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湖南省长沙市一中2010届高三第三次月考文科数学

湖南省长沙市一中2010届高三第三次月考文科数学

湖南省长沙市一中2010届高三第三次月考文科数学

一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,25,2,35U M N ===,,,那么()U M N = e( ) A .φ

B .{}2,4

C . {}3,1

D .{}4

2.已知|a |=3,|b |=1,且a 与b 方向相同,则a ?b

的值是( )

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A .3

B .0

C . 3-

D .–3或3 3.右图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体 的表面积是( )

A.32π

B. 16π

C.12π

D. 8π

4.若函数y =()f x 的图象过点()0,1,则函数y=()4f x -的图象必过点( ) A . ()3,0 B .()1,4 C . ()4,1 D .()0,3 5.函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为( ) A .??

????

81,

0 B .???

?

?

?41,81 C.???

?

?

?21,41 D.??

?

?

??1,21

6.已知函数)sin(2θω+=x y 为偶函数0(<θ<π),其图像与直线y =2的某两个交点横坐标为1x ,2x ,若||12x x -的最小值为π,则( ) A .21=ω,2π=θ B . 2=ω,2

π=θ

C .2

1=

ω,4

π=

θ D .2=ω,4

π=

θ

7.已知函数2()log (46)x x

f x a b =-+(0,0)a b >>满足:2(1)1,(2)lo

g 6f f ==,则()f x 的

最小值为( )

A .6-

B .3-

C .0

D .1

8.若{}n a 是等差数列,首项10a >,200320040a a +>,200320040a a ?<,则使数列{}n a 的前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是( )

A .4005 B.4006 C.4007 D.4008

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二.填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分 9.函数()lg (1)f x x =-的定义域是 10.已知向量(,1),(4,),a x b x ==

,则当x =2- 时,a 与b 共线且方向相反.

11.已知命题p :“[]2

0,2,

0x x a ?∈

-≥”,命题q :“x R ?∈,2220x ax a ++-=”,若命题

“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围是

12.在A B C ?中,已知22

2

sin sin sin sin A B C B C =++,则角A 的值为

湖南省长沙市一中2010届高三第三次月考文科数学

13.如果函数32

32

()f x x x a =-

+在[1,1]-上的最大值是2,那么()f x 在[1,1]-上的最小值是____

14.在等差数列{}n a 中,12007a =-,其前n 项和为n S ,若

200820062,2008

2006

S S -

=则2009S =_____

15.设()f x 的定义域为D ,若满足:(1)()f x 在D 内是单调函数,(2)存在区间[],a b D ?,使()f x 在[],x a b ∈时值域也为[],a b ,则称()f x 为D 上的闭函数.

当()f x k =+

k 的取值范围是_______

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三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分12分) 已知函数.cos sin sin

3)6cos(cos 2)(2

x x x x x x f +-

-=π

(1)求)(x f 的最小正周期;

(2)当ααπα求若时,1)(,],0[=∈f 的值.

17.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥ABCD P -中,ABCD PD 平面⊥,CD AD ⊥,

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H BD AC =?,且H 为A C 的中点,又E 为PC 的中点,1==CD AD ,22=DB .

(1)证明BDE PA 平面//;

(2)证明PBD AC 平面⊥;

(3)求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值.

18.(本小题满分12分) A B C ?中,三个内角A B C 、、所对的边分别为,60a b c B = 、、. (1

)若45,1)A a c == 求证:;

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(2)求cos(90)sin(180)A C --+ 的取值范围.

P

E

H

B

D

A

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19.(本小题满分13分) 现有一批货物由海上从A 地运往B 地,已知货船的最大航行速度为35海里/小时,A 地至B 地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.

(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/小时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?

20.(本小题满分13分) 已知{}n a 是等比数列,132,18a a == ;{}n b 是等差数列,12b = ,123412320b b b b a a a +++=++> . (1) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;

(2) 设147n P b b b =+++…+32n b -,101214n Q b b b =+++…28n b +,其中1,2,3n =,…试比较n P 与

n Q 的大小,并证明你的结论.

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21.(本小题满分13分) 设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>. (1)若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点,求m 的取值范围; (2)若函数()f x 在[]1,1x ∈-内没有极值点,求a 的取值范围;

(3)若对任意的[]3,6a ∈,不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立,求实数m 的取值范围.

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长沙市一中高三月考文科数学答案

二.填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分 9.函数()lg (1)f x x =-的定义域是(),1-∞

10.已知向量(,1),(4,),a x b x ==

,则当x =2- 时,a 与b 共线且方向相反.

11.已知命题p :“[]2

0,2,

0x x a ?∈

-≥”,命题q :“x R ?∈,2220x ax a ++-=”,若命题

“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围是(],2-∞-

12.在A B C ?中,已知222

sin sin sin sin A B C B C =++,则角A 的值为

56

π

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13.如果函数32

32

()f x x x a =-

+在[1,1]-上的最大值是2,那么()f x 在[1,1]-上的最小值是12

-

14.在等差数列{}n a 中,12007a =-,其前n 项和为n S ,若

200820062,2008

2006

S S -

=则2009S =2009

15.设()f x 的定义域为D ,若满足:(1)()f x 在D 内是单调函数,(2)存在区间[],a b D ?,使()f x 在[],x a b ∈时值域也为[],a b ,则称()f x 为D 上的闭函数.

当()f x k =+

k 的取值范围是1,04??

- ?

??

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三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分12分) 已知函数.cos sin sin 3)6

cos(cos 2)(2

x x x x x x f +--=π

(1)求)(x f 的最小正周期;

(2)当ααπα求若时,1)(,],0[=∈f 的值. 解:(1)x x x x x x f cos sin sin

3)6

cos(cos 2)(2

+-

-=π

x x x x x x cos sin sin 3cos sin cos

32

2

+-+= )3

2sin(22sin 2cos 3π

+

=+=

x x x

所以T =π …………………………6分

(2)由2

1

)3

2sin(1)(=+=παα得f

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又],0[πα∈

6

133

26

53

2]37,

3

[

3

2ππ

αππ

απ

π

π

α=

+

=

+

∴∈+∴或

12

114

παπ

α=

=

或故 ………………………12分

17.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥ABCD P -中,ABCD PD 平面⊥,CD AD ⊥,

H BD AC =?,且H 为A C 的中点,又E 为PC 的中点,1==CD AD ,22=DB .

(1)证明BDE PA 平面//;

(2)证明PBD AC 平面⊥;

(3)求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值.

证明:(1)连结E H ,因为H 为A C 的中点,E 为PC 的中点, 所以PA EH //,又BDE PA BDE HE 平面平面??,, 所以BDE PA 平面//. …………………………4分

(2)证明:因为ABCD PD 平面⊥,ABCD AC 平面?,所以AC PD ⊥

又由条件知,AC BD ⊥,,D BD PD =?故PBD AC 平面⊥.…………………………8分 (3)由PBD AC 平面⊥可知,BH 为BC 在平面PBD 内的射影,所以CBH ∠为直线BC 与平面PBD 所成的角.

由CD AD ⊥,2

23,2

2,22,1=

=

====BH CH DH DB CD AD 可得

在BHC Rt ?中,3

1tan ==∠BH

CH CBH ,

所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为3

1

.…………………………12分

18.(本小题满分12分) A B C ?中,三个内角A B C 、、所对的边分别为,60a b c B =

、、.

(1

)若45,1)A a c ==

求证:;

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(2)求cos(90)sin(180)A C --+

的取值范围. 解:(1)因为60,45B A ==

,所以75C =

P

E

H

B

D

A

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则1)sin 1)sin 751)sin(4530)sin 2

C A ==+== ,

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由正弦定理知1)a c =. ………………6分 (2)由已知60,120B A C =+= 故,

cos(90)sin(180)A C --+

sin sin A C =+=sin sin(120)A A +-

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3sin )2

2

A A A =

+

=+

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∵0120,030150A A <<<+< 故3

∴1sin(30),12A ??+∈

??? ,

故sin sin 2A C ?

+∈

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??

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. ………………12分 19.(本小题满分13分) 现有一批货物由海上从A 地运往B 地,已知货船的最大航行速度为35海里/小时,A 地至B 地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.

(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/小时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶? 解:(1)依题意得x x

x x

y 300480000

)6.0960(5002

+=

+=

函数的定义域为0

).350(300480000

≤<+=

∴x x x

y …………………………5分

(2)要使全程运输成本最小,即求y 的最小值.

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2

480000

30024000,

480000

300,40""480000

035,30040.9480000300,0350,480000

300(0,35],

y x x

x x x

x y x x x

y x y x

y x x

=

+≥====<≤=+=''=-+<≤<=

+ 当且仅当

即时取号又故在不能取最小值分由当时可得所以在上单递减

故当x =35时取最小值.

答:为使全程运输成本最小,轮船应以35海里/小时速度行驶.………………13分

20.(本小题满分13分) 已知{}n a 是等比数列,132,18a a == ;{}n b 是等差数列,12b = ,123412320b b b b a a a +++=++> . (1) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;

(2) 设147n P b b b =+++…+32n b -,101214n Q b b b =+++…28n b +,其中1,2,3n =,…试比较n P 与

n Q 的大小,并证明你的结论.

解:(1)设{}n a 的公比为q ,由231a a q =得231

9a q a =

=,3q =±

当3q =-时,12326181420a a a ++=-+=<,这与12320a a a ++>矛盾,故舍去; 当3q =时,12326182620a a a ++=++=>,符合题意.

所以1

23n n a -=?.…………………………………4分

设数列{}n b 的公差为d ,由123426b b b b +++=,得14626b d +=, 又12b =,解得3d =,

所以31n b n =-. …………………………………7分 (2) 14732,,,,n b b b b - 组成以3d 为公差的等差数列, 所以()2

119532

22

n n n P nb d n n -=+

?=

-

10121428,,,,n b b b b + 组成以2d 为公差的等差数列,1029b =,

所以()2

10123262

n n n Q nb d n n -=+

?=+,

2

2

953(

)(326)(19)2

2

2

n n P Q n n n n n n -=--+=

-.

所以对于任意正整数n ,当20n ≥时,n n P Q >; 当19n =时,n n P Q =;

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当18n ≤时,n n P Q <.………………………13分

21.(本小题满分13分) 设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>. (1)若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点,求m 的取值范围; (2)若函数()f x 在[]1,1x ∈-内没有极值点,求a 的取值范围;

(3)若对任意的[]3,6a ∈,不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)当1a =时32()f x x x x m =+-+, ∵()f x 有三个互不相同的零点,

∴32()0f x x x x m =+-+=即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根. 令32()g x x x x =--+,则/2()321(31)(1)g x x x x x =--+=--+ ∵()g x 在(,1)-∞-和1

(,)3

+∞均为减函数,在1

(1,)3

-为增函数,

∴15()(1)1,()()3

27

g x g g x g =-=-==

极小极大

所以m 的取值范围是5(1,

)27

- ………………4分

(2)由题设可知,方程/22()320f x x ax a =+-=在[]1,1-上没有实数根,

∴/2/

2

(1)320(1)3200f a a f a a a ?=+-?

,解得3a > ………8分 (3)∵/22

()323()(),3

a f x x ax a x x a =+-=-+又0a >,

∴当x a <-或3a x >时,/

()0f x >;当3

a a x -<<时,/()0f x <.

∴函数()f x 的递增区间为(,)(,),3a a -∞-+∞和单调递减区间为(,)3

a

a -

当[]3,6a ∈时, []1,2,33

a

a ∈-≤-, 又[]2,2x ∈-,∴{}max ()max (2),(2)f x f f =-

而2

(2)(2)1640f f a --=-<,∴2m ax ()(2)842f x f a a m =-=-+++,

又∵()1f x ≤在[]2,2-上恒成立,∴2

m ax ()18421f x a a m ≤-+++≤即,

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即[]2

9423,6m a a a ≤--∈在上恒成立.

∵2942a a --的最小值为87-, ∴87.m ≤- (13)