平面中的距离(人教A版)

平面中的距离（人教A版）

一、单选题(共10道，每道10分)

1.点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为，则P点坐标为( )

A.(1，2)

B.(2，1)

C.(1，2)或(2，-1)

D.(2，1)或(-2，1)

2.已知直线经过点A(-1，1)，当点B(2，-1)到直线的距离最大时，直线的方程

为( )

A. B.

C. D.

3.到直线2x+y+1=0的距离为的直线的方程是( )

A.2x+y=0

B.2x+y-2=0

C.2x+y=0或2x+y-2=0

D.2x+y=0或2x+y+2=0

4.若两平行直线3x-2y-1=0，6x+ay+c=0之间的距离为，则的值为( )

A.1

B.

C.或1

D.-1或1

5.过点P(1，2)引直线，使M(2，3)、N(4，-5)到它的距离相等，则此直线的方程

为( )

A.4x+y-11=0

B.x+4y-6=0

C.4x+y-11=0或3x+2y-7=0

D.4x+y-6=0或3x+2y-7=0

6.直线ax+3y-9=0与直线x-3y+b=0关于原点对称，则a、b的值分别为( )

A.1，9

B.-1，-9

C.1，-9

D.-1，9

7.若动点A、B分别在直线和上移动，则线段AB的中点M 到原点的距离的最小值为( )

A. B.

C. D.

8.在平面直角坐标系中，已知A(1，-3)、B(4，-1)、P(a，0)、N(a+1，0)，

当四边形PABN的周长最小时，a的值为( )

A. B.

C. D.

9.已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边，若点(m，n)在直线

上，则的最小值为( )

A. B.

C. D.

10.设两条直线的方程分别为和，已知a，b是方程

的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )

A.，

B.，

C.，

D.，

最新基本平面图形知识

B A a M O B A 基本平面图形 一、知识讲解 考点1：线段、射线、直线 1．直线的性质 (1)两条直线相交，只有1个交点． (2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线 2．线段的性质: 所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间线段最短． 3．线段的中点 把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点． 如图，点M 将线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点. A M B 当点M 是线段AB 的中点时，就有关系式：AB=2AM=2BM ，AM=BM=AB ；反过来，如果点M 在线段AB 上，且有这样的数量关系式，那么点M 就是线段AB 的中点. 4．直线、射线、线段的区别与联系 名称 图形 表示方法 界限 端点 长度 线段 线段AB （或线段BA ）（字母无序） 线段a 两方 有界 两个 有 射线 射线AB(字母有序) 一方有界，一方无限 一个 无 直线 直线AB （或直线BA ）（字母无序） 直线l 两方 无限 无 无 考点2：角的有关概念及性质 1．角的有关概念 角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的 两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线. l

易错点: 2．角的单位与换算 1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角． 考点3 度、分、秒的换算 1、角的单位及意义 角的单位: 度、分、秒． 意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°； ②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′； ③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″. 2、度、分、秒的进率及换算方法 度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″. 易错点: (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同； (2)角的度数的换算有两种方法： ①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″； ②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝? ????160′，1′＝? ?? ??160°，用除法 3、钟面角 1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°． 2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． 3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°． 方法 图 形 表示 注意事项 三个大写字母 ∠AOB 顶点字母放在中间 数字或希腊字母 ∠1,∠α 在所要表示的角的内部加弧线, 在其旁边写上数字或字母 顶点字母 ∠O 从这个角的顶点出发的角必须只有一个。

点到平面的距离的计算

预备知识 (1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P 向平面α引垂线，垂足为P '，则点P '叫做点P 在平面α上的正射影，简称为射影。同时把线段PP '叫作点P 与平面α的垂线段。 图1 (2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。 (3) 四面体的体积公式 13 V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。 (4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 (5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。 (6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。在很多时候为了

简便叙述，也把AOB ∠称作α与平面β所成的二面角。 图2 1、定义法求点到平面距离(直接法) 定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。 以下几条结论常常作为寻找射影点的依据: (1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。 (2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。 (3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。 (4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。 例如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D '''' -棱长为a，求点A'到平面AB D''的距离。

第1课时 用方向和距离确定位置(最新教案)

第1课时用方向和距离确定位置（1） 教学内容： 教材第50页的例1，第51页的“练一练”，完成练习九第1～3题。 教学目标： 1.在具体情境中初步理解北偏东（西）、南偏东（西）的含义，会用方向和距离描述物体的位置，初步感受用方向和距离确定物体位置的科学性。 2.经历用方向和距离描述物体位置的方法的探究过程，进一步培养学生观察、识图和有条理地进行表达的能力，发展空间观念。 3.进一步体验数学与生活的密切联系，增强用数学的眼光观察日常生活现象和解决日常生活问题的意识。 教学重点： 初步掌握用方向和距离确定物体位置的方法，能根据给定方向和距离在平面图上确定物体的位置。 教学难点： 确定物体位置的方向。 教学准备： 课件、铅笔、直尺、量角器 教学过程： 一、情境导入 1.谈话：请同学们回忆一下，我们已经学习了哪些确定位置的知识？（东南西北，第几排第几个，数对等） 2.如果一个物体处在没有竖列没有横行的环境中，比如在海上、空中，又用什么方式确定位置呢？今天这节课，我们就继续来研究确定位置的方法。 二、互动新授 1.用方向描述物体的位置。 （1）教学北偏东（西）、南偏东（西） ①出示第50页例1的情境图。 提问：一艘轮船在正北方向航行，你能说出灯塔1和灯塔2分别在轮船的什么方向吗？ 学生用学过的东北、西北来描述灯塔1和灯塔2的位置。 引导明确：东北方向也叫北偏东，西北方向也叫北偏西。 ②拓展：请同学们想一想，东南、西南方向又叫作什么方向？ 学生思考后回答：东南方向也叫作南偏东，西南方向也叫作南偏西。 ③下面我们来比比谁的手指快。

教师说方向，学生在图中指一指。 （2）教学用角度确定位置。 ①如果老师现在告诉苏我你还有一个灯塔A也在北偏东方向，你能在图中指一指吗？ 请多个学生上黑板指一指。 明确：只要指在北和东的夹角范围内的都符合老师的要求。 提问：如果灯塔1和灯塔A都在轮船的北偏东方向，但是位置却不同，我们该怎么区分它们呢？ 引导学生思考：可以根据它们偏离角度的不同来区分。 ②问：怎样测量灯塔1和正北方向偏离的角度呢？ 课件演示并强调：量角器的中心对准观测点，00刻度线对准轮船的正北方向，观察灯塔1所在的边，读出度数。 学生先在图上量一量灯塔1偏离正北方向的角度，说出度数，然后在书中填一填。 2.用距离确定物体的位置。 （1）提问：是不是知道灯塔1在北偏东300方向就能把它具体位置确定下来了呢？ 课件演示：画出北偏东300这条射线，并提问：这条射线上的点都在北偏东300方向，哪个点是灯塔1的位置呢？还需要知道什么？ 学生分小组讨论。 明确：看来，要想准确地描述灯塔1的位置，仅有方向还不够，还需要说清楚距离。 学生根据所给的条件，测量灯塔1到轮船的图上距离，计算出实际距离：图上距离3厘米 3×10=20（千米） 学生汇报：灯塔1在轮船的北偏东300方向30千米处。 3.小结：通过刚才的学习，我们知道要确定物体的精确位置需要具备两个要素，即方向和距离。 三、巩固练习 1.做第51页“练一练”。 提问：（1）本题中以哪儿为观测点？ （2）要求灯塔2在轮船的什么位置，需要测量哪些数据？ （3）如何求出灯塔2到轮船的实际距离？ 学生在小组交流，动手测量，完成计算。 2.练习九第1题。

第四章：基本平面图形知识点及经典例题

第四章：基本平面图形知识点 一、寻找规律： (1) 2 n n - ◆ 数线段条数：线段上有n 个点（包括线段两个端点）时，共有(1) 2 n n -条线段 ◆ 数角的个数：以0为端点引n 条射线，当∠AOD<180°时， 则（如图）?小于平角的角个数为(1) 2 n n -． ◆ 数直线条数：过任三点不在同一直线上的n 点一共可画(1) 2 n n -条直线． ◆ 数交点个数：n 条直线最多有(1) 2 n n -个交点． ◆ 握手问题：数n 个人两两握手能握(1) 2 n n -次． 二、基本概念 1．线段、射线、直线 （1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段． 线段的特点：是直的，它有两个端点． （2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线． 射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸． （3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线． 直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸． 2．线段的中点 把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点． 利用线段的中点定义，可以得到下面的结论： （1）因为AM=BM=12 AB ，所以M 是线段AB 的中点． （2）因为M 是线段AB 的中点，所以AM=BM=12 AB 或AB=2AM=2BM ． 3．角 由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边． 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角． 4．角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 5．两点之间的距离 两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离． 6．直线的性质 经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”． 7．线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短． 三、线段、角的表示方法 线段的记法： ①用两个端点的字母来表示 ②用一个小写英文字母表示 射线的记法： 用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面 直线的记法： ①用直线上两个点来表示 ②用一个小写字母来表示 角的表示：①用三个大写字母表示，表示顶点的字母写在中间：∠AOB ； ②用一个大写字母表示：∠O ； ③用一个希腊字母表示：∠ａ； ④用一个阿拉伯数学表示：∠1。 四、线段、角的比较 度量法 叠合法 1.作一条线段等于已知线段 作法： O A 顶点 边 边 B ａ 1 O A 射线OA A B a 直线AB 直线a

用方向和距离确定位置教案

确定位置 教学内容：六年级下册P50—51页例1和“练一练”。 教学目标： 1．在具体情境中让学生初步理解北偏东（西）、南偏东（西）的含义，会用方向和距离描述物体的位置，能根据给定的方向和距离在平面图上确定物体的位置，初步感受用方向和距离确定物体位置的科学性。 2．引导学生经历描述物体方向和距离的过程，进一步培养学生的观察能力、识图和作图的能力、有条理地进行表达的能力，发展空间观念。 3．帮助学生体验数学与生活的密切联系，进一步增强用数学眼光观察日常生活现象。 教学过程： 一、情景导入，激发兴趣。 1、在茫茫的大海中一艘货轮出现了故障，于是发出了求救信号，要想对它进行救援，就需要知道它的什么？（位置） 2、回忆一下，我们以前认识了哪八个方向？那在地图上是怎样确定它们的呢？一起看着课件说一说。（课件同步演示）在地图上，我们通常用N表示北。 3就在船长一筹莫展的时候，突然发现了两座灯塔，为了看清楚它们的位置关系，老师将他们画在了平面图上。要在平面上确定一个点的位置，可以怎么确定？（数对）给出网格线让学生说说灯塔1的位置。数对是用两条线表示了一个点的位置。如果货轮想往灯塔方向行驶，那它该怎么走呢？能给大家指一指吗？（指斜线）那能否用一条线来表示物体的位置呢？今天这节课，我们和大家继续学习确定位置。（板书课题） 二、合作探究、分层思考。 ①理解“北（南）偏东（西）” 1、出示研究图，从图中你能得到哪些信息？ 学生回答时，注意让学生说清楚谁在谁的什么方向。 2、东北方向，也叫北偏东（课件演示），所以灯塔1在货轮的北偏东方向。 你是如何理解北偏东方向的呢？（同桌互相交流一下，并试着用膀臂演示一下） 那西北方向又叫着北偏西，（课件演示），那你又是如何理解北偏西的呢？所以我们可以说灯塔2在货轮的（）方向。

基本平面图形知识点

基本平面图形知识点 一、线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的异同点 名称图形及表示法不同点联系共同点 延伸性端点数与实物联系 线段不能延伸2直尺线段向一 方延长就 成射线， 向两方延 长就成直 线都是直的 线 射线只能向一方 延伸1电筒发生的光 线 直线可向两方延 伸 无笔直的公路 （1）线段有两种表示方法：线段AB与线段BA，表示同一条线段。或用一个小写字母表示，线段a。 （2）射线的表示方法：端点在前，任意点在后。射线OP （3）直线也有两种表示方法：直线MN或直线NM，或用一个小写字母表示：直线a 3、基本事实：经过一点可以画_______条直线；经过两点有且只有一条直线，即_____确定一条直线。在直线上任取一点可得到_____条射线，在直线上任取_____点可得到一条线段，在射线上任取一点可得到一条________。 二、线段的性质： 1、基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）。 2、两点之间的距离 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 3、比较线段长短的方法： 观察法、度量法、叠合法 4、线段中点的定义 在线段上，能够把这条线段分成相等的两条线段的点，叫做这条线段的中点。 AM=BM=AB，AB=2AM=2BM。 5、用尺规作一条线段等于已知线段（P6） 三、角 1、角的定义 （从静止的角度看）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。∠AOB中，点O是角的顶点，OA，OB是它的两边。 角的表示方法：3种

2、角的度量单位： 角的度量单位是：度、分、秒 10=60‘1’=60" 1″=′1′=° 3、平角和周角的定义 （动态定义）角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的，当始边和终边成一条直线时，所成的角是平角，当它的终边旋转到和始边重合时，所成的角是周角。 4、角的分类 按角的大小分为：锐角、直角、钝角、平角、周角。 1直角=90° ，1平角=180°，1周角=360°。 锐角<钝角，0°<锐角<90° 。 5、角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。（数量关系） 6、钟表中的度数：分针一分钟转6°，时针一小时转30°一分钟转0.5°。 7、用一副三角板所画的角的度数，都是15°的倍数。 四、多边形和圆的初步认识 1、多边形的定义： 三角形、四边形、五边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾依次相连组成的封闭平面图形。 2、多边形的基本元素 顶点：如图，在多边形ABCDE中，点A,B,C,D,E是多边形的顶点； 边：线段AB,BC,CD,DE,EA是多边形的边； 内角：∠EAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDE, ∠DEC是多边形的内角（可简称为多边形的角）。对角线：如图，AC,AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫做多边形的对角线。 3、正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。例如：正方形是正四边形，它的各边都相等，各角都是90°；等边三角形即正三角形，它的各边都相等，各角都是60°。 4、n边形有n个顶点，n条边，n个内角，n边形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）三角形，共有_______条对角线。 4、圆的概念 （1）如图，平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点 形成的图形叫做圆。固定的端点O称为圆心；线段OA称为半径。 （2）相关概念 弧：圆上任意两点A，B之间的部分叫做圆弧，简称弧，记做，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

点面距离的几种求法

点面距离的几种求法 距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。 求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的 垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法： 1、 利用定义作垂线，解三角形。 例1， 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点P 在棱1CC 上，且 1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。 解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面 C C BB 11,PM ?面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。AB 1C B ?=B ， 1 C 1 D 1 A P M D A B C 1 B ，

∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵ 0!45=∠BCC ，4 3!= P C ,在PM C R t !?中， 8 2 343224510= ?=?= PM P C PM Sin . 2、 转化成其它点到面的距离： 2 C A A

、向量法： 例3、 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点E, F 分别是 11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。∥⊥ 解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法 向量 =(x,y,z),则： AB → →?， y n → )1,2 1,0(),0,2 1,1(=→-=→DF DE

六年级数学下册 用方向和距离确定位置练习 苏教版

（苏教版）六年级数学下册用方向和距离确定位置 班级______姓名______ 1. 如图，一辆汽车向正北方向行驶，你能说出商场和书店分别在汽车的什么方向吗？ N 商场北 45o 60o书店 0 3 6 9千米 汽车 2. 量出上图中书店到汽车的图上距离，根据比例尺算一算，书店在汽车北偏东60o方向的多少千米处？商场呢？ 3. 书店在汽车的北偏东60o方向，表示汽车也在书店的北偏东60o方向。 4. 一种精密零件，画在图上是12厘米，而实际的长度是3毫米。求这幅图的比例尺。 5. 英华小学有一块长120米、宽80米的长方形操场，画在比例尺为1 ：4000的平面图上，长和宽各应画多少厘米？ 6. 在比例尺为1 ：200000的一幅地图上，A城和B城相距5厘米，两城实际相距多少千米？

7. 一幅地图的线段比例尺是： 0 40 80 120 160千米，甲乙两城在 这幅地图上相距18厘米，两城间的实际距离是多少千米？丙丁两城相距660千米，在这幅地图上两城之间的距离是多少厘米？ 8. 在一幅比例尺为1:500的平面图上量得一间长方形教室的长是3厘米，宽是2厘米。 （1）求这间教室的图上面积与实际面积。 （2）写出图上面积和实际面积的比。并与比例尺进行比较。 参考答案 1. 如图，一辆汽车向正北方向行驶，你能说出商场和书店分别在汽车的什么方向吗？ N 商场北 45o 60o书店 0 3 6 9千米 汽车

分析与解：从图上可以看出，以汽车为中心，书店在汽车的东北方向，商场在汽车的西北方向。 怎样才能更准确地表示它们的位置呢？ 东北方向也叫做北偏东方向，书店在汽车的北偏东60o方向。 西北方向也叫做北偏西方向，商场在汽车的北偏西45o方向。 答：书店在汽车的北偏东60o方向，商场在汽车的北偏西45o方向。 2. 量出上图中书店到汽车的图上距离，根据比例尺算一算，书店在汽车北偏东60o方向的多少千米处？商场呢？ 分析与解：从图中量得书店和商场到汽车的图上距离分别是1.2厘米和2.3厘米，根据比例尺，图上距离1厘米代表实际距离3千米，分别算出实际距离。 1.2 × 3 = 3.6（千米）┄┄┄书店 2.3 × 3 = 6.9（千米）┄┄┄商场 答：书店在汽车北偏东60o方向的3.6千米处，商场在汽车北偏西45o方向的6.9千米处。 3. 书店在汽车的北偏东60o方向，表示汽车也在书店的北偏东60o方向。 分析与解：书店在汽车的北偏东60o方向，是以汽车为中心，由北向东旋转60o；而以书店为中心，汽车在书店的西南方向，即南偏西60o方向。 书店在汽车的北偏东60o方向，表示汽车在书店的南偏西60o方向。 4. 一种精密零件，画在图上是12厘米，而实际的长度是3毫米。求这幅图的比例尺。 图上距离 : 实际距离 = 比例尺 12厘米 = 120毫米 120 : 3 = 40 : 1 答：这幅图的比例尺是40 : 1。 5. 英华小学有一块长120米、宽80米的长方形操场，画在比例尺为1 ：4000的平面图上，长和宽各应画多少厘米？ 长：120米 = 12000厘米 12000 × 40001 = 3厘米 宽：80米 = 8000厘米 8000 ×4000 1 = 2厘米 答：长应画3厘米，宽应画2厘米。 6. 在比例尺为1 ：200000的一幅地图上，A 城和B 城相距5厘米，两城实际相距多少千米？ 5 ÷200000 1 = 1000000厘米 = 10千米 答：两城实际相距10千米。 7. 一幅地图的线段比例尺是： 千米，甲乙两城在

点到平面距离的若干典型求法

点到平面距离的若干典型求法 目录 1.引言 (1) 2.预备知识 (1) 3.求点到平面距离的若干求法 (3) 3. 1 定义法求点到平面距离 (3) 3. 2 转化法求点到平面距离 (5) 3. 3 等体积法求点到平面距离 (7) 3.4 利用二面角求点到平面距离 (8) 3. 5 向量法求点到平面距离 (9) 3.6最值法求点到平面距离 (11) 3.7公式法求点到平面距离 (13) 1.引言 求点到平面的距离是高考立体儿何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了儿何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。 2.预备知识 （1）正射影的定义：（如图1所示）从平面外一点向平面。引垂线，垂足为P,则点P'叫 做点〃在平面。上的正射影，简称为射影。同时把线段PP'叫作点P与平面。的垂线段。

图1 (2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离, 也即点与平面间垂线段的长度。 (3)四面体的体积公式 V=-Sh 3 其中V表示四面体体积，S、/?分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。 (4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 (5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。 (6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线/把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面a与平面“所成的二面角，记作二面角a-1-p,其中/为二面角的棱。如图在棱/上任取一点。，过点。分别在平面。及平面”上作/的垂线。4、OB，则把平面角匕叫作二面角a-1-p的平面角，匕4彼的大小称为二面角a-1-p的大小。在很多时候为了简便叙述，也把匕称作a与平面“所成的二面角。 (7)空间向量内积： 代数定义：设两个向量刁=(而,》1，4)，/；=(易况，全)，则将两个向量对应分量的乘积之和 定义为向量。与片的内积,记作沁，依定义有必。二%工2 +凹)‘2 +4弓

第1章_基本平面图形知识点梳理与练习题

第一章基本平面图形 一、知识点总结 （一）线段、射线、直线 1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。 2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。 3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。 4、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。 5、点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

6、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（或者说两点确定一条直线。） （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 7、线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。 （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 8、线段的中点： 点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。 9、线段的比较： 方法一：观察法 方法二：度量法：用刻度尺量出它们的长度，再进行比较。 方法三：叠合法：把其中一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较。

六年级下册数学用方向和距离确定位置教案

六年级下册数学《用方向和距离确定位置》教案 六年级下册数学《用方向和距离确定位置》教案 第一课时：用方向和距离确定位置（1）教学内容：教材第50页的例1，第51页的“练一练”，完成练习九第1～3题。教学目标： 1.在具体情境中初步理解北偏东（西）、南偏东（西）的含义，会用方向和距离描述物体的位置，初步感受用方向和距离确定物体位置的科学性。 2.经历用方向和距离描述物体位置的方法的探究过程，进一步培养学生观察、识图和有条理地进行表达的能力，发展空间观念。 3.进一步体验数学与生活的密切联系，增强用数学的眼光观察日常生活现象和解决日常生活问题的意识。教学重点：初步掌握用方向和距离确定物体位置的方法，能根据给定方向和距离在平面图上确定物体的位置。教学难点：确定物体位置的方向。教学资源：课件、铅笔、直尺、量角器教学过程：一、情境导入 1.谈话：请同学们回忆一下，我们已经学习了哪些确定位置的知识？（东南西北，第几排第几个，数对等） 2.如果一个物体处在没有竖列没有横行的环境中，比如在海上、空中，又用什么方式确定位置呢？今天这节课，我们就继续来研究确定位置的方法。二、互动新授 1.用方向描述物体的位置。（1）教学北偏东（西）、南偏东（西）①出示第50页例1的情境图。提问：一艘轮船在正北方向航行，你能说出灯塔1和灯塔2分别在轮船的什么方向吗？学生用学过的东北、西北来描述灯塔1和灯塔2的位置。引导明确：东北方向也叫北偏东，西北方向也叫北偏西。②拓展：请同学们想一想，东南、西南方向又叫作什么方向？学生思考后回答：东南方向也叫作南偏东，西南方向也叫作南偏西。③下面我们来比比谁的手指快。教师说方向，学生在图中指一指。（2）教学用角度确定位置。①如果老师现在告诉苏我你还有一个灯塔A也在北偏东方向，你能在图中指一指吗？请多个学生上黑板指一指。明确：只要指在北和东的夹角范围内的都符合老师的要求。提问：如果灯塔1和灯塔A都在轮船的北偏东方向，但是位置却不同，我们该怎么区分它们呢？引导学生思考：可以根据它们偏离角度的不同来区分。②问：怎样测量灯塔1和正北方向偏离的角度呢？课件演示并强调：量角器的中心对准观测点，00刻度线

高中数学完整讲义——空间几何量的计算1.点到平面的距离问题

【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平 面α的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0或1 【例2】 ABC ?的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则 ABC ?的重心到平面α的距离为___________． 【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离． 【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求 点D 到平面PAB 的距离． O E A 1 D C 1 B 1 D C A H A C B D P 典例分析 板块一.点到平面的距离问题

【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60，求点C 到面 1ABC 的距离. 【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1 2 PD AB = 中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） A B C D 【例7】 （2007湖北文5） 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上 的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） A B C D 【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45?，则点A 到侧面PBC 的 E D C 1 B 1A 1 C B A A A 1 A B C D E

基本平面图形知识

基本平面图形 一、知识讲解 考点1：线段、射线、直线 1．直线的性质 (1)两条直线相交，只有1个交点． (2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线 2．线段的性质: 所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间线段最短． 3．线段的中点 把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点． 如图，点M 将线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点. A B 当点M 是线段AB 的中点时，就有关系式：AB=2AM=2BM ，AM=BM=AB ；反过来，如果点M 在线段AB 上，且有这样的数量关系式，那么点M 就是线段AB 的中点. 4．直线、射线、线段的区别与联系 考点2：角的有关概念及性质 1．角的有关概念 角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线.

易错点: 2．角的单位与换算 1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角． 考点3 度、分、秒的换算 1、角的单位及意义 角的单位: 度、分、秒． 意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°； ②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′； ③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″. 2、度、分、秒的进率及换算方法 度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″. 易错点: (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同； (2)角的度数的换算有两种方法： ①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″； ②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝? ????160′，1′＝? ???? 160°，用除法 3、钟面角 1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°． 2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． 3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．

用方向和距离确定位置

用方向和距离描述物体的位置 教学内容：苏教版小学数学六年级下册50页的例1和练一练，练习九的第1——3题。 教学目标： 1．使学生在具体情境中初步理解北偏东（西）、南偏东（西）的含义，会用方向和距离描述物体的位置，初步感受用方向和距离确定物体位置的科学性。2．使学生经历描述物体方向和距离的过程，进一步培养观察能力、识图能力和有条理地进行表达的能力，发展空间观念。 3．使学生体验数学与生活的密切联系，进一步增强用数学眼光观察日常生活现象，解决日常生活问题的意识。 教学重点：能用方向和距离描述物体的位置，感受用方向和距离确定物体位置的科学性。 教学难点：用方向和距离描述物体的位置。 教学过程： 课前交流： 课前交流 看谁反应快：请一位同学站起来，以这个同学为中心，（1）请正北面的同学起立，坐下。（2）请正南面的同学起立，坐下。（3）请西北面的同学起立，坐下。（4）请东北面的同学起立，坐下。 同学们，我们已经认识了哪些方向？（画方向示意图并板书：东、南、西、北、东北、西北、东南、西南） （设计意图：一起游戏，既复习了旧知，又为引出新知做好铺垫，收到寓教于乐的效果。） 一、创设情境，引入课题。 谈话：同学们，在教室里我们可以用方向来确定位置，试想一下，在一望无际的大海上、空中能像刚才那样描述位置吗？今天这节课我们将一起探索如何准确描述物体的位置。（板书课题：描述物体的位置） 二、自主探究，提炼建模 1、课件出示例1场景图的轮船 谈话：看，在茫茫的大海上，一艘轮船在茫茫的大海上航行，这是某一时间轮船周边的情况示意图，从图中你能知道什么？ 引导发现：一艘轮船向正北方向航行，灯塔1大约在轮船的东北方向，灯塔2大约在轮船的西北方向。

用方向和距离确定位置教学设计

用方向和距离确定位置 教学目标： 1．让学生在具体情境中初步理解北偏东（西）、南偏东（西）的含义，会用方向和距离描述物体的位置，初步感受用方向和距离确定物体位置的科学性。 2．让学生经历用方向和距离描述物体位置的方法的探索过程，进一步培养观察能力、识图能力和有条理地进行表达的能力，发展空间观念。 3．让学生进一步体验数学与生活的密切联系，增强用数学眼光观察日常生活现象和解决日常生活问题的意识。 教学重点：初步掌握用方向和距离确定物体位置的方法 教学难点：测量角度，用角度描述方向 教学准备：多媒体课件、网络资源、量角器、三角尺 教学过程： 一、课前游戏： 师：紧张吗？（紧张），那我们先一起来做两个小游戏来放松一下好吗？ 1、“快速起立”游戏 师：我来说数对，请相应的同学站起来，看谁的反应速度最快 2、“破译密码”游戏（出示课件） 师：但是这个密码需要我们全体同学共同努力，请男同学做好准备，女同学做好准备 二、复习导入 师：刚刚我们通过两个小游戏，缓解了紧张情绪同时也复习了一个数学知识（用数对确定物体的位置），那物体的位置除了用数对来表示，还有什么方法呢？ 你想了解吗？今天我就和同学们一起来学习另一种表示物体位置的方法。师：在低年级时我们曾学过位置与方向，认识了8个方向，都有哪些？如何在平面图上将这8个方向表示出来呢？ 师：看谁是生活的有心人？你能说出你家在学校的哪个方向吗？ 师：你（生1）的家在学校的东北方向，你（生2）的家也在学校的东北方向，我知道了，你们俩的家在一个地方，对吗？ 师：看来要具体地说出你的家在学校的什么位置，只说清楚方向还不够，还要说清楚你的家与学校的距离才行（板书：方向距离），这节课我们继续学习确定位置（板书：确定位置），这种方法就叫做《用方向和距离确定位置》三、教学过程： 1.探索物体所在观测点的方向 师：不知道同学们有没有注意到生1和2刚刚说的都是是他家在学校的东北方向， 那能不能直接说他家在东北方向呢？从学校这个角度来观察，他家确实是在 学校的东北方向，但对于翠竹园生活小区来说就不一定是在东北方向了，在 这里学校就是一个观测点，看来在确定位置之前我们首先要确定好观测点。 那如果我现在要将学校这个观测点放到平面图上，你认为放哪比较合适？ 师：刚才老师了解了生1和生2的家所在学校的大体方向，那具体在哪我们先在 地图上找找好吗？（出示威海地图），我们先一起找找柴峰小学的位置，这 是一幅立体图，你能找到北在哪吗？我想很多同学都想在地图上找到你家的

北师大版七年级数学上册第四章基本平面图形知识点总结【含答案】

北师大版七年级数学上册 第四章 基本平面图形 知识点总结 知识点一：基本图形特点 （1）线段 两个端点 可测量 线段CD 或线段DC ，或者线段m 。 （2）射线 一个端点 不可测量 射线DE ，其中D 点是端点 （3）直线 没有端点 不可测量 直线EF 或直线FE ，或直线? 。 （4）角的表示方法： ①用三个大写字母；如∠ABC （顶点字母在中间） ②用一个大写字母，如∠B （以这个点为顶点的角只有一个） ③用一个数字，如∠1； ④用一个希腊字母，如∠ 。 α知识点二：（1）将一根细木条固定在墙上，至少需要钉 2个钉子，理由： 两点确定一条直线 。 （3）过平面内三个点中的任意两个点可作 1条或者3条 直线。 （2）若一条直线上有n 个点，则有 条线段、 2n 条射线和 1条直线。 （4）平面内n 条直线两两相交，有 个交点。 （5 ）平面内一个点O 发出n 条射线，那么角的个数为 个角。 知识点三：方位角 方法：视角互换，度数不变，位相反。如： 操场上，小明对小亮说：“你在我的北偏东30°方向上”，那么小亮可以对小明说：“你在我的 A 方向上”( ) A ．南偏西30° B ．北偏东30° C ．北偏东60° D ．南偏西60°2)1(-n n 2)1(-n n 2)1(-n n

知识点四：时钟指针夹角 （1）一圈360° （2）一大格360÷12=30° （3）m 点整时，时针与分针夹角： 30m o 当度数大于180o时，再用 （4）m 点n 分时，时针与分针夹角： |5.5n －30m |o 360o减去。 知识点五：度的换算 （一）法则： 大单位化小单位乘以 进率60 。 小单位化大单位除以 进率60 。 （二）题型： ①45°= 87′ = 5220″ ②1800″= 30 分= 0.5 度 ③（ ）°= 15 ′ ④ 47.43°= 47 ° 25 ′ 48 ″。方法如下： 47.43°= 47°+ 0.43° 。 47°=47° 0.43°=0.43×60=25.8′,保留25′，剩余0.8′， 0.8′=0.8′×60=48″。 知识点六：线段的中点 ∵点O 是线段AB 的的中点 ∴线段AO=BO=AB 或者 线段AB=2AO=2BO 2 1知识点七：角的平分线 ∵点射线OB 是∠AOC 的J 角平分线 ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC 或者 ∠AOC=2∠AOB=2∠BOC 2 1知识点八： 多边形 定义:多边形都是由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。 （一）n 边形有n 个顶点，n 条边，n 个内角。 （二）n 边形，过其中的一个顶点有（n-3）条对角线，把这个多边形分成了（n-2）个 三 4 12 )3( n n

高一数学点到平面距离的求法

例谈点到平面距离的求法 立体几何的空间距离是历年高考考查的重点和热点。由于线面距离、面面距离以及两异面直线间的距离都可以转化为点到平面的距离来解决，因此点到平面的距离更值得我们关注。 点到平面的距离的求法可分为三大类： 一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定 转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。 1、 用定义直接构造法 例1、如图，三棱锥S-ABC 中，ABC ?是等腰三角形， 2AB BC a ==， 0120ABC ∠=,且SA ⊥面ABC ，SA=3a 。求点A 到平面SBC 的距离。 解：作 AD BC ⊥交BC 于D,连结SD. SA ⊥平面ABC,根据三垂线定理有SD BC ⊥ 又SD AD D ?=,BC ∴⊥平面SAD 。又BC ?平面SBC ， ∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC ?平面ADS=SD ∴过点A 作AH SD ⊥于H ，则AH ⊥平面SBC 。在Rt SAD ?中， SA=3a, 0sin60AD AB == ，32 a AH ∴= = 故点A 到平面SBC 的距离为 32 a 。 【点评】利用构造法关键是定位点在面内的射影。常常要寻找过已知点且与所给面垂直的面，再过已知点作两垂面交线的垂线。 2、转移构造法 （1）利用平行线转换点 例2、在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC ⊥,1,AB CC a BC b ===（b >a ） （1）求证： 11AC AB ⊥ (2)求点1B 到平面1ABC 的距离. 解：(1)连结 1A B ,则11AB A B ⊥，又11AB BC ⊥，故111AB A BC ⊥面。知 111AC AB ⊥，得1111AC ABB A ⊥面,知11AC AB ⊥。 （2）由（1）得1 11ABC AAC ⊥面面. 11111,A B AB A B ABC ∴平面1111A ABC ABC ∴到平面的距离等于B 到平面的距离 过1A 作 11AG AC ⊥于G , 11AB ACC A ⊥平面, 1AB AG ∴⊥ 从而11AG ABC ⊥平面. 故1 AG 即为所求的距离。易求1AG b =。 【点评】利用直线与平面平行，把所求的点到平面的距离转移到平行线上另一点到平面的距离来求， 是我们常用的方法。 （2）对称转移或利用定比分点 C C

基本平面图形知识点梳理及练习题.doc

第一章 基本平面图形 一、知识点总结 （一） 线段、射线、直线 1、线段： 绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。 线段有两个端点。 2、射线： 将线段向 一个方向无限延长 就形成了射线。 射线有一个端点。 3、直线： 将线段向 两个方向无限延长 就形成了直线。 直线没有端点。 一条直线上有 n 个点，则在这条直线上一共有 n (n 1) 条线段，一共有 2n 条射线。 2 平面内的 n 条直线相交，最多也只有 n (n 1) 个交点。 2 4、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在 前面）。 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。 5、点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 6、直线的性质 （ 1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（或者说两点确定一条直线。 ） （ 2）过一点的直线有无数条。 （ 3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （ 4）直线上有无穷多个点。 （ 5）两条不同的直线至多有一个公共点。 7、线段的性质 （ 1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。 （ 2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （ 3）线段的 中点 到两端点的距离相等。 （ 4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 8、线段的中点： 点 M 把线段 AB 分成相等的两条相等的线段 AM 与 BM ，点 M 叫做线段 AB 的中点。 9、线段的比较： 方法一：观察法 方法二：度量法：用刻度尺量出它们的长度，再进行比较。 方法三：叠合法：把其中一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较。