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2016年各地中考解析版分类汇编(第1期)一元二次方程及其应用

解直角三角形

一、选择题

1．(2016福州，9,3分)如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是

上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）

A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．

【专题】计算题；三角形．

【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．https://www.wendangku.net/doc/e1522852.html,

【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，

在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，

∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，

则P的坐标为（cosα，sinα），

故选C．

【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

2．(2016·云南)一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）2-1-c-n-j-y

A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．

【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米），

∴AC+BC=4+4tanθ（米），

∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）；

故选：D．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．

3．（2016·四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）

A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°

C．AC=1.2tan10°米D．AB=米

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案．

【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确；

故选：B．

4．（2016山东省聊城市，3分）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（）https://www.wendangku.net/doc/e1522852.html,

A．169米B．204米C．240米D．407米

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33°，在Rt△BCO中，求得OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21°，列方程即可得到结论．

【解答】解：过C作CD⊥AB于D，

在Rt△ACD中，AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33°，

在Rt△BCO中，OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21°，

∵AB=110m，

∴AO=55m，

∴A0=AD﹣OD=CD?tan33°﹣CD?tan21°=55m，

∴CD==≈204m，

答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m．

故选B．

5．（2016.山东省泰安市，3分）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）

A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63

【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA 的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可

【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，

MN=30×2=60（海里），

∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，

∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，

∵∠BMP=68°，

∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，

∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，

∴∠PMN=∠MPN，

∴MN=PN=60（海里），

∵∠CNP=46°，

∴∠PNA=44°，

∴PA=PNsin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）

故选：B．

【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．6．（2016·江苏苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）

A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．

【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，

∴AD=4sin60°=2（m），

在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，

∴AC==2（m）．

故选B．

7．（2016?辽宁沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）

A．B．4 C．8D．4

【考点】解直角三角形．

【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，

cosB=，

即cos30°=，

∴BC=8×=4；

故选：D．

【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握．二、填空题

1．（2016·黑龙江大庆）一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿

正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为

海里/小时．

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，

∠CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出

CQ，得出BC=40+40=3x，解方程即可．

【解答】解：如图所示：

设该船行驶的速度为x海里/时，

3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，

由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，

在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，

∴∠B=90°﹣60°=30°，

∴AQ=AB=40，BQ=AQ=40，

在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，

∴CQ=AQ=40，

∴BC=40+40=3x，

解得：x=．

即该船行驶的速度为海里/时；

故答案为：．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．2．（2016·湖北十堰）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10

米．请根据这些数据求出河的宽度为（30+10）米．（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30°=列出方程即可解决问题．【来源：21cnj*y.co*m】

【解答】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，

设CK=HB=x，

∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，

∴∠CAK=∠ACK=45°，

∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，

∴HD=x﹣30+10=x﹣20，

在RT△BHD中，∵∠BHD=30°，∠HBD=30°，

∴tan30°=，

∴=，

解得x=30+10．

∴河的宽度为（30+10）米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型．3.（2016年浙江省宁波市）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A

处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为10+1m（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．

【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，

∴BE=AE?tan60°=10（m），

∴BC=CE+BE=10+1（m）．

∴旗杆高BC为10+1m．

故答案为：10+1．

【点评】本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．

4．(2016福州，18,4分)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．

【考点】菱形的性质；解直角三角形．

【专题】网格型．

【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题．

【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，

AE=a，EB=2a

∴∠AEB=90°，

∴tan∠ABC===．

故答案为．

【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

5．（2016·上海）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的

高度BC约为208米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）21*cnjy*com

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．

【解答】解：由题意可得：tan30°===，

解得：BD=30，

tan60°===，

解得：DC=90，

故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208（m），

故答案为：208．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．6．(2016大连，15，3分)如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．2·1·c·n·j·y

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC=PA=9，再解Rt△PBC，得出

PB=≈11．

【解答】解：如图，作PC⊥AB于C，

在Rt△PAC中，∵PA=18，∠A=30°，

∴PC=PA=×18=9，

在Rt△PBC中，∵PC=9，∠B=55°，

∴PB=≈≈11，

答：此时渔船与灯塔P的距离约为11海里．

故答案为11．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义．解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

三、解答题

1. （2016·湖北鄂州）（本题满分9分）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了

在南海的巡逻力度。一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域。如图所示，AB＝60()2

6+海里，在B 处测得C在北偏东45o的方向上，A处测得C在北偏西30o的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120()2

6-海里。

（1）（4分）分别求出A与C及B与C的距离AC，BC

（结果保留根号）

（2）（5分）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，

我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁

的危险？

（参考数据：2＝1.41，3＝1.73，6＝2.45）第1题图

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.

【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可求出A与C及B与C的距离AC，BC；

（2）过点D作DF⊥AC于F，解直角三角形即可求出DF的长，再比较与100的大小，从而得出结论有无触礁的危险.

【解答】解：⑴作CE⊥AB于E, 设AE＝x （1分）

则在△ACE中,CE=√3 x AC=2 x

在△BCE中，BE=CE=√3 x BC=√6 x （2分）

由AB=AE＋BE ∴x＋√3 x=60(√6＋√2)

解得x=60√2 （3分）

所以AC=120√2(海里) ，BC=120√3 (海里) （4分）

⑵作DF⊥AC于F, （1分）

在△AFD中,DF=√3/2DA （2分）

∴DF=√3/2×60(√6－√2)=60(3√2－√6) ≈106.8＞100 （4分）

2. （2016·湖北黄冈）（满分8分）“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储处调集物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C，B，A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O. 已知：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA =45°，CD=20km. 若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同；参考数据：2≈1.4；3≈1.7）

（第2题）

【考点】解直角三角形的应用.

【分析】要知道这批物资在哪个码头装船最早运抵小岛O，则需分别计算出从C，B，A三个码头到小岛O所需的时间，再比较，用时最少的最早运抵小岛O. 题目中已知了速度，则需要求出CO，CB、BO，BA、AO的长度.

【解答】解：∵∠OCA=30°，∠D=15°，∴∠DOC=15°.

∴CO=CD=20km. ……………………………………………….1分

在Rt△OAC中，∵∠OCA=30°，

∴OA=10，AC=103.

在Rt△OAB中，∵∠OBA=45°，

∴OA=AB=10，OB=102.

∴BC= AC-AB=103-102. ………………………………..4分

①从C O所需时间为：20÷25=0.8；……………..……..5分

②从C B O所需时间为：

（103-102）÷50+102÷25≈0.62；…………..6分

③从C A O所需时间为：

103÷50+10÷25≈0.74；…………………………..7分

∵0.62＜0.74＜0.8，

∴选择从B 码头上船用时最少. ………………………………8分

（所需时间若同时加上DC段耗时0.4小时，亦可）

3．(2016·四川资阳)如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．

（1）求出此时点A到岛礁C的距离；

（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】（1）根据题意得出：∠CBD=30°，BC=120海里，再利用cos30°=，进而求出答案；

（2）根据题意结合已知得出当点B在A′的南偏东75°的方向上，则A′B平分∠CBA，进而得出等式求出答案．

【解答】解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，

由题意可得：∠CBD=30°，BC=120海里，

则DC=60海里，

故cos30°===，

解得：AC=40，

答：点A到岛礁C的距离为40海里；

（2）如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，

可得∠1=30°，∠BA′A=45°，A′N=A′E，

则∠2=15°，即A′B平分∠CBA，

设AA′=x，则A′E=x，

故CA′=2A′N=2×x=x，

∵x+x=40，

∴解得：x=20（﹣1），

答：此时“中国海监50”的航行距离为20（﹣1）海里．

4. (2016·四川自贡)某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（2016?自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C

的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，≈1.7）

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．

【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，

设CD=x米．

在Rt△ADC中，∠DAC=25°，

所以tan25°==0.5，

所以AD==2x．

Rt△BDC中，∠DBC=60°，

由tan 60°==，

解得：x≈3．

即生命迹象所在位置C的深度约为3米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

5. (2016·新疆)如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【专题】探究型．

【分析】根据题意可以得到BD的长度，从而可以求得AB的高度．

【解答】解：由题意可得，

CD=16米，

∵AB=CB?tan30°，AB=BD?tan45°，

∴CB?tan30°=BD?tan45°，

∴（CD+DB）×=BD×1，

解得BD=8，

∴AB=BD?tan45°=（）米，

即旗杆AB的高度是（）米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

6. （2016·四川成都·9分）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB=1.5m，测

得旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC=20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】根据题意得AC=20米，AB=1.5米，过点B做BE⊥CD，交CD于点E，利用∠DBE=32°，得到DE=BEtan32°后再加上CE即可求得CD的高度．

【解答】解：由题意得AC=20米，AB=1.5米，

∵∠DBE=32°，

∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4米，

∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9（米）．

答：旗杆CD的高度约13.9米．

7. （2016·四川达州·8分）如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．21*cnjy*com

（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？

（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，首先证明△ABC是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD的长即可角问题．（2）求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．

【解答】解：（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．【出处：21教育名师】

∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，

∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，

∴∠BCA=90°，

∵BC=12，AB=36×=24，

∴AB=2BC，

∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，

∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，

∴∠BDC=∠BCD=30°，

∴BD=BC=12，

∴时间t==小时=20分钟，

∴轮船照此速度与航向航向，上午11：：00到达海岸线．

（2）∵BD=BC，BE⊥CD，

∴DE=EC，

在RT△BEC中，∵BC=12，∠BCE=30°，

∴BE=6，EC=6≈10.2，

∴CD=20.4，

∵20＜20.4＜21.5，

∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．

8. （2016·四川广安·8分）如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1.5米，为了安全现要作一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不