E F C E F
A B C
S S S -=△△
△ 23、如图1，已知△ABC 中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板
DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．
（1）在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ．①证明DM=DN ；②在这一过程中，直角三角板DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积； （2）继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用证明．
图2
A D
B
C
E M N F