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数学广角总复习

一、各学段数学广角内容

(一)找规律

一、找出下面各题的排列规律,再在( )里填上适当的数。 (1)、4、7、10、13、16、( )、( )

(2)、2、4、7、11、16( )、( )

(3)2、3、5、8、( )、17、23、( ) (4)2、4、8、14、22、( )、44、( ) (5)、1、1、2、3、5、8、( )、21、( ) (6)、( )30、( )、14、9、6、5、 二、填空

1、如图所示,观察小圆圈的摆放规律,第一个图中有5个小圆圈,第二个图中有8个小圆圈,第

100个图中有__________个小圆圈.

(1) (2) (3)

2、 找规律.下列图中有大小不同的菱形,第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅

图中有5个菱形,则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形.

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1 2 3

n

3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形,按照这样的规律摆下去,则第n 个图形需棋子 枚(用含n 的代数式表示).

4、如图①是一块瓷砖的图案,用这种瓷砖来铺设地面.如果铺成一个22?的正方形图案(如图②),

其中完整的圆共有5个,如果铺成一个33?的正方形图案(如图③),其

中完整的圆共有13个,如果铺成一个44?的正方形图案(如图④),其中完整的圆共 有25个.若这样铺成一个1010?的正方形图案, 则其中完整的圆共有 个.

5、 观察下列各式:

3211= 332123+= 33221236++= 33332123410+++= ……

猜想:333312310++++= .

(二)最优化,烙饼问题,排队问题

烙饼问题的解决: 一般的解决方法:

公式: 烙饼总时间=每次烙的时间×[(2×烙饼总数)÷每次烙的饼数] 如每次可以同时烙3张饼,每次要烙5分钟,要烙9张饼的时间是5×[(2×9)÷3]=30(分)

特殊的解决方法:

如果用公式除不尽的话,就要先算出烙的次数,再乘每次烙的时间。

如每次可以同时烙3张饼,每次要烙5分钟,要烙7张饼的话,要先算出烙的次数=(2×7)÷3=4次……2面,即4+1=5次,共25分钟。

问题本质: 烙饼问题其实是统筹方法的一个分支,其实质是利用好烙锅的容量空间,使每次烙的效率最高。

例题:妈妈星期天在家里做早点,要煎5个鸡蛋,每次只能煎2个鸡蛋,两面都要煎,每面要3分钟。最少用多少时间?

建议的解题格式:把5个鸡蛋分成3个、2个来煎,每个鸡蛋分A 、B 面,采用以下表格表示

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④ ⑤

总时间: 3×【(2×5)÷2】=15 (分钟)

统筹安排时间问题:

第1个

第2个

第3个

原则有两个:其一,“分清先后”——找出事物发生的必然先后顺序;其二,“同时进行”——在

做不需要人照看的事的同时做其他事,这样就可以节约时间。

例题:丛书P57,1 小梅每天早上起床后要做下面几件事。

起床穿衣:3分钟整理被褥:2分钟刷牙:2分钟

洗脸:1分钟热牛奶:6分钟吃早餐:6分钟

问:小梅怎样做才能最节省时间,最少需要多少时间?

建议的解题格式:

步骤一:“分清先后”,需要先穿衣服才能做别的事,以防受凉感冒;需要先刷完牙、洗完脸干干净净地才能吃早餐;早餐包括牛奶,也必须先热完牛奶才能吃到早餐。

步骤二:“同时进行”,热牛奶不用人照看,同时可以做别的事。所以在热牛奶的6分钟做整理被褥、刷牙、洗脸这几件事。

用线段图表示为:排队的学问:先快后慢,先时间短的再时间长的,这样可以使总的等待时间最短。

例题:丛书P58,1 三辆车同时一个加油站加油,大卡车需要8分钟,面包车需要4分钟,小轿车需要3分钟,怎样安排加油的顺序最合理?等候的时间最少是多少分钟?

建议的解题格式:【】部分内的为解释和思考过程

【因为其中一辆车加油的时候,三辆车都同时在等待,所以先让时间最少的小轿车加油,再让时间中等的面包车加油,最后让大卡车加油,以使总的等待时间最短。】

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【在小轿车加油时,面包车与大卡车都要等待3分钟;在面包车加油时,小轿车已经加油完开走了;大卡车要等待4分钟;在大卡车加油时,其余两辆车都已经加油完走了。

大卡车等待时间3+4+8=15(分钟),面包车等待时间3+4=7(分钟),小轿车等待时间3分钟。】

所以,按照小轿车——面包车——大卡车的加油顺序,总的等待时间最少,是15+7+3=25(分钟)

【也可以这么算,小轿车加油时,三辆车都等待了3分钟,共3×3=9(分钟),面包车加油时,面包车和大卡车都等待了4分钟,共4×2=8(分钟),最后大卡车独自等待了8分钟,总的等待时间为9+8+8=25(分钟)】

田忌赛马(对策论):找到所有可能的对策,从中找出可以取胜的对策。

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可以将齐王的三种马的能力值设定为 9、7、5,而田忌的三种马的能力值都分别少一些,为8、6、4。田忌可能的对战齐王局面如下

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9),用上等马(8)对战齐王的中等马(7),再用中等马(6)对战齐王的下等马(5),取得三盘两胜一败的结果,最终取得胜利。

取棋子问题的策略(相似问题为课本P116数学游戏)

问题的提出:在一堆棋子(20粒)中,两个人轮流取,一次可以取1粒或2粒棋子,不能不取或多取,取到最后一粒棋子的为胜利者。问第一个取的人应采取怎样的策略,保证自己的胜利?

问题的解决:要取到第20粒,不能取到第19粒或第18粒,否则会让对方获胜,所以要取得第17粒棋子,这时对方取1粒我方就取2粒,对方取2粒我方就取1粒,这样就能获胜。同理,要取得第

17粒,就要取到第14粒、11粒、8粒、5粒、2粒,所以,第一次取的时候直接取2粒,以后对方1粒我方就2粒、对方2粒我方就1粒,这样就一定能取得最后的胜利。问题的本质:把复杂的问题简单化,找到取棋子的规律。

在N个棋子中,每次可以取A~B个,要取得最后一个的方法是:要取得第N个,就要取到第N-(A +B)个,以此类推,也就是第一次要取到N÷(A+B)的余数的那个棋子。

如上题,20÷(2+1)=20÷3=6……2,所以要取到第2个才能保证胜利。

练习巩固:

1、丽丽长大了,想和妈妈学做菜,星期天要学做一个炒鸡蛋,妈妈告诉她这道菜有以下几项工序:敲蛋(1分钟)搅蛋(1分钟)切葱(1分钟)

洗锅(2分钟)烧热锅(2分钟)烧热油(1分钟)

炒蛋(4分钟)

2、一只平底锅上只能煎两条鱼,用它煎一条鱼需要4分钟。(正反面各2分钟),那么,煎三条鱼至少需要几分钟?

3、四(1)班的3个同学各拿一只水桶去接水,水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟,现在只有1个水龙头可以接水,怎样安排能使他们总的等候时间最短?这个最短的时间是多少?

(三)植树问题

(一)求棵数:有一条长800米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔20米栽一棵杨树,需多少棵杨树苗?

练习:1.在一条长500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设一根,若公路两端都不架设,共需电线多少根?

2、在一条长50米的跑道两旁,从头到尾每隔5米插一面彩旗,一共插多少面彩旗?

(二)求间距:红领巾公园内一条林荫大道全长800米,在它的一侧从头到尾等距离地放着41个垃圾桶,每两个垃圾桶之间相距多少米?

练习:1.在一条绿荫大道的一侧从头到尾坚电线杆,共用电线杆86根,这条绿荫大道全长1700米。每两根电线杆相隔多少米?

2.街心公园一条甬道长200米,在甬道的两旁从头到尾等距离栽种美人蕉,共栽种美人蕉82棵,每两棵美人蕉相距多少米?

(三)求全长:街心公园一条直甬路的一侧有一端原栽种着一株海棠树,现每隔12米栽一棵海棠树,共用树苗25棵,这条甬路长多少米? 练习:1.在一条公路上两侧每隔16米架设一根电线杆,共用电线杆52根,这条公路全长多少米?

2、公路的每边相隔7米有一棵槐树,芳芳乘电车3分钟看到公路的一边有槐树151棵,电车的速度是每分钟多少米?

(四)封闭一个圆形池塘,它的周长是300米,每隔5米栽种一棵柳树,需要树苗多少株?

练习:一个圆形水池周围每隔2米栽一棵杨树,共栽了40棵,水池的周长是多少米?

一个圆形养鱼池全长200米,现在水池周围种上杨树25棵,隔几米种一棵才能都种上?

(五)、锯木头

例1、有一根木料,打算把每根锯成3段,每锯开一处,需要5分钟,全部锯完需要多少分钟?

练习、1.有三根木料,打算把每根锯成4段,每锯开一处,需要3分钟,全部锯完需多少分钟?

2、一个木工锯一根长19米的木条。他先把一头损坏部分锯下1 米,然后锯了8次,锯成许多一样长的短木条。求每根短木条长多少米?

3.、一根木材,锯成4段用6分钟,另外有同样的一根木材以同样的速度锯,18分可锯多少段?

(六)、爬楼梯和敲钟

例1:业务员小李爬一层楼要18秒,他爬到4楼需要几秒?

练习、1.业务员小李要到六楼联系工作,他从1楼到4楼用了54秒,照这样计算,小李走到6楼还需要几秒?

2.、挂钟6点钟敲6下,10秒敲完,那么9点钟敲9下,几秒敲完?

(四)数字编码

1、张老师的身份证号码是:350524************张老师是()年()月

()日出生,性别是()性。

2、学校每年开一次运动会,“072154061”是参加运动会的张小华的运动员编码,若“07”

代表2007年运动会,“21”代表学校第21届运动会。“5406”代表五年4班第六位选手,

末尾“1”表示男性,末尾“2”表示女性。如果今年张小华继续代表班级的第十位选手参加运动会,那他今年的运动员编码为

3、下面是小红的爸爸、妈妈和爷爷的身份证号码,请用你学到的知识判断每个身份证号码

到底是谁:350582************这是()、350502************这是()、350500************这是()。

4、红光小学教师的工作证编号是由出生日期和报到顺序组成的,如果一位女教师1982年7

月4日出生,报到顺序是第56位,她的工作证号码是()。

5、利民医院给每位住院病人设计一个病历号,从中可看出该病人住哪个科室、住院时间以

及床号,一个病人的病历号是“内2007121509”。那么,这位病人住()科,

入院时间时(),他住()号病床。有一个病人住在利民医院外

科12号床,是2008年5月11号入院,这个病人的病历号是()。

(五)找次品

解决此类问题的原则和方法一是把待分的物品分成3 份;二是要分得尽量平均,能够平均分的平均分成3份,不能平均分的,也应使多的与少的一份只差1。

例1.有5瓶多种维生素,其中一瓶少了4片。如果用天平称,每次称1瓶,至少称多少次才能找到少药片的那?如果每次称2瓶,至少需要多少次才能找到?(请你试着用图表示称的过程)

练习:有8瓶水,其中7瓶质量相同,另外有1瓶是糖水,比其他水略重一些,至少称多少次能保证

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找出这瓶糖水。(请你试着用图表示称的过程)

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例2.一箱橙子有15袋,其中有4袋质量相同,另外有1袋质量不足,轻一些,至少称几次能保证找出这袋橙子来?(请你试着用图表示称的过程)

练习:有15盒饼干,其中的14盒质量相同,另有一盒少了几块,如果能用天平称,至少称几次保证可以找出这盒饼干?(请你试着用图表示称的过程)

1、14袋糖果中有一袋少装了黑巧克力,比其他13袋糖果轻,其他糖果每袋的质量相同。如果用天平称,至少称几次就能找到那袋少了的糖果?(请你试着用图表示称的过程)

2.古时候有一个国王,他让工匠打造12顶黄金皇冠。可是工匠在打造的过程中,偷偷用其他金属代替了黄金,12顶皇冠从外观看,形状、大小完全一样,但是有一顶是次品,这个次品比其他的要轻,你用一只无砝码的天平称,至少称几次可以假皇冠找出来?试着用图表示称的过程.

3.有10箱小球,根据标准,每个小球质量应该是10克。但这10箱中,混进一箱次品,次品的外观与正品没有区别,只是每只的质量比正品少1克。至少称几次可以将这箱次品小球找出来?(请你试着用图表示称的过程)

(六)鸡兔同笼

一.用方程或假设法解下面各题

1 .鸡兔同笼,共有 30 个头, 88 只脚。求笼中鸡兔各有多少只?

2 .一个饲养组一共养鸡、兔 78 只,共有 200 只脚,求饲养组养鸡和兔各多少只?

3 .小明用 10 元钱正好买了 20 分和 50 分的邮票共 35 张,求这两种邮票名买了多少张?

4 .小红用 13 元 6 角正好买了 50 分和 80 分邮票共计 20 张,求两种邮票各买了多少张?

5 .三年一班 30 人共向北京奥运会捐款 205 元,同学每人了捐了 5 元或 10 元,你知道捐 5 元和 10 元的同学各有多少人吗?

6 .三年二班 45 个同学向爱心基金会共计捐款 100 元,其中 11 个同学每人捐 1 元,其他

7 .某校有一批同学参加数学竞赛,平均得 63 分,总分是 3150 分。其中男生平均得 60 分,女生平均得 70 分。求参加竞赛的男女各有多少人?

8 .一次数学竞赛共有 20 道题。做对一道题得 5 分,做错一题倒扣 3 分,刘冬考了 52 分,你知道刘冬做对了几道题?

9 .一次数学竞赛共有 20 道题。做对一道题得 8 分,做错一题倒扣 4 分,刘冬考了 112 分,你知道刘冬做对了几道题?

10 . 52 名同学去划船,一共乘坐 11 只船,其中每只大船坐 6 人,每只小船坐 4 人。求大

船和小船各几只?

11 .在一个停车场上,停了小轿车和摩托车一共 32 辆,这些车一共 108 个轮子。求小轿车和摩托车各有多少辆?

12 .解放军进行野营拉练。晴天每天走 35 千米,雨天每天走 28 千米, 11 天一共走了 350 千米。求这期间晴天共有多少天?

(七)抽屉原理

1.木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球?

2.一幅扑克牌有54张,最少要抽取几张牌,方能保证其中至少有3张牌有相同的点数?

3.有11名学生到老师家借书,老师的书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本。试证明:必有两个学生所借的书的类型相同

4.有黑色、白色、蓝色手套各5只(不分左右手),至少要拿出多少只(拿的时候不许看颜色),才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。

5.从1,3,5,……,99中,至少选出多少个数,其中必有两个数的和是100。

6.某旅游车上有47名乘客,每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨,并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果,那么乘客中有多少人带苹果。

7.2006名营员去游览长城,颐和园,天坛。规定每人最少去一处,最多去两处游览,至少有几个人游览的地方完全相同?