精选高难度压轴填空题----数列
1. 等比数列}{n a 首项为正数，8,102432
62===?--k k k a a a a ，若对满足128>t a 的任意
t ，
m t
k t k ≥-+都成立，则实数m 的取值范围是____________]8,(--∞
解析：7122262=?=-+?=?-k k k a a a k k ，则22,85643=?===-q a a a k
1
2
-=n n a ，82212871>?>?>-t a t t ，
1714--≤
?≥-+t
m m t
k t k 递增，9≥t ，
27-≤-t ，817714-=--≥-∴
t
2. 已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有)1(2)2(+=+x f x f
)(x f -，且6)3(,2)1(==f f ，则_______)2009(=f 4018
解析：实际上是等差数列问题 3. 2
2
2
2
2
2
2
2
2009
12008
11 (4)
13
113
12
112
11
11+
+
+++
+
++
+
++
+
=
S ，则
不大于S 的最大整数][S 等于_______2008
解析：1
111)
1(1)1()
1(1112
2
+-
+
=+++=
++
+n n
n n n n n n
2008][2009
1
12008=?-
+=S S
4. 已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项
和的最大值为()f t ，则()f t = . ???
????++)
(4)1()(4222为奇数为偶数t t t t
t
解析：关键是(,)t n ∈∈**
N N
5. 对任意x ∈R ，函数()f x 满足2
1)]
([)()1(2
+
-=
+x f x f x f ，设2
[()
](),
n a f n f n =-数列{}n a 的前15项和为31,(15)16
f -
则= ．4
3
解析：关键之一：不要误入化简函数式的误区；
关键之二：能否看出]1,21
[)(∈x f ；（2
1)1(≥
+x f ）
关键之三：)21)(2
1(]1)()[(11-
-+
-=-=--n n n a a n f n f a
得4
11-
=+-n n a a ，从而16
315-
=a ，反代可得4
3)15(=
f
6. 设1250,,,a a a 是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，
若2222
12501509,(1)(1)(1)107a a a a a a +++=++++++= 且，则1250,,,a a a 中数字0的个数为 11
解析：由题意，5021,...,,a a a 里有9个1，其余不是0，就是成对出现（1，-1），设有n 个0，m 对（1，-1）
，则412=+n m ，再由 71361074107)
1(...)1(2
502
1=-=+?=++++n m a a ，解得11,15==n m
7. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于???=,3,2,1n ，有
1
35
2
n n n
k
a a a ++??
=???n n 1n a a k a +为奇数为偶数,是使为奇数的正整数，若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______1或5
解析：当n a 为奇数时，531+=+n n a a 为偶数，k
n n a a 2
532+=
+为奇数，当n m >且n a 为
奇数时，n a 恒为常数p ，故p
p p k
k
532
2
53+
=?+=
，0>p ，故1=p 或5
8. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数.若a 1=d ，b 1=d 2
，且
3
212
32221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________
2
1
解析：（2007全国联赛）因为2
2
1112
12
12
13
212
32
22
1114)
2()(q
q q
b q b b d a d a a b b b a a a ++=
++++++=
++++，故
由已知条件知道：1+q +q 2为
m
14，其中m 为正整数。令m
q q 1412
=++，则
m
m m
q 43562
11144
12
1-+-=-++-=。由于q 是小于1的正有理数，所以3141<<
m
，
即5≤m ≤13且
m
m 4356-是某个有理数的平方，由此可知2
1=q
9. 已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝n
2n －1
对任意n ∈N *恒成立，
则
a 10
b 5的值为 1917
解析：
S n T n ＝n
2n －13
412)12()12(1212--==--=?--n n T S b n a n b a n n n n n n ，等差数列{a n }和{b n }，故设
=n a )12(-n k ，)34(-=n k b n ，然后直接计算
10. 已知数列{},{}n n a b 满足1211,2,2,a a b ===且对任意的正整数,,,,i j k l 当i j k l
+=+
时，都有i j k l a b a b +=+，则22
1
n
i i
i i i
a b a b =+=∑
.
解析：令1,2,,1-====n l k n j i ，则1121+=?+=+-n b b a b a n n n 再令2,1,1,=-===l n k j n i ，则n a n = 1
112)
1(1
22)
1()1(2
2
2
2
2
+-
+
=+++=
+++=
+k k
k k k k
k k k k
b a b a k
k k
k
11. 在平面直角坐标系中，定义???+=-=++n
n n n
n n x y y x y x 11为点),(n n n y x P 到点),(111+++n n n y x P 的一个
变换为""γ变换，已知)1,0(1P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，),(111+++n n n y x P 是经过""γ变换得到的一列点，设1+=n n n P P a ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，那么10S 值为__________23131+
解析：),(),,(1n n n n n n n n y x P x y x y P +-+，则
n n n n n n n n x x y x y x y x 2)()(112=--+=-=+++，隔项成等比数列
从前几项找规律：),....8,0(),4,4(),4,0(),2,2(),2,0(),1,1(),1,0(7654321P P P P P P P 24,4,22,2,2,1654321=====
=a a a a a a ，成等比数列
12. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，令n
S S S T n
n +++= 21，称n T 为数列n a a a ,,,21 的
“理想数”，已知数列40021,,,a a a 的“理想数”为2005，则40021,,,,11a a a 的“理想数”
为_________ 2011 解析： 2011
401
400
200540111401
)
11(...)11(11,400
(20054001401400)
1=?+?=
+++++=
++=
S S T S S 13. 已知函数()x x x f tan sin +=.项数为27的等差数列{}n a 满足??
?
?
?-
∈2,
2ππn a ，
且公差0≠d ，若()()()02721=+++a f a f a f ，当()0=k a f 时，则k 的值为_________14
解析：注意到)(x f 为奇函数且在??
?
?
?
-
∈2,
2ππn a 上单调递增，若()0=k a f ，则0=k a ，,........0)()(01111=+?=++-+-k k k k a f a f a a ，若14≠k ，则必然在其左或右多出几项，
函数值的和不为0，而其余和为0，不合题意 14. 数列{}n a 满足：1
2
1141,
1+=
+=n n
a a a ，记∑
==
n
i i n a S 1
2
，若30
12t S S n n ≤
-+对任意的
()+∈N n n 恒成立，则正整数t 的最小值为 10
解析：易得：3
412
-=
n a n ，令n n S S n g -=+12)(，而)1()(+-n g n g
09
815
8114123222221
>+-
+-+=--=+++n n n a a a n n n ，为减数列，
所以：30
45
14)1(12t g S S n n ≤=≤-+，而t 为正整数，所以10min =t
15. 已知函数()()
()56(4)462
x a x f x a
x x -?>?
=?-+≤??, 数列{}n a 满足()(
)+
∈=N n n f a n ，且数列
{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是 ()4,8
16. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若322(1)2010(1)1a a -+-=，
3
20092009(1)2010(1)1a a -+-=-，则下列四个命题中真命题的序号为 ． ②③
①20092009S =； ②20102010S =； ③20092a a <； ④20092S S <
解析：构造函数x x x f 2010)(3+=奇函数且单调增，则1)1(,1)1(20092-=-=-a f a f
则220092=+a a ，,20102
)
(2010200922010=+=a a S ②正确；2
)
(2009200912009a a S +=
因为公差0≠d ，故12a a ≠，①错误；1)1(,1)1(20092-=-=-a f a f ，知12>a ，
12009a ，12009 112010201020092008)2(2010a a a S S +=--=-=，212a a S +=，若2 09 S S <得 20082>a ，而此时322(1)2010(1)1a a -+-=不成立 17. 在等差数列{}n a 中，若任意两个不等的正整数,k p ，都有21k a p =+，21p a k =+， 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若k p m +=，则m S = （结果用m 表示）2 m 解：2)()(2)(-=?-=-?-=-d d p k k p d p k a a p k 2 22 ) 21212(2 ) (2 ) (2 ) (11m m k p m d a a m a a m a a m S p k p k m m ?= -+++= ++= += += + 2m 18. 已知A B C ?的三边长,,a b c 成等差数列，且22284,a b c ++=则实数ｂ的取值范围是 ]72,62( 解法一：设c b a ≤≤，且d b a -=，0,≥+=d d b c 8423)()(2 22222 2 2 =+=+++-=++d b d b b d b c b a 728432 ≤?≤?b b 又c b a >+，故 622 723842 22 2 2 >?< +=?< ?>?+>+-b b d b b d d b d b b d b 解法二：基本不等式c a b +=2，84252)(222222=-=+-+=++ac b b ac c a c b a 而722832584222 2 2 2 ≤?≤?≥-=?≤?≥+=b b b ac b b ac ac c a b 又,c b a >+不妨设c b a ≤≤， （同一题）已知A B C ?的三边长,,a b c 成等差数列，且22284,a b c ++=则实数ｂ的取值 范围是 解析：不妨设c b a ≤≤，且0,,≥+=-=d d b c d b a ，代入等式得 84)()(2 2 2 =+++-d b b d b 84232 2=+?d b ，故728432 ≤?≤b b ，又三边不等 关系知，2 2b d d b d b b d b c b a < ?>?+>+-?>+，故84)2 (222 2 >?+b b 62>?b 19. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ， *11,N b a ∈．设n b n a c =（* N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于 85 解析：即求10 2 1 ...b b b a a a +++，由于两数列都是公差为1，故此数列也是等差数列，由求 和公式知：451012 9101011 10+=??+ =b b a a S ，而4151)1(111=-=?-+=b a a b 20. 数列{}n a 的前n 项和是n S ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列： 11212312341, , , , , , , , , , , 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 ， 若存在整数k ，使10k S <，110k S +≥，则k a = ___ 7 5 解析：由于 2 12) 1(1...21-= -= -+ ++ n n n n n n n n ，故 4 )1(2)1(21)1...21(21)1...21(...)3 23 1(21-=-?=-+++=-+ +++++ += n n n n n n n n n S 当6=n 时，102 15<=S ，当7=n 时，102 21>= S ， 故 102 2176...21>= + +， 107 622175...21<- =+ +，所以7 5= k a 21. 等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式 2 2d x ＋12d a x ??- ?? ?＋c ≥0的解集为[0，22]， 则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．11 解析：由解集可得d a 2 211- =，)0(0 )2 23( <≥--=d n d a n 22. 若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和 0n S >成立的最大自然数n 是________4006 解析：,0,020042003<>a a 02 ) (40062 ) (400620042003400614006>+= +=a a a a S 而04007 23. 设正项数列}{n a 的前项和是n S ，若}{n a 和}{n S 都是等差数列，且公差相等，则a 1＝ 4 1 解析：}{n S 是等差数列，则?????+=++=+d a d a d a d a 33221111平方得?????+=++=+d a d a d d a d a d 32442112 112 2)1()2(?-得d d =2 2，而数列各项为正，则,01>a 0≠d ，解得2 1= d 代入（1）得4 11= a 24. 已知等比数列{}n a 满足11a =，102 q <<，且对任意正整数k ，12()k k k a a a ++-+仍是该数 列中的某一项，则公比q 1- 解析：1-=n n q a ，则对任意正整数k ，总存在*N n ∈，使得n k k k q q q q =+-+-)(11成立 两 边同除以 1 -k q ， 得k n q q q -=+-)(12，而 102 q << ，则 )1,4 1( 45)2 1(12 2 ∈++-=+--q q q ，即141<<-k n q ，所以 141)21(022 =<<=<-q q q k n ，故1,20=-<- n q q q -=+-)(12得12-= q 2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ） 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型， 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； 高考数列压轴题选讲 1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈ （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n n n b b b T a b +++== 21,2 ，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n 对一切*N n ∈均成立的最大实数p . 解：（1）由题意得???=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得? ??-==12b a ， )12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,123 3N n n a n n ∈-==- （2）由（1）得n n n b 212-=， n n n n n T 2 122322523211321-+-++++=∴- ① 2311113252321222222 n n n n n n n T -+---=+++++ ② ①-②得12311112222212222222n n n n n T -+-=++++ +- 1122111111121()222 222n n n n --+-=+++++-112122123+----=n n n . n n n n n n T 23232122132+-=---=∴-， 设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由1512132121)32(252232252) ()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,2 32)(N n n n f n ∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m （3）由题意得*21)11()11)(11(1 21N n a a a n p n ∈++++≤对 恒成立 记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++= ，则 1)1(4)1(2)32)(12(22)11()11)(11(121)11)(11()11)(11(321) ()1(221121-++=+++=+++++++++=++n n n n n a a a n a a a a n n F n F n n n 1)1(2)1(2=++>n n )(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大 中考数学填空压轴题大 全 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8- 2017全国各地中考数学压轴题汇编之填空题4 1．（2017贵州六盘水）计算1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和是． 【答案】8555， 【解析】由题意可知1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和即为：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292．∵有规律：21(11)(211)116+?+== ，222(21)(221) 1256 +?++==， 2223(31)(231)123146+?+++== ，……，2222(1)(21) 123146 n n n n ++++++==…． ∴222229(291)(2291) 123296 +?+++++= (8555) 2．（2017贵州毕节）观察下列运算过程： 计算：1＋2＋22＋…＋210.. 解：设S ＝1＋2＋22＋…＋210,① ①×2得 2S ＝2＋22＋23＋…＋211,② ②－①,得 S ＝211－1. 所以，1＋2＋22＋…＋210＝211－1. 运用上面的计算方法计算：1＋3＋32＋…＋32017＝______________. 【答案】201831 2 -， 【解析】设S ＝1＋3＋32＋…＋32017,① ①×3得 3S ＝3＋32＋33＋…＋32018,② ②－①,得 2S ＝32018－1. 所以，1＋3＋32 ＋…＋3 2017 ＝2018312 -. 3．（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点 P ＇（－y ＋1，x ＋2），我们把点P ＇（－y ＋1，x ＋2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2017的坐标为． 【答案】（2，0）， 【解析】根据新定义，得P 1（2，0）的终结点为P 2（1，4），P 2（1，4）的终结点为P 3（－3，3），P 3（－3，3）的终结点为P 4（－2，－1），P 4（－2，－1）的终结点为P 5（2，0）， P 5（2，0）的终结点为P 4（1，4），…… 观察发现，4次变换为一循环，2017÷4＝504…余1.故点P 2017的坐标为（2，0）. 4．（2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数212=?； （2）常数项3131(3)-=-?=?-，验算：“交叉相乘之和”； （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1(3)211?-+?=，等于一次项系数－1，即：22(x 1)(2x 3)232323x x x x x +-=-+-=--，则223(x 1)(2x 3)x x --=+-，像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：23512x x +-＝______． 【答案】（x ＋3）（3x －4）. 【解析】如图． 5．（2017湖北黄石）观察下列各式： …… 按以上规律，写出第n 个式子的计算结果n 为正整数）．（写出最简计算结果即可） 【答案】 1 n n +， 高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列 【见证高考卷之特仑苏】 1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()* ∈=N n a a a n b n 2 2 1 . 若 {}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +== (Ⅰ)求 n a 与 n b ； (Ⅱ)设() * ∈-= N n b a c n n n 1 1。记数列{}n c 的前n 项和为n S . （i ）求 n S ； （ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥． 2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列 {} n a 的首项 1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列 （Ⅰ）求数列 {} n a 的通项公式及 n S （Ⅱ）记 1231111 ...n n A S S S S = ++++ ， 212221111...n n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较 n A 与 n B 的大2011高考数学压轴题专题训练
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