初中角平分线(中考)

角平分线辅助线添加 一．点在线，垂两边

1. 角平分线定理的构造（过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线上的

点到角两边距离相等的性质证明.

eg

Eg2

小结：

求角平分线上的点到已知边上的垂线段的长，一般使用面积公式，依据等积原理列方程求解

E

F

D

A B

C

在ABC 中，∠BAC=90.00°，AB=3，M 为BC 上一点连接AM ，若将ABM 沿AM 折叠则B 恰好落于AC 的中点处，那么M 到AC 的距离（ ）

D

E M A

B

C

E

D

C

A

B

在A B C 中

，∠B C A =9

0.00°，C D =1.5，

B D =2.5.则

A C =（）

eg

2．角边等，造全等。

在角两边截取相等线段，结合角平分线性质构造全等三角形

如图,已知:在四边形ABCD 中,AB//CD,BE 平分∠ABC,AB+CD=BC 求证:CE 平分

∠.BCD

如图,已知:在四边形ABCD 中,AB//CD,BE 平分∠ABC, CE 平分∠.BCD 求证:AB+CD=BC

小结：利用截长补短法证明线段的和差关系（思考能否证明线段的不等关系）是一种常用的方法，当要证明两条线段之和等于第三条线段时，可先在较长线段上取一

∠GBP=∠PBC,∠BCP=∠HCP 求证：AP 平分∠BAC

P

A

G

H

B

C D E

F F

D

E

B

A

C

F D E

B A C

段让其等于较短的线段，然后再证明，较长线段剩余部分（线段）等于另一线段，从而问题得证。

此种题属于证线段和差关系，关键在于如何添加辅助线转化。

已知AD 为△ABC 的中线，且∠BDE ＝∠ADE,∠CDF ＝∠ADF,求证：BE ＋CF ＞EF 。

在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 为∠BAC 的平分线， P 为AD 上任一点。

由上面的例题可以看出在证明线段和差关系是若是相等则在那条线段上截取是很明显的，其实在一些稍复杂的题目中我们也可以借助线段见的数量关系，间接 的在其关联线段上截取。 同时我们有例题可以看到当利用截长补短法证明线段之间不等关系时，对于如何截长，如何补短要明白我们添加辅助线是为了把一些不关联线段放到同一个三角形中进而利用三角形三边关系进行处理，这是前提也是依据，所以在添加之时要看你所添加的辅助线能否达到这样的效果。 练习：

1、如图,∠ABC=40o,∠ACB=60o,BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过O 点，且DE ∥BC ， 则∠BOC=_____

2.有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6厘米，BC=8㎝，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，

F E

D

A

B

C

D

A B

C

P

B C A

D E O

使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长

3.角平分等腰呈

0有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。

1.

有角平分线时，也可以过角的一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，从而构造等腰三角形

Eg:

在△ABC 中，AB≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE ＝EC ，过D 做DF ∥BA 交AE 于 点F ，DF ＝AC 。证：AE 平分∠BAC

E

D

C

B

A

B

A o

C A C

B

D

O

E

已知,如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC,BD ⊥AD 于D,点E 在BC 边的中点,AB=8,AC=12求DE 的长

已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD,DE 平行AC,求证BE=AE

小结：利用角平分线和平行线构造等腰三角形是证明线段和角相等的常用方法，在这个知识中重点和难点是如何利用集形法重新构造图形：将分散条件集中到重新构造的图形中。 不理解可以在后续学习中慢慢体会，不做很高要求。 练习：1.

G

F

D

E

C

B

A E

D

A

B

C

E

D

C

A B

在ABC 中，AB=AC ，BD ，AM 分别是∠ABC ，∠BAC 的平分线，DN ⊥BC ，GF ⊥BD ，求证：MN=

BF 4

二．角分垂 等腰归

从角一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以便利用等腰三角形三线合一性质（若题目条件中有垂直与角平分线的线段，则延长该线段止于角的另一边）。另外所做的垂直还能够构造一对全等的直角三角形

F N

G D

M C

B A

2。过ABC 的边BC 的中点D 作∠BAC 的平分线AG 的平行线交AB ，BC 及CA 的延长线于点E ，D ，F 。求证：BE=CF

E

F G

D B

C

A

A

B

E

D

O

F

已知在ABC 中，∠ABC=3∠C ，∠BAE=∠MAE ，BE ⊥AE 。求证：AC AB=2BE

方法一：

E

M A

B

C

在ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 的延长线于M ，求证：AM=

AB+AC ()

2

M

C

D

B

A

M

C

D

A

B

E

F

方法二：

方法三：

小结：当三角形中存在与角平分线垂直的线段时，通常利用轴对称变换构造三角形全等和等腰三角形进而的线段和角的关系。 练习;

M

C

D

A

B

F

M

C

D

A

B E N

∠BAE=∠CAE,CF ⊥AE 于F ，BE ⊥AE 于E ，G 为BC 中点，连接GE ，GF 。求证：GF=GE

5.加等角，相似找

有角平分线出现时将等角放于直角三角形中，构造相似三角形，也可另加一对相等的角构造相似三角形

D E

G F C

A

B

已知在ABC 中，BD ，CE

是ABC 的角平分线AF ⊥CE ，AG ⊥BD ，连接FG 。求证：FG BC

G

F

D E A B

C

A

B E

F

C

O

D

A B

N

D

F

O C E

A

B

G E

D

C

求证：

111OP OQ OR

+=

方法一：

方法二：

Q

1与Q 2外切于点P

，直线Q 1Q 2

交Q 1与点A ，交Q 2与点D ，点C 在Q 2上，连接AC 交Q 1与点B ，且PC 平分∠BPD 。求证：PC 2=PB ?PD

C

D

A

Q 2

Q 1P B

∠XOY=120°，OE 平分∠XOY ，直线PRQ 分别交OX ，OE ，OY 于点P ，R ，Q 。

Y E

X

Q

O

P

R

Y X

Q

O

N

P

R

方法三：

方法四：

方法一：

Y X

M Q

O

P

R

Y E

X

g Q O

P

R Y X

P

H

Q

O

R 已知在ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB 交BC 与点D ，CD ；BD=3:5，AB=10.求BC 的长

D

C

B

A

方法二:

小结：主要是构造另一相等角从而依据两角相等构造三角形相似。这部分重点结合圆的有关知识思考。

六．等角现 连对弦

主要是能够在圆中找到角平分线时的处理

1. 连等角对的弦，利用圆中的有关定理得相等线段

2. 连等角对的弧所对的其他圆周角（圆心角），利用圆周角定理及其推论得角的相等关系。

E

D

C

B

A h

N

D C

B

A

N

M C 8

A P

B

C

D

3. 连接圆心与角平分线和圆的交点，利用垂径定理得线段的垂直平分线

其实这部分内容主要是利用垂径定理及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角（圆心角）相等

U 8

E 8

R 8

S 8

T 8

V 8

Z 8

G 8

W 8

X 8

Y 8

ABC 内接于O,AD 为ABC 的高，AM 平分∠BAC 。求证：（1）AB ?AC=2AD ?AO （2）AM 平分∠OAD

E

M D

O

A

B

C

ABC 内接于O ，AD 平分∠BAC ，交BC 与点D ，AD 的延长线交O 与点M ，过M 作PQ 平行

BC 分别交AB ，AC 的延长线与点P ，Q 求证：PQ 是O 的切线

P

Q M D

O

B A

C ABC 内接于O ，BQ 平分∠ABC 交O 与点Q ，交AC 与

D ，PB 切O 于B ，交AC 延长线于点P 求证：PD 2 =PC ?PA

P

Q

D

O

A

B

C

在直角ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD 是ABC 的角平分线，过A ，C ，D 三点的圆与斜边AB 交于点E 。求证：AC=AE

E

D

O A

C

B

新北师大版八年级下册数学 《角平分线(1)》教案

4．角平分线（一） 一、学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。 二、教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为： 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。 教学难点： 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业 1：情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE， 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗? 2：探究新知 （1）引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在 全班进行交流． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P 2 1 E D C P O B A

在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题． 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题： 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题． (由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 证明如下： 已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)． 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习 综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展

讲义 角平分线辅助线

人教版八年级上第十二章 全等三角形 12.7 角平分线辅助线添加方法 教师： 学生： 时间： 教学目标：学会解平面几何题常用辅助线作法——题中有角平线的时。 重难点：根据平面几何题中有角平分线时——采用相对应的辅助作法。 知识回顾与新知识准备 【回顾要点】 角平分线的性质： 1、 2、 3、 【新知识】 角平分线辅助线添加1：角分线上点向角两边作垂线构全等 【知识要点】 角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上 的点到两边距离相等的性质来证明问题。 【典型例题】 【例1】如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD A B C D

1、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180度，CE⊥AD于E，猜想AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想， 2、如图，已知∠B=∠C=90。，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，探究线段BM与CM的关系，说明理由。 【例2】如图，△ABC中，AD是∠A的平分线，E、F分别为AB、AC上一点，且∠EDF＋∠BAF=180°，求证：DE=DF. 举一反三：如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG. 角平分线辅助线添加方法2------截取构全等 E B A C D B C M A D

【知识要点】 截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ， 从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 【典型例题】 【例1 方法2】如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD 图1-1 O A B D E F C A B C D

角平分线四大辅助线模型 总结+习题+解析

角平分线四大辅助线模型 角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到角平分线的考点主要是性质、判定以及四大辅助线模型，在初二上期中、期末考试中都是经常考察的方向。 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 角平分线判定：到角的两边距离相等的点在角的角平分线上． 四大模型 1、角平分线+平行线，等腰三角形必出现 已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D． 则△ODC为等腰三角形，OD=CD． 2、角平分线+两垂线，线等全等必出现 已知：OC平分∠AOB． 辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．

3、角平分线+一垂线，中点全等必出现 已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C． 辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、角平分线+截长补短线，对称全等必出现 已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE． 则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．

【核心考点一】角平分线的性质与判定 1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若3PA =，则PQ 的最小值为( ) A B ．2 C ．3 D ．【分析】 首先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据角平分线的性质，即可求得PB 的值，又由垂线段最短，可求得PQ 的最小值． 2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的角平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= ) A ．3:4 B ．4:3 C ．16:9 D ．9:16 【分析】 利用角平分线的性质，可得出ABD ?的边AB 上的高与ACD ?的AC 上的高相等，估计三角 形的面积公式，即可得出ABD ?与ACD ?的面积之比等于对应边之比． 3．（2017春?崇仁县校级月考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )

(八年级数学教案)数学教案-角的平分线

数学教案-角的平分线 八年级数学教案 3.9角的平分线 教学目标 1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用. 2.理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题. 3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点. 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点. 教学过程设计 一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1,复习引入课题. (1)提问关于直角三角形全等的判定定理.

(2)让学生用量角器画出图3-86中的/ AOB的角

平分线oc. 2.画图探索角平分线的性质并证明之. (1)在图3- 86中，让学生在角平分线OC上任取一 点P,并分别作出表示P点到/ AOB两边的距离的线段 PD, PE (2)这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理. (3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1),分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式. 3.逆向思维探求角平分线的判定定理. (1)让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2――角平分线的判定定理. (2)教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1,由所给条件判定出角平分线是定理2. (3)教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程. 4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.

(1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性). (2)在角的内部，至U角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而不在其它位置，渗透集合的完备性). 由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合. 二、应用举例、变式练习 练习1填空：如图3-86 (1) v OC平分/AOB,点P在射线0C上， PD丄OA于D PE丄OB于E.「. ----- (角平分线的性质定理). (2) v PD丄OA, PEL OB, -------- 二0P平分/AOB ( --------- ) 例1已知：如图3-87 (a), ABC的角平分线BD和CE交于F. (1)求证：F到AB, BC和AC边的距离相等； (2)求证：AF平分/ BAC; (3)求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等； (4)怎样找△ ABC内到三边距离相等的点?

一 遇角平分线常用辅助线

第一章 遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法： 一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线 ，补得等腰现 例1．已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求AC ． 邦德点拨：过点D 作DE ⊥AB ，则DE=CD ，AE=AC ， 再利用方程思想、勾股定理解AC ． B E D C

练习1：已知如图，P 为△ABC 两外角∠DBC 和∠ECB 平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC ． 例2．已知如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD ． 邦德点拨：在BC 上截取BF=BA ，问题转化为证CF=CD ． 练习2．已知如图，AD 是△ABC 的内角平分线，P 是AD 上异 A B C E D P A P C B E D A F B

于点A的任意一点，，试比较PB-PC与AC-AB的大小，并说明理由．

例3．已知如图，在△ABC 中（AB AC ），D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DF=AC ，求证：AE 平分∠BAC ． 邦德点拨：过C 点作AB 平行线交AE 延长线于点G ， 则∠G=∠BAE ，接下只需证∠G=∠CAE ． 练习3．已知如图，过△ABC 的边BC 的中点D 作∠BAC 的平分线AG 的平行线，交AB 、BC 及CA 的延长线于点E 、D 、F ．求证：BE=CF ． A E F B C D G F A E B C G D

角平分线及中点辅助线技巧要点大汇总

全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC B 图1-2 D B C

例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 练习 1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B= 2∠C ，求证：AB+BD=AC 2． 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ， 求证：AE=2CE 3． 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。 求证：BM-CM>AB-AC 图1-4 A B C

遇角平分线常用辅助线

第一章遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法：一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线，补得等腰现

练习1：已知如图，P为△ABC两外角∠DBC和∠ECB平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC．

例3．已知如图，在△ABC中（AB≠AC），D、E在BC上，且DE=EC，过D作

例4．如图，ΔABC 中，过点A 分别作∠ABC, ∠ACB 的外角的平分线的垂线AD 、AE ，D 、E 为垂足．求证： （1）ED//BC ； （2）ED=2 1（AB+AC+BC ）． 邦德点拨：延长AD 、AE 交直线BC 于F 、G ， 可证得△BAF 、△CAG 为等腰三角形． 练习4．已知如图，等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，求证：BD=2CE ． 【homework 】 1．已知如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ．如 果BC=6，求△DEF 周长． 2．已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，BC=CD ．求证：AC 平分∠BAD ． A D E C B A E D F G C B A D F E C B

B C A D

3．已知如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点，求证：DH=2 1(AB-AC)． 4．如图，ABC ?中，AM 平分A ∠，BD 垂直于AM ，交AM 延长线于点D ，DE∥CA 交AB 于E ．求证：AE=BE ． 5．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD ． A B H D C A E C M B D A E B D C

八年级数学上 角平分线的作法

一. 教学内容： 1. 角平分线的作法． 2. 角平分线的性质及判定． 3. 角平分线的性质及判定的应用． 二. 知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点； ②分别以C 、D 为圆心，大于1 2 CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求． O A B ① ② ③ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， 垂足分别为点A 、点B ． 求证：PA ＝PB ． O P A B M N 12 C 证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO 和△PBO 中，???? ?∠PAO ＝∠PBO ∠1＝∠2 OP=OP ∴△PAO ≌△PBO ∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

O P A B M N 12 如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ． （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ． 求证：点P 在∠MON 的平分线上． O A B M N P 证明：连结OP 在R t △PAO 和R t △PBO 中，? ????PA ＝PB OP ＝OP ∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） O P A B M N 1 2 C 如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．

人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》

角的平分线的性质 教学目标 知识与技能： 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法； 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点： 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 教学过程： 一、创设情景 生活中有很多数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。 二、探究体验 要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A 点放在角的顶点处，AB 和AD 沿角的两边放下，过AC 画一条射线

A F C B E AE ，AE 即为∠BAD 的平分线。 学生口述，用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。 多媒体展示实验过程。 把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC =DC ，从几何作图角度怎么画？ 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕．让学生分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等） 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程．教师归纳，强调定理的条件和作用． 三、合作交流 判断正误，并说明理由： （1）如图1，P 在射线OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，则PE =PF ． （2）如图2，P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，E 、F 分别在OA 、OB 上，则 PE =PF ． （3）如图3，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3cm ，则P 到OB 的距离边为3cm ． 让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题： 问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？ 四、例题讲解 例1 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD =CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．求证：EB =FC ． E O B A O B P E F 图2 图3 A O B P E A O B P E F 图1

角平分线辅助线专题练习

D A B C 角平分线专题 1、 轴对称性： 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。 思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图， 2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形 3、 定义：带来角相等。 4、 补充性质：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则有AB:AC=BD:DC 针对性例题： 例题1：如图，AB=2AC ,∠BAD=∠DAC,DA=DB 求证：DC ⊥AC

B 例题2：如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH 例题3：如图1，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．： 思路一：利用“角平分线的对称性”来构造 因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有 角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形． 证法1：如图1，在BC 上取BE=AB ，连结DE ，∵BD 平分 ∠ABC ，∴∠ABD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠A=∠DBE ，AD=DE ，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC ，DE=DC ， 则AD=DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、BD 于E 、F ， 连结DE ，由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△EBF ，则AB=BE ， BD 平分∠ABC ，BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴AD=ED ，∠BAD=∠DEB ，又∠BAD+∠C=1800， ∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC ，则DE=DC ，∴AD=DC ． 说明：证法1，2，都可以看作将△ABD 沿角平分线BD 折向BC 而构成 全等三角形的． 证法3：如图3，延长BA 至E ，使BE=BC ，连结DE ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠C=∠E ，CD=DE ，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800， ∴∠E=∠DAE ，DE=DA ，则AD=DC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线BD 折向BA 而构成全等三角形的． B A C D E 图1 B A C D E F 图2 B A C D E 图3

八年级数学：角的平分线(教学设计)

初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构

角的平分线(教学设计) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 知识结构 重点与难点分析： 本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。 本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。 教法建议： 整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接参加课堂活动，将教与

学融为一体。具体说明如下： （1）做好铺垫 新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的学习奠定了图形基础。 （2）主动获取 利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此定理。 （3）激荡思维 在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调：两个定理的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。

角平分线的几种辅助线作法与三种模型

角平分线的几种辅助线作 法与三种模型 Prepared on 22 November 2020

一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥OB，交OA于点E，则EO=EP. AAA EPCEC DFEP OBBCOFB 图1图2图3 例1如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作 EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF， PE=PF. 例2如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD， 垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D AE AP /BC DB/BC

图5图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1 ()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ ECD ． 二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。 三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段 1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2 2、2、如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 2 1F E D C B A N P E D C B A 2 1 P F E C B A A G C H D E F 图2 A B D C E F 图

一遇角平分线常用辅助线

邦德点拨：过点 D 作 DEL AB 」DE=CD AE=AC 再利用方程思想、勾股定理解 AC. 练习1:已知如图，P ABC 两外角/ DBC 和/ ECB 平分线的交点，求证: ?角边相等，可造全等 在角的两边取相等线段，可得全等三角形. 如图，若 0P 为/ AOB 角平分线，可在 0B 上取OF=OE 则可用结论有：（1）证得△ 0卩瞪厶OPE 第一章 遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法: ?点在平分线，可作垂两边 ?角边相等，可造全等 ?平分加平行，可得等腰形 四?平分加垂线，补得等腰现 ?点在平分线，可作垂两边 例1 ?已知如图, O 在厶 ABC 中，/ C=90 °，AD 平分/ CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求 AC . AP 平 C . BA D A A B D E C C

(2) 证得PF=PE OF=OE (3)证得/ PFO=Z PEO / OPF=/ OPE 例2.已知如图，AB//CD , BE平分/ ABC, CE平分/ BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD 邦德点拨：在BC上截取BF=BA问题转化为证CF=CD 练习2.已知如图，AD是厶ABC的内角平分线，P是AD上异于点与AC- AB的大小，并说明理由. 三?平分加平行，可得等腰形 1?过角平分线上一点，作角的一边平行线，可构造得等腰三角形或相 似； 则可用结论有：（1）证得△ OEF是等腰三角形； 1 （2）证得/ E=^ / AOB A B F C P A 的任意一点，E，试 如图，若OP为/ AOB平分线，过直线OB上一点E，作OP平行线交OA于点F，

角平分线的几种辅助线作法与三种模型精编版

1 一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作PE ∥OB ，交OA 于点E ，则EO=EP. A A A E P C E C D F E P O B B C O F B 图1 图2 图3 例1 如图2，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作EF ⊥OC ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，则OE=OF ，PE=PF. 例2 如图4，BD 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BD ，垂足为D ，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，沿角平分线AD 将△ABD 往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD ≌△AB /D.此翻折 相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E A P / B C D B / B C 图5 图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证： PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1 ()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ． 2 1F E D C B A A B D C E F 图

初中数学八年级上册《角平分线的性质》优秀教学设计

12.3 角的平分线的性质 第1课时角平分线的性质 一、教学目标 （一）知识与技能 1.会作已知角的平分线； 2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质； 3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算. （二）过程与方法 在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力. （三）情感、态度与价值观 在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验. 二、教学重点、难点 重点：角的平分线的性质的证明及应用； 难点：角的平分线的性质的探究. 三、教法学法 三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式. 四、教与学互动设计 （一）激情导课 如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？ （二）民主导学 1、探究一：角的平分线的作法 Ⅰ、议一议 问题1 请你拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线. 问题2 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB 和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗? 问题3 通过上面的探究，你有什么启发？你能用尺规作图作已知角的平分线吗？请你试着做一做，并与同伴交流. 已知：∠ MAN

A B BD 2 1 求作：∠MAN的角平分线. 作法：（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B，交AN于 D. （2）分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两 弧在∠MAN的内部交于点C. （3）画射线AC. ∴射线AC即为所求. Ⅱ、练一练 平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线 CD.直线CD与直线AB是什么关系？ 思考：你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗？请说明你 的方法。 2、探究二：角的平分线的性质 Ⅰ、做一做 如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然 后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？试着证明你的结论. （1）角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. （2）角的平分线性质的证明步骤： ①明确命题中的已知和求证; 已知:一个点在一个角的平分线上. 结论:这个点到这个角两边的距离相等. ②M根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证; 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分 别为点D、E. 求证: PD=PE. ③M经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知) ∴∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠AOC= ∠BOC （已证） B P O A C E D

三角形中做辅助线的技巧及典型例题

三 角 形中做辅助线的技巧 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△ OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条 件。 例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分 ∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。 例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，D A =D B ，求证D C ⊥AC 例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B, AD 平 分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的 是截取法 图1-2 D B C 图1-4 A B C

八年级数学上册角的平分线导学案无答案新人教版

山东省烟台市郭城一中八年级数学上册《角的平分线》导学案新人教版 一．学习目标： 1.能够理解和证明三角形三条角平分线位置关系定理。 2.通过例题进一步理解和巩固证明的方法和要求。 3.通过学习活动，进一步提高推理证明能力和推理证明的意识，培养抽象概括能力。 4.通过交流合作、独立思考等活动，进一步提高分析问题，解决问题的技巧。 5在参与数学学习的活动中，培养合作交流的良好习惯。 二．重点: （1）三角形三条角平分线位置关系定理及其证明；（2）综合运用。 三．难点 三角形三条角平分线位置关系定理的证明。 四．学习过程 （一）自主探究。 1.知识回顾1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为______度. 。2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________ 3．∠AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________. 4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________. 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm. 第4题第5题 2.探究新知. (1)问题:如图在?ABC中，∠A的平分线和∠B的平分线相交于点I，如图所示，I在∠C的平分线上吗？同学们,你知道满足什么条件的点在角的平分线上吗 ① ② 。 分析题意你可以发现本题我们应该用的方法是 因此我们应该怎样添加辅助线啊 写出你的证明过程 ② 由此可以得到三角形的三条角平分线相交于点，并且这一点到三角形的三条边的距离相等。（2）如图，在△ABC中 AC=BC ∠C=900AD 是角平分线，DE⊥AB 垂足为点E。①已知CD=4，求AC 的长 求证：AB=AC+CD ①的分析： ①的证明过程

(完整版)八年级数学角平分线的性质练习题

角平分线的性质练习题 1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在 _____________． 2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。 6、点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 7、在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 . 8、三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 10、如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 11、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 2 1 D A P O E B l 2 l 1 l 3 第9题 第10题 第11题 第3题 第4题 D C A E B

三角形中的常用辅助线方法总结

三角形中的常用辅助线方法 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

数学：三角形中的常用辅助线 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助 线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程： 证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。 在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，