实变函数答案_胡适耕 第二章
第二章习题 A
1．作完备疏集]1,0[?F ，使得2/1=mF ．
解 在[0,1]上挖去居中长为
4
1的开区间)
1(1I ，余下两个闭区间记为)1(2)1(1E E ，．在闭区间)
1(2)1(1E E ，上挖去居中长为
24
1的两个开区间)
2(2)2(1I I ，余下的4个区间记为)
2(4)2(3)2(2)2(1E E E E ，，，．依此方法继续下去，设挖去的所有开区
间的并集为G =
∞==-121)(1
n i n i n I
，则G 为开集且
21
4
121
1
121
)
(1
===∑∑∑∞
=-∞==-n
n n n i n i
n mI
mG ．令F =[0,1]\G ，则F 是可测集且[0,1]=F G ,故2
1
211]1,0[=-
=-=mG m mF ．又因挖去的区间没有公共点，因此F 为完备集．又]1,0[=G ，从而c c
c G G G F ]1,0[)1,0()1,0(]1,0[)\]1,0([ ====
?=，故F 为疏集，因此F 为完备疏集．
2．作闭集?F R\Q ，使得0>mF ．
解 记R 中有理数全体为 ，
，21r r ，作)2
1
,21(1
n n n n n r r G +-
=∞
= ，于是2≤mG ，作F =R \G ，则F 是闭集，又所有的有理点都在G 中,故F ?R \Q 且0>mF ．
3．设?A R ，∞
则存在有限个开区间i δ，使得εδ
A m ． 证 由于A 为R 中可测集,由逼近性质,0>?ε,存在闭集F 与开集G ,使
G A F ??,且ε<)\(F G m ,又根据R 上开集结构:存在可数个G 的构成区间
i δ,使F A G i i ??=∞
= 1
δ,即∞=1}{i i δ为F 的一个开覆盖．由于∞<≤mA mF ,
即F 为有界闭集,根据有限覆盖定理,必N n ∈?,使
F n
i i
?= 1
δ
,故
F G A A A n
i i n
i i n
i i \)\()\(1
1
1
?=?=== δδδ,
从而εδ<≤?=)\())(
(1
F G m A m n
i i ．
4．设?A R 可测，∈a R ，0>δ，当x a x a x -+<与时δ||至少一个属于A ， 则δ≥mA ．
证 由假设，}||{}||{}||{δδδ<∈-<∈+= 5．设A ?R n ，若0>?ε，存在闭集A F ?与开集A G ?，使ε<)\(F G m ， 则A 可测． 证 取ε= n 1 ，则有开集n G 及闭集n F ，使得n n F A G ??，且)\(n n F G m =∞===1 1~~n n n n F F G G ，，则F G ~~和都是可测的，且 F A G ~ ~??． ∵,n n G G F F ?? ∴,\\n n n N G F G F ?∈? ∴1 (\)(\)n n m G F m G F n ≤< ∴(\)(\)0(n n m G F m G F n ≤→→∞ ∴(\)0m G F =，即F G ~\~为零测集．又F G A G ~\~\~?，由完备性A G \~ 是零测 集． ∵零测集一定是可测集 ∴A G \~ 可测． ∴\(\)A G G A =是可测集． 6．设?G A ,R G mA n ,0,=为开集，则A G G \=． 证 易证G A G ?\．欲证A G G \?，只须证\G G A ?．若A G G \?， 则?A G x G x \,?∈，于是?=?>'?'')\()()(,0A G x B G x B δδδ且， 即?==''c c A x B A G x B )()()(δδ. ∴()00B x A mB mA δδ''?∴<≤=，矛盾． ∴\G G A ?．故有A G G \=． 7．设?A R n 可测，mA ≤≤α0，则α=??mB A B :． 证 (1) 当+∞=α时，取A B =即可. （2）当+∞ )(r f 为0≥r 上的连续函数，则由0)0(=f 且mA ≤≤α0，根据介值定理0≥?αr 使ααα==))0(()(r B A m r f ，取A B A B r ?=)0(α 即得．下证) (r f 为0≥r 上的连续函数．0,00>≥?εr ，取0>?r 足够小，使 ε ))0(())0(()()(0000r r r B A m B A m r f r r f -=-?+?+ ))0(())])0(\)0(()0([(0000r r r r r B A m B B B A m -=?+ )]0(\)0([(00r r r B B A m ?+= ε<≤?+)]0(\)0([)00r r r B B m 故)(r f 在0r 右连续，同理可证)(r f 在0r 左连续．故)(r f 在0r 连续．由0r 的任意性即知)(r f 在0≥r 连续． （3）当+∞=mA 时， ∞ == 1 n n A A ，其中+∞ N n ∈0，使得0n mA ≤α，由（2）结论成立. 8．R 1 -n 当作R n 的子集，其n 维Lebesgue 测度为零． 证 }1,,1,:),,{(,1n i Z k k x k R x x x I I R i i n k k n ≤≤∈+≤≤∈== +∞ ∞ - ， 由平移不变性，R n ~n )1,0[~ n ]1,0[,故本题等价于证明1 [0,1] n -当作[0,1]n 的子集， 其n 维Lebesgue 测度为0. ∵1 1 11 11[0,1][0,1] [0,1][0,1] {,}([0,1]{})n n n n k k N k k +∞ ---==???∈=? ∴})1{]1,0([]1,0[1 1 k m m k n n ?≥ ∑∞ =-，设0})1{]1,0([1≠=?-a k m n ，则 ∞=≥=∑∞ =1 ]1,0[1k n a m ，矛盾．∴11 ([0,1]{})0n m k -?=． 9．直线上恰有2c 个Lebesgue 可测集． 证 设直线上的Lebesgue 可测集作成的集合为? ，设P 为康托集，则 c P mP ==且0，于是c p p 22 2==，又0,=??mA P A ，即∈A ? ，于是 ?p 2? ，从而≤p 2| ? |，即≤c 2| ? |．另一方面，? R 2?， 故| ? |c R 22=≤，从而| ? |c 2=． 10．设)21 ( ，，=n A n 是-μ可测集（μ是X 上的测度，下同） ，则n n n n A A μμlim )lim (≤；当∞<)(n A μ时n n n n A A μμlim )lim (≥． 证 令),2,1( == ∞ =n A D n k k n ，于是n D 为升列，由下连续性， 有n n n n n n n n n n A D D D A μμμμμlim lim lim )( )lim (1 ≤===∞ = ．同理， 令),2,1( == ∞ =n A F n k k n ，于是n F 为降列，且∞<=)(1n A F μμ,由上连续性， 有n n n n n n n n n n A F F F A μμμμμlim lim lim )( )lim (1 ≥===∞ = ． 11．设),2,1( =n A n 是 -μ可测集，∞<)( n A μ，A =n n A lim ，则 n n A A μμlim =． 证 由题10知：n n n n n n n n A A A A lim lim lim lim μμμμ≤≤≤， 又n n n n n n A A A A lim lim lim ===，从而n n n n n n A A A μμμlim lim lim ==， 于是n n A A μμlim =． 12．设 ∞<∑ ∞=1 n n A μ，则)lim (n n A μ=0． 证 ∵1lim n k n n k n A A ∞∞=== ∴(l i m )()n k k n k n k n A A A μμμ∞ ∞ ==≤≤∑． 又∵ 1 n n A μ∞ =<∞∑ ∴0()k k n A n μ∞ =→→∞∑． ∴(l i m )0n n A μ=． 13．设),2,1(,1 =?==n X A A X n n μμ，则1)( = n A μ． 证 N n ∈?，由0)\(=-=n n A X A X μμμ， 得0))\(()\ (1 1 ==∞=∞= n n n n A X A X μμ又)()\(1 1 ∞ =∞ =-=n n n n A X A X μμμ， 故10)\()( 1 1 =-=-=∞ =∞ =X A X X A n n n n μμμμ ． 14．设1=X μ，)(1∞→→n A n μ，则有子列}{i n A 使得0)( > i n i A μ． 证 由于1→n A μ，故对 021 1 >+i ),2,1( =i ，取i n ，使 <<21n n ， 11 112i n i A μ+-<≤，从而21)]211(1[)1(1 11=--≤-∑∑∞ =+∞=i i i n i A μ．于是 ))\((1))\(\()(1 1 1 ∞=∞=∞=-==i n i n i n i i i A X A X X A μμμ2 1 )1(11 ≥ --≥∑∞ =i n i A μ0>． 15．设1=X μ， 11->∑=n A n i i μ，则0)(1>= n i i A μ． 证 1 1 1 1 ( )1( )11(1)n n n n c c i i i i i i i i A A A A μμμμ=====-≥-=--∑∑ 0)1(111 =-+->+-=∑=n n A n n i i μ． 16．设X 是任一非空集，A X 2?满足：(ⅰ)∈?B A A ∈?A A ；（ⅱ）∈n A A ∈? = n A n ),2,1(A ；（ⅲ）∈X A ．令ù={∈A A :A 或∈c A A }；当A ∈A 时令0=A μ，当∈c A A 时令1=A μ，则μ是一完备概率测度． 证 先证ù 为σ代数 (P 1)：由(ⅰ)知∈? A ，故∈?ù ,于是∈X ù ． (P 2)：∈?n A ù ),2,1( =n ，若N n ∈?，∈n A A ，则由（ⅱ）， ∈ n n A A ， 从而 ∈ n n A ù ，若N n ∈?使得∈c n A A ，由c n k c k A A ? ，由(ⅰ)知∈ n c n A A ， 从而 ∈=c n c n n n A A )( ù ． (P 3)：若∈A ù ，则∈A A 或∈c A A ，由ù 的定义，只需证明∈c A ù即 可．当∈A A 时，∈c A ù ；当∈c A A 时，c A ∈ù ． ù 满足(P 1)----(P 3)，下面证μ为ù上的完备测度． (Q 1)：由于∈?A ，故0=?μ (Q 2 )：若∈n A ù ),2,1( =n 互不相交，下证∑=n n n A A μμ)( ，若 N n ∈?，∈n A A ，则∈ n n A A ，故0)(1 =∞ = n n A μ，又0=n A μ),2,1( =n 于 是 00==∑∑n n n A μ．故∑=n n n n A A μμ)( ；若}{n A 中恰有唯一一个 ∈c n A 0 A ，则c n c n A A 0 ? ，所以∈ c n A A ，又 c n c n A A =)(． ∴n A ∈ù且1)(= n A μ，又1=∑n A μ． ∴( )n n A A μμ=∑．以下证n A ),2,1( =n 中不可能有一个以上不属于A ． 若n A 中有两个，不妨设?1A A ，?2A A ．则由∈n A ù ),2,1( =n 知 ∈c A 1 A ，∈c A 2 A ．于是由（ⅱ）∈c c A A 21 A ，但由于n A ),2,1( =n 互不 相交知?=21A A ．于是∈=X A A c c 21 A ，与（ⅲ）矛盾，以此类推， n A ),2,1( =n 中不可能有两个或两个以上不属于A ． (Q 3)：若∈?A B ù ，0=A μ，则易证∈B ù ． 故μ是一完备测度．又可证?=X X (1μ A ） 故ù 是一完备概率测度． 17．设2 f 与集)0(>f X 可测，则f 可测． 证 1，当取α=0，则由已知)0(>f X 是可测集； 2，当取0>α，则)()0()(22 αα>>=>f X f X f X ，由已知条件， 左侧集合可表为右边两个可测集的交，故可测； 3，当取0<α，则)()0()(22 αα<>=>f X f X f X ，由已知条件， 左边集表为右边两个可测集之并，故可测； 综上，对∈?αR ，)(α>f X 都是可测集，命题成立． 18．设f 是有限可测函数，g ：R →R 连续或单调，则))((x f g 可测． 证 令h (x )=g (f (x ))，则)),(()(11 +∞=>--ααg f h X 1 当(C g ∈R )时，由于),(+∞α是R 中开集，则),(1+∞-αg 记为G ，是R 中开集，由R 中开集构造原理，G 可表为至多可数个开区间（构成区间）的并集．设 n n G G =，),(n n n G βα=),2,1( =n ，则 n n n n G f G f G f g f h X )()()()),(()(11111-----===+∞=>αα，对每个 )()()()(1 n n n n n f X f X f X G f βαβα<>=<<=- ，由f 的可测性， 知)(n f X α>及)(n f X β<均可测，故)(1 n G f -可测，从而)(α>h X 可测． 2 对于单调函数g ，不妨设递增，则),(1+∞-αg 有三种情况， a ，),(),(1 +∞=+∞-βαg ； b ，),[),(1 +∞=+∞-βαg ； c ，?=+∞-),(1αg 只证b （a ，c ，类似）：由 f 是可测函数可知,对∈?βR ，)(β≥f X 都是可测集，又)()),([)),((1 11 ββα≥=+∞=+∞---f X f g f ，从而)),((11 +∞--αg f 可测． 19．设21,f f 是X 上的有限可测函数，() 2g C R ∈,则))(),((21x f x f g 可测． 证 1 先证对简单函数∑== n i e i i 1 1χ α?和)(1 2X S m j e j j ∈= ∑=χβ ?， ),(21??g 是可测函数.由于}{}{j i e e 和是X 的互不相交的可测集，且： X e X e j j i i == ,，故可得}{}{j i e e 和重组为X 的新分划 k k k e X e =使},{， k e 互不相交，且：]),([))(),((21k e k k k g x x g χβα??∑=，已知()2g C R ∈，故 12((),())g x x ??在每个k e 上可测 ，所以12((),())g x x ??在X 上可测． 2 对可测函数21,f f ，依定理2．3．6，存在序列),(,21X S n n ∈??使 2211,f f n n →→??)(∞→n ，由g 是R 2上连续函数，故有 ),(),(2121f f g g n n →??)(∞→n ，而由已证1，),(21n n g ??可测，故由命题 2．3．4得),(21f f g 也可测． 20．设f 在[a ,b ]上可微，则f '可测． 证 )]()1 ([lim )(x f n x f n x f n -+ ?='∞ →，),[b a x ∈． 因为f 可微 ，则],[b a C f ∈ ，故f 可测，故)1(n x f +亦可测 ，因此1 ()()f x f x n +-可测，故 )]()1 ([x f n x f n -+?也可测．由命题2．3．4知：)(x f '可测． 21．设f 在每个区间),(],[b a ?βα上可测，则f 在[a ,b ]上可测． 证 ∈?αR ，})(:]1 ,1[{})(:),({αα>-+∈= >∈∞ =x f n b n a x x f b a x N n 其中1]2 [ +-=a b N ， 又})(:]1,1[{α>-+∈x f n b n a x ),1,( +=N N n 均可测，从而})(:),({α>∈x f b a x 亦可测． 22．设),(y x f 对x 可测，对y 连续，则),(max )(1 0y x f x y ≤≤=?可测． 证 1 证}]1,0[:),(sup{),(max )(1 0Q r r x f y x f x y ∈==≤≤?．x ?，不妨设 ),(),(max 01 0y x f y x f y =≤≤． （１）若Q y ]1,0[0∈，则1 显然成立． （２）若Q y ]1,0[0∈，Q r n ]1,0[∈?，使得0y r n →，则由),(y x f 对y 连续，可知),(),(0y x f r x f n →，又),(),(0y x f r x f ≤，Q r ]1,0[∈．因此 }]1,0[),,(sup{)(Q r r x f x ∈=?． 2 由已知),(y x f 对x 可测，且}]1,0[{Q r ∈可数．故由命题2．3．4，得 }]1,0[),,(sup{)(Q r r x f x ∈=?可测． 23．设?X R n 是紧集，)(X C F ?，则)(sup )(x f x F f ∈=?可测． 证 1 )(X C F f ?∈?，都满足)(,αα≤∈?f X R 是闭集（相对于X ），又n R X ?为紧集，故)(α≤f X 为闭集． 2 由)(sup )(x f x F f ∈=?，可得 F f f X X ∈≤= ≤)()(αα?，而由1 可知每一 个)(α≤f X 均为闭集，故 F f f X X ∈≤=≤)()(αα?为闭集，当然也是可测集， 所以)(x ?为可测函数． 24．设∞ 证 ∵()()t X f t ?μ=<是单调递增函数，0↓?n ε，则)(n t f X ε-≤是一升列，由下连续性])(( )()( n t f X t f X t ε μμ?-≤=<= )0()(lim -=-≤=t t f X n n ?εμ∴()t ?处处左连续． 而)(n t f X ε+≤是一降列， ∞ ()()()[ ()] n t X f t X f t X f t ?μμμε=<=≤=<+ lim ()(0)n n X f t t με?=<+=+ ∴()t ?几乎处处右连续． 25．设f 是有限可测函数，则有可测函数列}{n f ，使n f ?)(∞→n f 且每个n f 取可数个值． 证 不妨设0≥f （一般情况可利用分解-+ -=f f f 推出） n k x f n 1)(-= ， ,2,1,,)(1 =<≤-k n n k x f n k ，显然 01 )()(0→< -≤n x f x f n ，且n 1与x 无关．所以)(x f n ?)(x f ． 26．设f 是有界可测函数，则有简单函数列}{n ?，使n ??)(∞→n f ，且f n ≤?． 证 不妨设0≥f (一般情况可利用-+ -=f f f 推出)． n i 2 1- n n i x f i 2)(21<≤- n n i 2.2.1?= 令n ?= n n x f ≥)( 则).2.1(0)(1 =≤≤∈+n X S n n n ???且且当n x f <)(时， n n x x f -≤-≤2)()(0?因为f 有界，所以0N N ?∈，使得0N f <，当0 N n ≥时1,2 n n i ?-= n n i x f i 2)(21<≤-，n n i 221?=，，， ，此时有 021)()(0→≤ -≤n n x f x ?)(∞→n ．所以n ? f ，且)()(x f x n )(∞→?→?n f f n μ ． 证 本题要加条件∞ n f X n f f n f X n f f f ≥?=-χ于是对0>?σ，都有：()() n f X f f X n ≥=≥-μσμ()σ>n . 由∞ n f X n f X n ≥=≥∞ → μμlim ．又有f 几乎处处有限，即 ()0=∞=f X μ，于是由()()??? ???≥=∞=∞= 1n n f X f X μμ，对0>?σ， ()()0lim lim =≥=≥-∞ →∞ →n f X f f X n n n μσμ，其中()n f X n f f 函数列． 注：原题疏忽了应该强调X μ<∞的条件，因为当测度空间(),X μ非有限，即X μ=∞时，结论未必成立.反例如下： 设[]0,X =+∞，m μ=取为通常的L -测度， 当),1[n n x -∈，1,2,n =时， 令()f x n =，则f 是X R + =上的处处有限的非负可测函数.不难证明这时就不存在有界可测函数列{}n f ，使n f 在X 上依测度收敛于f ，具体验证留给读者. 28．设)(}{X M f n ?，则集)(lim :{x f x A n n =存在且有限}可测． 证 不妨设0≥n f ，因为{}()n f M X ?，由命题2．3．4知n n f lim 是可测 函数． n n n n n n n A n f n x x f x A ? =<≤-= =}lim 1:{})(lim :{存在且有限， 因为f 是可测函数，所以}lim 1:{n f n x A n n n <≤-=可测，所以 n n A A = 可测． 29．设,),(,0f f X M f X n n →∈>μa ．e ．∞<∞→f n ),(，则 }{,n f X A 使??在A 上一致有界且0>A μ． 证 我们只对改造后的本题条件：()a 设(),X μ是非平凡的（即全空间测度0X μ>）有限或σ-有限测度空间；()b {}n f 是X 上的有限（或几乎处处有 限）可测函数列；()c n f f →a .e .()n →∞，f <∞，对所有要求的结论进行证明.至于改造条件的原因，相信读完证明过程后，再理解注记中指出原题的忽略所在，会更深刻. 由条件()a ，不妨设定0X μ<<∞，这是因为当X μ=∞时，由于(),X μ是 σ-有限的，必有一可测集1X X ?，使得10X μ<<∞，然后用1X 代替X （显 然不影响其余题设条件）. 用到一个引理：设f 是定义在有限测度空间(),X μ的有限（或几乎处处有限）的可测函数，则对任一0ε>，存在f X X ?，使得() \f X X με<，且f 在f X 上有界.引理的证明很简单，但在实变函数论中是很常用的基本结果（实际上上面 27题主要就是用这个结果）：由于1 n n X X ∞ == ，其中()n X X f n =≤注意到 121n n X X X X X +??????，故lim n n X X μμ→∞ =，又X μ<∞，从而 ()\0n n X X X X μμμ=-→()n →∞.取()N N ε=，使()\N X X με<，且 令f N X X =，则证毕.（请用心体会在这个小引理中何处用到f 是有限（或几乎处处有限）条件，又在何处用到X μ<∞条件）. A. 先对f 用引理，对011 042 X εμ= ?>，存在一个f X X ?，使得()0\f X X με< ． ...... (1) 且在f X 上，∞<≤0M f ． (2) 同理，依次取021411 >?= +X n n με，存在一个X X n f ?，使得 n f n X X εμ<)\(． ………（1'） 且在n f X 上，∞<≤n n M f ． …………（2'） B ．对X 上的（注意已设定∞ 1 )\(0< ，且在0X 上，n f 一致收敛于f ．于是对1='ε，存在N ，使当N n >时，对每一0X x ∈，1)()(='<-εx f x f n ． …………（3） C ．令)( 1 0021 ∞ ===n f f f f f n X X X X X X X A ，于是， ))\(()\()\(\1 0 ∞ ===n f f c n X X X X X X A X A ，从而， ∑∞ =++≤=1 0) \()\()\()\(n f f c n X X X X X X A X A μμμμμX X X X μμμμ8 5 )2121(412141412=+++?+< 故08 3 85 )()\(>= -≥-==X X X A X A X A c c μμμμμμμ． D. 最后验证在A 上}{n f 一致有界． 首先，由于f X A ?，故在A 上0M f ≤（见上（2）式）． 其次，由（B ）中所证（3）式以及0X A ?，故对一切N n >，A x ∈， 01)()()()(M x f x f x f x f n n +≤+-≤． 再次，注意到N f f f X A X A X A ???，， ， 21，故相应于上（2'）式， 对每个A x ∈，11)(M x f ≤，22)(M x f ≤，… ，N N M x f ≤)(． 最后，取}1m ax {021+=M M M M M N ，，， ， ，则在A 上，M x f n ≤)(关于n 一致成立． 注记 （1）将原题条件“)(X M f n ∈”改为“()b ：设}{n f 是有限（或几乎处处有限）可测函数列”是必要的．（本题引理中 ∞ == 1 n n X X 中的等号本质上 依赖此设定）．这里反映出实变函数论与通常数学分析的一个区别：允许函数值在广义实数集中取，而且强调有 0)(=∞=f X μ（几乎处处有限）与 0)(≠∞=f X μ之区别，如果按原题设条件，}{n f 只是可测函数列，可举反例 如下)1(∞<=X μ：令 0 ， ]21,0[∈x ； ∞+ ， ]2 1,0[∈x ； =)(1x f =)(2x f ∞+ ， ]1,21 (∈x ， 0 ， ]1,2 1(∈x ， 当3≥n 时，0≡=f f n ，则}{n f 与f 满足题设全部条件，但显然}{n f 处处无界，更谈不上在某A 上一致有界． （2）至于本题改造条件()a 是非本质的．因为我们一般遇到非有限测度空间（即∞=X μ时），总都是-σ有限测度空间．故上面的证明，一般来说也包容了 ∞=X μ，结论仍成立的情况．至于“-σ有限”这一条件是否也可去掉，留作 讨论．讨论的第一问题就是：是否存在这样的非-σ有限测度空间),(μX ，使得 ∞=X μ，且任一可测集X X ?0，或00=X μ，或∞=0X μ，这已是测度论 的专门议题． 30．设f f n →，a ．u ．，则f f f f n n →?→?且μ ，a ．e ．． 证 ① 要证f f f f n u a n ?→???→?μ .. 即对0,0>>?εσ，要证n 充分 大时， εσμ<≥-)(f f X n . 对这个ε，由已知f f n →，a,e.，故 εμεε X X ， 在εX 上，n f f ，故当n 充分大时，)2 (σ ε<-?f f X X n ， ∴()[()]2 c c n n X f f X f f X εσ σ-≥?- ∴()()c n f f X εμσμε-≥≤< ∴,0>?σ有0)|(|→≥-σμf f X n )(∞→n ，即f f n ?→? μ ． ②，要证f f f f e a n u a n ?→? ??→?..．取n n 1=δ，由已知f f u a n ?→?.，存在n X δ，n X n c n 1)(=<δμδ，在n X δ上n f f ．令 ∞ ==1 n c n X E δ，则 01)()(→≤≤n X E c n δ μμ，即0)(=E μ. 在 ∞ ==1 n c n X E δ上，f f n →. ∴f f e a n ?→?.． 31．设f f n ?→?μ ，1+≤n n f f ，a ．e ．，),2,1( =n ，则f f n →，a ．e ．． 证 已知f f n ?→? μ ，由Riesz 定理，有子列f f k n →a ．e ．)(∞→k ． 令k n f X X (0=?))(()1 n n n f f X f +>，则00=X μ，00c x X ?∈，)} ({0x f n 为单调递增数列且有子列存在极限，故)()(00x f x f n →()n →∞． 32．设0,,>?→? ∞ μ，则p p n f f ?→?μ ． 证 （反证法）若结论不真，则有 <<>21,0,n n εσ， 使得 ,2,1,)| |||(=≥≥-k f f X p p n k εσμ . (1) 由)(∞→?→?k f f k n μ ，有子列f f i k n →a ．e ．)(∞→i ． 从而k i p p n f f →,a ．e ． ，又X μ<∞，由Th 2. 4. 2(ⅲ)有 )(∞→?→?i f f p p n i k μ ．这与（1）矛盾，故假设不成立． 33．设(),,n X f f g C R μ μ<∞??→∈，f g f g f f n n ?→?∞<μ 则,,． 证 （反证法）若结论不真，则有 <<>21,0,n n εσ, 使得εσμ≥≥-)(f g f g X k n , ,2,1=k . (1) 由)(∞→?→?k f f k n μ ，则有子列f f i k n →，a ．e ． ． ∵()g C R ∈ ∴k i n g f g f →，a ．e ．)(∞→i 由Th 2. 4. 2(ⅲ)，因为X μ<∞，则可推出)(,∞→?→?i f g f g i k n μ ， 这与(1)矛盾，假设不成立． 34．设g f g f X n n ,,,,∞<μ是X 上的有限可测函数，f f n ?→? μ，g g n ?→?μ ，)(2R C ∈?，则))(),(())(),((x g x f x g x f n n ??μ ?→? ． 证 0>?σ，由)(2 R C ∈?知，0>?δ，当δ<-),(),(g f g f n n 时，有 σ??<-),(),(g f g f n n ，又由δ<--=-),(),(),(g g f f g f g f n n n n ，有 δ<-f f n 且δ<-g g n ． 于是)()),(),((δσ??≥-?≥-f f X g f g f X n n n 或)()),(),((δσ??≥-?≥-g g X g f g f X n n n ． 由f f n ?→? μ，g g n ?→?μ 知0)(→≥-δμf f X n ，0)(→≥-δμg g X n 故))(),(())(),((x g x f x g x f n n ??μ ?→? . 35．设),2,1)((, =∈∞ ?}{n f 有几乎处处收敛子列． 证 “?”设}{n f 的测度收敛子列为),2,1}({ =k f k n ,则}{k n f 有子列 ),2,1}({ =i f i k n 几乎处处收敛，即}{n f 有几乎处处收敛子列． “?”设}{n f 有几乎处处收敛子列),2,1}({ =k f k n ，因为∞ f f k n ?→?μ ，即}{n f 有测度收敛子列． 36．设),2,1)((, =∈∞ )(0sup ∞→?→??≥n f k n k μ． 证 “?”由0→n f ，a ．e ．，当∞ 0>?ε，可取N ，使N n ≥时，2 )(ε < x f n 对一切e X x \∈成立． 所以， εε <≤ ≥2 )(sup x f k n k 对一切e X x \∈成立，从而e f X k n k ?≥≥)sup (ε， 所以δε<≥≥))sup ((k n k f X m . “?” 不妨设0≥n f ,令k n k n f g ≥=sup ;已知0?→? μ n g ,由定理2.4.2(iii)知存在子列...0e a g k n →． 又∞→k lim k n k f k ≥sup ∞→=n lim k n k f ≥sup ,故..,0e a g n →，从而..,0e a f n →． 37．设f f X M f X n n →∈∞<),(,μ,a ．e ．，∞ μμ=)( ，且在每个k A 上n f ?)(∞→n f ． 证 f f n →a ．e ．，∞ 1 ? ，X A n ??，n A c n 1 < μ，在n A 上n f ?f ．由于 c n n n n A A X )()( μμμ+=)()( n c n n n A A μμ+=， 又)(01)()( 0∞→→≤ ≤≤n n A A c n n c n μμ ，故0)(= n c n A μ， 从而)( n n A X μμ=． 38．设 ),2,1(),(, =∞<∈∞ 0→n n f a ，a ．e ．)(∞→n ． 证 由n f <∞，∞ 12)(-<>k f X n μ，进一步可取 <<21k k ，使n n n k f X -<>2)(μ， 00,,0n n n >?>?当σ时，使n k 1≥ σ，令2 -=n n k b ， ≤>)(σμn n f b X )1 (n n n k f b X > μ()20n n n X f k μ-=><→． ∴()0n n X b f μσ>→ ∴0n n b f μ ?? →．由定理2．4．2 (ⅲ)得：}{n n f b 有子列（记为k k n n f b ）几乎处处收敛于0，令? ??≠==k k n n n n n n b a k ,0,，则 0→n n f a a ．e ．(∞→n )． 39．设?X R n 可测，0>?ε，存在闭集X F ?，使F f |连续且ε<)\(F X m ，则f 可测． 证 01>? n ，存在闭集X F n ?，使n F f |连续，且n F X m n 1 )\(<，令 ∞ ==1 n n F F 则n ?，)\(F X m n F X m n 1 )\(< ≤，故0)\(=F X m ． 因为n F f |连续，所以f 为n F 上可测函数．又因为 ∞ == 1 n n F F ，故f 为F 上的 可测函数．又0)\(=F X m ，所以f 也为F X \上的可测函数，由 F F X X )\(=，知f 为X 上的可测函数． 40．设?X R n 可测，f 是X 上几乎处处有限的可测函数，则存在序列 C f k ?}{(R n )，使得在X 上)(∞→?→? k f f m k ． 证 由Luzin 定理知：C f N k k k ∈?∈? ),(1(R n )使k f f mX k 1)(<≠，0>?σ，有)()(f f X f f X k k ≠?≥-σ ∴1 ()()0()k k mX f f mX f f k k σ-≥≤≠< →→∞ ∴m k f f ?? →． 第二章习题 B 41．作可测集]1,0[?A ,使对任何非空开区间]1,0[??，恒成立0)(>?A m 且 0)\(>?A m ． 证 ①在任一区间),(βα中，对于预先指定数r (0 首先在),(βα中取出以其中点为中心长为)(αβλ-的区间)3 1(<λδ；再在余下的两个区间10,??中，分别取出以其中点为中心长为)(2 αβλ-的两个区间 10,δδ；再在余下的四个区间12i i ?)1,0;1,0(21==i i 中分别取出以其中点为中心 长为)(3 αβλ-的区间12i i δ)1,0;1,0(21==i i ；等等．如此一直下去．令G 为所 有这些取出的区间之和：1 11(,) ( )n n i i n i i G δδ∞?=?=．显然G 为开集，n i i ,1δδ与为 其构成区间． 1 111() 1 () ()2()12n n n n i i n i i n mG m m λβαδδλβαλβαλ ∞ ∞ +==-=+=-+-= -∑ ∑ ∑， 取r r 21+= λ，则有)(αβ-=r mG ，当0 1 0<<λ，并可知：G -],[βα为疏朗完全集，从而G 为],[βα中稠集． ②在[0,1]中构造出所要求的集合A ． 对于[0,1]，取43= r ，按①作出相应的稠密开集4 3 ,00=mG G ，由0G 为开集，) 0(1 )0(0,i i i G δδ ∞ == 为0G 的构成区间．再对每个)0(i δ，按①的做法，得出一稠密开集) 0(i G ，使) 0(2) 0()3 11(i i m mG δ-=，并令0)0(11G G G i i ?=∞= ，则 (0) 1021 1(1)3 i i mG mG mG ∞ ===-∑，由1G 为开集，)1(11i i G δ∞== ，) 1(i δ为1G 的构成 区间．再对每个) 1(i δ，按①做出相应的稠密开集) 1(i G ，使) 1(2 ) 1()411(i i m mG δ- =， 并令1)1(1 2G G G i i ?=∞ = ，则)2 11)(311)(411(2222--- =mG ，如此继续下去，得出一列单调下降的开集： ∏==+- =???n k n n n k mG G G G 0 2 10).1.0)() 2(1 1(, ， 令n n G A ∞ ==0 ，显然A 可测，且∏∞ =∞ →=+-= =0 2 2 1 )) 2(1 1(lim k n n k mG mA ． ③证明A 满足题目要求. 任取开区间]1,0[??，易知每一个n G 于[0，1]中稠密，从而可知 ?≠?A ，设A x ?∈0，则在每一个n G 中有它的一个构成区间) (0n i n x δ∈， 又易知：)(03 11 ) (∞→→< +n m n n i n δ，故存在一充分大的0n ， 使??∈) (0 00 n i n x δ，由)(0 00 00 ) () (k n k n i n i G A n n ∞ == δδ， ∏∞ =+- =0 00 00 ) (2) ()]) 2(11([)(n k n i n i n n m k A m δδ 以及 0]))2(11([21))2(11(11 102 200 >+-=+->--=∞ =∏∏n k n k k k ，可知： 0)() (00 >A m n i n δ，0)\() (00 >A m n i n δ． 从而00 () ()()0;n n i m A m A δ? ≥>00 () (\)(\)0n n i m A m A δ?≥>． 42．每个非空完备集?A R 有非空完备子集B ，使0=mB ． 证 若mA =0，则结论自然成立．下设0>=a mA ； 显然非空完备集A 的每一点均为A 的聚点． 下证A 含有测度为零的非空完全子集． 如能构造一个测度为0的不可列闭集A E ?，则D B E =，B 为非空完备集．又A E B ??∴0mB mE ≤=，即mB =0，于是B 即合所求． 下面就构造这样的集E ： 在A 中任取两个不同的点10,x x ，做两个小区间10,δδ，使得1100,δδ∈∈x x ，且010122,,22 a a m m δδδδ≤ ≤=?．由10,x x 均为A 的聚点，可知 10δδ A A 与均为不可列闭集，记其聚点全体分别为10,P P ，易知1 1(0,1) i P i =为非空完全集且A P i ?1，22 1a mP i ≤ ，?=10P P ，对每个1i P 施行同样的手续，得出四个完全集1212(0,1;0,1)i i P i i ==满足：121124 ,2i i i i i a P P mP ?≤ ， ?=1011i i P P ，再对每个12i i P 施行同样的手续，如此一直下去，得到一列完全集： )2()2(),2(212112个个个n i i i i i i n P P P 满足： n i i i i i i i i i a mP A P P n n n 22,2112121≤ ??- ，?='''n n i i i i i i P P 2121(至少有一个k i 与 ' k i 不同)．令 ,,) ,()2() ()1(212 111i i i i i i P P P P = =， ) ,,()(211n n i i i i i n P P = ，易知： ),2,1(2 22,2)()()2()1( ==? ≤????n a a mP P P P n n n n n ． 再令 ∞ == 1 ) (n n P E ．则E 就是我们要构造的集合． 因为() (),lim lim 02n n n n n a E P A mE mP →∞ →∞??===． 又由) (n P 均为闭集，知E 为闭集．再因每一个0-1序列{12,,i i , n i }所对应的 完全集列： ????n i i i i i i P P P 21211决定一点，记为12n i i i X ， 易知E 即由所有这样的点所组成的，即： 12 12 11212 {|,0,1(1, ,,)n n n i i i i i i i i i i i i k E X X P P P i k n =∈==}．由此 可见E 的基数为c ．记E 的凝聚点全体为B ，则B 即为所求的非空零测完备子集． 43．设Q =22{:},(,),n n n r n N G r n r n F R --∈= -+?是闭集， 则m (G ΔF )>0． 证 m (G ΔF )= m (G c F )+m ( F \G ) 第一章习题 B 36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ． 证一：（反证）不妨设，?x 0∈B ,且x 0?C 1) x 0∈A ,则x 0?A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0?A ，则x 0∈A ΔB ，x 0?A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ． 证二：()B A A ??()[]()[]A B A B A A \\??= =()()B A B B A =\ 同理()C C A A =??，现在已知A B A C ?=?故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛?{A n }的任何子列收敛． 证 由习题8集列{}n A 收敛?特征函数列{} n A χ收敛，由数分知识得数列 {}n A χ收敛?{}n A χ的任一子列{}j n A χ 均收敛，又由习题8可得{}j n A 收敛． 38．设)2,1}(:/{ =∈=n Z m n m A n ,则lim n n A =Z ，lim n n A =Q ． 证 显然有lim lim n n n n Z A A Q ??? 1） 假设?x \,Q Z ∈使x ∈lim n n A ∴?N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈ ∴?m 1,m 2∈Z ,使x =1m n ,x =21m n + ∴1m n =21 m n + 从而1 21,m m m n =+ 这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n A =Z ． 2）?x ∈Q,则?m,n ∈Z,使得x = m n ∴x=m n =2m n n ?=…=1k k m n n +?=… ∴x ∈k n A ,(k =1,2…),从而x ∈lim n n A ∴lim n n A =Q ． 《中国哲学史大纲》，卷上，胡适著，东方出版社1996年3月1版2003年12月2次印刷。躺在书架上装逼多年了，一直未通读。是日取之读之，仍感困窘，原因在于，如果说胡适“书虽然读得不多（傅斯年语）”，那么自己就是文盲一个。于是先全力搜索相关评论资料。 《大纲》上卷自1919年2月出版后便不胫而走，不到两个月即再版发行，到1922年8月已出至第8版，两年内总计印刷7次，累计发行量达一万六千册。1932年13年的出版周期内，就再版达15次。仅民国时期对此书发表评论的大师级学者就有章太炎、王国维、陈垣、梁启超、陈寅恪、汤用彤、金岳霖、柳诒徵、蔡元培、冯友兰、李季、贺麟、顾颉刚、刘文典、容庚、吴虞、余家菊等30余位，可见其在学术界的影响。 蔡元培的“证明的方法”、“扼要的手段”、“平等的眼光”、“系统的研究”。梁启超欣赏作者的“敏锐的观察力，致密的组织力，大胆的创造力”。他认为，此书“讲墨子、荀子最好，讲孔子、庄子最不好。总说一句，凡关于知识论方面，到处发现石破天惊的伟论，凡关于宇宙观、人生观方面，什有九很浅薄或谬误”。北大教授刘文典称赞之为“近代一部epoch making的书，就是西洋人著哲学史也只有德国的Windelband和美国的Thilly二位名家的书，著得同样的好”。冯友兰的“胡适的这部书，把自己的话作为正文，用大字顶格写下来，而把引用古人的话，用小字低一格写下来。这表明，封建时代的著作，是以古人为主。而五四时期的著作是以自己为主。”“在中国哲学史研究的近代化工作中，胡适创始之功，是不可埋没的。”“一部具有划时代意义的书”，“对当时中国哲学史的研究有扫除障碍，开辟道路的作用”。 心中疑惑，有那么好么。再联系他“自吹”的“但我自信，中国治哲学史，我是开山的人，这一件事要算是中国一件大幸事。这一部书的功用能使中国哲学史变色。以后无论国内国外研究这一门学问的人，都躲不了这一部书的影响。凡不能用这种方法和态度的，我可以断言，休想站得住。”“这本书虽然有不少缺点，究竟还有它自身的特别立场，特别方法”，“这本《哲学史》在这个基本立场上，在当时颇有开山的作用。”以及搜出的一些八卦例如其活动能力，名望地位，半部先生 习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=． 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?． 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾. 充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6． 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成 实变函数论课后答案第二章2 第二章第二节习题 1.证明点集F 为闭集的充要条件是F F =. 证明：因为' F F F = ，若F 为闭集，则'F F ? 所以' F F F F F F F =?=? 故F F = 反过来，若' F F F F =? ，则必有'F F ? 从而F 为闭集. 2.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明对于任意常数a ，(){};x f x a >都是开集， (){};x f x a ≥都是闭集. 证明：任取常数a ，若 (){}0;x x f x a ∈>，则()0f x a >，由于()f x 连续，0 ,0a x δ?>， 使()(){}0 0,,;a x x N x x f x a δ∈?≥. 这表明(){};x f x a >是开集. 任取常数a ，若{}(){};n x x f x a ∈≥，且0n x x →，则从()n f x a ≥和()f x 连续知 ()()0lim n n f x f x a →∞ =≥ 故(){}0;x x f x a ∈≥ 这表明(){}(){}' ;;x f x a x f x a ≥?≥. 故(){};x f x a ≥是闭集. 3.证明任何邻域(),N p δ都是开集，而且()(){} ' ' ,;,N p p p p δρδ=<（N 通常称为一闭 邻域） 证明：()0,p N p δ?∈，则()00,p p ηρδ≤< ()0,Q N p δη?∈-，()()()00,,,Q p Q p p p ρρρηδηδ≤+<+-= 故()()0,,N p N p δηδ-?. 故(),N p δ是开集得证. 第二章习题答案 1.若 x m x且 y m y ，则( x m , y m )( x , y ) . 特别的 , 若x m x ，则 ( x m , y )( x , y ) . 证明：这实际上是表明( x, y)是 R n R n上的连续函数 . 利用三角不等式 ,得到 ( x m , y m )( x, y)( x m , y m )( x, y m )( x, y m )( x, y) . ( x , x m )( y, y m )0,( m) 2.证明：若 x1 O x 0 ,，则1，使得 O x1 ,1O x 0 ,. 证明：实际上取01( x 0 , x1 ) 即可，因为此时对任意的x O x1 , 1 ，有 ( x , x 0 )( x, x1 )( x1 , x 0 )1( x 1 , x 0 )，即 x O x0 , . 3.证明以下三条等价： (1). x E;(2).x 0的任意邻域中都有 E 中的点；(3).存在E中的 点列 x n收敛到 x 0. 进而，若 x0 E ，则存在0，使得 O ( x 0 ,)E. 证明：注意到 E E E ' .（ i） .若（ 1）成立，则x0 E 或 x 0 E ' .若前者成立，显然（ 2）成立；若后者x0 E ' 成立，由极限点的定义也有（2）成立.总之，由（1）推出（2）. (ii).若（2）成立，则对任意的n ，有O ( x0,1n)E，在其中任选一点记为x n.这样就得到点列x n E ，使得( x n , x0 )1n，即（3）成立. (iii).设（3）成立.若存在某个n 使得x n x0，当然有x0x n E E ；若对任意的n ，都有 x0x n，则根据极限点的性质知x0 E ' E . 总之，（ 1）成立 . 5.证明：A B A B. 证明：因为 A B ' A' B'，所以有 A B A B A B ' A B A' B'A A'B B'A B. 6. 在 R1中，设E Q[0,1] ，求 E ', E . 解： E ' E[0,1] 实变函数 (一学期课程，周学时4) 一.集合与点集 (20课时) 1.集合及其运算，集合列的极限，集合的直积。(3课时) 2.映射，满射，单射，双射，集合的对等，Bernstein定理*，基数，可列集及 其性质，连续基数，基数运算*，无最大基数定理。(5课时) 3.n维欧氏空间，点集的直径，矩体与球，邻域，距离，收敛，极限点，导集 及其性质，Bolzano-Weierstrass定理。(5课时) 4.闭集,开集，闭包，内点与内核，开集的构造*，Cantor闭集套定理，Lindelof 可数覆盖定理*，Heine-Borel有限覆盖定理，函数的连续性，紧集，Borel 集， F集，δG集，Cantor集。(5课时) σ 5.集合与集合的距离，点与集合的距离，连续函数延拓定理*。(2课时) 二.Lebesgue测度 (12课时) 1. 外测度定义，外测度性质（非负性、单调性、次可加性），距离外测度性质*， 外测度的平移不变性。(4课时) 2. 可测集与测度的定义，可测集的性质，关于递增可测集列及递减可测集列的 测度问题。(4课时) 3. 矩体是可测集，分别用开集、闭集、 F集，δG集来逼近可测集，集合的等 σ 测包，测度的平移不变性，不可测集的存在性*。(4课时) 三.可测函数 (10课时) 1. 可测函数的定义及等价刻画，可测函数的运算性质，简单函数逼近定理，函 数的支集。(4课时) 2. 几乎处处收敛与测度收敛的定义，Egoroff定理，Lebesgue定理，Riesz定 理。(4课时) 3. 可测函数与连续函数。(2课时) 四. Lebesgue 积分 (14课时) 1. 非负可测简单函数的积分，非负可测函数的积分，Leve定理，积分线性性质， 逐项积分定理，Fatou定理。(4课时) 2. 一般可测函数积分的定义与初等性质，积分的线性性质，积分的绝对连续性， 积分变量的平移变换，Lebesgue 控制收敛定理，逐项积分定理，积分号下求导数*。(4课时) 3. 连续函数逼近可积函数，积分的平均连续性*。(2课时) 3. 有界函数在区间上Riemann 可积的充分必要条件，Riemann 可积函数与 Lebesgue 可积函数的关系。(3课时) 4. Tonelli 定理*，Fubini 定理，积分的几何意义*，分布函数*。(3课时) 五. 微分与不定积分 (8课时) 1.单调函数的可微性*，Lebesgue 定理*，有界变差函数，Jordan 分解定理。 (4课时) 2.不定积分的微分，绝对连续函数，微积分基本定理。(4课时) 六.p L空间 (8课时) 1.p L空间的定义与基本性质，共轭指标，Holder 不等式，Minkowski 不等式。 (4课时) 2.p L是完备的距离空间*，p L收敛，p L空间的可分性*。(4课时) 教材或参考书： 1．周民强编：实变函数，北京大学出版社，2001 2．周性伟编：实变函数，科学出版社，2004 3．胡适耕编：实变函数，高等教育出版社，1999 4．曹广福编：实变函数论，高等教育出版社，2000 读胡适哲学史大纲有感集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 《史大纲（卷上、卷中）》是一本由胡适着 / 肖伊绯整理着作，广西师范出版社出版的精装图书，本书定价：68.00元，页数：423，小编整理的一些的读后感，对大家能有。 《中国哲学史大纲（卷上、卷中）》读后感(一)：胡适《中国哲学史大纲》（卷中）发现记 胡适《中国哲学史大纲》卷中讲义本的发现，很是一番周折。学者肖伊绯着意搜集民国大学讲义已有两三年，一直在暗自留意这册讲义本——有些学者将它记录在案（胡颂平编《胡适之年谱长编》时提到过），有些学者认为它“已不可寻”（北大楼宇烈语），更多的学者则。可以说，国内界目前还没有人确认亲自看到过这本书。肖伊绯先是通书友、书商在国内搜求，一直不见踪迹。后来，一位杭州的书友告诉肖，他在日本曾见到过胡适《中国哲学史大纲》讲义本，但只有“卷中”一册，他认为是没有成套的“残本”，没有购回。得知这一后，在肖伊绯的多次劝说下，经过多方，，最终促成该书友重新找到日本书商，终于购得此书。之后，去年的此日，在弘一纪念馆后的一所茶园里，肖伊绯用一部清代刻本《扇》与书友换得此书。 虽为新之旗手，但从卷中讲义本的胡适评述中医的章节来看，胡适早年对待中国与文化，并非持反对、完全否定的；甚至于得出过方皆本源于“迷信”的。在卷中讲义本里还出现了胡适评述古代天的章节，实 是为了挖掘与裁定——古代与对包括科学体系在内的各种产生了怎样的力，该创见了过去谈学科史就只局限于学科之内的史料链接的。 胡适的中国哲学史有一个的“三段论”，即划分为先秦的上古哲学史；汉唐时代的中古哲学史；清代以来的近世哲学史。按照胡适的写作，前段先秦哲学史构成哲史大纲卷上，两汉与唐宋哲学史构成卷中，清代及近代哲学史构成卷下部分。当然，卷下只是停留在构想层面，并没有写出来，衍化成了胡适大小的专题研究论文及演讲，原拟共同构成卷中的两汉与唐宋哲学史部分，也只有《汉之哲学》形成了的讲义本，并于1919年在北大有过集中讲授。，《汉之哲学》是胡适在尚未全盘中国哲学史大纲全卷写作的下，在中国哲学史层面最后的，有、有思想体系的着作。 原载于/《中华读书报》 原/陈香 《中国哲学史大纲（卷上、卷中）》读后感(二)：读《中国哲学史大纲（卷上、卷中）》所感一 读《中国哲学史大纲（卷上、卷中）》所感一 由广西师范大学出版社出版的《中国哲学史大纲（卷上、卷中）》（胡适着，肖伊绯整理，2013年版），是广西师范大学出版社的新民说丛书之一，刚刚读完卷中部分，于是打算，先写写读后的一些所感，待日后深入研读将再继续写所感。 第二章习题答案 1. 若y y x x m m →→且，则(,)(,)m m x y x y ρρ→. 特别的, 若x x m →， 则(,)(,).m x y x y ρρ→ 证明：这实际上是表明(,)x y ρ是n n R R ?上的连续函数. 利用三角不等式, 得到 (,)(,)(,)(,)(,)(,) (,)(,)0,) m m m m m m m m x y x y x y x y x y x y x x y y m ρρρρρρρρ-≤-+-≤+→→∞(. 2. 证明：若()δ,01x O x ∈，则δδ，使得0(,)O x E δ=?I . 证明：注意到'E E E =U . （i ）.若（1）成立，则0x E ∈或0'x E ∈. 若前者成立，显然（2）成立；若后者0'x E ∈成立，由极限点的定义也有（2）成立. 总之，由（1）推出（2）. (ii). 若（2）成立，则对任意的n ，有10(,)n O x E ≠?I ，在其中任选一点记为n x . 这样就得到点列{}n x E ?，使得10(,)n n x x ρ<，即（3）成立. (iii). 设（3）成立. 若存在某个n 使得0n x x =，当然有0n x x E E =∈?；若对任意的n ，都有0n x x ≠，则根据极限点的性质知0'x E E ∈?. 总之，（1）成立. 5. 证明：A B A B ?=?. 证明：因为()'''A B A B =U U ，所以有 ()()()()()()'''''A B A B A B A B A B A A B B A B ?=??=??=??=?U U U . 6. 在1 R 中，设[0,1]E Q =?，求',E E . 解： '[0,1]E E == 《实变函数与泛函分析》教学大纲 课程编号：120233B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 □专业必修课□专业选修课 □√学科基础课 总学时：48 讲课学时：48 实验（上机）学时：0 学分：3 适用对象：经济统计学 先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何 毕业要求： 1.应用专业知识，解决数据分析问题 2.可以建立统计模型，获得有效结论 3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用 4.关注国际统计应用的新进展 5.基于数据结论，提出决策咨询建议 6.具有不断学习的意识 一、课程的教学目标 本课程以实变函数与泛函分析基本理论为基础，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程基本目标为：能理解、掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分，赋范空间和Hilbert空间一些基本概念、基本理论和基本方法。本课程的难点在于学生初次涉及众多的抽象概念，并且论 证的部分很多，教学中应密切结合数学分析中学到的相对来说比较直观的内容讲解，并督促学生下工夫理解。 二、教学基本要求 （一）教学内容及要求 《实变函数与泛函分析》在理解数学分析思想及基本知识和线性代数的基本知识后将其拓展到实数域上，进而讨论集合，欧氏空间，Lebesgtle测度，Lebesgue 可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，L^p空间，L^2空间，卷积与Fourier变换，Hilbert空间理论，Hilbert空间上的有界线性算子，Banach空间，Banach空间上的有界线算子，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。 其中要求同学们： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。 2. 了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。 3. 了解Lebesgue积分的概念，掌握收敛定理。 4. 理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。 5. 理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。 （二）教学方法和教学手段 在课堂教学中，以启发式教学为主进行课堂讲授，板书教学和多媒体教学结合。课堂上加强与学生的互动，引导学生探索讨论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，提高课堂学习效率。 （三）实践教学环节 本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主，使学生能够理论联系实际，学以致用，从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。 （四）学习要求 学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、做作业等学习环节，以掌握本课程所学内容。 （五）考核方式 本课程采用闭卷考试的方式进行考核。考核成绩包括平时成绩与期末考试成 第二章习题参考解答 1：证明:有理数全体是尺中可测集,且测度为0. 证：（1）先证单点集的测度为O.V XG /?\令￡ = {X }.V^>0,V HG /V p p 8 00 —尹“莎）,因如Sf 专初屮严'人为开区砖 00 工I I =工= ￡ . 故加*E = 0.m 以E 可测且mE = 0. M = 1 〃 = 1 '" （2）再证：/?'中全体有理数全体Q 测度为0. 设匕}羸是只中全体有理数,VneTV,令E n ={r n }.则{乞}是两两不相交的可测集 00 8 8 列，由可测的可加性冇：加* 0 =加（u &）=工mE n =工0 = 0. n=1 n=l n=\ 法二：设e = {rJL ，Vne/v,令/；=（乙—缶心+希），其中￡是预先给定的 任意性，加*2 = 0. 2. 证明：若E 是/?"有界集，则m*E<+oo. 证明：若E 是/?"有界.则日常数M >0,使Vx = （x p x 2,???%…）€￡,有间= 第二章习题 B 41．作可测集]1,0[?A ,使对任何非空开区间]1,0[??，恒成立0)(>?A m 且 0)\(>?A m ． 证 ①在任一区间),(βα中，对于预先指定数r (0 龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/ef756830.html, 浅议胡适的《中国哲学史大纲》 作者：顾思敏 来源：《学理论·中》2013年第08期 摘要：胡适的《中国哲学史大纲》是中国近代以来第一本用现代学术方法系统研究中国 哲学史的书，是中国哲学史学科成立的标志。这部哲学史采用了实证主义的研究方法和历史演进的眼光，也处处体现出作者五四新文化时期的时代精神。不过同时，由于该书的一些疏漏，引起了学术界尤其是梁启超的一些批评与争论。时隔近一个世纪重读这本著作，应该能引起我们对当下的一些思考。 关键词：胡适；中国哲学史大纲；评价与争论 中图分类号：B261 文献标志码：A 文章编号：1002-2589（2013）23-0052-02 一、《中国哲学史大纲》的写作背景 胡适（1891-1962），字适之，安徽绩溪人，自小接受旧式教育。1902年去往上海求学，接触维新改良、革命派和西方的新思想，接受系统的现代公民教育。1910年，胡适考取庚子 赔款第二批留学生，出国留学。1915年进哥伦比亚大学研究院，师从美国著名的实验主义哲 学家杜威攻哲学，获哲学博士学位，其哲学博士论文《中国古代逻辑方法的发展》，中论及的“孔子的逻辑”、“墨翟和后期墨家的逻辑”，“进化论和逻辑”等，是后来《中国哲学史大纲》（以下简称《大纲》）的基础。 胡适的《大纲》是中国近代以来第一本用现代学术方法系统研究中国哲学史的书，大量学者认同此书是中国哲学史学科成立的标志。“哲学”一词在19世纪末传入中国，很多人在哲学一词传入我国后致力于中国哲学研究，但不成体系，没有章法，材料极为杂乱，把经学、史学、文学材料一锅煮。当时人分不清楚哲学和哲学史的分别，对于哲学的认知也是较为模糊的。 当时梁启超的《中国学术思想变迁之大势》对胡适产生了重大影响，他将中国学术思想史分为七个时代。胡适自传中说：“这是第一次用历史眼光来整理中国旧学术思想，第一次给我们…学术史?的见解。”但梁启超在论其中的“全盛时代”时，把诸家学说的本论并没有详细阐述，因此胡适想替梁任公先生补作这几章缺了的中国学术思想史，这便是胡适著《大纲》的初衷。 二、对《大纲》的评价与争论 1919年《大纲》出版后，反响异常热烈。这是中国哲学史研究的开山之作，但也存在不 足之处。我们将从以下几个方面来对这本著作进行评价，并分析该书引起的一些争论。 （一）开创了研究新范式 第2章习题参考答案 A 类 1、（1）()C ；（2）()A ；（ 3）()C ；（4）()B ； （5）()D 。 2、（1）[0,1]，空集，[0,1]；（2）3 {(0,):1}E y y ≤； （3）(1,6)；（4）公共；（5）c E 。 3、证明：（1）必要性 设' 0P E ∈，则0δ?>，邻域0(,)N P E δ中有无穷多个点。现设0(,)P N P δ∈， 则00(,)d P P η δ ≤=<。故 0(,)y N P δη∈-，有 00(,)(,)(,)d y P d y P d P P δηηδ≤+<-+=。 所以 0(,)(,)N P N P δηδ-?，而0(,) N P E δη-有无穷多个E 中的点，自然有异于 0P 的点 10(,)(,)P N P E N P δηδ∈-?。而00(,)({})N P E P δη--是无穷点集，故(,)N P δ中有 无穷多个异于0P 的E 中的点。 充分性 若任意含0P 的邻域(,)N P δ中恒有异于0P 的点1P E ∈，则0δ?>，0(,)N P δ中有异于0 P 的点1P E ∈，记101(,)d P P δ=，显然1δδ<，于是邻域01(,)N P δ中又有异于0P 和1P 的点2P E ∈， 而202 1(,)d P P δδδ=<<，这样下去，可得无穷点集 0{(,),1 ,2,}n n P P E N P n δ∈= 这表明0(,)N P δ中有无穷多个E 中的点，由δ的任意性知，' 0P E ∈。 （2）必要性显然。 充分性 若存在包含0P 的邻域(,)N P E δ?，则00(,(,))(,)N P d P P N P E δδ-??，故0P 为E 的 内点。 4、仿第3题。 5、证明：记B 为E 的孤立点全体，则'E B E -=，所以' ()E E B B E B =-=，而B 至多可数， 则当'E 有限时' E B 是至多可数的，从而E 至多可数，矛盾。 6、证明：因为E 为闭集，则E E '?，而E E E '=?，所以E E =。反之，因为E E E E '==?， 所以，E E '? ，即E 为闭集。 7、证明：对任意{()}x E x f x a ∈=>，有()f x a >，由连续函数的局部保号性，存在(,)B x δ， 使对任意(,)y B x δ∈，有()f y a >，即y E ∈，所以，(,)B x E δ? ，即x 为E 的内点。所以 胡适与北大】胡适藏书及其分流 本月19 日，北京大学人文社会科学研究院和北京大学图书馆联合主办的'胡适与北大'专题展览将在北京大学图书 馆东门展厅开展，并将展示部分胡适先生捐赠的图书。本文介绍了胡适先生藏书及其流布的情况。 胡适先生藏书胡适藏书和日记、书信等资料不仅是研究胡适学术思想的宝贵资料，也是研究胡适周围的学者名人，乃至整个中国现代思想文化史的重要资料。由于胡适一生注重图书的收藏，接受赠书丰富，同时又非常注意保存个人日记、手稿和往来书信等资料，因此他留给后人的文献和研究资料是非常宏富的。在胡适的众多手稿、书信和藏书中，他当年留在大陆的部分最为丰富，其辗转流传也最为引人注目。胡适1938 年至1941 年任驻美大使期间，虽自认为“受逼上梁山”，以致于“只得牺牲一两年的学术生涯”，却仍在极为艰难的条件下坚持学习与阅读。在胡适1941 年的一帧旧照中，他立于书橱前，随手将四册线装书搁在一张沙发的靠背之上，正在翻阅其中的一本。从其身后书橱中大量横置摆放的线装书来看，款式划一，皆于书根上印有书名，应当就是当年那部蜚声海内、学者必备的《四部丛刊》。所谓“四部”，即按我国传统分类法，将所有的书分成经、史、子、集四大门类， 丛刊”即今天通常所说的丛书。说得具体些，《四部丛刊》 是 集中各方面必读书、必备书的小型《四库全书》。从1922 年起，到抗战爆发为止，《四部丛刊》由上海商务印书馆编辑，共出了初编、续编、三编，实共502 种，分装成3000 余册，可以说是20 世纪我国新出的规模最大的丛书。从胡 适书橱3 大排均齐整配置此部丛书的情况来看，每排有10 叠丛书，共达30 叠之多。以每叠平均册来做大致估算， 也至少有6000 册的巨量了。这多出来的另外2000 余册，应 是《四部备要》。《四部备要》，由中华书局1920 －1936 年陆续编辑排印。这部丛书收书336 种，依经、史、子、 集四部分类，共5 集，收经部书54 种，史部书74 种， 子部书79 种，集部书140 种；全套丛书达到了11305 万卷，分订为 2500 册。这部丛书性质和《四部丛刊》相仿，但《四部丛刊》着力于选择宋、元、明三代善本珍本影印，而《四部备 要》则更偏重于实用——铅字排印较有代表性的各类校本、 注本，可以说是学习和研究古代文献的常备书籍。1941 年胡适先生在出任驻美大使期间于书房阅读材 四部丛刊》与《四部备要》在经、史、子、集“四部”择 精 备要中，自然而然的形成了自己的编选特色，在“史部”中 各自形成了“百衲本四史”两大版本。但对于对中国史学有特别深入研究的胡适而言，他的书橱中 还特意增加了当时最新的“史部”整理丛书——开明版《二 《哲学基础》（1）之中国哲学史教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：10213103 课程名称：哲学基础（Philosophy） 课程类别：专业基础课 总学时：48 总学分：3 二、课程描述 《哲学基础》是人文学院汉语言文学专业、历史学专业、对外汉语专业、文秘教育专业的专业基础必修课。本课程全学年内容包括中国哲学史和西方哲学史两大部分，内容的取舍主要遵循两大原则：一是哲学史和哲学原理相结合；二是讲授内容和专业特点相结合。《哲学基础》之中国哲学史主要介绍中国哲学的发展历程和基本特点，中国哲学在其发展过程中所体现出来的智慧、世界观、价值观和人生观，以及中国哲学的基本思想对政治、文化、艺术等不同学科所产生的深刻影响。 三、课程目标 1、知识性目标：通过学习，提升学生基本的哲学常识、哲学修养，明确哲学原理的一些基本观点，对中国哲学的发展有一个大致的了解，对一些伟大的哲学家以及哲学的理论体系有较为清晰的认识。 2、技能性目标：锻炼学生独立自主的探索意识、反思意识，培养学生思维层面的批判精神、包容精神。 3、情感性目标：帮助学生树立正确的人生观、世界观和价值观，并为学习其他专业学科奠定坚实的思维基础和价值基础。 四、课程内容 第一章导论（4学时） 【主要内容】 第一节如何学习哲学 1．善于反思与批判（认识自我、挑战智力、价值重估、审美建构） 2．知行合一（修心、修身、修行、修养） 3．阅读经典（哲学的学习就是哲学史的学习） 第二节哲学与人的对象化 1．人的对象化的可能性 2．人的对象化结果需要哲学反思 3．人的对象化的基本形式彰显了哲学的重要意义 第三节中国哲学史学习的基本要求 1．阅读原著 2．中西结合 3．善于思索 4．勤于实践 【目的要求】 了解哲学学习的基本特点；把哲学学习和人生发展紧密结合起来；重视中国哲学史学习的重要意义。 【重点与难点】 哲学内涵及学习中国哲学的意义 【作业与思考】 1．你所理解的哲学是什么？ 2．你所理解的中国哲学是什么？ 3．请对自己的大学生活以及职业取向作一份较为详细的规划和设计？ 4．哲学与自我发展的关系？ 第二章先秦时期的哲学（28学时） 【主要内容】 第一节孔子创立的儒家哲学 1．孔子及其《论语》 2．“仁学”体系 3．德治与礼治 4．诗与乐 第二章 复习题 一、判断题 1、对任意n E R ?，*m E 都存在。（√ ） 2、对任意n E R ?，mE 都存在。（× ） 3、设n E R ?，则* m E 可能小于零。（× ） 4、设A B ?，则**m A m B ≤。（√ ） 5、设A B ?，则**m A m B <。（× ） 6、**1 1()n n n n m S m S ∞∞===∑ 。（× ） 7、**1 1()n n n n m S m S ∞∞==≤∑ 。（√ ） 8、设E 为n R 中的可数集，则*0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ） 14、E 是可测集?c E 是可测集。（√ ） 15、设{n S }是可测集列，则1n n S ∞= ，1n n S ∞= 都是可测集。（√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =?，则*0m E >。（× ） 20、若E 是无限集，且* 0m E =，则E 是可数集。（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ） 22、在n R 中必存在测度为零的无界集。（√ ） 23、若A ，B 都是可测集，A B ?且mA mB =，则()0m B A -=。（× ） 24、?和n R 都是可测集，且0m ?=，n mR =+∞。（√ ） 25、设12,E E 为可测集，则12()m E E -≥12mE mE -。（× ） 26、设12,E E 为可测集，且12E E ?，则12()m E E -=12mE mE -。（× ） 二、填空题 1、若E 是可数集，则*m E = 0 ；E 为 可测 集；mE = 0 。 2、若12,,,n S S S 为可测集，则1 n i i m S = 小于或等于 1 n i i mS =∑；若12,,,n S S S 为两两不相交的可测集，则1n i i m S = 等于 1n i i mS =∑。 3、设12,E E 为可测集，则122()m E E mE -+ 大于或等于 1mE ；若还有2mE <+∞，则 12()m E E - 大于或等于 12mE mE -。 4、设12,E E 为可测集，且12E E ?，2mE <+∞，则12()m E E - 等于 12mE mE -。 5、设0x 为E 的内点，则*m E 大于 0。 6、设P 为康托三分集，则P 为 可测 集，且mP = 0 。 7、m ?= 0 ，n mR = +∞ 。 8、叙述可测集与G δ型集的关系 可测集必可表示成一个G δ型集与零测集的差集 。 9、叙述可测集与F σ型集的关系 可测集必可表示成一个F σ型集与零测集的并集 。 三、证明题 1、证明：若E 有界，则* m E <+∞。 证明：因为E 有界，所以，存在一个有限区间I ，使得E I ?，从而m E m I I **≤=<+∞。 2、证明：若* 0m E =，则E 为可测集。 第二章习题 A 1．作完备疏集]1,0[?F ，使得2/1=mF ． 解 在[0,1]上挖去居中长为 4 1 的开区间)1(1I ，余下两个闭区间记为)1(2 )1(1E E ，．在闭区间)1(2)1(1E E ，上挖去居中长为24 1的两个开区间) 2(2)2(1I I ，余下的4个区间记为) 2(4 )2(3)2(2)2(1E E E E ，，，．依此方法继续下去，设挖去的所有开区间的并集为G = ∞==-121)(1 n i n i n I ，则G 为开集且 21 4 121 1 121 ) (1 ===∑∑∑∞ =-∞==-n n n n i n i n mI mG ．令F =[0,1]\G ，则F 是可测集且[0,1]=F G ,故2 1 211]1,0[=- =-=mG m mF ．又因挖去的区间没有公共点，因此F 为完备集．又]1,0[=G ，从而c c c G G G F ]1,0[)1,0()1,0(]1,0[)\]1,0([ ==== ?=，故F 为疏集，因此F 为完备疏集． 2．作闭集?F R\Q ，使得0>mF ． 解 记R 中有理数全体为 ，，21r r ，作)2 1 ,21(1 n n n n n r r G +- = ∞ = ，于是2≤mG ，作F =R \G ，则F 是闭集，又所有的有理点都在G 中,故F ?R \Q 且0>mF ． 3．设?A R ，∞ 学习《中国哲学史大纲》心得体会 这个周研读了胡适先生的大作《中国哲学史大纲》，在这之前，对于诸子百 家的思想脉络和争鸣各家的认识都是离散的，片面的，甚至是错误的。下面我就对读了此书之后，关于老子“无为”的思想的谈一些粗浅的认识。 无为”不是无所作为，而是不妄作为。因为不违背客观规律，遵循客观规律而为，所以无所不为，就是什么都可以做，只要你遵循道，遵循客观规律。 《道德经》享誉世界，被世界政要、精英名流、企业领袖所崇拜，被奉为旷世奇书，万经之王。引申到治国，“无为而治”即是以制度（可理解为“道”中的规律）治国，以制度约束臣民的行为，臣民均遵守法律制度。老子所说的“无为而治”是以法治国，而非人治；人过多的干预社会秩序则乱，法治则井然有序。“无为而治”对于帝王个人准则而言，即是清心洞察、知人善任，将合适的人才摆在合适的岗位上，具体事情分摊给臣下去做，不必事必躬亲。 无为而治是道家的治国策略，所以治国是无为而治的第一应用。为了贯彻无为而治的方针，各级政府官员既要抛弃各种政绩主义和形式主义，也要抛弃“为人民谋幸福“、“为官一任，造福一方“等仁政理念，宽刑简政、轻徭薄赋、与民休戚，尽量靠万民的自为无为无不为，靠万民的自治无治无不治，自己做好必要的服务工作即可；同时有所为有所不为，充分信任和依靠下属，让下属去完成各项工作，自已主要做好识人用人的工作。 无为而治用在企业管理上，要求企业管理者从琐事中跳出来，主要抓好企业发展战略和识人用人的工作，至于具体的研发、技术、生产、销售等工作，要充分依靠员工和下属来做。高层管理者，要想真正做到在大事上有所为，而在小事上则有所不为，就必须实行“君无为而臣有为”的管理方法，才能达到“君逸臣劳国必兴，君劳臣逸国必衰”的管理目的。 无为而治用在教育领域，要求老师和家长一定要尊重孩子的天性，充分信赖孩子的能力和发展潜力(即道家的自化能力)，放手让孩子自己去试、去学习、去探索、去发现，甚至去破坏，哪怕他会失败会犯错误也不要紧，因为他会从这些失败和错误中学到很多东西，老师和家长要做的，就是给孩子创造必要条件，并 做必要的辅助工作。 数学学院6班崔兴淑胡适耕实变函数答案第一章(B)
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