数学广角总复习

一、各学段数学广角内容

（一）找规律

一、找出下面各题的排列规律，再在（ ）里填上适当的数。 （１）、４、７、１０、１３、１６、（ ）、（ ）

（２）、２、４、７、１１、１６（ ）、（ ）

（３）２、３、５、８、（ ）、１７、２３、（ ） （４）２、４、８、１４、２２、（ ）、４４、（ ） （５）、１、１、２、３、５、８、（ ）、２１、（ ） （６）、（ ）３０、（ ）、１４、９、６、５、 二、填空

1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第

100个图中有__________个小圆圈．

（1） （2） （3）

2、 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅

图中有5个菱形，则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形．

1 2 3

n

…

…

3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）.

4、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22?的正方形图案（如图②），

其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33?的正方形图案（如图③），其

中完整的圆共有13个，如果铺成一个44?的正方形图案（如图④），其中完整的圆共 有25个．若这样铺成一个1010?的正方形图案， 则其中完整的圆共有 个．

5、 观察下列各式：

3211= 332123+= 33221236++= 33332123410+++= ……

猜想：333312310++++= ．

（二）最优化，烙饼问题，排队问题

烙饼问题的解决： 一般的解决方法：

公式： 烙饼总时间＝每次烙的时间×[（2×烙饼总数）÷每次烙的饼数] 如每次可以同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙9张饼的时间是5×[（2×9）÷3]＝30（分）

特殊的解决方法：

如果用公式除不尽的话，就要先算出烙的次数，再乘每次烙的时间。

如每次可以同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙7张饼的话，要先算出烙的次数＝（2×7）÷3＝4次……2面，即4＋1＝5次，共25分钟。

问题本质： 烙饼问题其实是统筹方法的一个分支，其实质是利用好烙锅的容量空间，使每次烙的效率最高。

例题：妈妈星期天在家里做早点，要煎5个鸡蛋，每次只能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每面要3分钟。最少用多少时间？

建议的解题格式：把5个鸡蛋分成3个、2个来煎，每个鸡蛋分A 、B 面，采用以下表格表示

④ ⑤

总时间： 3×【（2×5）÷2】＝15 （分钟）

统筹安排时间问题：

第1个

第2个

第3个

…

原则有两个：其一，“分清先后”——找出事物发生的必然先后顺序；其二，“同时进行”——在

做不需要人照看的事的同时做其他事，这样就可以节约时间。

例题：丛书P57,1 小梅每天早上起床后要做下面几件事。

起床穿衣：3分钟整理被褥：2分钟刷牙：2分钟

洗脸：1分钟热牛奶：6分钟吃早餐：6分钟

问：小梅怎样做才能最节省时间，最少需要多少时间？

建议的解题格式：

步骤一：“分清先后”，需要先穿衣服才能做别的事，以防受凉感冒；需要先刷完牙、洗完脸干干净净地才能吃早餐；早餐包括牛奶，也必须先热完牛奶才能吃到早餐。

步骤二：“同时进行”，热牛奶不用人照看，同时可以做别的事。所以在热牛奶的6分钟做整理被褥、刷牙、洗脸这几件事。

用线段图表示为：排队的学问：先快后慢，先时间短的再时间长的，这样可以使总的等待时间最短。

例题：丛书P58,1 三辆车同时一个加油站加油，大卡车需要8分钟，面包车需要4分钟，小轿车需要3分钟，怎样安排加油的顺序最合理？等候的时间最少是多少分钟？

建议的解题格式：【】部分内的为解释和思考过程

【因为其中一辆车加油的时候，三辆车都同时在等待，所以先让时间最少的小轿车加油，再让时间中等的面包车加油，最后让大卡车加油，以使总的等待时间最短。】

【在小轿车加油时，面包车与大卡车都要等待3分钟；在面包车加油时，小轿车已经加油完开走了；大卡车要等待4分钟；在大卡车加油时，其余两辆车都已经加油完走了。

大卡车等待时间3＋4＋8＝15（分钟），面包车等待时间3＋4＝7（分钟），小轿车等待时间3分钟。】

所以，按照小轿车——面包车——大卡车的加油顺序，总的等待时间最少，是15＋7＋3＝25（分钟）

【也可以这么算，小轿车加油时，三辆车都等待了3分钟，共3×3＝9（分钟），面包车加油时，面包车和大卡车都等待了4分钟，共4×2＝8（分钟），最后大卡车独自等待了8分钟，总的等待时间为9＋8＋8＝25（分钟）】

田忌赛马（对策论）：找到所有可能的对策，从中找出可以取胜的对策。

可以将齐王的三种马的能力值设定为 9、7、5，而田忌的三种马的能力值都分别少一些，为8、6、4。田忌可能的对战齐王局面如下

9），用上等马（8）对战齐王的中等马（7），再用中等马（6）对战齐王的下等马（5），取得三盘两胜一败的结果，最终取得胜利。

取棋子问题的策略（相似问题为课本P116数学游戏）

问题的提出：在一堆棋子（20粒）中，两个人轮流取，一次可以取1粒或2粒棋子，不能不取或多取，取到最后一粒棋子的为胜利者。问第一个取的人应采取怎样的策略，保证自己的胜利？

问题的解决：要取到第20粒，不能取到第19粒或第18粒，否则会让对方获胜，所以要取得第17粒棋子，这时对方取1粒我方就取2粒，对方取2粒我方就取1粒，这样就能获胜。同理，要取得第

17粒，就要取到第14粒、11粒、8粒、5粒、2粒，所以，第一次取的时候直接取2粒，以后对方1粒我方就2粒、对方2粒我方就1粒，这样就一定能取得最后的胜利。问题的本质：把复杂的问题简单化，找到取棋子的规律。

在N个棋子中，每次可以取A~B个，要取得最后一个的方法是：要取得第N个，就要取到第N－（A ＋B）个，以此类推，也就是第一次要取到N÷（A＋B）的余数的那个棋子。

如上题，20÷（2＋1）＝20÷3＝6……2，所以要取到第2个才能保证胜利。

练习巩固：

1、丽丽长大了，想和妈妈学做菜，星期天要学做一个炒鸡蛋，妈妈告诉她这道菜有以下几项工序：敲蛋（1分钟）搅蛋（1分钟）切葱（1分钟）

洗锅（2分钟）烧热锅（2分钟）烧热油（1分钟）

炒蛋（4分钟）

2、一只平底锅上只能煎两条鱼，用它煎一条鱼需要4分钟。（正反面各2分钟），那么，煎三条鱼至少需要几分钟？

3、四（1）班的3个同学各拿一只水桶去接水，水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟，现在只有1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？

（三）植树问题

（一）求棵数：有一条长800米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔20米栽一棵杨树,需多少棵杨树苗?

练习：1.在一条长500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设一根,若公路两端都不架设,共需电线多少根？

2、在一条长50米的跑道两旁,从头到尾每隔5米插一面彩旗,一共插多少面彩旗?

（二）求间距：红领巾公园内一条林荫大道全长800米,在它的一侧从头到尾等距离地放着41个垃圾桶,每两个垃圾桶之间相距多少米？

练习：1.在一条绿荫大道的一侧从头到尾坚电线杆,共用电线杆86根,这条绿荫大道全长1700米。每两根电线杆相隔多少米？

2.街心公园一条甬道长200米,在甬道的两旁从头到尾等距离栽种美人蕉,共栽种美人蕉82棵,每两棵美人蕉相距多少米？

（三）求全长：街心公园一条直甬路的一侧有一端原栽种着一株海棠树,现每隔12米栽一棵海棠树,共用树苗25棵,这条甬路长多少米? 练习：1.在一条公路上两侧每隔16米架设一根电线杆,共用电线杆52根,这条公路全长多少米？

2、公路的每边相隔7米有一棵槐树,芳芳乘电车3分钟看到公路的一边有槐树151棵,电车的速度是每分钟多少米？

（四）封闭一个圆形池塘,它的周长是300米,每隔5米栽种一棵柳树,需要树苗多少株?

练习：一个圆形水池周围每隔2米栽一棵杨树,共栽了40棵,水池的周长是多少米?

一个圆形养鱼池全长200米,现在水池周围种上杨树25棵,隔几米种一棵才能都种上?

（五）、锯木头

例1、有一根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处，需要5分钟，全部锯完需要多少分钟?

练习、1.有三根木料，打算把每根锯成4段，每锯开一处，需要3分钟，全部锯完需多少分钟?

2、一个木工锯一根长19米的木条。他先把一头损坏部分锯下1 米，然后锯了8次，锯成许多一样长的短木条。求每根短木条长多少米?

3.、一根木材，锯成4段用6分钟，另外有同样的一根木材以同样的速度锯，18分可锯多少段?

（六）、爬楼梯和敲钟

例1：业务员小李爬一层楼要18秒，他爬到4楼需要几秒?

练习、1.业务员小李要到六楼联系工作，他从1楼到4楼用了54秒，照这样计算，小李走到6楼还需要几秒?

2.、挂钟6点钟敲6下，10秒敲完，那么9点钟敲9下，几秒敲完?

（四）数字编码

1、张老师的身份证号码是：350524************张老师是（）年（）月

（）日出生，性别是（）性。

2、学校每年开一次运动会，“072154061”是参加运动会的张小华的运动员编码，若“07”

代表2007年运动会，“21”代表学校第21届运动会。“5406”代表五年4班第六位选手，

末尾“1”表示男性，末尾“2”表示女性。如果今年张小华继续代表班级的第十位选手参加运动会，那他今年的运动员编码为

3、下面是小红的爸爸、妈妈和爷爷的身份证号码，请用你学到的知识判断每个身份证号码

到底是谁：350582************这是（）、350502************这是（）、350500************这是（）。

4、红光小学教师的工作证编号是由出生日期和报到顺序组成的，如果一位女教师1982年7

月4日出生，报到顺序是第56位，她的工作证号码是（）。

5、利民医院给每位住院病人设计一个病历号，从中可看出该病人住哪个科室、住院时间以

及床号，一个病人的病历号是“内2007121509”。那么，这位病人住（）科，

入院时间时（），他住（）号病床。有一个病人住在利民医院外

科12号床，是2008年5月11号入院，这个病人的病历号是（）。

（五）找次品

解决此类问题的原则和方法一是把待分的物品分成3 份；二是要分得尽量平均，能够平均分的平均分成3份，不能平均分的，也应使多的与少的一份只差1。

例1.有5瓶多种维生素，其中一瓶少了4片。如果用天平称，每次称1瓶，至少称多少次才能找到少药片的那？如果每次称2瓶，至少需要多少次才能找到？（请你试着用图表示称的过程）

练习：有8瓶水，其中7瓶质量相同，另外有1瓶是糖水，比其他水略重一些，至少称多少次能保证

找出这瓶糖水。（请你试着用图表示称的过程）

例2.一箱橙子有15袋，其中有4袋质量相同，另外有1袋质量不足，轻一些，至少称几次能保证找出这袋橙子来？（请你试着用图表示称的过程）

练习：有15盒饼干，其中的14盒质量相同，另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少称几次保证可以找出这盒饼干？（请你试着用图表示称的过程）

1、14袋糖果中有一袋少装了黑巧克力，比其他13袋糖果轻，其他糖果每袋的质量相同。如果用天平称，至少称几次就能找到那袋少了的糖果？（请你试着用图表示称的过程）

2.古时候有一个国王，他让工匠打造12顶黄金皇冠。可是工匠在打造的过程中，偷偷用其他金属代替了黄金，12顶皇冠从外观看，形状、大小完全一样，但是有一顶是次品，这个次品比其他的要轻，你用一只无砝码的天平称，至少称几次可以假皇冠找出来？试着用图表示称的过程.

3.有10箱小球，根据标准，每个小球质量应该是10克。但这10箱中，混进一箱次品，次品的外观与正品没有区别，只是每只的质量比正品少1克。至少称几次可以将这箱次品小球找出来？（请你试着用图表示称的过程）

（六）鸡兔同笼

一．用方程或假设法解下面各题

1 ．鸡兔同笼，共有 30 个头， 88 只脚。求笼中鸡兔各有多少只？

2 ．一个饲养组一共养鸡、兔 78 只，共有 200 只脚，求饲养组养鸡和兔各多少只？

3 ．小明用 10 元钱正好买了 20 分和 50 分的邮票共 35 张，求这两种邮票名买了多少张？

4 ．小红用 13 元 6 角正好买了 50 分和 80 分邮票共计 20 张，求两种邮票各买了多少张？

5 ．三年一班 30 人共向北京奥运会捐款 205 元，同学每人了捐了 5 元或 10 元，你知道捐 5 元和 10 元的同学各有多少人吗？

6 ．三年二班 45 个同学向爱心基金会共计捐款 100 元，其中 11 个同学每人捐 1 元，其他

7 ．某校有一批同学参加数学竞赛，平均得 63 分，总分是 3150 分。其中男生平均得 60 分，女生平均得 70 分。求参加竞赛的男女各有多少人？

8 ．一次数学竞赛共有 20 道题。做对一道题得 5 分，做错一题倒扣 3 分，刘冬考了 52 分，你知道刘冬做对了几道题？

9 ．一次数学竞赛共有 20 道题。做对一道题得 8 分，做错一题倒扣 4 分，刘冬考了 112 分，你知道刘冬做对了几道题？

10 ． 52 名同学去划船，一共乘坐 11 只船，其中每只大船坐 6 人，每只小船坐 4 人。求大

船和小船各几只？

11 ．在一个停车场上，停了小轿车和摩托车一共 32 辆，这些车一共 108 个轮子。求小轿车和摩托车各有多少辆？

12 ．解放军进行野营拉练。晴天每天走 35 千米，雨天每天走 28 千米， 11 天一共走了 350 千米。求这期间晴天共有多少天？

（七）抽屉原理

1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数？

3．有11名学生到老师家借书，老师的书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同

4．有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。

5．从1，3，5，……，99中，至少选出多少个数，其中必有两个数的和是100。

6．某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有多少人带苹果。

7．2006名营员去游览长城，颐和园，天坛。规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同?