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新人教版八年级数学上册第15章整式的乘除与因式分解教案

第14章整式的乘除与因式分解

第一课时14.1.1 整式的乘法

教学目标

①感受生活中幂的运算的存在与价值．

②经历自主探索同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这些性质，并会运用它们熟练地进行计算．

③逐步形成独立思考、主动探索的习惯．

④通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力．

教学重点与难点

重点：幂的三个运算性质．

难点：幂的三个运算性质．

教学设计

创设情境导入新课

问题：一种电子计算机每秒可以进行1012次运算，它工作103s可以进行多少次运算?你能用学过的知识解决吗?

从实际问题的导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识．从而构建新的知识体系，同时因为关于底数、指数、幂等概念是在有理数的乘法中学习的，学生可能生疏或遗忘，在新课讲解之前利用这个实际问题进行复习．

学生略作思考后得出，它工作103s可以进行的运算次数是1012×103．怎样计算1012×103?

根据乘方的意义可以知道：

探究新知1．探一探根据乘方的意义填空：

从引例到“探一探”，“猜一猜”，“说一说”是一个从特殊到一般，从具体到抽象，把幂的底数与指数分两步有层次地进行概括抽象的过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得运算法则．

学生独立思考后回答，教师板演．

2．猜一猜

问：看看计算结果，你能发现结果有什么规律吗?

学生小组讨论后交流结果：不管底数是什么数，只要底数相同，结果就是指数相加．

3．说一说

a m×a n(m，n是正整数)?学生说出理由，教师板演共同得出结论：a m×a n=a m+n(m，n都是正整数)

即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

注意性质中的m、n的取值范围．

注：要求学生用语言叙述这个性质，即“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．

4．想一想

a m×a n×a p=?

5．做一做

例1教科书第96页的例1(1)～(4)

(5)-a3·a5；

(6)(x+1)2·(x+1)3

同底数幂的性质很容易推广到三个以上的同底数幂相乘．

在例1的课堂教学中教师要求学生说明底数是什么，指数是什么，引导学生观察是不是同底数幂相乘，再利用性质进行计算．例1(5)中注意让学生说清“-a3”的底数是“a”还是“-a”．性质中的字母可以是单项式也可以是多项式，如例1(6)，把底数进一步扩充到式的范围．

6．自主学习

根据乘方的意义及同底数幂的乘法，让学生自主探究教科书第170页探究问题．学生在独立思考、合作交流的基础上，得出幂的乘方运算性质：(a m)n=a mn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘．

7．做一做

例2教科书第96页的例2(1)～(4)

(5) -(x3)4·x2

8．想一想

让学生自主探究教科书第171页的探究问题，并完成填空．尝试分析运算过程中用到哪些运算律?运算结果有什么规律?

学生自己归纳出积的乘方的运算性质：(ab)n=a n b n(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

那么，(abc)n=?

注：和前两个性质的教学一样，这个性质也是先用具体指数为例说明积的乘方的意义和导出性质的每一步依据，从而归纳出一般指数情形的性质．这个性质也很容易推广到三个以上因式的乘方．9．做一做

例3教科书第97页的例3(1)～(4);补充：(5) [-3(x+y)2]3

例4 计算：x·(x2)3-2x4·x2

比一比

这节课我们学习了三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”．组织学生进行计时比赛，在规定时间内完成教科书第各页的练习．

深入探究例5计算：(1)(-8)2004·(-0.125)2005(2)(-2)2n+1+2·(-2)2n(n为正整数)．

在这三个性质中的底数、指数中，指数注明为正整数，而底数可以是数、字母或式．把底数进一步扩充到式的范围．

议一议

下面的计算对不对?如果不对，应当怎样改正．

(1)a3·a3=a6； (2)b4·b4=2b4；

(3)x5+x5=x10; (4)y7·y=y8；

(5)(a3)5=a8； (6)a3·a5=a15;

(7)(a2)3·a4=a9； (8)(xy3)2=xy6；

(9)(-2x)3=-2x3

注：补充议一议与辨析题的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算性质的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．

小结

组织学生讨论和辨析三个运算性质．

课外巩固

1．必做题：教科书第97页习题第1、2题．

2．备选题：

(1)计算：

(2)计算：a m-1·a n+2+a m+2·a n-1+a m·a n+1

(3)已知：a m=7，b m=4，则(ab)2m=______

(4)已知：3x+2y-3=0，则27x·9y=___________

第二课时14.1整式的乘法(2)

教学目标:

①探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．

②让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．

教学重点与难点

重点：单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．

难点：单项式与多项式相乘去括号法则的应用．

教学设计

复习引新

1．知识回顾：

回忆幂的运算性质：

a m·a n=a m+n(m，n都是正整数)

即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

(a m)n=a mn(m，n都是正整数)

即幂的乘方，底数不变，指数相乘．

(ab)n=a n b n(n为正整数)

即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

2．练一练

口答：

幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习．

创设情境引入新课

问题光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?

注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．

地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米．问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢?学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：

(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107(为什么?)

在此处再问学生更加规范的书写是什么?应该是地球与太阳的距离约为1.5×lO8千米．

请学生回顾，我们是如何解决问题的．

探究新知

1．问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗?

学生独立思考，小组交流．

注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．

学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．

ac5·bc2

=(a·c5)·(b·c2)

=(a·b)·(c5·c2)

=abc5+2

=abc7

注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．

2．试一试：

类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(-5a2b3)·(-4b2c)

ac5和bc2，2c5和5c2，(-5a2b3)和(-4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法?

注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．

学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

3．算一算例1教科书第145页例4

在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则。分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．

例2 小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米?

注：将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．

4．辩一辩教科书第145页练习2

注：辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．

深入探究

1．师生共同研究教科书第145页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．

注：这个实际问题来源于学生的生活实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论．

2．试一试计算：2a2·(3a2-5b)(根据乘法分配律，不难算出结果吧!)

注：因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．

3．想一想

从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘?

学生发言，互相补充后得出结论：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

4．做一做

教科书第146页例5(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号) 注：学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．

小结

课外巩固

1．必做题：教科书104页习题14.1第3、4、6题

2．备选题：

(1)若(-5a m+1b2n-1)(2a n b m)=-10a4b4，则m-n的值为______

(2)计算：(a3b)2(a2b)3

(3)计算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)

(4)计算：

第三课时14.1整式的乘法(3)

教学目标

①探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．②让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力．

教学重点与难点

重点：多项式与多项式相乘．

难点：多项式与多项式相乘．

教学设计

复习引新

1．前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学回忆方法．2．练一练：教科书第147页练习2

我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：

为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部

分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同

的表示方法之间有什么关系?

用不同的方法怎样表示扩大后的绿地面积?用不同的方法得到的代数式

为什么是相等的呢?这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣．学生独立思考后交换各自的解法：

方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)米2．

方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：

am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2．

(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

注：借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到(a+b)(m+n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am+an+bm+bn，因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．让学生对这个结论有直观感受．

探究新知

引导学生观察等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘，我们从刚才问题的解决过程中发现了多项式与多项式相乘的方法．

进一步引导学生，如果我们把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．注：把(m+n)看成一个单项式，因学生过去接触不多，可能不易理解．实际上，这是一个很重要的思想和方法．学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把(m+n)看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了．

1．做一做(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn

2．讲一讲

让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．3．试一试

例1 教科书第147页例6

教学中要强调多项式与多项式相乘的基本法则，提醒学生注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号．多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．

例2先化简，再求值：

(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2，其中a=-8,b=-6

4．练一练

教科书第148页练习1

深入探索

1．试一试

例3计算：(x+2)(x-3)

注：让学生通过“试一试”、“想一想”，结合直观图形，自己尝试发现规律，激发学生对问题中所蕴藏的一些数学规律进行探索的兴趣．

2．想一想问：结果中的x2，-6是怎样得到的?学生口答．继续完成教科书第177页练习2

问：从刚才解决问题的过程中你们有什么发现吗?

(1)学生交流各自的发现．

(2)结合教科书第148页练习第2题图，直观认识规律，并完成此题．

3．练一练

(1)计算(口答)：

①(x+2)(x+3)；②(x-1)(x+2)；

③(x+2)(x-2)；④(x-5)(x-6)；

⑤(x+5)(x+5)；⑥(x-5)(x-5)；

(2)口答：教科书104页习题15.1第3题．

4．用一用

例4一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少?

课外巩固

1．必做题：教科书第104页第6、7题．

2．备选题：

(1)计算：(x+2y-1)2

(2)已知x2-2x=2，将下式化简，再求值．

(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

(3)小明找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形?

14.2 乘法公式

第四课时14.2.1平方差公式

教学目标

①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．

②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．

③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．

教学重点与难点

重点：平方差公式的推导及应用．

难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．

教学准备

卡片及多媒体课件

教学设计

引入

同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则．今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘．下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题：探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?

(1)(x+1)(x-1)=

(2)(m+2)(m-2)=

(3)(2x+1)(2x-1)=

引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．

注：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义，同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力，因此在教学中，首先应让学生思考：你能发现什么?让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明．举例

再举几个这样的运算例子．

注：让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．

验证

我们再来计算(a+b)(a-b)=

公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例→归纳→猜想→验证→用数学符号表示．

注：这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础．概括

平方差公式及其形式特征．

教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因．

应用

教科书第152页例1运用平方差公式计算：

(1)(3x+2)(3x-2)

(2)(b+2a)(2a-b)

(3)(-x+2y)(-x-2y)

对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．

注：(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既可以是数，也可以是含字母的整式．

(2)在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养．

(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解．

教科书第108页例2计算：

(1)102×98

(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．

注：(1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征．

(2)第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强调：只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则进行．巩固

教科书第108页练习1、2

练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成．

注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感．

解释

你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?

多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示．

注：(1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．

(2)此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式．

小结

谈一谈：你这一节课有什么收获?

注：这儿采取的是先由每个学生自己小结，然后由小组代表作答，把教师做小结变成了课堂上人人做小结，有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高．同时，由于人人都要做小结，促使学生注意力集中，学习主动性加强．

作业

1．必做题：教科书第112页习题14.2第1题

2．选做题：计算：

(1)x2+(y-x)(y+x)

(2)20082-2009×2007

(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)

(4)(a+1

b)(a-

b)-(3a-2b)(3a+2b)

第五课时14．2．2完全平方公式

教学目标

①经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力．

②会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．

③了解公式的几何背景，进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．

教学重点与难点

重点：(a±b)2=a2±2ab+b2的推导及应用．

难点：公式的结构特征及教科书P184例5．

教学准备

投影仪；多媒体课件；小黑板,边长为a、b的两种正方形卡片每小组一张；长为a、宽为b的长方形卡片每小组一张．

教学设计

引入

同学们，前一节课我们已经探究了一种特殊形式的多项式乘法，学会了平方差公式的一些简单应用．今天我们在这个基础上要继续学习另一种特殊形式的多项式乘法．下面请同学们像上一节课一样，自己来探究下面的问题：

(1)完全平方公式也是多项式乘法运算中一个重要的公式，由于学生在前面已经接触过乘法公式推导的思路和方法，所以在此引导他们再次自主推导即可．在推导公式的过程中，要重视学生对运算依据的理解与叙述，强调推理，培养他们的代数推理能力、用数学语言进行表达的能力．

探究

计算下列各式，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗? (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= (2)(m+2)2=

(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= (4)(m-2)2=

注：引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．

(2)这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算．

举例：再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．

验证

我们再来计算(a+6)2，(a-b )2．

公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例——归纳——猜想——验证——用数学符号表示．

概括

完全平方公式及其形式特征．

注：教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因．

还可以引导学生将(a-b )2的结果用(a+b)2来解释：(a-b )2={a+(-b)]2=a 2+2a(-b)+(-b)2=a 2-2ab+b 2 (3)对公式(a-b)2=a 2-2ab+b 2的多角度解释，是为了加深学生对公式中字母a 、b 的广泛意义的理解，并再次让学生体会加、减法的互相转化与统一

应用教科书第154页例3运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2 (2)(y-12

)2 引导学生用如下的填空形式完成例3：解：(1)∵(4m+n)2是__与__和的平方，

(2)∵(y -

是__与__和的平方，

注：可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率．

(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a 、b 进行对照，进一步体会字母a 、b 的含义，加深对字母含义广泛性的理解．

(2)在具体计算时，当二项式的项不再是单独的数或字母时，或者项是小数时，往往容易出现运算

错误，如例1第(1)小题，易错解得(4m)2=4m 2

，通过这样的填空，可引起学生的思考、讨论，有助于学生辨析公式，熟悉公式的结构特征，继而正确进行运用．

教科教科书第154页例4运用完全平方公式计算：(1)1022(2)992

此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．注：运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，教学时可让学生自己独立解决此问题．

巩固

教科书110页练习1、2

练习1采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(3)由两个大组完成，(2)(4)由另两个大组完成；练习2由学生独立完成，投影仪显示两位学生的完成情况．

注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标．利用投影仪可以提高课堂效率。

思考

(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?

组织学生进行讨论，通过自主推导，互相合作交流，共同解决难题．

注：前两对算式可通过引导学生复习“互为相反数的两个数的同次偶次幂相等”得出结论，后面一对算式由于前面学习的(ab)2=a2b2等公式的负迁移作用，学生常出现(a-b)2=a2- b2、(a+b)2=a2+b2等错误，教学时有必要辨析．

拓展

教科书第155页例5运用乘法公式计算：

(1)(x+2y-3)(x-2y+3) (2)(a+b+c)2

讲解此例之前可先让学生自学教科书第183页的“添括号法则”并完成教科书第184页练习1．然后给出例5的题目，让学生思考该选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a、b对照，其中-2y+3=-(2y-3)，故应运用平方差公式．第(2)小题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公式．

注：在解此例的过程中，应注意边辨析各项的符号特征，边对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点．

(1)“添括号法则”采用自学的方法得出，可培养学生一定的自学能力．

(2)有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式，在此可通过解题思路的分析，注意公式中字母的广泛意义，并渗透换元的思想．其中第二小题的结果特征明显，可要求部分学有余力的学生与完全平方公式联系起来记忆，作为一个新的乘法公式．

小结

谈一谈：你对完全平方公式有了哪一些认识?它与平方差公式有什么区别和联系?

梳理知识，形成体系．

作业

1．必做题：教科书第112页习题14.2第二大题的(1)、(3)、(4)、(5)．

2．选做题：教科书第112页习题14.2第二大题的(2)、(6)．

14.3整式的除法

第六课时14.3.1 同底数幂的除法

教学目标

①经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．②了解同底数幂的除法的运算性质，能解决一些实际问题，提高应用能力．③感受数学法

则、公式的简洁美与和谐美．

教学重点与难点

重点：同底数幂的除法法则．

难点：同底数幂的除法法则_的推导．

教学准备

卡片及多媒体课件．

教学设计

情境引入

探究新知根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律?

注：教师可以鼓励学生自己发现底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．

同底数幂的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行．探究活动的安排，是使学生在引例的基础上，继续通过对具体的特例的计算，归纳出同底数幂的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可引导学生运用幂的意义和分数的约分对此加以说明．在这些活动过程中，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步发展．

归纳法则

一般地，我们有

a m÷a n=a m-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．

讨论为什么这里规定a≠0?

应用新知

例1 计算：

(1)x8÷x2； (2)a4÷a；(3)(ab)5÷(ab)2； (4)(x+y)6÷(x+y)4．

对本例可以采用学生口述每一步计算的过程以及依据，同时教师板书的形式完成．口述和板书都应注意强调幂的意义，不停留于套用的层面，可再现法则的推导．计算过程的详尽可使学生进一步体会算理，并更深刻地理解法则．

注：在熟悉公式基本应用的同时，还要引导学生正确理解公式中字母的广泛意义，进一步体会底数a的含义，即它既可以是单独的一个数，也可以是含有字母的整式，故在此补充了第(4)小题．巩固新知

①你问我答：自主编题，同桌互答

②教科书第160页练习1及练习2的(1)、(3)、(4)．采用“比一比，赛一赛”的形式进行．

注：抓住初中学生好胜的心理，调节课堂节奏．

再探新知分别根据除法的意义填空，你能得出什么结论?(1)32÷32=( )；(2)103÷103=( )；

(3)a m÷a m=( )(a≠0)．

规定：

a0=1(a≠0)．

即任何不等于0的数的0次幂都等于1．法则扩展：一般地，我们有

a m÷a n=a m-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m≥n)．

即同底数幂相除，底数不变，指数相减．

注：使学生明确：零指数的出现是对原有正整数指数概念的扩展，它的意义：a0=1(a≠0)，并不是由同底数幂的除法得出的，而是为了使同底数幂的除法法则在被除式的指数和除式的指数相等的情况下也能适用所作出的规定．并使学生体会：数的概念往往是由于运算的需要而扩展，概念扩展的结果又往往带来运算法则、性质在更大范围的适用，将法则扩展后的形式写出正是基于这个考虑．解决问题1．教科书第160页练习3

注：可由四位学生板演，尽可能把机会留给学习困难的学生．

(1)练习3的难度不大，由学习困难的学生来展示自己本节课的所学成果，可使他们获得成就感，树立学好数学的信心．

(2)列举实际问题中的例子，要求稍高，可以让学生合作完成，教师可先示范拟题举例．

2．请举一个应用同底数幂除法解决实际问题的例子．

小结

使学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，这有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据．

布置作业

1．必做题：教科书第193页习题15.4第一大题(1)、(2)、(3)；

2．选做题：教科书第193页习题15.4第七大题

第七课时14.3.2整式的除法（1）

教学目标

①经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算(只要求单项式除以单项式，并

且结果都是整式)，培养学生独立思考、集体协作的能力．

②理解整式除法的算理，发展有条理的思考及表达能力．

教学重点与难点

重点：整式除法的运算法则及其运用．

难点：整式除法的运算法则的推导和理解，尤其是单项式除以单项式的运算法则．

教学准备

卡片及多媒体课件．

教学设计

情境引入

教科书第161页问题：木星的质量约为1.90×1024吨，地球的质量约为5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?

重点研究算式(1.90×1024)÷(5.98×1021)怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型．注：教科书从实际问题引入单项式的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习单项式的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系，同时再次经历感受较大数据的过程．探究新知

(1)计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，说说你计算的根据是什么?

(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗?

8a3÷2a； 6x3y÷3xy； 12a3b2x3÷3ab2．

(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗?

注：教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．

单项式的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行．探究活动的安排，是使学生通过对具体的特例的计算，归纳出单项式的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可类比分数的约分进行．在这些活动过程中，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步发展．重视算理算法的渗透是新课标所强调的．

归纳法则

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同

它的指数作为商的一个因式．

注：通过总结法则，培养学生的概括能力，养成用数学语言表达自己想法的数学学习习惯．应用新知

例2 计算：

(1)28x4y2÷7x3y；

(2)-5a5b3c÷15a4b．

首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这儿省去了括号．对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成。口述和板书都应注意展示法则的应用，计算过程要详尽，使学生尽快熟悉法则．注：单项式除以单项式，既要对系数进行运算，又要对相同字母进行指数运算，同时对只在一个单项式里含有的幂要加以注意，这些对刚刚接触整式除法的学生来讲，难免会出现照看不全的情况，所以更应督促学生细心解答问题．

巩固新知教科书第162页练习1及练习2．

学生自己尝试完成计算题，同桌交流．

注：在独立解题和同伴的相互交流过程中让学生自己去体会法则、掌握法则，印象更为深刻，也有助于培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯．

作业

1．必做题：教科书第164页习题15.3第1题；第2题．

2．选做题：教科书第164页习题15.3第8题

第八课时14.3.2整式的除法（3）

教学目标

①经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算(只要求多项式除以单项式，并

且结果都是整式)，培养学生独立思考、集体协作的能力．

②理解整式除法的算理，发展有条理的思考及表达能力．

教学重点与难点

重点：整式除法的运算法则及其运用．

难点：整式除法的运算法则的推导和理解，尤其是多项式除以单项式的运算法则．

教学准备

卡片及多媒体课件．

教学设计

再探新知计算下列各式：(1)(am+bm)÷m；(2)(a2+ab)÷a；(3)(4x2y+2xy2)÷2xy．①说说你是怎样计算的②还有什么发现吗?

在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同．

注：教科书提供了一些多项式除以单项式的题目，鼓励学生利用已经学习过的内容独立解决这些问题．教学中仍应提倡算法多样化，让学生说明每一步的理由，并鼓励学生间的交流．学生可以类比数的除法把除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数，也可以利用逆运算进行考虑．归纳法则

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

你能把这句话写成公式的形式吗?

注：这里重要的是学生能理解运算法则及其探索过程，能够运用自己的语言叙述如何进行运算，不必要求学生背诵法则．用字母概括法则是使算法一般化，可深化和发展对数的认识．

解决问题

教科书第162页例3 计算

(1)(12a3-6a2+3a)÷3a；

(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)；

(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x

幂的运算性质是整式除法的关键，符号仍是运算中的重要问题．在此可由学生口答，要求学生说出式子每步变形的依据，并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．注：通过例题的剖析和解决，培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质，训练学生形成一定的计算能力．

巩固新知教科书第163页练习利用投影仪反馈学生解题过程．

注：本课课堂容量较大，可利用多媒体提高效率．

小结

布置作业

1．必做题：教科书第193页习题15.3第3题；第4题．

2．选做题：教科书第193页习题15.3第6题

14.4 因式分解

第九课时14.4 因式分解(1)

教学目标

①了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形．

②会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式．

③会利用因式分解进行简便计算．

④通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式的因式分解的学习，培养换元的意识．

教学重点与难点

重点：因式分解的概念．

难点：多项式中公因式的确定和当公因式是多项式时的因式分解．

教学准备

要求学生回忆整数的质因数分解的方法．

教学设计

问题讨论(探究)引入

同学们，我们先来看下面2个问题：

1．630能被哪些数整除，说说你是怎样想的?

2．当a=101,b=99时，求a2-b2的值．

注：对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接把a=101,b=99代人进行计算，但如果应用平方差公式先把a2-b2变形成(a+b)(a-b)的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得更加简洁．

通过对上面2个问题解决方法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形，能使演算简便．

从质因数的分解看，为了使运算更加简便和准确有时先把多项式进行变形再代入求值．这样的两个题学生都容易接受．由此提出因式分解的概念，一方面突出了多项式因式分解本质特征是一种式的恒等变形，另一方面也说明了它可以与因数分解进行类比，从而对因式分解的概念和方法有一个整体的认识．也渗透着数学中的类比思想．

探究

教科书第166页的探究题．

注：要在学生充分理解化成整式的积的形式的基础上进行探究，要注意突出写成整式的积的形式的具体含义，使学生联想到可以运用整式的乘法来达到这个目的，为因式分解概念的建立埋下伏笔．探究题使学生进一步认识到多项式可以有不同形式的表示，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式，分清它与整式乘法的关系对因式分解的概念的建立很有必要．

提出因式分解的概念．

注：利用书中的因式分解和整式乘法的关系图，说明因式分解和整式乘法是对一个多项式的2种不同的变形，并强调它们的特点．

练习

下列由左到右的变形，是否因式分解，为什么?

1．(x+2)(x-2)=x2-4

2．x2-4=(x+2)(x-2)

3．x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x

注：通过这个练习强化因式分解的概念．

因式分解方法研究

1．提公因式法

研究多项式：ma+mb+mc各项中每个因式的特点，提出公因式的概念．

注：公因式的概念是提公因式法的基础，必须予以重视．

让学生体验： ma+mb+mc=m(a+b+c)从左到右是怎样得到的，你能对ax+2ay进行类似的变形吗?

注：要说明公因式提出后，另一个因式是如何确定的．

例1 把8a3b2+12ab3c分解因式

分析：先要求学生思考这个问题的最后结果该是怎样的，然后仿照课本进行分析，注意讲清确定公因式的具体步骤，从数、字母和字母的次数3个方面进行分析；解完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式?从而把提公因式的“提”的具体含意深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证．

注：例1是确定公因式和如何提公因式分解因式方法的具体化，所以教师要细致地讲解，要让学生清楚地知道具体的方法和步骤．

练习

用提公因式法分解因式:1．3mx-6nx2 2．4a2b+10ab-2ab2

注：通过练习熟练和巩固提公因式法分解因式．

例2 把2a(b+c)-3(b+c)因式分解分析：可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔

注：例2中公因式可以是多项式,这一点对学生来说不是很容易接受，但却很重要，这是对公因式概念的深入理解．这里隐含着换元的思想，教师应正确地讲解．

细观察从而发现把b+c看作一个“整体”时公因式就是b+c，再用提公因式法进行分解．

例3计算：0.84×12+12×0.6-0.44×12

注：让学生观察并分析怎样计算更简单．

例3是因式分解在计算中的应用，学习例3使学生对因式分解的重要性有新的认识．

比较归纳说说例1例2和例3的公因式有什么不同?

注：通过比较归纳使学生对公因式的概念有更深刻的认识，所谓公因式通俗地说就是多项式中的各项中共有的“东西”，这个“东西”应从数、相同字母、相同字母的个数(即最低次数)这几个方面

进行考虑，这个“东西”有时还可以是一个多项式．

巩固练习

1．做教科书第115页的练习．

建议：这是提公因式法的第1次练习，要求学生认真思考并完成，然后详细分析解答中的错误并认真改正．第1题中的第3小题的公因式如何确定要特别说明．

2．讨论：怎样检查因式分解是否正确?提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关系?

小结提高

1．举一个例子说说什么是因式分解．

2．什么是多项式的公因式?确定公因式该从哪几个方面进行考虑?

3．说说提公因式法的一般步骤．

(1．确定提取的公因式 2．用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式 3．把多项式写成这两个因式的积的形式)

对因式分解概念的理解是本课的重点，公因式的确定和提公因式的具体方法是本课的关键，所以对知识的小结可从这些问题入手带领学生做深入的思考．

布置作业

1．必做题：教科书第119页习题14.4第1题。

2．选做题：教科书第119页第7题；

第十课时14.4因式分解(2)

教学目标

①在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解．

②在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力．

③进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识．

教学重点与难点

重点：运用平方差公式法进行因式分解．

难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解．教学准备

要求学生对平方差公式准确理解．

教学设计

问题：1．什么叫因式分解?

问题1使学生回忆因式分解的概念．

注：对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形，可引导比较它与整式乘法的关系．2．你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因式吗?这两个多项式有什么共同的特点?

问题2使学生感知到运用平方差公式可以把多项式进行因式分解．

注：对于问题2要求学生先进行思考，教师可视情况作适当的提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．

特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式．

即：(a+b)(a-b)=a2-b2反过来就是：

a2-b2=(a+b)(a-b)

注：要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进行表述．

利用平方差公式分解因式要注意更多地去分析公式的特征：是两个“东西”的平方差，这里的“东西”可以是具体的数、单项式或多项式，所以在分析时可应用形式化的符号：如( )、△、口以避免出现类似4x2-9=(4x+3)(4x-3)样的错误．

例3分解因式：(1)4x2-9;(2)9

x2-0.0ly2;(3)(x+p)2-(x+q)2

分析：注意引导学生观察这3个多项式的项数，每个项可以看成是什么“东西”的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解．

注：能否用平方差公式进行因式分解，取决于这个多项式是否符合平方差公式的特征，即两个数的平方差，所以要强调多项式是否可化为( )2-( )2的形式．括号里的“东西”是一个整体，它可以是具体的数或单项式或多项式，如(3)题中应是多项式了．

平方差公式能否正确应用直接关系到下面的完全平方公式的学习，所以在分析时一定要到位，要抓住形式的特点，要让学生说说他们是怎样应用公式的．

因式分解要进行到不能分解为止和分解方法的综合性，这是教学的难点，例题不要太难，重要的是使学生取得共识．

例4分解因式

(1)x4-y4 (2)a3b-ab

分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解．

(2)现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，发现有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解．

学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式法和应用公式法的综合应用．注：练习题要培养学生的观察能力和审题习惯．

巩固练习

做教科书第117页的练习．

第1题是4个小题的题组，对学生的观察能力和判断能力是一次很好的锻炼，要求学生讲出能否用公式的道理．

第2题是用提公因式法和应用平方差公式法进行因式分解的综合应用，要求学生养成先观察多项式的特点的习惯．

注：注意要将因式分解进行到不能再分解为止．

小结

1．举一个例子说说应用平方差公式分解因式的多项式应具有怎样的特征．

2．用平方差方公式分解因式类似用平方差公式分解因式，所以学生易于接受．教学方法以学生自主探究为主，教师适当引导和指导的方式进行，这样有利于学生自己获取知识能力的提高．

布置作业

1．必做题：教科书第119页习题15.4第2、3题；

2．选做题：教科书第119页第8题；

第十一课时14.4因式分解(3)

教学目标

①在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解．

②在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力．

③进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识．

教学重点与难点

重点：运用完全平方公式法进行因式分解．

难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解．教学准备

要求学生对完全平方公式准确理解．

教学设计

问题：你能将多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2因式分解吗?这两个多项式有什么特点?

建议：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响，学生对于这两个多项式因式分解比较容易想到用完全平方公式，学生容易接受，教师要把重点放在研究公式的特征上来．

注：可采用让学生自主讨论的方式进行教学，引导学生从多项式的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究．然后交流各自的体会．

把多项式向公式的方向变形和转化．

例5分解因式

(1)16x2+24x+9 (2)-x2+4xy-4y2

注：训练学生运用完全平方公式分解因式，要尽可能地让学生说和做，引导学生把多项式与公式进行比较找出不同点，把多项式向公式的方向转化．

例6分解因式

(1)3ax2+6axy+3ay2

(2)(a+b)2-12(a+b)+36

注：学生仔细观察多项式的特点，教师适当提醒和指导，要从公式的形式和特点上进行比较．(可把a+b看作一个整体，设a+b=m)

第2小题注意渗透换整体和换元的思想．

巩固练习

教科书第119页的练习题．

小结提高

1．举一个例子说说应用完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征．

2．谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤．

3．谈谈多项式因式分解的注意点．

注：对这些问题进行回顾和小结能从大的方面把握因式分解的方向和培养观察能力．

布置作业

1．必做题：教科书第119页习题15.4第4题，第5题；

2．选做题：教科书120页第10题；

第12、13课时复习：第14章复习练习

教学目标

①在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用提公因式法和平方差公式、完全平方公式对比较简

单的多项式进行因式分解．

②在运用各种方法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力．

教学重点与难点

重点：运用提公因式法、公式法进行因式分解．

难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解．教学准备

要求学生对各种方法进行因式分解的准确理解．

教学设计

一、精心选一选

1．下列运算错误的是 ( )

A．x2+2x2=3x2 B．2x3(-x2)=-2x5 C．(x2)3=x5 D．6x2÷2x2=3x2．

2．按下面图示的程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是 ( )

A．6 B．21 C．231 D．156

3．若x2+kx+9是完全平方式，则k等于 ( )

A．3 B．-6 C．6 D．6或-6

4．下列分解因式正确的是 ( )

A． B．3x3+2x2+x=x(3x2+2x)

C．x2-2xy-y2=(x-y)2 D．9m2-1=(9m+1)(9m-1)

5．如图，在矩形ABCD中，两个阴影部分都是矩形，依照右图中标

出的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( )

A．bc-ab+ac+c2 B．a2+ab+bc-ac

C．ab-bc-ac+c2 D．b2-bc+a2-ab

6．用火柴棒按如下图所示的方式搭三角形，搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个三角形需5根火柴棒，搭3个三角形需7根火柴棒……按此规律搭下去，搭n个三角形需要火柴棒根数是 ( )

A．3n B．2n+1 C．n2+2n-1 D．n2+n+1

二、耐心填一填

7．将-a2表示成若干个同底数幂的和：__________

8．如图是用4张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的

面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式：________

9．分解因式：x4-81y4=_______________

10．若多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，

则加上的单项式可以是______．(写出一个即可)。

三、细心算一算

11．(1)计算：[4x2y2(x2-3xy)-(-2xy)3]÷2x2y2

(2)化简并求值：2(x-5)(x+1)+(x-3)2-(x-3)(x+3)，其中x=-1．

(3)利用乘法公式计算：20052-2004×2006

(4)写出一个三项式(要求：能先用提取公因式法分解，然后用公式法分解)，并将它分解因式．

八年级上册数学教案人教版(全册)

八年级上册数学教案人教版(全册) 第十一章全等三角形 11.1 全等三角形教学容本节课主要介绍全等三角形的概念和性质．教学目标 1．知识与技能领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值．重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备四大小一样的纸片、直尺、剪刀．教学方法采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程一、动手操作，导入课题

1．先在其中一纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论．【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形．学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两纸，注意整个过程要细心．【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等．【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边．【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．2．这时它们的三个顶点、三条边和三个角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个角对应相等，?对应顶点在相对应的位置．【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1

新版人教版八年级数学上册全册教案

八年级2016—2017学年度第一学期数学教案第十三章：轴对称 2016年10月-11月教师：李治民第11章三角形

教学目标〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800 ，了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。重点难点三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800 的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点 11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 [重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。那么什么叫做三角形呢？二、三角形及有关概念不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 a b c (1) C B A

因式分解的通用方法(目前最牛完整的课程教案)(3)

因式分解的常方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 2 2 a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后

人教版八年级数学上册教案全套

人教版八年级数学上册教案全套第十一章三角形 11．1 与三角形有关的线段 11．1.1 三角形的边【出示目标】 1．通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和表达能力． 2．通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素． 3．学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类． 4．掌握三角形三条边之间的关系．【预习导学】自学指导：阅读教材P2—4，完成下列各题．【自学反馈】一、三角形 1．定义：由不在__同一条直线上__的三条线段首尾__顺次相接__所组成的图形叫做三角形． 2．有关概念如图，线段AB ，BC ，CA 是三角形的__边__，点A ，B ，C 是三角形的__顶点__，∠A ，∠B ，∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的__内角__，简称三角形的角． 3．表示方法：顶点是A ，B ，C 的三角形，记作“__△ABC __”，读作“__三角形ABC __”．二、三角形的分类 1．等边三角形：三条边都__相等__的三角形． 2．等腰三角形：有两边__相等__的三角形，其中相等的两条边叫做__腰__，另一边叫做__底边__，两腰的夹角叫做__顶角__，腰和底边的夹角叫做__底角__． 3．不等边三角形：三条边都__不相等__的三角形． 4．三角形按边的相等关系分类三角形???? ?不等边三角形等腰三角形?????底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形【合作探究】活动1 自主学习三角形的相关概念 (1)什么是三角形：

如图，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． (2)三角形的有关概念： ①边：组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边． ②角：三角形相邻两边的夹角叫做三角形的内角，简称三角形的角． ③顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． (3)三角形的表示：如图，以A 、B 、C 为顶点的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”．【教师点拨】(1)三角形的表示方法中“△”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安排，即△ABC ，△ACB ，△BAC ，△BCA ，△CAB ，△CBA 为同一个三角形． (2)角的两边为射线，三角形的三条边为线段． (3)由于在三角形内一个角对着一条边，那么这条边就叫这个角的对边，同理，这个角也叫做这个边的对角．如图，∠A 的对边是BC (经常也用a 表示)，∠B 的对边是AC (经常也用b 表示)，∠C 的对边为AB (经常也用c 表示)；AB 的对角为∠C ，AC 的对角为∠B ，BC 的对角为∠A . 活动2 跟踪训练 1．小强用三根木棒组成下列图形，其中符合三角形概念是( C ) 2．找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来．解：图中有5个三角形．分别是：△ABE 、△DEC 、△BEC 、△ABC 、△DBC . 活动3 三角形的分类三角形按角分类如下：三角形???? ?锐角三角形直角三角形纯角三角形三角形按边分类如下：三角形?????等腰三角形??? ??腰和底边不相等的等腰三角形等边三角形不等边三角形

因式分解法教案

因式分解法【教学目标】 1．知识与技能 1）、掌握因式分解法的基本步骤； 2）、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。 2．过程与方法 1）、在灵活选择方程的解法中，体会解决问题方法的多样性； 2）、会用因式分解法解一元二次方程。 3．情感、态度与价值观 1）、通过探讨一元二次方程的解法，了解因式分解法是一元二次方程解法中较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度； 2）、体会“降次”化归的思想。【教学重点】熟练掌握用因式分解法解一元二次方程【教学难点】能灵活地应用因式分解法解一元二次方程【教学方法】启发引导式归纳教学法【教学过程】一、引入新课问：我们已经学过了几种解一元二次方程的方法 ? [生]直接开平方法、配方法、公式法 [师]很好，我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便。因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法。公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程。用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a、b、c的值；其次，判断b2-4ac的值是否大于或等于0，然后求解。一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他简便的方法?今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法。二、新课讲解 [师]下面我们共同来解一道一元二次方程：解方程：x2=9（师生互动，共同探究）这个方程化成一般形式为：x2—9=0，方程的左边可以因式分解吗？因式分解，得 (x+3)(x-3)＝0 我们知道：如果两个因式中有一个等于0，（问：）那么它们的积也就等于0，反过来，两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；因此，有 x+3＝0或x-3=0。这样，就把一元二次方程降次转化为一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 x1=-3，x2=3 口算检验：它们是否是方程的根？这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫

上海科学技术出版社初中八年级数学上册全套教案

平面内点的坐标【课时安排】 2课时【第一课时】【教学目标】 1．通过实际问题抽象出平面直角坐标系及其相关概念，使学生认识平面直角坐标系原点、横轴和纵轴等，会由坐标描点，由点写出坐标；让学生体会到平面上的点与有序实数对之间的对应关系； 2．经历画平面直角坐标系，由点写出坐标和由坐标描点的过程，进一步渗透数形结合的数学思想； 3．培养学生自主探究与合作交流的学习习惯。【教学重点】正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标，由坐标描点。【教学难点】各象限内坐标的符号及各坐标轴上点坐标的特点，平面上的点与有序实数对之间的对应关系。【教学过程】一、设置问题情境：（一）回顾一下数轴的概念，及实数与数轴有怎样的关系？（学生回答）（二）情境：（多媒体显示）如图所示请指出数轴上A、B两点所表示的数；直线表示一条笔直公路，向东为正方向，原点为学校位置，A、B是位于公路旁两学生家的位置，你能说出它们的位置吗？这说明了什么？

引申：确定一个点在直线上的位置，只需要一个数据，这个实数可称为点在数轴上的坐标。怎样确定平面上一个点的位置呢？二、观察交流，构建新知。观察、交流、思考：（1）确定平面上一点的位置需要什么条件？（2）既然确定平面上一点的位置需要两个数，那么能否用两条数轴建立模型来表示平面上任一点的位置呢？教师在学生回答的基础上，边操作边讲出：为了确定平面上一个点的位置，我们先在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴叫x 轴或横轴，取向右为正方向，垂直的数轴叫y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点O为原点，这样就建立了平面直角坐标系。这个平面叫做坐标平面。有了坐标平面，平面内的点就可以用一个有序实数对来表示。引导观察：如图中点P可以这样表示：由P向x轴作垂线，垂足M在x 轴上的坐标是-2，点P向y轴作垂线，垂足N在y轴的坐标是3，于是就说点P的横坐标是-2，纵坐标3，把横坐标写在纵坐标前面记作（-2，3），即P点坐标（-2，3）。引导练习：写出点A、B、C的坐标。学生相互交流，得出正确答案。（强调点的坐标的有序性和正确规范书写）教师提问：已知平面内任意一点，可以写出它的坐标；反之，给出一点的坐标，你能在上图中描出吗？试一试：D（1，3）E（-3，2）F（-4，-1）（注意引导学生进行逆向思维）

因式分解教案

因式分解教案二界岭中心学校（初中部）许立【教学目标】知识技能目标： 1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。 2、熟练运用提取公因式法分解因式。过程与方法目标：在教学过程中，体会类比思想逐步形成独立思考，主动探索的习惯。情感与态度目标: 通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。【教学重点与难点】重点:理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。【教学方法与手段】教法：类比、探究式教学方法学法：自主、合作、探索的学习方法【教具准备】多媒体展示【教学过程】一、创设情景组织学生先观看一段有关沙尘暴的视频（或图片）资料，并请学生谈谈看后

有何感想。（2至3人）二、提出问题近年来，我国土地沙漠化严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有一些青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动。如图，在沙漠边上开垦荒地植树造林。共开了三块，从左到右，它们的长分别是a ﹑b ﹑c,宽是m ，那么一共开垦荒地的面积是？方法一得： mc mb ma ++ 方法二得： ()c b a m ++ 总结：因此mc mb ma ++=()c b a m ++ 利用整式乘法验证： ()c b a m ++=mc mb ma ++ 我们把mc mb ma ++=()c b a m ++这一变换过程称作因式分解。出示课题：因式分解概念：像这样把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，称作因式分解。对象：多项式结果：整式的乘积形式学生举例：（说明什么是因式分解）思考：整式的乘法与因式分解的关系 1 因式分解整式的乘法 2、利用整式的乘法检验因式分解的正确性。辩一辩：判断下列各式是不是因式分解，为什么？ ⑴ 12x 3y 2=3x 3·4y 2 ⑵ 5x-5y+5z=5(x-y+z) ⑶ax+bxy-xy=ax+xy(b-1) ⑷a 2-b 2=(a-b) ·(a+b) 说明：1、等式左边是多项式，右边是整式的乘积形式; 2、因式分解一般分解到不能再分解为止。三、引入新知

人教版八年级数学上册教案全集

人教版八年级数学上册教案全集一、指导思想：通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力。二、学情分析：八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。初二(7)班和初二(18)班两班比较，初二(7)班学生单纯，优生稍多一些，后进面较小，只有少数学生不思上进，但初二(7)学生思维虽然非常活跃，但在学习上不思进取，大多数学生不求进步只图贪玩，有少数同学基础特差，问题较严重。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。三、教材分析：第十一章：《全等三角形》主要介绍了三角形全等的性质和判定方法及直角三角形全等的特殊条件。更多的注重学生推理意识的建立和对推理过程的理解，学生在直观认识和简单说明理由的基础上，从几个基本事实出发，比较严格地证明全等三角形的一些性质，探索三角形全等的条件。第十二章：《轴对称》立足于已有的生活经验和初步的数学活动经历，从观察生活中的轴对称现象开始，从整体的角度直观认识并概括出轴对称的特征；通过逐步分析角、线段、等腰三角形等简单的轴对称图形，引入等腰三角形的性质和判定概念。第十三章：《实数》通过学习一种新的运算——开方，进而学习一种新数——无理数，即无限不循环小数，把数的范围从有理数扩大

到实数。在开方里面，重点是开平方和开立方，出现的无理数都是带根号的数，只要求会求一个非负数的平方根和算术平方根，会求一个数的立方根，而不要求进行有关无理数的运算和化简。第十四章：《一次函数》通过对变量的考察，体会函数的概念，并进一步研究其中最为简单的一种函数——一次函数。了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。在教材中，通过体现“问题情境————建立数学模型——概念、规律、应用与拓展”的模式，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，并进行探索一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决有关现实问题；同时在教学顺序上，将正比例函数纳入一次函数的研究中去。教材注意新旧知识的比较与联系，如在教材中，加强了一次函数与一次方程（组）、一次不等式的联系等。第十五章：整式在形式上力求突出：整式及整式运算产生的实际背景——使学生经历实际问题“符号化”的过程，发展符号感；有关运算法则的探索过程——为探索有关运算法则设置了归纳、类比等活动；对算理的理解和基本运算技能的掌握——设置恰当数量和难度的符号运算，同时要求学生说明运算的根据。四、教学措施： 1、课堂内讲授与练习相结合，及时根据反馈信息，扫除学习中的障碍点。 2、认真备课、精心授课，抓紧课堂四十五分钟，努力提高教学效果。 3、抓住关键、分散难点、突出重点，在培养学生能力上下功夫。 4、不断改进教学方法，提高自身业务素养。 5、教学中注重自主学习、合作学习、探究学习。五、教学安排：（见下页教学进度登记表）

人教版八年级数学上册教案全册

com 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

六、课堂小结 1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。 2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。作业：课本69面3、4；70面8、9题。 11.1.3三角形的稳定性 [教学目标] 1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。 [重点难点] 三角形稳定性及应用。[教学过程]一、情景导入盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？二、三角形的稳定性https://www.wendangku.net/doc/e7722382.html, 〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？不会改变。 2 、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？会改变。 3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？不会改变。从上面的实验中，你能得出什么结论？三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。如：（2）

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。你还能举出一些例子吗？四、课堂练习3、课本68面练习。作业：69面5；70面10题。 11.2.1三角形的内角 [教学目标]掌握三角形内角和定理。 [重点难点] 三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。[教学过程] 一、导入新课我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？二、三角形内角和的证明回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。[投影1] 图1想一想，还可以怎样拼？ ①剪下∠A ，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。图2 ②把和剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。 B ∠ C ∠

《公式法因式分解》教学设计

《公式法因式分解》教学设计永年县第八中学——胡平亮一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式二、教学目标：知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式．过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力．情感与价值观要求：在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。三、教学重点：利用平方差公式进行分解因式四、教学难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。五、教学准备：深研课标和教材，分析学情，制作课件六、教学过程；一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？（1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否（2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是（3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解

（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。二、导入新课：你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？（2）公式有什么结构特征？（3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征，学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。四、体验新知：（A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。要让学生明确：（1）要先确定公式中的a和b；（2）学习规范的步骤书写。（B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2

沪科版八年级数学上册教案全集【新教材】

沪科版八年级数学上册全册教案第11章平面直角坐标系 11.1 平面上点的坐标第1课时平面上点的坐标(一) 教学目标【知识与技能】 1.知道有序实数对的概念,认识平面直角坐标系的相关知识,如平面直角坐标系的构成:横轴、纵轴、原点等. 2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标.已知点的坐标,能在平面直角坐标系中描出点. 3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置. 【过程与方法】 1.结合现实生活中表示物体位置的例子,理解有序实数对和平面直角坐标系的作用. 2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置. 【情感、态度与价值观】通过引入有序实数对、平面直角坐标系让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系,感受到数学的价值. 重点难点【重点】认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点的坐标,已知坐标能在坐标

平面内描出点. 【难点】理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系. 教学过程一、创设情境、导入新知师:如果让你描述自己在班级中的位置,你会怎么说? 生甲:我在第3排第5个座位. 生乙:我在第4行第7列. 师:很好!我们买的电影票上写着几排几号,是对应某一个座位,也就是这个座位可以用排号和列号两个数字确定下来. 二、合作探究,获取新知师:在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体的位置,这两个数量我们可以用一个实数对来表示,但是,如果(5,3)表示5排3号的话,那么(3,5)表示什么呢? 生:3排5号. 师:对,它们对应的不是同一个位置,所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的.谁来说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢? 生:用一个有序的实数对来表示. 师:对.我们学过实数与数轴上的点是一一对应的,有序实数对是不是也可以和一个点对应起来呢? 生:可以. 教师在黑板上作图:

湘教版新版八年级上册数学教案全册

湘教版八年级上册数学全册教案

八年级上学期数学教学计划一、指导思想：以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。二、学生的基本情况：上学期学生学习了一元一次方程及其应用，二元一次方程组及其应用，整式的乘法，相交线与平行线以及统计的一些简单知识，学生数学上的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到了较好的发展。绝大部分学生能够认真对等每次作业，及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致至的进行学习和思考问题，学生学习数学的兴趣得到了激发与进一步的发展，但学习习惯上，学生的课前预习、课堂上记笔记的习惯培养得很不理想，应该在课堂上充分发挥学生的想象与思考，敢于大胆思考，课堂上就把时间有在思考问题上。本学期要思考如何克服课前预习、课堂上记笔记的弊端，发挥其有利的一面，学生对思考规律的小结，及时复习、总结上的习惯，还需要加强，课堂上专心致至的听讲，想在老师和同学的前面，及时纠正作业和试卷中的错误的习惯还需要加强，表扬和鼓励阅读与数学有关的课外读物，引导学生自主拓展和加深自己的知识的广度与深度；在学习方法上，一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，从对称的角度思考问题，用不同的方法检验答案，需要加强训练与培养。三、教材分析：本学期的教学内容共计五章：

(完整版)因式分解教案

第二章分解因式 1．分解因式教学目标：（一）知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．（二）过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．（三）情感与态度：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．教学重点：理解因式分解的概念. 教学难点：因式分解与整式乘法的相互关系教学方法：探索、归纳教学过程一、问题用简便方法计算：（1）29 7 6971397?+?-?= （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67= （3）992–1= ．注意：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式．二、探究

提问：993–99能被100整除吗？你是怎么得出来的？注意：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式．看谁算得准计算下列式子：（1）3x(x-1)= ；（2）m(a+b+c)= ；（3）（m+4）(m-4)= ；（4）（y-3）2= ；（5）a(a+1)(a-1)= ．根据上面的算式填空：（1）ma+mb+mc= ；（2）3x2-3x= ；（3）m2-16= ；（4）a3-a= ；（5）y2-6y+9= ．三、梳理比较以下两种运算的联系与区别：（1）a(a+1)(a-1)= a3-a （2）a3-a= a(a+1)(a-1) 在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？（1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1 （3）a(ab)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2 通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：

湘教版八年级上册数学教案(全套)

湘教版八年级上册数学教案（全套）八年级（上）数学科计划一、指导思想以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；

应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。二、学生情况分析。本期任教八年级数学，共有学生67人。2010年上期学生总体来看，成绩较差。学生到八年级对学习数学的兴趣表现为：基础好的同学学习兴趣大，进取心强，学习自觉主动；而基础较差的同学学习兴趣不浓，上课爱走神，参与意识弱，不愿动脑筋，对自己缺乏信心；处于中等成绩的学生学习缺乏主动，需要不时鞭策、激励。八年级的学生处于一个认为自己已经长大了，有叛逆心理，自尊心强，初步展露自己个性的时期。学生学习基础分析七年级上学期学习了有理数，这学期将学习无理数，有理数和无理数通称实数；在七年级上学期学习了用字母表示数，这学期将学习用字母表示变量，学习用来描述现实世界中一些量之间确定性依赖关系的数学模型――函数，着重学习描述均匀变化现象的数学模型――一次函数；在七年级下学期学习了平移和轴反射，这学期将学习旋转，并且运用平移、轴

新人教版数学八年级上册教案(全册整理版)

11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 [重点难点] 三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。那么什么叫做三角形呢？二、三角形及有关概念不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。三角形ABC 用符号表示为△ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 三、三角形三边的不等关系探究：[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？有两条路线：（1）从B→C ，（2）从B→A→C ；不一样， AB+A C ＞BC ①；因为两点之间线段最短。同样地有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③ 由式子①②③我们可以知道什么？三角形的任意两边之和大于第三边. 四、三角形的分类我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。 a b c (1) C B A

八年级数学上册总复习教案

初二数学上册总复习训练复习内容：第15章《整式的乘除和因式分解》本章要掌握的知识： 1.会推导整式乘除法的一些法则，会熟练的进行整式的乘除法。 2.会将多项式进行添括号和去括号。 3.会将多项式熟练的进行因式分解。本章知识结构： 1. 整式的乘法幂的运算性质: 同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式乘法公式 2.整式的除法幂的运算性质：同底数幂的除法单项式除以单项式多项式除以单项式 3.因式分解提公因式法公式法十字相乘法分组分解法

【练习1】口答： (1) x3x2 = (103)5= (-3x)3= (2) 105.103.10= (a m)2 = (-5ab)2= (3) -y3y4 = -(x4)3 = (xy2)2 = (4) X m+2.x3m= (a4)4= (-2xy3z2)4= 【练习2】计算（1）5x2y2(-3x2y) （2）(-2ax2)2.(-3a2x)3 （3）5b2c.(3ab-2b3) （4) (4x2-3x+6).2x (5) 先化简，再求值：x2(x-1)-x(x2+2x-6), 其中x=2 【练习3】计算 1. x(4x-y)-(2x+y)(2x-y) 2. (a+2b)2+(a-2b)2 3. (a-b)2-(a+b)(a-b) 4. (x+y+z)(x-y-z) 5. (x-y-z)2 【练习4】计算

643522332322122132121(1)()24 1(2)6()[()]3 (3)(546)613(4))(0.5)34 m n m m m a b c a c a b a b x y x y x x x y x y x y x y -+--÷-÷--+÷-+÷- 【练习5】因式分解 1. a 2-ab 2. 3a 3+12ab 2-9a 4b 3 3. -8x 4y+6x 3y-2x 2y 4. m(4x+y)-2mn(4x+y) 5. 3a(a-2b)2-18b(2b-a)2 6. x 2-81 7. x 3-4x 8. 25m 2-10mn+n 2 9. 4(x-y)2+12(y-x)+9 10. x 2-4x-5

新人教版八年级数学上册第15章整式的乘除与因式分解教案

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