高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三统一测试数学(文)试题
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.
1.设集合M= {x|x2≤4),N={x|log2 x≥1},则M N 等于( )
A . [2,2]
B .{2}
C .[2,+∞)
D . [2,+∞)
2.若复数(a -i )2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上,则实数a 的值是( )
A . 1
B .1
C 2
D 2
3.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m ,第二次出现的点数为n ,向
量p =(m ,n ),q =(3,6),则向量p 与q 共线的概率
为( )
A .13
B .14
C .16
D .112
4.执行右面的框图,输出的结果s 的值为( )
A .3
B .2
C .12-
D .13
5.设a ∈R ,则“a=l”是“直线l1:ax+2y=0与直线l2:x+(a+1)
y+4=0平行的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
6.函数y= 2sin (3x π-
)(0≤x≤π)的最大值与最小值之和为
( )
A .0
B .23.1 D .l 3 7.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是( )
A 13
B .22
C .5
D 298.若直角坐标平面内的两点p 、Q 满足条件:①p 、Q 都在函数
y=f (x )的图像上;②p 、Q 关于原点对称,则称点对[P ,Q]
是函数y=f (x )的一对“友好点对”(注:点对[P ,Q]与[Q ,P]看作同一对“友好点对”).
已知函数f (x )=221(0)4(0)og x x x x x >??--≤?
,则此函数的“友好点对”有( )对. A . 0 B . 1 C .2
D . 3 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.函数f (x )=(x -a )(x+2)为偶函数,则实数a=。
10.在△ABC 中,若∠B=4
π,2a ,则∠C=。 11.在等差数列{an}中,al=,其前n 项和为Sn ,若
10121210S S -=2,则2013S 的值等于。 12.设抛物线y2= 4x 的焦点为F ,其准线与x 轴的交点为Q ,过点F 作直线l
交抛物线于A 、B 两点,若∠AQB=90o ,则直线l 的方程为。
13.如图,在矩形ABCD 中,2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在
边CD 上,若AB ·AF 2AE ·BF 的值是____.
14.观察下列算式:
l3 =1,
23 =3+5,
33 = 7+9+11,
43 =13 +15 +17 +19 ,
… … … … 若某数n3按上述规律展开后,发现等式右边含有“”这个数,则n=.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数f (x )=sin (2x+6
π)+cos 2x . (Ⅰ)求函数f (x )的单调递增区间。 (Ⅱ)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知f (A )3a=2,B=3π,求△ABC 的面积.
16.(本小题满分13分)
PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在
35微克/立方米以下空气质量为一级:在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.
石景山古城地区2月6日至I5日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示.
(Ⅰ)计算这10天PM2.5数据的平均值并判断其是否超标:
(Ⅱ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率:
(III )小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两
天空气质量恰好有一天为一级的概率.
17.(本小题满分14分)
如图,在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC=90o ,PD ⊥平面ABCD ,AD
=1,AB=3,BC =4。
(I )求证:BD ⊥PC ;
(II )设AC 与BD 相交于点D ,在棱PC 上是否存在点E ,使得OE ∥平面PAB? 若存在,确定点
E 位置。
18.(本小题满分14分)
已知函数f (x )=ax -1-1n x ,a ∈R .
(I )讨论函数f (x )的单调区间:
(II )若函数f (x )在x=l 处取得极值,对?x ∈(0,+∞),f (x )≥bx -2恒成立,求实数b 的取值范围.
19.(本小题满分13分) 设椭圆C :2222x y a b +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为12
,左焦点F1到直线l :330x y --=的距离等于长半轴长.
(I)求椭圆C的方程;
(II)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,线段MN的中垂线与x轴相交于点P(m,O),求实数m的取值范围。
20.(本小题满分13分)
给定有限单调递增数列{xn}(n∈N*,n≥2)且xi≠0(1≤ i ≤n),定义集合A={(xi,xj)|1≤i,j≤n,且i,j∈N*}.若对任意点A1∈A,存在点A2∈A使得OA1⊥OA2(O为坐标原点),则称数列{xn}具有性质P。
(I)判断数列{xn}:2,2和数列{yn}:2,l,1,3是否具有性质P,简述理由。
(II)若数列{xn}具有性质P,求证:
①数列{xn}中一定存在两项xi,xj使得xi+xj =0:
②若x1=1, xn>0且xn>1,则x2=l。
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(10)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()
A.30
B.20
C.15
D.10
2.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()
A.{﹣1,0,1,2}
B.{﹣2,﹣1,0,1}
C.{0,1}
D.{﹣1,0}
3.(5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点()
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
4.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有()
A.>
B.<
C.>
D.<
5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()
A.0
B.1
C.2
D.3
6.(5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
7.(5分)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=()
A.﹣2
B.﹣1
C.1
D.2
8.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()
A.[,1]
B.[,1]
C.[,]
D.[,1]
9.(5分)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:
①f(﹣x)=﹣f(x);
②f()=2f(x)
③|f(x)|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是()
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
10.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,
?=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()
A.2
B.3
C.
D.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分
11.(5分)复数=.
12.(5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()=.
13.(5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数
据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)
14.(5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|?|PB|的最大值是.
15.(5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:
①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”;
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;
③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)?B.
④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.
其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(12分)已知函数f(x)=sin(3x+).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值.
17.(12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
18.(12分)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示,设M,N分别为线段AD,AB
的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.
(1)证明:P是线段BC的中点;
(2)求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.
19.(12分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).
(1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn.
20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
②当最小时,求点T的坐标.
21.(14分)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(10)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()
A.30
B.20
C.15
D.10
【分析】利用二项展开式的通项公式求出(1+x)6的第r+1项,令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.
【解答】解:(1+x)6展开式中通项Tr+1=C6rxr,
令r=2可得,T3=C62x2=15x2,
∴(1+x)6展开式中x2项的系数为15,
在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为:15.
故选:C.
【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础,计算准确是关键.
2.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()
A.{﹣1,0,1,2}
B.{﹣2,﹣1,0,1}
C.{0,1}
D.{﹣1,0}
【分析】计算集合A中x的取值范围,再由交集的概念,计算可得.
【解答】解:A={x|﹣1≤x≤2},B=Z,
∴A∩B={﹣1,0,1,2}.
故选:A.
【点评】本题属于容易题,集合知识是高中部分的基础知识,也是基础工具,高考中涉及到对集合的基本考查题,一般都比较容易,且会在选择题的前几题,考生只要够细心,一般都能拿到分.
3.(5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点()
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
【分析】根据 y=sin(2x+1)=sin2(x+),利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得
出结论.
【解答】解:∵y=sin(2x+1)=sin2(x+),∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,
即可得到函数y=sin(2x+1)的图象,
故选:A.
【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.
4.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有()
A.>
B.<
C.>
D.<
【分析】利用特例法,判断选项即可.
【解答】解:不妨令a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1,
则,,∴A、B不正确;
,=﹣,
∴C不正确,D正确.
解法二:
∵c<d<0,
∴﹣c>﹣d>0,
∵a>b>0,
∴﹣ac>﹣bd,
∴,
∴.
故选:D.
【点评】本题考查不等式比较大小,特值法有效,导数计算正确.
5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为
()
A.0
B.1
C.2
D.3
【分析】算法的功能是求可行域内,目标函数S=2x+y的最大值,画出可行域,求得取得最大值的点的坐标,得出最大值.
【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值,
画出可行域如图:
当时,S=2x+y的值最大,且最大值为2.
故选:C.
【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.
6.(5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
【分析】分类讨论,最左端排甲;最左端只排乙,最右端不能排甲,根据加法原理可得结论.
【解答】解:最左端排甲,共有=120种,最左端只排乙,最右端不能排甲,有=96种,
根据加法原理可得,共有120+96=216种.
故选:B.
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.
7.(5分)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=()
A.﹣2
B.﹣1
C.1
D.2
【分析】由已知求出向量的坐标,再根据与的夹角等于与的夹角,代入夹角公式,构造关于m的方程,解方程可得答案.
【解答】解:∵向量=(1,2),=(4,2),
∴=m+=(m+4,2m+2),
又∵与的夹角等于与的夹角,
∴=,
∴=,
∴=,
解得m=2,
故选:D.
【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,难度中档.
8.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()
A.[,1]
B.[,1]
C.[,]
D.[,1]
【分析】由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.
【解答】解:由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.
不妨取AB=2.
在Rt△AOA1中,==.
sin∠C1OA1=sin(π﹣2∠AOA1)=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=,
=1.
∴sinα的取值范围是.
故选:B.
【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法,考查了推理能力,属于中档题.
9.(5分)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:
①f(﹣x)=﹣f(x);
②f()=2f(x)
③|f(x)|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是()
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
【分析】根据已知中函数的解析式,结合对数的运算性质,分别判断三个结论的真假,最后综合判断结果,可得答案.
【解答】解:∵f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1),
∴f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣f(x),即①正确;
f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln()﹣ln()=ln ()=ln[()2]=2ln()=2[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=2f(x),故②正
确;
当x∈[0,1)时,|f(x)|≥2|x|?f(x)﹣2x≥0,令g(x)=f(x)﹣2x=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)﹣2x(x∈[0,1))
∵g′(x)=+﹣2=≥0,∴g(x)在[0,1)单调递增,g(x)=f(x)﹣2x≥g (0)=0,
又f(x)≥2x,又f(x)与y=2x为奇函数,所以|f(x)|≥2|x|成立,故③正确;
故正确的命题有①②③,
故选:A.
【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了对数的运算性质,代入法求函数的解析式等知识点,难度中档.
10.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,
?=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()
A.2
B.3
C.
D.
【分析】可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及?=2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.
【解答】解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),
直线AB与x轴的交点为M(m,0),
由?y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1?y2=﹣m,
∵?=2,∴x1?x2+y1?y2=2,
结合及,得,
∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1?y2=﹣2,故m=2.
不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又,
∴S△ABO+S△AFO═×2×(y1﹣y2)+×y1,
=.
当且仅当,即时,取“=”号,
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,故选B.
【点评】求解本题时,应考虑以下几个要点:
1、联立直线与抛物线的方程,消x或y后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式.