【第十四讲】FIR滤波器的最佳逼近汇总

南昌大学科学技术学院教案

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南昌大学科学技术学院讲稿

7.6 FIR滤波器的最佳逼近

采用窗函数法设计FIR滤波器方法简单，通常会得到一个性能相对很好的滤波器。但是在以下两个方面的问题，这些滤波器的设计还不是最优

的：

（1）通带和阻带的波动基本上相等，虽然一般需要δ2小于δ1，但是在窗函数法中不能分别控制这些参数。所以，窗函数法需要在通带内对滤波器“过设计”（即通带内的技术指标超过所要求的技术指标），这样才能满足阻带的严格要求。

（2）对于大部分窗函数来说，通带内或阻带内的波动不是均匀的，通常离开过渡带时会减小。若允许波动在整个通带内均匀分布，那么就会产生较小的峰值波动。

另一方面，对于一个给定的滤波器阶数M（M=N-1），在所有频带内波动的幅度最小。在这个意义上说，等波纹线性相位滤波器是最优的。所以，等波纹线性相位滤波器设计法又称为等波纹最佳一致逼近设

计法。

一个FIR 线性相位滤波器的频率响应可以写成

（7-123）

式中，幅度H (ω)是ω的实值函数。对于第一类线性相位滤波器 h (n )=h (N -1-n )

式中，N 是奇数。利用h (n )的对称性可以将频率相应表示为

（7-124）

式中，L =(N -1)/2，且有：

H d (ω)是期望的幅度; W (ω)是一个正的误差加权函数， 它是为在通带或阻带要求不同的逼近精度而设计的。一般地，在要求逼近精度高的频带， W(ω)取值大; 要求逼近精度低的频带, W (ω)的取值小。设计过程中W (ω)为已知函数。设

E (ω)=W (ω)［H d (ω)-H (ω)］

是一个加权逼近误差。等波纹滤波器设计问题就是求系数a (k )， 要

a

j j e H e H ωω

ω-=)()(∑==L

k k k a H 0)

cos()()(ωω??? ?

?-+=?

?? ??-=21)(21)0(N k h k a N h a 21,,2,1-=N k

求在一组频率F 上使E (ω)的最大绝对值最小，

例如，为了设计一个低通滤波器，频率组F 可以是通带［0, ωp ］和阻带［ωs, π］内的频率，如图7-29所示。过渡带［ωp , ωs ］是不关心的

化问题。

图 7-29 等波纹滤波器设计中的频率组， 包括通带［0, ωp ］和阻带［ωs, π］ 过渡带［ωp, ωs ］是不关心的区域

交错定理：设F 是［0, π］区间内封闭子集的并集，对于一个正的加权函数W (ω)，

在F 上，H (ω)能成为惟一使加权误差|E (ω)|最大值最小的函数。 其

|}

)(|max {min )

(ωωE F

k a ∈ω

1＋δ1

δ2

1－δ1

1

p s

不关心区域

F

∑==L

k k k a H 0cos )()(ω

ω

充要条件是：在F 上E (ω)至少有L +2个交错值。也就是说，在F 上必须至少有L +2 个极值频率，

ω0<ω1<…<ωL

+1

这样

E (ωk )=-E (ωk+1) k =0, 1, …,

L

且

k =0, 1, …, L+1 交错定理说明最优滤波器是等波纹的。虽然交错定理确定了最优滤波器必须有的极值频率（或波动）最少数目，但是可以有更多的数目。例如，一个低通滤波器可以有L +2个或L +3 个极值频率，有L +3 个极值频率的低通滤波器称作超波纹滤波器。

由交错定理可以得到：

W (ωk )［H d(ωk)-H (ωk )］=(-1)k ε k =0, 1, …, L +1 式中，

是最大的加权误差绝对值，这些关于未知数a (0), …, a (L )以及ε的方程可以写成下面矩阵的形式：

|)(|max |)(|ωωωE E F

k ∈=|

)(|max ωεωE F

∈±=

给定了极值频率，就可以解关于a (0), …, a (L )以及ε的方程。 为了求极值频率，可以采用一种高效的迭代过程，称作帕克斯-麦克莱伦（Parks McClellan ）算法。具体步骤如下：

① 估计一组初始极值频率（可任选）。

② 解方程（7-113）求ε，可以证明ε的值为 式中：

③ 利用拉格朗日插值公式在极值频率之间插值，计算F 上的加权误差函数。

④ 先选择使插值函数最大的L +2 个频率， 然后再选择一组新的极值频率。

?????

??

?

???

?????=??????????????????

???

?

?

???????????---+++++)()()()()()1()0()(/)1()cos()cos(1)(/)1()cos()cos(1)(/1)cos()cos(1)

(/1)

cos()

cos(111011

111111000L d L d d d L L L L L L L H H H H L a a a W L W L W L W L ωωωωεωωωωωωωωωωωω

∑∑+=+=-=

1

1

)

(/)()

1()

()(L k k k

L k k d

W k b H

k b ωωε)

cos()cos(1

)(1

,0i k L k

i i k b ωω-=

∏

+≠=

⑤ 如果极值频率改变了，从步骤②开始重复迭代过程。 一个设计公式可以用来计算一个低通滤波器的等波纹滤波器阶数， 过渡带宽度为Δf ，通带波动为δ1，阻带波动为δ2， 该公式为

(7-114)

7.7 FIR 等波纹设计举例

例 7-12 设计一个等波纹低通滤波器，通带截止频率ωp=0.3π，阻带截止频率ωs=0.3π，通带波动δ1=0.01，阻带波动δ2=0.001。

解 利用式（7-101）计算滤波器阶数，求

由于我们希望阻带内的波动比通带内的波动小10倍，所以必须采用加权函数对误差加权：

??

?-10

1

)(ωW 0≤|ω|≤0.3π

f

N ?--=6.1413)lg(1021δδ102

6.1413

)lg(1021=?--=

f

N δδ

图 7-30

实际中，一般调用MATLAB 信号处理工具箱函数

remezord 来计算等

波纹滤波器阶数N 和加权函数W (ω)，调用函数remezord 直接求滤波器的单位脉冲响应h (n )。

例 7-13 设计一个等波纹低通滤波器，通带截止频率ωp=0.6π，阻带截止频率ωs=0.8π，通带波动δ1=0.1，阻带波动δ2=0.1。

M=28 δ1=0.1 δ2=0.1

※

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☆

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7.8 FIR滤波器和IIR滤波器的比较

首先，从性能上说，IIR滤波器可以用较少的阶数获得很高的选择特性，这样一来，所用存储单元少，运算次数少，较为经济而且效率高。但是这个高效率的代价是以相位的非线性得来的。选择性越好，非线性越严重。相反，FIR滤波器可以得到严格的线性相位。但是，如果需要获得一定的选择性，则要用较多的存储器和较多的运算，成本比较高，信号延时也较大。然而，FIR滤波器的这些缺点是相对于非线性相位的IIR滤波器比较而言的。如果按相同的选择性和相同的相位线性要求的话，那么，IIR滤波器就必须加全通网络来进行相位校正，因此同样要大大增加滤波器的节数和复杂性。所以如果相位要求严格一点，那么采用FIR滤波器不仅在性能上而且在经济上都将优于IIR。

从结构上看，IIR必须采用递归型结构，极点位置必须在单位圆内; 否则, 系统将不稳定。此外，在这种结构中，由于运算过程中对序列的四舍五入处理，有时会引起微弱的寄生振荡。相反，FIR滤波器主要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，运算误差也较小。此外，FIR滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。

从设计工作看，IIR滤波器可以借助模拟滤波器的成果，一般都有有效的封闭函数的设计公式可供准确的计算。又有许多数据和表格可查，设计计算的工作量比较小，对计算工具的要求不高。FIR滤波器设计则一般没有封闭函数的设计公式。窗口法虽然仅仅对窗口函数可以给出计算公式，但计算通阻带衰减等仍无显式表达式。一般，FIR 滤波器设计只有计算程序可循，因此对计算工具要求较高。

此外，还应看到，IIR滤波器虽然设计简单，但主要是用于设计具有片段常数特性的滤波器，如低、高、带通及带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。而FIR滤波器则要灵活的多，尤其是频率采样设计法更容易适应各种幅度特性和相位特性的要求，可以设计出理想的正交变换、理想微分、线性调频等各种重要网络。因而有更大适应性和更广阔的天地。

从以上简单比较我们可以看到IIR滤波器与FIR滤波器各有所长，在实际应用时要从多方面考虑来加以选择。从使用要求来看，如对相位要求不敏感的语言通讯等，选用IIR较为合适。而对图像信号处理、数据传输等以波形携带信息的系统，一般对线性相位要求较高，这时采用FIR滤波器较好。当然, 在实际设计中, 还应综合考虑经济上的要求

以及计算工具的条件等多方面的因素。

本章小结

本章是本课件的一个重点.主要介绍了IIR滤波器与FIR激光器的设计方法.IIR滤波器的双线性变换与冲激响应不变法与FIR滤波器的窗函数法与频率采样法.也是很多高校考研命题的重点内容

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