2019年考研数学一真题与解析
2019年考研数学一真题解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
【答案】（C ）
【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331
tan ()3
x x x o x -=-+，所以3k =． 2．设函数,0()ln ,0
x x x f x x x x ?≤?
=?
>??，则0x =是()f x 的（ ）
（A ）可导点，极值点 （B ）不可导的点，极值点 （C ）可导点，非极值点 （D ）不可导点，非极值点
【答案】（B ）
【详解】（1）0
1
ln
(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01
x x x x f x x f x x f x
++
-
→→→-+===-===，所以函数在0x =处连续；（2）0ln (0)lim x x x
f x
+
+→'==-∞，所以函数在0x =处不可导；
（3）当0x <时，2(),()20f x x f x x '=-=->，函数单调递增；当1
0x e
<<时，()1ln 0f x x '=+<，函数单调减少，所
以函数在0x =取得极大值．
3．设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）
（A ）1n n u n ∞
=∑ （B ）11(1)n n n u ∞=-∑ (C ）111n n n u u ∞=+??- ??
?∑ （D ）22
11()n n n u u ∞+=-∑
【答案】（D ）
【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列，由单调有界定理知lim n n u →∞
存在，记为lim n n u u →∞
=；又设n ?，满足
n u M ≤，则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-，且22
10n n u u +-≥，则对于正项对于级数
2
211
()n n n u
u ∞
+=-∑，前n 项和：
2
21
11111
1
()2()2()22n
n
n k k
k k n n k k S u
u M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑
也就是
2211
()n n n u
u ∞
+=-∑收敛．
4．设函数2(,)x
Q x y y
=
，如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0C
P x y dx Q x y dy +=??
那么函数(,)P x y 可取为（ ）
（A ）22x y y - （B ）221x y y - （C ）11x y
- （D ）1
x y -
【答案】（D ）
【详解】显然，由积分与路径无关条件知
21P Q y x y ??≡=??，也就是1
(,)()P x y C x y
=-+，其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数．只有（D ）满足．
5．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若2
2A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）
（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222
123y y y ---
【答案】（C ）
【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件2
2A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的
规范型为222
123y y y --．
6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则（ ）
（A ）()2,()3r A r A == （B ）()2,()2r A r A == （C ）()1,()2r A r A == （D ）()1,()1r A r A == 【答案】（A ）
【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而()()r A r A <； （2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以()2r A ≥；
7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）
（A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B =
（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =
【答案】（C ）
【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =； 对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，
()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =?-=-?=
8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2
(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ）
（A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关
【答案】（A ）
【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2
(,)N μσ，则2
~(0,2)X Y N σ-，从而
{1}{11}21
P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则
11cos cos z z
x x y y
???+?=?? ． 【答案】
cos cos y x x y
+ 解：
cos (sin sin ),cos (sin sin )z z
x f y x y y f y x x x y
??''=-?-+=?-+?? 11cos cos cos cos z z y x
x x y y x y
???+?=+?? 10．微分方程2
220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = ．
【答案】y =【详解】把方程变形2
220yy y '--=得2
2
()()20y y '--=，即
2
22
(2)
22
x d y dx y Ce y y +=?+=?=+
由初始条件(0)1y =确定3C =，所以y =
11.幂级数1
(1)(2)!n n
n x n ∞
=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞
=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑，我以1(1)(2)!
n n
n x n ∞
=-∑给出解答． 【答案
】1
【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!
n n
n x x x n ∞
=-=∈-∞+∞∑，从而有：
110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n n
n n n n x x n n n ∞
∞∞
===---==-=∈+∞∑∑∑ 12．设∑为曲面222
44(0)x y z z ++=≥
的上侧，则∑
= ．
【答案】
32
.3
【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为2
2
{(,)|4}xy D x y x y =+≤
2
22
20
4
32dxdy dxdy 2sin 3
x y y y d r dr πθθ∑
∑
+≤==
==
?????? 13．设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为 ．
【答案】121x k -?? ?
= ? ?-??
，其中k 为任意常数．
【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =，从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量．由
3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -?? ?= ? ?-??为方程组基础解系，通解为121x k -??
?= ? ?-??
，其中k 为任意常数．
14．设随机变量X 的概率密度为,02
()20,x
x f x ?<
{()()1}P F X E X >-= ．
【答案】2.3
【详解】2
0,0
1(){},024
1,
2x F x P X x x x x
012
{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=
三、解答题
15．（本题满分10分）
设函数()y x 是微分方程2
2
x y xy e
-'+=满足条件(0)0y =的特解．
（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程． 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解：22
x y Ce -=，其中C 为任意常数；
再用常数变易法求2
2
x y xy e
-'+=通解，设2
2
()x y C x e
-
=为其解，代入方程，得222
2
(),()1x x C x e
e
C x --
''==，
1()1C x dx x C ==+?，也就是通解为：22
1()x y x C e
-
=+
把初始条件(0)0y =代入，得10C =，从而得到22
().x y x xe -=
（2
）2222232
2
2
2
(),()(1),()(3)(x x x x y x xe
y x e
x y x x x e
x x x e
--
--
'''==-=-=
令()0y x ''=
得1230,x x x ===．
当x <
0x <<0y ''<，是曲线的凸区间；
当0x <<
或x >
0y ''>，是曲线的凹区间．
曲线的拐点有三个，分别为332
2
()--．
16．（本题满分10分）设,a b 为实数，函数2
2
2z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34l i j
=--v v v
的方向导数最大 ，最大值为10．
（1）求常数,a b 之值；（2）求曲面2
2
2(0)z ax by z =++≥的面积． 【详解】（1）2
2
2z ax by =++，则
2,2z z
ax by x y
??==??；
所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)
|,6,8z z gradf a b x y ??
??==
?????
；gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--v v v
方向相同，且10gradf ==．
也就得到6834
10
a b
?=?--=解出11a b =-??=-?或11a b =??=?（舍）．即11a b =-??=-?．
（2
）2
220
2
133
S
x y S dS d ππ
θ+≤=
=
==
?????． 17．（本题满分10分）求曲线sin (0)x
y e x x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．
【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==L 当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0x
y e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．
由不定积分1sin (sin cos )2
x x
e xdx e x x C --=-
++?
可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e ππ
πππ
+---=+?
，22221
sin (1)2
k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+?
所求面积为
2220
2200
220022220sin sin sin 11(1)(1)22
11111(1)(1)22121k k x
x
x k k k k k k k k k k S e
xdx e xdx e xdx
e e e e e e e e e e ππ
ππ
π
ππ
ππ
πππππππππ
∞
∞
+∞
++---+==∞
∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑??
?
∑∑∑
18．（本题满分10
分）设1
(0,1,2,)n a x n =
=?
L
（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21
(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；
（2）求极限1
lim n n n a a →∞-． 【详解】（1
）证明：1
n a x
=?
，110
(0,1,2,)n n a x n ++==?L
当(0,1)x ∈时，显然有1
n n
x
x +<
，1
110
(0n n n n a a x x ++-=-
先设2
20
sin cos ,0,1,2,n
n n I xdx dx n π
π
=
==?
?L
则当2n ≥时，
1
222220
2sin sin cos (1)sin cos (1)()
n
n n n n n I xdx xd x n x xdx
n I I π
π
π
---==-=-=--???
也就是得到22
,0,1,1
n n n I I n n ++=
=+L 令sin ,[0,
]2
x t t π
=∈，则
1
2
222220
1
sin cos sin sin 2
n
n
n n n n n a x
t tdt dt tdt I I I n π
π
π++===-=-=
+???? 同理，2211
n n n n a I I I n --=-=
-
综合上述，可知对任意的正整数n ，均有
212n n a n a n --=+，即21
(2,3,)2
n n n a a n n --==+L ；
（2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21
(2,3,)2
n n n a a n n --=
=+L 211111
1222
n n n n n a n n n a a a n n a n ------=
>?>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1
lim
1n
n n a a →∞-=．
19．（本题满分10分）设Ω是由锥面2
2
2
(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω
的形心坐标．
【详解】先计算四个三重积分：
222
11
1
20
(2)(1)1(1)3
z
D x y z dv dz dxdy dz
dxdy z dz π
πΩ
+-≤-===-=
??????????
222
1
1
1
20
(2)(1)(1)12
z
D x y z zdv zdz dxdy zdz
dxdy z z dz π
πΩ
+-≤-===-=
??????????
222
11
(2)(1)0z
D x y z xdv dz xdxdy dz
xdxdy Ω
+-≤-===?????????
2
22
11
1
20
(2)(1)22(1)3
z
D x y z ydv dz ydxdy dz
ydxdy z dz ππΩ
+-≤-===-=
?????????? 0xdv
x dv
Ω
Ω
=
=??????，2ydv
y dv
Ω
Ω
=
=??????，14zdv
z dv
Ω
Ω
=
=
??????．从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4
x y z =． 注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然
13
dv π
Ω
=
???，且由对称性，明显
0x =，2y =．
20．（本题满分11分）设向量组1231112,3,123a ααα?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????为3R 空间的一组基，111β?? ?
= ? ???在这组基下的
坐标为1b c ??
? ? ???
．
（1）求,,a b c 之值；
（2）证明：23,,ααβ也为3R 空间的一组基，并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵．
【详解】（1）由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=??++=??++=?，解方程组，得32.2a b c =??
=??=-?
且当3a =时，()123111
111,,23301110123
012ααα===≠，即123,,ααα线性无关，确实是3R 空间的一
组基．
（2）()23111
11
1
,,3
3100220231011
ααβ==-=≠-，显然23,,ααβ线性无关，当然也为3
R 空间的一组基． 设()()23123,,,,a P αβααα=，则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为
()()1
1231231111110
11111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---?????????? ? ? ??? ?
===--=- ? ? ??? ? ? ? ??? ?-??????????
21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -?? ?=- ? ?
-??
与21001000B y ??
?
=- ? ???相似．
（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1
P AP B -=． 【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A B
trA trB
?=??
=??，即2(24)241x y x y --+=-??-+=+?，解得32x y =??=-?．
（2）解方程组2
212
3
2
(2)(2)(1)000
2
E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值
1232,1,2λλλ==-=-；
分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关
的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-?????? ? ? ?
=-=-= ? ? ? ? ? ???????
．
令()1123111,,212004P ξξξ-?? ?==-- ? ???，则1P 可逆，且1
1212P AP -?? ?=- ? ?-??
；
同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：
1231100,3,00014ηηη-??????
? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????
．
令()2123110,,030001P ηηη-?? ?== ? ???，则2P 可逆，且1
2212P BP -??
?=- ? ?-??；
由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --??
?==-- ?
???
，就满足1
P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：
{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．
（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．
【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0
()0,0
x X e x f x x -?>=?≤?．
先求Z XY =的分布函数：
(){}{}{,1}{,1}
(1){}{}1()(1())
Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）
再求Z XY =的概率密度：
,0
()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -?
'==-+-==??->?
（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；
由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；
22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；
要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关； （3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则
11
(){1}x P A P X e dx e +∞
--=>==?；
11
(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；
11
(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>?=-=，当
0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．
23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为2
2()
2,()0,x A e x f x x μσμσ
μ--??≥=??
，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本． （1）求常数A 的值；
（2）求2σ的最大似然估计量．
【详解】（1）由
()1f x dx +∞
-∞
=?
可知2
22
()20
1x A
e
dx e
d μσμ
σ
---
+∞
+∞
===?
?
所以A =
似然函数为212()2
2121,(,,;)(,)0,n
i i X n n i n i n i A e
x L X X X f x μσμσσσ
=--=?∑??≥==????
∏L 其他， 取对数，得2
2
2122
1
1ln (,,,;)ln ln()()22n
n i
i n L X X X n A X
σσμσ==--
-∑L
解方程
221222221
ln (,,,;)11
()0()22()n
n i
i d L X X X n X
d σμσσσ==-+-=∑L ，得未知参数2σ的最大似然估计
量为?22
1
1()n i i X n σμ==-∑．