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高三文科数学_中档大题规范练_：1

中档大题规范练(一)

(建议用时：60分钟)

一、解答题

1．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n－2n＋1.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)若不等式2n2－n－3＜(5－λ)a n对?n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(A＋C)＝2sin A cos(A

＋B)，且C＝3π4.

(1)求证：a，b,2a成等比数列；

(2)若△ABC的面积是2，求各边的长．

3．在2018年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%，数学成绩的频率分布直方图如图61

图61

(1)如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？

(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．

①从(1)中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都特别优秀的概率；

②根据以上数据，完成2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

语文特别优秀语文不特别优秀合计

数学特别优秀数学不特别优秀

合计

参考数据：①K2＝2

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

；

②

P(K2≥k0)0.500.40…0.0100.0050.001

k00.4550.708… 6.6357.87910.828

4．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又PA＝AB＝4，AD＝CD，点N是CD中点．

图62

(1)求证：MN∥平面PAD；

(2)求点M到平面PBC的距离．

·5．某高校在2018年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：

组号分组频数频率

第一组[145,155)50.05

第二组[155,165)350.35

第三组[165,175)30a

第四组[175,185) b c

第五组[185,195)100.1

(1)

请估计全体考生的平均成绩；

(2)为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名考生进入第二轮面试．

①求第3、4、5组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试；

②在(2)的前提下，学校要求每个学生需从A 、B 两个问题中任选一题作为面试题目，求第三组和第五组中恰好有两个学生选到问题B 的概率．

6．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为???

x ＝3＋2cos θ

y ＝4＋2sin θ(θ为参数)，以

原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；

(2) 在平面直角坐标系xOy 中，A (－2,0)，B (0，－2)，M 是曲线C 上任意一点，求△ABM 面积的最小值． 7. [选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x ＋2|. (1)解不等式f (x )＞4－|x ＋1|；

(2) 已知a ＋b ＝2(a ＞0，b ＞0)，求证????

x －52－f (x )≤4a ＋1b .

习题答案

1. 答案：见解析

解析：(1)当n ＝1时，S n ＝2a n －2n ＋1，即S 1＝a 1＝2a 1－22，得a 1＝4.

当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－2n ，

则a n ＝2a n －2a n －1－2n ，得a n ＝2a n －1＋2n ，

所以a n 2n －a n －1

2n －1＝1，所以数列????

??a n 2n 是以2为首项，1为公差的等差数列．

所以a n

2n ＝n ＋1，即a n ＝(n ＋1)·2n .

(2)原不等式即(n ＋1)(2n －3)＜(5－λ)(n ＋1)2n ，等价于5－λ＞2n －32n . 记b n ＝2n －3

2n ，则5－λ＞b n 对?n ∈N *恒成立，所以5－λ＞(b n )max .

b n ＋1－b n ＝2n －12n ＋1－2n －32n ＝5－2n

2n ＋1，当n ＝1,2时，5－2n ＞0，b n ＋1＞b n ，即b 1＜b 2

＜b 3；

当n ＞2，n ∈N *时，5－2n ＜0，b n ＋1＜b n ，即b 3＞b 4＞b 5＞…；所以数列{b n }的最大项为b 3＝38，所以5－λ＞38，解得λ＜37

2. 答案：见解析

解析： (1)证明：∵A ＋B ＋C ＝π，sin(A ＋C ) ＝2sin A cos(A ＋B )， ∴sin B ＝－2sin A cos C ，

在△ABC 中，由正弦定理得，b ＝－2a cos C, ∵C ＝3π

4，∴b ＝2a ，则b 2＝2a 2＝a ·2a ∴a ，b,2a 成等比数列．

(2) S ＝12ab sin C ＝2

4ab ＝2，则ab ＝42，由(1)知，b ＝2a ，联立两式解得a ＝2，b ＝22，

由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－2×2×22×? ????

－22＝20，

∴c ＝2 5.

3. 答案：见解析

解析： (1)共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%，

语文成绩特别优秀的概率为P 1＝1－0.95＝0.05，语文特别优秀的同学有100×0.05＝5人，数学成绩特别优秀的概率为P 2＝0.002×20＝0.04，数学特别优秀的同学有100×0.04＝4人．

(2)①语文数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，

记两科都特别优秀的3人分别为A 1，A 2，A 3，单科特别优秀的3人分别为B 1，B 2，B 3，从中随机抽取2人，共有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)共15种，其中这两人两科成绩都特别优秀的有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)这3种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：P ＝315＝1

5. ②2×2列联表：

∴K 2

＝4×96×5×95＝2 45057≈42.982＞6.635，

∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

4. 答案：见解析

解析： (1)证明：在正三角形△ABC 中，AB ＝BC ，在△ACD 中，AD ＝CD ，又BD ＝BD ，

所以△ABD ≌△CBD ，所以M 为AC 的中点，又点N 是CD 中点，所以MN ∥AD ，

又AD ?平面PAD ，MN ?平面PAD ，所以MN ∥平面PAD ；

(2)设M 到平面PBC 的距离为h ，在Rt △PAB 中，PA ＝AB ＝4，所以PB ＝42，在Rt △PAC 中，PA ＝AC ＝4，所以PC ＝42，

在△PBC 中，PB ＝42，PC ＝42，BC ＝4，所以S △PBC ＝47，由V M -PBC ＝V P -BMC ，即13×47×h ＝13×23×4，解得h ＝2217，所以点M 到平面PBC 的距离为221

5. 答案：见解析

解析： (1)由题意知，a ＝0.3，b ＝20，c ＝0.2，

x ＝150×0.05＋160×0.35＋170×0.3＋180×0.2＋190×0.1＝169.5.

(2)①第3、4、5组共60名学生，现抽取6名，因此第三组抽取的人数为6

60×30＝3人，

第四组抽取的人数为660×20＝2人，第五组抽取的人数为6

60×10＝1人． ②所有基本事件如下：(A ，A ，A ，A )，(B ，A ，A ，A )，(A ，B ，A ，A )，(A ，A ，B ，A )，(A ，A ，A ，B )，(B ，B ，A ，A )，(B ，A ，B ，A )，(B ，A ，A ，B )，(A ，B ，B ，A )，(A ，B ，A ，B )，(A ，A ，B ，B )，(B ，B ，B ，A )，(B ，B ，A ，B )，(B ，A ，B ，B )，(A ，B ，B ，B )，(B ，B ，B ，B )．基本事件总数有16个，其中第三组和第五组恰有两个学生选到问题B 的基本事件如下：(B ，B ，A ，A )，(B ，A ，B ，A )，(B ，A ，A ，B )，(A ，B ，B ，A )，(A ，B ，A ，B )，(A ，A ，B ，B )，共包含6个基本事件．

故第三组和第五组中恰好有两个学生选到问题B 的概率P ＝616＝3

6. 答案：见解析

解析： (1)由???

x ＝3＋2cos θ

y ＝4＋2sin θ

，得(x －3)2＋(y －4)2＝4，

将???

x ＝ρcos θy ＝ρsin θ

代入得ρ2－6ρcos θ－8ρsin θ＋21＝0，即为曲线C 的极坐标方程． (2)设点M (3＋2cos θ，4＋2sin θ)到直线AB ：x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则 d ＝|2sin θ＋2cos θ＋9|2＝????

??22sin ? ????θ＋π4＋92，

当sin ? ????

θ＋π4＝－1时，d 有最小值9－222.

所以△ABM 面积S min ＝1

2×|AB |×d ＝9－2 2.

7. 答案：见解析

解析： (1)不等式f (x )＞4－|x ＋1|，即|x ＋1|＋|x ＋2|＞4，

当x ＜－2时，不等式化为－(x ＋1)－(x ＋2)＞4，解得x ＜－3.5；当－2≤x ≤－1时，不等式化为－(x ＋1)＋(x ＋2)＞4，无解；当x ≥－1时，不等式化为(x ＋1)＋(x ＋2)＞4，解得x ＞0.5；综上所述：不等式的解集为{x |x ＜－3.5或x ＞0.5}． (2)4a ＋1b ＝12? ????4a ＋1b (a ＋b )＝12? ?

???4＋4b a ＋a b ＋1≥4.5，

当且仅当a ＝43，b ＝2

3时等号成立．

由题意知，??????x －52－f (x )＝??????x －52－|x ＋2|≤??????

x －52－(x ＋2)＝4.5，

所以????

x －52－f (x )≤4a ＋1b .

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