任意角的三角函数及基本公式
第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式
（第课时）
任意角的三角函数?
?
??
?
?
?
??
?
??
??????
????????
±±--?±?+?????
?????
??的函数关系与以及的函数关系
与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式
商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义
弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k
重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。 难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。 1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。
任意角三角函数的意义，三角函数值的符号； 1．角的定义
⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。
⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。
2．弧度制
⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。
注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与?1sin 、?2sin 不是一回事。
⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
⑶ 设一个角的弧度数为α，则
r
l
=α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。
⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。
⑸1π
=?弧度，1弧度?=)180
(
。
设扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，圆心角大小为α弧度，半径为r ，
则 αr l = ，α22
1
21r lr S == 。
3．角的集合表示 ⑴ 终边相同的角
设β表示所有终边与角α终边相同的角（始边也相同），则 αβ+??=360k （也可记为απβ+=k 2Z k ∈）
。 ⑵ 区域角
介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<
3262π
παπ
π+
<<+
k k Z k ∈）
。 ⑶ 象限角
以角的顶点为原点，以其始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则角的终边落在第几象限，这个角就叫做第几象限的角。
例．已知x 在第二象限，问2
x
在哪一象限？ 解：∵ππππ+<<+
k x k 222 ，∴224πππ
π+<<
+
k x k ，
当k 为偶数时，2x 在第一象限；当k 为奇数时，2
x
在第三象限。
点评：第一二象限角的半角在第一或第三象限，第三四象限角的半角在第二或第四象限，记
住这一结论，可提高解题速度。
例．ABC ?中，已知178cos =
A ，5
3
sin =B ,(A 、B 是锐角,)求C 角。
分析：A 、B 是锐角,故C 角可能是锐角，也可能是钝角。显然，如果想通过C sin 去求C 角是无法确定C 角是锐角还是钝角的。所以应该求C cos 。
解：1529.05
3
17554178)cos()](180cos[
cos ≈?+?-=+-=+-?=B A B A C ， 显然，C 角在第一象限，约为2181'? 。
点评：如果要利用一个角的三角函数值来确定此角究竟在那一象限，需要选择适当名称的三角函数。掌握判定一个角是锐角还是钝角的方法，是很有用处的。例如求证一个平面截直三面角所得的截面是锐角三角形，只要证明这个三角形的每个内角的余弦大于零。
4．三角函数的定义及符号 ⑴三角函数定义
设角α终边上一点P 的坐标为（x ，y ）P 与原点的距离为r （0>r ），那么下面的六个比值：y
r x r y x x y r x r y 、、、、、 分别叫做角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，并且分别用
符号表示为：
r y
=
αsin ，x y
=αtan ，α
αcos 1sec =， r x
=αcos ，y x
=
αcot ，α
αsin 1csc =。 ⑵ 各三角函数在各象限的符号如下图：
ααcsc ,sin ααsec ,cos ααcot ,tan
符号记忆：“正弦一二为正”，“余弦一四为正”，“正切一三为正”。 注意：①由αα2
cos 1sin -±=求αsin 时，应该由α所在的象限来确定αsin 的符号。
②去掉α2
cos
的根号时，如果0cos <α，应写为 -αcos 。
⑶ 终边相同的同一三角函数的值相等。
即 )()2(ααπf k f =+ （J k ∈，)(x f 为三角函数）。
⑷ 三角函数线（以第一象限角为例）
正弦线 余弦线 正切线 余切线 例．确定 ?-?16cos 15cos 的符号。
解：画出单位圆，用线段把 ?15cos 和?16cos 表示出来， 图中线段 ?=15cos OA ，?=16cos OB ， 显然，?>?16cos 15cos ， ∴016cos 15cos >?-? 。
5．同角三角函数的关系
⑴ 倒数关系：1csc sin =?αα ，1sec cos =?αα ，1cot tan =?αα 。
⑵ 商数关系：αααcos sin tan =
，αα
αsin cos cot = ， ⑶ 平方关系：1cos sin 2
2=+αα ，αα22sec tan 1=+ ，αα22csc cot 1=+ 。
6．三角函数的诱导公式
以180o或360o作为基准，加减一个角α，这样的角的三角函数可以化为α的同名函数，它的符号由角的终边所在的象限来确定。
例如：ααsin )180sin(-=+?。 以90o或270o作为基准，加减一个角α，这样的角的三角函数可以化为α的余函数，它的符号由角的终边所在的象限来确定。
例如：ααcos )90sin(=-?。 诱导公式的记忆口诀：横同纵余，符号看象限。（“横”指以横轴作为基准，“纵” 指以纵轴作为基准。）
利用诱导公式，可以把任意角的三角函数化为锐角的三角函数。 如果有必要（例如在做证明题时），可以利用ααcsc sin 与 ，ααsec cos 与 ，ααctg tg 与互为余函数的关系，进一步把任意角的三角函数化为不大于45o角的三角函数。
1．α是第二象限角，
其终边上一点)5,(x P ，且 x 4
2
cos =
α ，则 αsin 的值为（ ） A .
410； B . 46；C . 42； D . -4
10。
2．已知锐角α终边上一点A 的坐标为（23sin ，-23cos ），则角α的弧度数为 （ ）
A . 3；
B . π-3；
C . 23π-
； D .
32
-π
。
3．已知 k =?100tan ，则?80sin 的值等于（）
A .
2
1k
k +； B . 2
1k
k +-
； C .
k k 21+； D . k
k 2
1+-。 4．若
1cot 1sin tan 1cos 2
2
-=++
+θ
θθ
θ，则θ在 （ ）
A . 第一象限；
B .第二象限；
C .第三象限；
D .第四象限。
5．设 ααcos sin +=t 且 0cos sin 33<+αα ，则t 的取值范围是 （ ）
A . )0,2[-；
B . ),3()0,3(∞+- ；
C . )2,1()0,1( -；
D . )2,2[-。
6．设 α、β 是?0到?360间的角，如果βαsin sin = ，那么α与β之间的关系如何？
7．确定下列各式的符号：
⑴?-?140cos 140sin ； ⑵?-?310300ctg ctg 。
8．化简：
α
α
ααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+ 。
1
2 3
4
5 6
7
8
角的定义 √ √ √ 弧度制 √ 角的集合表示
三角函数的定义及符号
√ √ √
同角三角函数的关系 √ √ √
三角函数的诱导公式
√ √
1．α是第二象限角，其终边上一点)5,(x P ，且 x 4
2
cos =
α ，则 αsin 的值为（ ） A . 410； B . 46； C . 42； D . -4
10。 解：∵r x
x ==42cos α ，∴22=x ，∴4102
25sin ==α ，故应选A 。
2．已知锐角α终边上一点A 的坐标为（23sin ，-23cos ），则角α的弧度数为 （ ）
A . 3；
B . π-3；
C . 2
3π-
； D .
32
-π。
解：∵)2
3tan()32tan(3cot 3sin 23cos 2tan π
πα-=--=-=-=
，故应选C 。
3．已知 k =?100tan ，则 ?80sin 的值等于 （ ）
A .
2
1k
k +； B . 2
1k
k +-
； C .
k k 21+； D . k
k 2
1+-。 解：∵k -=?-=?-?=?100tan )100180tan(80tan ，而 080tan >? ，∴0 ∴k 1 80tan 180cot -=?=? ， ∴2 2 21)1 (1180cot 11 80csc 180sin k k k +-= += ? +=?=? ，故应选B 。 4．若 1cot 1sin tan 1cos 2 2 -=++ +θ θθ θ ，则θ在 （ ） A . 第一象限； B .第二象限； C .第三象限； D .第四象限。 解：题给条件可化为 1sin sin cos cos -=+θθθθ ，则 0sin <θ ，0cos <θ ，故应选C 。 5．设 ααcos sin +=t 且 0cos sin 33<+αα ，则t 的取值范围是 （ ） A . )0,2[-； B . ),3()0,3(∞+- ； C . )2,1()0,1( -； D . )2,2[-。 解：)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233αααααααα+-+=+ ]cos 4 3 )cos 21)[(sin cos (sin 22ααααα+-+= 而 0cos sin 33<+αα ，0cos 4 3 )cos 21(sin 22>+-ααα ，∴0cos sin <+αα ， 故应选A 。 6．设 α、β 是?0到?360间的角，如果 βαsin sin = ，那么α与β之间的关系如何？ 解： βα= 或 πβα=+ 或 πβα3=+。 解题错误：遗漏 πβα3=+。 7．确定下列各式的符号： ⑴?-?140cos 140sin ； ⑵?-?310300ctg ctg 。 解： ⑴0140cos 140sin >?-? ； ⑵0310300>?-?ctg ctg 。 8．化简： α α ααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+ 。 解：原式αα ααααα αααcos sin 2cos sin 1cos sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222=--+=+---+= ， 当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，原式αtg 2=；当α在Ⅱ、Ⅲ象限时，原式αtg 2-= 。 解题错误：没有分象限进行讨论，直接使ααcos cos 2 =。