第十二章 全等三角形

第十二章全等三角形单元检测

一、选择题

1．有下列说法：①形状相同的图形是全等形；②全等形的大小相同，形状也相同；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等；⑤若△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1≌△A2B2C2，则△ABC≌△A2B2C2.其中正确的说法有()．

A．2个B．3个

C．4个D．5个

2．已知△ABC的六个元素如图，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是

()．

A．甲、乙B．乙、丙

C．只有乙D．只有丙

3．如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC 的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点，其中正确的是()．

A．①②③④B．①②③

C．④D．②③

4．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，则补充的这个条件是()．A．BC＝B′C′B．∠A＝∠A′

C．AC＝A′C′D．∠C＝∠C′

5．如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是()．

A．SAS B．ASA

C．SSS D．AAS

6．(趣味题)将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD 的度数为()．

A．60°B．75°

C．90°D．95°

7．如图，某同学把一块三角形状的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是()．

A．带①去B．带②去

C．带③去D．带①②去

8．为了测量河两岸相对点A，B的距离，小明先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在同一条直线上(如图所示)，可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是()．

A．SAS B．ASA

C．SSS D．HL

二、填空题

9．如图所示，延长△ABC的中线AD到点E，使DE＝AD，连接BE，EC，那么在四边形ABEC中共有__________对全等的三角形．

10．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝__________.

11．如图所示，AD＝CB，若利用“边边边”来判定△ABC≌△CDA，则需添加一个直接条件是__________；若利用“边角边”来判定△ABC≌△CDA，则需添加一个直接条件是__________．

12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD 的面积是______．

13．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是__________．14．如图，相等的线段有__________，理由是____________________________________．

15．如图，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50 m到C处立一标杆，然后方向不变继续向前走50 m到D处，在D处转90°沿DE方向再走20 m，到达E处，使A，C与E在同一条直线上，那么测得AB的距离为__________m.

16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是5 cm，则AB的长为__________．

三、解答题

17．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF.

求证：(1)AF＝CE；

(2)AB∥CD.

18．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，

只有一个刻度尺．他是这样操作的：

①分别在BA和CA上取BE＝CG；

②在BC上取BD＝CF；

③量出DE的长a m，FG的长b m.

如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？19．如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，

一轮船从码头开出，计划沿∠AOB的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？画出图形并说明你的理由．

20．(合作探究题)如图所示，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D，E，F，C 在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF；

(1)请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题；(用序号写出命题的书写形式，如：如果??，那么?)

(2)选择(1)中你写的一个命题，说明它的正确性．

21．(阅读理解题)如图所示，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点O，且AO平分∠BAC.

(1)图中有多少对全等三角形？请一一列举出来(不必说明理由)；

(2)小明说：欲证BE＝CD，可先证明△AOE≌△AOD得到AE＝AD，再证明△ADB≌△AEC得到AB＝AC，然后利用等式的性质得到BE＝CD，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程，如果不正确，请说明理由；

参考答案

1．B 点拨：说法②③⑤正确．

2．B 点拨：甲图只有两个已知元素，不能确定与△ABC 是否全等；乙图与△ABC 满足SAS 的条件，所以两图形全等；丙图与△ABC 满足AAS 的条件，所以两图形也全等．

3．A

4．C 点拨：SSA 不能作为全等的判定依据．

5．A 点拨：由题意得，OA ＝OA ′，∠AOB ＝∠A ′OB ′，OB ＝OB ′， 所以全等的理由是边角边(SAS)． 6．C 7.C

8．B 点拨：由题意，得∠ABC ＝∠EDC ，CD ＝CB ，∠ACB ＝∠ECD ， 所以三角形全等的理由是角边角(ASA)．

9．4 点拨：由边角边可判定△BDE ≌△CDA ，△ADB ≌△EDC ，进而得BE ＝AC ，AB ＝CE ，再由边边边可判定△ABE ≌△ECA ，△ABC ≌△ECB .

10．50° 点拨：根据三角形的内角和定理得∠C ＝50°，由全等三角形的性质得∠AED ＝∠C ＝50°.

11．AB ＝CD ∠CAD ＝∠ACB

12．5 点拨：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角的平分线的性质得DE ＝CD ＝2，

所以△ABD 的面积为

12AB ·DE ＝1

2

×5×2＝5.

13．9＜AB ＜19 点拨：如图，由题意画出一个△ABC ，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，

则△BDE ≌△CDA ，得BE ＝AC ＝5，AE ＝14， 在△ABE 中，AE －BE ＜AB ＜AE ＋BE ， 即9＜AB ＜19.

14．AB ＝AD ，BC ＝CD 用“AAS ”可证得△ADC ≌△ABC ，全等三角形的对应边相等

15．20 点拨：依题意知，△ABC ≌△EDC ，所以AB ＝DE ＝20(m)． 16．5 cm

17．证明：(1)在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，∵,

,AB CD BF DE =??

=?

∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL)．

∴AF ＝CE .

(2)由(1)知∠ECD ＝∠F AB ，即∠ACD ＝∠CAB ， ∴AB ∥CD .

18．解：合理．因为他这样做相当于是利用“SSS ”证明△BED ≌△CGF ， 所以可得∠B ＝∠C .

19．解：此时轮船没有偏离航线．

理由：设轮船在C处，如图所示，航行时C与A，B的距离相等，即CA＝CB，OC＝OC，

已知AO＝BO，由“SSS”可证明△AOC≌△BOC，

所以∠AOC＝∠BOC，即没偏离航线．

20．解：(1)如果①③，那么②；如果②③，那么①.

(2)对于“如果①③，那么②”证明如下：

因为BE∥AF，所以∠AFD＝∠BEC.

因为AD＝BC，∠A＝∠B，

所以△ADF≌△BCE.

所以DF＝CE.

所以DF－EF＝CE－EF，

即DE＝CF.

对于“如果②③，那么①”证明如下：

因为BE∥AF，

所以∠AFD＝∠BEC.

因为DE＝CF，

所以DE＋EF＝CF＋EF，

即DF＝CE.

因为∠A＝∠B，

所以△ADF≌△BCE.

所以AD＝BC.

21．解：(1)有4对，分别是△AOE≌△AOD，△BOE≌△COD，△AOB≌△AOC，△ABD≌△ACE.

(2)小明的说法正确．

∵CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，

∴∠AEO＝∠ADO＝90°.

∵AO平分∠BAC，

∴∠OAE＝∠OAD.

在△AOE和△AOD中，

∵

,

,

,

AEO ADO

OAE OAD AO AO

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△AOE≌△AOD(AAS)．∴AE＝AD.

在△ADB和△AEC中，

∵

,

,

, AEO ADO AD AE

BAD CAE ∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

∴△ADB≌△AEC(ASA)．

∴AB＝AC.[来源学科网]

∴AB－AE＝AC－AD，即BE＝CD.

(3)可先证△AOE≌△AOD得到OE＝OD，再证△BOE≌△COD得到BE＝CD.