2021届甘肃省天水一中高三上学期第一次考试数学(理)试题(解析版)

2021届甘肃省天水一中高三上学期第一次考试数学（理）试

题

一、单选题

1．设集合{}lg 0A x x =<，1222x

B x ??=<

，则（ ）

A ．A

B = B ．A B ?

C ．B A ?

D ．A

B =?

【答案】B

【解析】解对数不等式和指数不等式确定集合,A B ，再判断集合的关系． 【详解】

由已知{|01}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，所以A B ?． 故选：B ． 【点睛】

本题考查集合的包含关系，确定集合中的元素是解题关键．

2．已知函数23x y a -=+ (0a >且11a a ≠≠的图像恒过定点P ，点P 在幂函数

()y f x =的图像上，则3log (3)f =（ ）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

【答案】D

【解析】根据指数函数的图象与性质，求出定点P 的坐标，再利用待定系数法求出幂函数()f x ，从而求出3log (3)f 的值． 【详解】

解：函数23x y a -=+中，令20x -=，解得2x =， 此时134y =+=，所以定点(2,4)P ； 设幂函数()

a y

f x x ，

则24a =，解得2a =； 所以2

()f x x =， 所以2

(3)(3)9f ==，

33log (3)log 92f ∴==．

故选D ． 【点睛】

本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基础题．

3．设524a

=，1

3

1

log 10b =

，(3log c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a <<

【答案】A

【解析】利用对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】

由524a =，可得55log 24log 252a =<=，

1

331

log log 1010

b ==，

(33log log 92c =>=，

且333log 10log log b c =>==， 所以a c b <<. 故选：A 【点睛】

本题考查了利用对数函数的单调性比较对数式的大小，掌握对数的性质是解题的关键，属于基础题.

4．下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数的是（ ） A ．ln 1y x =+ B ．ln y x =

C ．2

y x x =-

D ．3y x =

【答案】A

【解析】根据奇偶性定义及单调性定义判断． 【详解】

A 选项是偶函数且在(0,)+∞为增；

B 选项不是偶函数；

C 选项是偶函数，但是在(0,)+∞不恒为增函数；

D 选项不是偶函数， 故选:A ． 【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性定义是解题关键． 5．下列有关命题的说法正确的是( )

A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．

B ．若p q ∨为真命题，则,p q 均为真命题.

C ．命题“存在R x ∈，使得210x x ++<” 的否定是：“对任意R x ∈，均有

210x x ++<”．

D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题． 【答案】D

【解析】【详解】试题分析：A ．利用否命题的定义即可判断出；

B ．利用“或”命题的定义可知：若p ∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题；

C ．利用命题的否定即可判断出；

D ．由于命题“若x=y ，则sinx=siny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，即可判断出．

解：对于A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2≠1，则x≠1”，因此不正确； 对于B ．若p ∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题，因此不正确；

对于C ．“存在x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x+1≥0”，因此不正确

对于D ．由于命题“若x=y ，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确． 故选D ．

【考点】命题的真假判断与应用．

6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为V 甲和V 乙（如图所示）,那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（ ）

A ．在1t 时刻，两车的位置相同

B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面

C ．在0t 时刻，两车的位置相同

D ．在0t 时刻，甲车在乙车前面 【答案】D

【解析】根据图象可知在0t 前，甲车的速度高于乙车的速度；根据路程与速度和时间的关系可得到甲车的路程多于乙车的路程，从而可知甲车在乙车前面. 【详解】

由图象可知，在0t 时刻前，甲车的速度高于乙车的速度 由路程S Vt =可知，甲车走的路程多于乙车走的路程

∴在0t 时刻，甲车在乙车前面

本题正确选项：D 【点睛】

本题考查函数图象的应用，关键是能够准确选取临界状态，属于基础题. 7．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：

2log 1S C W N ?

?=+ ???

.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信

道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中

S

N

叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比

S

N

从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）附：lg 20.3010≈

A ．10%

B ．20%

C ．50%

D ．100%

【答案】B

【解析】根据题意，计算出22log 4000

log 1000

的值即可；

【详解】 当

1000S N

=时，2log 1000C W =，当4000S

N =时，2log 0004C W =，

因为

22log 4000lg 400032lg 2 3.6020

1.2log 1000lg100033

+==≈≈

所以将信噪比S

N

从1000提升至4000，则C 大约增加了20%， 故选：B. 【点睛】

本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用. 8．在ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 上的点，且AD DB =，2BE EC =，若

DE mAB nAC =+，则

m

n =（ ） A ．14

-

B ．58

-

C ．

18

D ．

54

【答案】A

【解析】由平面向量的三角形法则和共线定理，可得

12

63

DE DA AC CE AB AC =++=-+，即可求出,m n 值，进而求出结果.

【详解】

由题意，作出草图，如下图所示：

由平面向量的三角形法则和共线定理，可知

11

23

DE DA AC CE AB AC CB =++=-++

()

1112

2363

AB AC AB AC AB AC =-++-=-+，

所以1

6m =-，23

n =，故14m n =-.

故选：A. 【点睛】

本题主要考查了平面向量的加法运算、共线定理和平面向量基本定理的应用，属于基础题.

9．函数()3sin 22

x

f x x =

-的部分图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】求得函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的奇偶性，结合2f π?? ???

的值以及排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数()3sin 22

x

f x x =

-，20x -≠，得2x ≠±，所以，函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠±.

()()()sin 2sin 222

x x

f x f x x x --==-=----，函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对

称，

排除B 、D 选项； 又02f ??

=

???

π，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】

本题考查利用函数的解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，对任意不相等的(]120x x ∈-∞，，

，有()()()21210x x f x f x -->????，当*

n N ∈时，有（ ）

A ．()()()11f n f n f n -<-<+

B ．()()()

11f n f n f n -<-<+ C ．()()() 11?f n f n f n +<-<-

D ．()()()

11f n f n f n +<-<- 【答案】C

【解析】由已知不等式得函数在(,0]-∞上的单调性，再由偶函数性质得在[0,)+∞上的单调性，结合偶函数性质得距离y 轴越远的自变量的函数值越小，从而可得结论． 【详解】

由题意，函数在区间(]0-∞，上单调递增，函数图象关于y 轴对称，所以函数在()0+∞，

上单调递减；又*n N ∈，11n n n +>->-，距离y 轴越远的自变量的函数值越小，则()()()11f n f n f n +<-<-， 故选：C. 【点睛】

本题考查的奇偶性与单调性，利用奇偶性性质得函数在关于y 轴对称区间上的单调性，从而可比较函数值大小．

11．已知M 、N 分别是圆()()2

2

:161C x y ++-=和圆()()2

2

:261D x y -+-=上的两个动点，点P 在直线:l y x =上，则PM PN +的最小值是（ ）

A ．2

B ．10

C 2

D ．12

【答案】C

【解析】计算圆心()1,6-关于直线:l y x =的对称点为()16,1C -，计算1C D =得到最值. 【详解】

圆()()2

2

:161C x y ++-=的圆心为()1,6-，圆()()2

2

:261D x y -+-=的圆心为

()2,6，

()

1,6-关于直线:l y x =的对称点为()16,1C -，1C D =

故PM PN +的最小值是1122C D r r --=. 故选：C. 【点睛】

本题考查了点关于直线对称，与圆相关的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用

能力，转化能力.

12．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的

x 都满足()2()f x f x +=，当

11x -≤<时，()3

f x x =．若函数()()lo

g a g x f x x =-恰有6个不同零点，则a 的

取值范围是（ ）

A ．(]11,5,775?? ?

??

B ．(]11,5,753?? ?

??

C ．(]11,3,553?? ?

??

D ．(]11,3,575??

???

【答案】A

【解析】根据题意作出()y f x =与log a y x =的图像，讨论当1a >时，log 51

log 71

a a

≥?，

当01a <<，log 51

log 71a a

≥-??<-?，分别解不等式组即可求解.

【详解】

由条件可知函数()()log a g x f x x =-恰有6个不同的零点， 转化为()y f x =与log a y x =恰有6个不同的交点， ∵()()2f x f x +=，

∴()y f x =的周期2T =，且[)1,1x ∈-时，()3

f x x =，lo

g a y x =是偶函数，

图象关于y 轴对称，

如图，在同一坐标系下画出函数()y f x =和log a y x =的图象，

①当1a >时，log a y x =的图象如图所示，y 轴左侧有4个交点，右侧有2个交点，

此时应满足log 51

log 71a a

②当01

a

<<时，()

y f x

=与log

a

y x

=在y轴左侧有2个交点，

右侧有4个交点，

此时应满足

log51

log71

a

a

≥-

?

?

<-

?

，解得：

11

75

a

<≤；

综上可知，a的取值范围是(]

11

,5,7

75

??

?

??

．

故选：A

【点睛】

本题考查了根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想以及分类与整合的思想，属于中档题.

二、填空题

13．设函数()

21

11

x x

f x

x x

?<

=?

-≥

?

，

，

，则()4

f f-=

??

??_________．

【答案】15

【解析】先求内层函数值，再求外层函数值即可，

【详解】

∵函数()

21

11

x x

f x

x x

?<

=?

-≥

?

，

，

，∴()416

f-=，()()

41616115

f f f

-==-=

??

??．故答案为：15

【点睛】

本题考查由分段函数求解函数值，属于基础题

14．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积

是 .

【答案】7

【解析】【详解】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面等边三角形底边长为2，高为3，棱锥的高为2.如图所示，侧面,PBA PBC 全等，且垂直于底面

ABC ，侧面PAC 是等腰三角形，边长分别为222,2222+=.所以几何体各面的面

积分别为

213

23,2ABC S ?=

??=22112

222,2(22)()7222

PBA PBC PAC S S S ???==??==??-=，故面积最大的面

的面积是7.

【考点】1.三视图；2.几何体的特征及其表面积.

15．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133

1

4

a S ==，，则S 4=___________． 【答案】

58

. 【解析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到4S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

【详解】

详解：设等比数列的公比为q，由已知

22

3111

3

1

4

S a a q a q q q

=++=++=，即2

1

4

q q

++=

解得

1

2

q=-，

所以

4

4

1

4

1

1()

(1)5

2

1

18

1()

2

a q

S

q

--

-

===

---

．

【点睛】

准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．

一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算

33

43431

315

()

428

S S a S a q

=+=+=+-=，避免繁分式计算．

16．已知函数()()

2

2

log,02

log4,24

x x

f x

x x

?<≤

?

=?

-<<

??

，若()

1

3

f a f a

??

≥+

?

??

，则a的取值范围是______．

【答案】

1371111

0,,

663

??

-+??

?

??

?

??

??

【解析】作出函数图象，得出函数单调区间，分类讨论解不等式．

【详解】

作出函数()

y f x

=的图象，如图，1

x=是极小值点，2

x=是极大值点．定义域是(0,4)，

由于

1

3

a a

<+，

当

1

01

3

a a

<<+≤，即

2

3

a

<≤时，函数()

f x单调递减，显然合乎题意；

当

1

12

3

a a

≤<+≤，即

5

1

3

a

≤≤时，函数()

f x递增，显然不合乎题意；

当10123a a <<<+<，即213a <<，可得221log log 3a a ?

? ??

≥+?-，解得

23a <≤

， 当1

1243a a <<<+

<，即有523

a <<， 由题意可得221log log 43a a ≥--?

? ??

?

，解得11

26

a ≤<， 当1243a a ≤<+

<，即11

23

a ≤<时，函数()f x 单调递减，显然合乎题意；

综上可得a 的范围是1111,63???? ?? ????，

故答案为：1111,63???

? ?? ??

??． 【点睛】

本题考查解函数不等式，解题方法是利用函数的单调性求解，作出图象观察单调区间然后求解，只是要注意分类讨论．

三、解答题

17．ABC 的内角A ，

B ，

C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =，cos (2)cos a B c b A =-. （1）求角A 的大小； （2）求ABC 周长的范围. 【答案】（1）

3

π

；（2）(]4,6. 【解析】（1）将cos (2)cos a B c b A =-利用正弦定理和两角和的正弦公式化简得

sin 2sin cos C C A =，从而可得A 的值.

（2）由余弦定理和基本不等式，以及三角形两边之和大于第三边，可得周长范围. 【详解】

（1）由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=.

由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=. 即sin()2sin cos A B C A +=，因为sin()sin A B C +=. 所以sin 2sin cos C C A =. 因为sin 0C ≠，所以1

cos 2

A =

，

因为0A π<<，所以3

A π

=

.

（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+ 即2

()34b c bc +=+. 因为2

2b c bc +??

≤ ???

所以2

23

()()44

b c b c +≤

++，即4b c +≤（当且仅当2b c ==时等号成立）. 又∵b c a +>，即24b c <+≤， 所以46a b c <++≤， 即周长的范围为(]4,6. 【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.

18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，2121a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足()214

n n n

a b -=

， 求数列{}n b 的前n 项和n R .

【答案】（1）(

)

*

21n a n n N

=-∈；（2）1131494n n n R -+??

=

- ???

. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，求出1,a d ，即得解； （2）由题得1

1

4n n n b --=，再利用错位相减法求和得解. 【详解】

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，

由424S S =，21

21a a =+得1111468421a d a d a d a +=+??+=+?，解得11

2a d =??=?

， 因此(

)*

1(1)21n a a n d n n N =+-=-∈；

（2）由题意知：122144

n n n n a n b ---=

=，

所以0

121

0121

444

4n n

n R --=

++++

， 则

121

10121

44444

n n n n n R ---=+++

+， 两式相减得

121111311111441444

44414

n n n n n

n n R --??

- ?--??=+++-=-- 11111344n n n --??=-- ???131

(1)34n n +=-， 因此，1431131149494n n n n n R -++????

=-=- ? ?????

.

【点睛】

本题主要考查等差数列通项的基本量的求法，考查等差数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，

[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.

（1）求出直方图中m 的值；

（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；

（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.

【答案】（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）35

【解析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，即可求得m 的值；

（2）由平均数与中位数的求法，结合频率分布直方图即可得解.

（3）由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量，利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况，即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 【详解】

（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ?+++++=， 得0.030m =. （2）平均数为

450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =?+?+?+?+?+?=，

设中位数为n ，

则()0.10.150.15700.030.5n +++-?=，得220

73.333

n =

≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.

记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，

其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，

(),c e .共6种.

故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63

105

P ==. 【点睛】

本题考查了频率分布直方图的性质及由频率分布直方图求平均数与中位数的方法，列举法求古典概型概率，属于基础题.

20．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，M 是AB 的中点，N 是PC 上一点，3PC PN =．

（1）证明：//PA 平面MND ； （2）若3AB =，6PD =

D MN C --的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）90°．

【解析】（1）连接AC ，交DM 于H ，连接NH ，则由M 是AB 的中点，可得

::1:2AM DC AH HC ==，而由3PC PN =可得:1:2PN NC =，所以可得到//PA NH ，从而由线面平行的判定定理可证得//PA 平面MND ；

（2）由已知可知,,PD DA DC 两两垂直，所以以,DA DC PD ，所在的直线分别为x 轴，

y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角D MN C --的大小.

【详解】

解：（1）连接AC ，交DM 于H ，连接NH ， ∵M 是AB 的中点，∴::1:2AM DC AH HC ==， ∵:1:2PN NC =，∴//PA NH ， ∵PA ?平面MND ，NH ?平面MND ， ∴//PA 平面MND ．

（2）∵PD ⊥平面ABCD ，,DA DC 在平面ABCD 内， ∴ ,PD DA PD DC ⊥⊥，

∵四边形ABCD 为正方形，所以DA DC ⊥, ∴,,PD DA DC 两两垂直，

∴建立如图所示的空间坐标系，则(6P ，()0,3,0C

，26N ?

?

?

，33,,02M ??

???

．

33,,02DM ??= ???，26DN N ?= ??，33,,02CM ?

?=- ???，260,CN ?=- ??

， 设平面DMN 的法向量为()000,,m x y z =，

∴000

03302260x y y z ?+=??

??=??

，令01x =，则61,2,2m ?=- ??． 设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =，

∴330226203x y y z ?-=????-+=??

，令1x =，则(1,2,6n =， ∴0m n ?=，m n ⊥，即二面角D MN C --的大小为90°． 【点睛】

此题考查了线面平行的证明，利用空间向量求二面角的平面角，考查空间想象能力，属于中档题.

21．已知函数()1

2221

x

x x

f x -=+

+-. （1）若()2x

f x m

（2）若关于x 的方程()(

)()1

22x x

f x k f x +??=+-??有两个实数解，

求实数k 的取值范围.

【答案】（1）7,3??+∞

???

（2）1,24??

- ???

【解析】(1)将不等式122221x

x x x

m -++-+，利用二次函

数的性质求出()

2

221x x

-+的最小值，从而得到()2

1

7

13221

x x +

≤

-+，即可确定m 的

取值范围；

(2)将方程()(

)()1

2

2x x

f x k f x +??=+-??化简为22

3220x

x k -?+-=，

利用换元法得到2320t t k -+-=，结合判别式以及韦达定理，列出不等式，求解即可得到实数k 的取值范围. 【详解】

解：（1）()2x

f x m

x x

x x m -+

∴()()211

112221221x x x x x m ->+=++--+，

∵()

2

2

1332

212244x x x ?

?-+=-+≥ ???，1x =-时取等号，

∴()2

1

47

1133221

x x +

≤+

=-+，∴73m >即m 的取值范围是7,3??+∞ ???

，

（2）()(

)()1

2

2x x

f x k f x +??=+-??即1

12

2221221

x x

x

x x x k +--++=+-+-， ∴2121212x x x k ++-+=+，∴223220x x k -?+-=， ∵()(

)()1

2

2x x

f x k f x +??=+-??有两个实数解，

∴223220x x k -?+-=有两个的实数解，令2,0x

t t =>，即2320t t k -+-=，有两个正的实数解.

∴()9420k -->，20k ->， ∴124k -

<<即k 的取值范围是1,24??

- ???

. 【点睛】

本题主要利用了分离系数法求解参数的范围以及根据二次函数零点的分布求参数的范围，属于难题.

22．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x t

y t =-??=+?

（t 为参数），曲线

1C 的方程为()2211x y +-=．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l 和曲线1C 的极坐标方程；

（2）曲线2C ：π0,02θαρα?

?=><< ??

?分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，求

OB OA 的最大值及相应α的值．

【答案】（1）40x y +-=；2sin ρθ=；（2）3π8α=

；

1

4

. 【解析】（1）消去参数可化参数方程为普通方程，由公式cos sin x y ρθ

ρθ=??=?

可化直角坐标方

程为极坐标方程；

（2）把θα=代入直线l 和曲线1C 的极坐标方程得,A B 两点的极径，计算B

A

OB OA

ρρ=

，利用三角函数知识可得最大值． 【详解】

（1）由题意，直线l 的直角坐标方程为：40x y +-=，

∴直线l 的极坐标方程为：cos +sin 40ρθρθ-=，∵曲线C 的直角坐标方程：

2220x y y +-=，曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=．

（2）由题意设：(),A A ρα，(),B B ρα，由（1）得4

cos sin A ραα

=+，2sin B ρα=，

∴

()(

)111π1sin cos sin sin 2cos 22244444B A OB OA

ρααααααρ??=

=+=-+=-+ ??

?，

∵π02α<<，∴32444

πππ

α-<-<， ∴当ππ242α-

=，即3π8α=时，sin 24π1α??-= ??

?，

此时

OB OA

取最大值

1

4

． 【点睛】

本题考查参数方程化为普通方程，直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标的应用，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．

23．已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤的解集为{}

15x x ≤≤. （1）解不等式()()211f x f x <+-；

（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：

14

1m n

+≥. 【答案】（1）{0x x <∣或83x ?

>??

；（2）证明见解析.

【解析】（1）由不等式()2f x ≤的解集求得1a =，然后利用零点分段法解不等式

|3|2|2|1x x -<--即可得到答案.

（2）由已知()()3f m f n +=可得9m n +=，然后利用基本不等式中‘1’的妙用即可得到证明. 【详解】

（1）由()2f x ≤，得232,15ax ax -≤-≤≤≤，

()2f x ≤的解集为{15}x x ≤≤∣，

则0a >，1

155a

a

?=????=??，得1a =.

不等式()2(1)1f x f x <+-可化为|3|2|2|1x x -<--，

则332(2)1x x x ≥??

-<--?或23(3)2(2)1x x x ≤

(3)2(2)1x x x

，

解得3x ≥或

8

33

x <<或0x <， 所以原不等式的解集为{0x x <∣或83x ?>??

.

（2）因为3m ≥，3n ≥，

所以()()|3||3|333f m f n m n m n +=-+-=-+-=，即9m n +=.

所以14114141()1451999n m m n m n m n m n ?????+=++=+++≥+= ? ? ???

??， 当且仅当

4n m

m n

=，即3m =，6n =时取等号. 所以不等式得证. 【点睛】