万有引力与航天知识点总结
332T=2.GM GM GM r M v a G r r r ωπ=== ， ， ，万有引力定律
①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正
比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即: 其中G =6. 67×10－11N ·m 2/kg 2 ②适用条件
1.可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离.
2.质量分布均匀两球体间,r 为两球
体球心间距离。
③运用万有引力与重力的关系:重力是万有引力的一个分力，一般情况下，
可认为重力和万有引力相等。
忽略地球自转可得： 二. 重力和地球的万有引力:
1.地球对其表面物体的万有引力产生两个效果：
（1）物体随地球自转的向心力： F 向=m ·R ·（2π/T 0）2，很小。
由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化
而变化.
（2）重力约等于万有引力：在赤道处：mg F F +=向，所以R m R
GMm F F mg 22自向ω-=-=，因地球自转角速度很小,R m R GMm 22自ω>>，所以2
R GM g =. 说明：如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相
应减小,就不能再认为重力等于万有引力了.如果星球自转速度相当大,使得在它赤道上的物
体所受的万有引力恰好等于该物体随星球自转所需要的向心力,那么这个星球就处于自行崩
溃的临界状态了。
在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小,即2)('h R GM g +=
. 强调:g =G ·M /R 2不仅适用于地球表面，还适用于其它星球表面。
2.绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力,万有引力、向心力、重力
三力合一。
即:G ·M ·m /R 2=m ·a 向=mg ∴g =a 向=G ·M /R 2
三. 天体运动：
1. 开普勒行星运动规律：
（1)所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上.
（2)对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等。
（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。其表达式为：
k T
R =23
，其中R 是椭圆轨道的半长轴,T 是行星绕太阳公转的周期，其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。。
2。 基本问题是研究星体（包括人造星体）在万有引力作用下做匀速圆周运动.
基本方法：将天体运动理想化为匀速圆周运动,所需的向心力由万有引力提供.即：
G ·M ·m /r 2=m ·v 2/r =m ·ω2·r =m ·（2π/T ）2·r
3. 绕行中心星体的运动的快慢与绕行半径的关系：
r 越大，v 越小，ω越小,a 越小,T 越大。 4。 中心天体质量M 和密度ρ的估算:
测量卫星绕天体匀速圆周运动的半径r 和周期T ，由G ·M ·m /r 2=m ·r ·（2π/T ）2得M =4π
2?r 3/G ?T 2再测量天体的半径,得到ρ=M /V =M /(34π?R 3）=4π2?r 3/（G ?T 2?3
4π?R 3)=3π?r 3/（G ?T 2?R 3）
122m m F G r =2
R Mm G mg =
若卫星绕天体表面圆周运动，则：ρ=3π/（G ?T 2)
5．计算重力加速度 地球表面附近（h 《R ） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h 处 方法： 在质量为M,半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g 方法： 6. 双星:
宇宙中会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球较远，因此其它星球对它
们的万有引力可以忽略。这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一点做同周期的匀速
圆周运动,叫做双星.
(1）由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等,即双星做
匀速圆周运动的角速度必相等,因此周期也必然相同。
（2）由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等,
由F=mr ω2可得m r 1
∝，得L m m m r L m m m r 2
1122121,+=+=
，即固定点离质量大的星较近。 （3)公式： 注意:万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，按题意应该是L ，而向心力表达式中
的r 表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r 1、r 2，千万不可混淆.
当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都
可以忽略不计）,其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因
此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。
7。人造地球卫星:
(1）近地卫星:
近地卫星的轨道半径r 可以近似地认为等于地球半径R ，又因为地面附近2R GM g =,所以有min 85101.52,/109.733=?==?==s g
R T s m gR v π。它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。
（2)地球同步卫星：(通讯卫星）①运动周期与地球自转周期相同，且T=24h ；②运转角速
度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期；③同步卫星高度不变，运行速率不变
（因为T 不变)；④同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方.
(3)三种宇宙速度：
①第一宇宙速度（环绕速度）：人造地球卫星最小的发射速度,等于物体近地圆运动的运行速
度。
推导:由G ·M ·m /R 2=m ·v 12/R 或m ·g =m ·v 12/R
得v 1=R g r M G ?=?/ =7. 9km /s
②第二宇宙速度（脱离速度）：物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。v 2=11. 2km /s
③第三宇宙速度（逃逸速度):物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。v 3=16。 7km /s
(四)同步卫星的特点：
地球同步卫星是相对地球表面静止的稳定运行卫星。
1.地球同步卫星的轨道平面，非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而同步
卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。
2。地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。
2
')(h R Mm G mg +=2''''''R m M G mg =12
2121m m v v R R ==2R
Mm G mg =
3。地球同步卫星的轨道半径:据牛顿第二定律有GMm/r 2=m ω02r ，得r= ，ω0与地球自
转角速度相同，所以地球同步卫星的轨道半径为r=4。24×104 km.其离地面高度也是一定
的.
4.地球同步卫星的线速度：地球同步卫星的线速度大小为v=ω0r=3。08×103 m/s,为定值，
绕行方向与地球自转方向相同
8。 人造卫星的运行规律
9.
常用结论： （1)天上”:2M ma=m m F G r πω??= ???2
22v 2一条龙：＝=mr =mr r T
(2）“地上”：万有引力近似等于重力 2GM gR 黄金代换：＝ 练习
1.神舟七号沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T,如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动,椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R0,求飞船由A 点返回到地面B 点所需的时间。
2.假如一个做圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍仍做圆周运动，则（ )
A ．根据公式v=ωr 可知，卫星运动的线速度将增加到原来的2倍
B ．根据公式F=mv 2／r 可知，卫星所需向心力减小到原来的1/2
C ．根据公式F=GMm ／r 2可知，地球提供的向心力将减小到原来的1/4
D ．根据上述B 和C 中给出的公式,可知卫星运动的线速度将减小到原来的2/2
3。某星球的质量约为地球的9倍，半径为地球的一半,若从地球上高h 处平抛一物体，射程为60m ，则在该星球上以同样高度、以同样初速度平抛同一物体，射程为多少？
4。宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处。（取地球表面重
力加速度g ＝10 m/s 2，空气阻力不计）
⑴求该星球表面附近的重力加速度g /；
⑵已知该星球的半径与地球半径之比为R 星：R 地＝1：4,求该星球的质量与地球质量之
比M 星：M 地。
5。地球表面的重力加速度为g 0，物体在距地面上方3R 处(R 为地球半径）的重力加速度为g ，那么两个加速度之比g /g 0等于 （ ） A.1：1 B.1:4 C.1：9 D 。1:16
6．地球半径为R ，地面重力加速度为g,地球自转周期为T ，地球同步卫星离地面的高度为h ，则地球同步卫星的线速度大小为（ ）
7．人造地球卫星在运行中，由于受到稀薄大气的阻力作用,其运动轨道半径会逐渐减小，在此进程中,以下说法中正确的是( ）
22(1) :M m GM v G m v r r r ==卫地地卫由得223
(2) :M m GM G m r r r ω==卫地
地卫由得23224 2(3) :M m r G m r T r T GM ππ==卫地卫地
由得r T r m r v m r Mm G 22
222ω===R R0 A
B