模拟电子技术基础

第二章 随机变量及其分布

§2.1 随机变量
一、 概念

对于随机试验：

E 甲,乙两人同时向某目标射击一次
中靶情况


E: ，X表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，2。

定义：随机变量是定义在样本空间S={ω}上的一个单值实函数，记作X=X(ω),简记为X。

二、 分类
1、 离散型随机变量
2、 非离散型随机变量

§2.2 离散型随机变量

一?离散型随机变量的分布
设离散型随机变量可能取的值为:
取这些值的概率为
P(X= i)= pi ,i=1,2,... (2.1 )
称(2.1)式为离散型随机变量X的 分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:
X
… …
P … …
上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式：

离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。

根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质
（1）pi 0,i=1,2,...
（2）

常见的几种分布
1、 单点分布
例: 若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1，则称X服从单点分布。（也叫退化分布。）

2、0-1分布
例: 若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为
X 0 1
P q p
0则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。

3、 几何分布
例: 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0
X 1 2 3 … k …
P p qp q2p … qk-1p …

或记为
( )= , k=1,2, ...
则称X服从参数为p的几何分布。

4、超几何分布
例: 设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n(假定n N-M)件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为
,m=0,1…,k,k=min(M,n)
则称X服从超几何分布。

(二） 二项分布
在n重伯努利试验中，事件A发生的次数X是一个离散型随机变量，其分布为
P( X= k )= ,k=0,1,2,?,n,称X服从参数为n，p的二项分布。记为 。

例2:P39.


例3:P40.

在电脑上，应用相应的数学或统计分析软件，这些概率是很容易计算出来的，所以，还有必要用逼近的方法吗？


泊松分布

1． 定义 若离散型随机变量X的分布为 ，k=0,1,2,? 其中常数?>0，则称X服从参数为?的泊松分布,记为 。

2． 泊松Poisson定理P41, 设有一列二项分布X ～B( ), n=1, 2, ...,如果 , 为与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数k，均有

证略。


例5:P43.
例6:P44,自学。


§2.3 随机变量的分布函数

一、概念
定义2.1 设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数 ,令
(2.11)
则称F（ ）为X的分布函数。


例1:（书上例2.8） 设X服从参数为p的（0-1）分布，即： , = 0,1,其中0

例: 设R.V. X的分布函数为


求X的概率分布。


二、性质

性质1 若 1< 2,则F( 1)?F( 2).即F( )是 的单调不减函数。

性质2 对任意的实数 ，均有
0? F( )?1 (2.15)
且
(2.16)
(2.17)

性质3 对任意的实数 0,有
(2.18)
即F( )在 轴上处处右连续。
证明见P-44.

性质4 若F( )在X= 0处连续，则P(X= 0)=0

性质5 P(a
例: 设R.V.X的分布为

确定A ,且求P(-1< ?2)


§2.4 连续型随机变量

一、 定义2.2

设随机变量X的分布函数为F( ),如果存在一个非负可积函数f( ),使对任意的实数 ，均有
F( )= (2.20)
则称X是连续型随机变量，称f( )是X的概率密度或密度函数，简称密度。

二、图形
例如：正态分布

密度函数 图形：

data normal;
do i=-3 to 3 by 0.01;
z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
output;
end;
run;

proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;

分布函数 图形：

data normal;
do x=-3 to 5 by 0.01;
y=PROBNORM(x);
output;
end;
run;

proc gplot data=normal;
plot y*x=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;


三、性质

性质1 f( ) 0 (2.21)

性质2 (2.22)

性质3 P(a= (2.23)

性质4 在f( )的连续点 处，有
= (2.24)

性质5 在f( )的连续点 处，当 >0,且很小时，有
P(
几点说明：
1． 由5可以看出f( )值的大（小）反映R.V.X在 邻域概率的大（小）。
2． 连续型随机变量X取任一点 0的概率为零。即：P(X= 0)=0。
3． 连续型随机变量X的密度函数为f( ),则它取值于区间（a,b）、（a,b]、[a,b）、[a,b]上的概率都相等，即


同理， 。
4．连续型R.V.X的F( )是连续函数。但f( )不一定是连续的。

例1：（P51）设计R.V.X具有概率密度


确定常数K,并求P{X>0.1}

指数分布：





例：(第一版)设R.V.

(1)确定常数A；(2)写出X的分布函数F( ); (3)P 。

例：(第一版) 已知随机变量

（1） 确定A和B；（2）求 ；(3)求

二、均匀分布

例：设R.V. ，称X在[ ,b]上服从均匀分布。（1）确定k。（2）求P(?定义：若随机变量X的概率密度为

则称X在[ ]上服

从均匀分布，记为X～U[a,b] ,相应的分布函数为


一般地，设 是轴上一些不相交的区间之和，若 的概率密度为

则称X在D上服从均匀分布。
如果 ，则对于满足 的任意的 ,有 = (2.32)

三、指数分布
若随机变量X的概率密度为
（2.33）
其中常数 ，则称X服从参数为?的指数分布，相应的分布函数为
(2.34)


例：（第一版书上例2.12） 经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了th的条件下，在以后的?th内损坏的概率为 ，其中?是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在内损坏的概率。略

四、正态分布

1、定义： 若随机变量X的概率密度为
, (2.35)
其中 都为常数且 ，则称X服从参数为 的正态分布，记为 ，有时也简称X为正态随机变量。X的分布函数为
（2.36）
2、 验证

3、 作出 的图形
，得驻点 ，
得 ，




作图SAS程序：

data normal;
do i=-3 to 3 by 0.01;
z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
output;
end;
run;

proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;



注意：一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。


data normal;
retain _seed_ 0;
do _i_ = 1 to 1000;
z = 0 + 1 * rannor(_seed_);
output;
end;
drop _seed_ ;

run;

proc gplot data=normal;
plot z*_i_=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;



4、 性质：
（1） f(x)的图形是关于直线x=?对称的曲线
（2） 为最大值，当x远离?时，f(x)?0
（3） 当?固定而?变化时对图形的影响，? 小
大，分布曲线在 形成陡峭的高峰。
? 大 小，分布曲线在 变成缓峰。

?=2, ?=0.5, 1, 2

data normal;
do i=-2 to 6 by 0.01;
z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));
z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));
output;
end;
proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 /overlay ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;

?=2, ?=0.5, 1, 2, 5, 10图形：


data normal;
do i=-5 to 9 by 0.01;
z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));
z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));
z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));
z3=exp(-(i-2)**2/(2*25))/(5*sqrt(2*(3.1415926)));
z4=exp(-(i-2)**2/(2*100))/(10*sqrt(2*(3.1415926)));
output;
end;
run;

proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 z3*i=1 z4*i=1 /overlay ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;

（4） 当?固定而当?变化时对图形的影响是分布曲线形状不变，仅曲线左、右平移。

如图：?=1, ?=0, 2

data normal;
do i=-3 to 5 by 0.01;
z0=exp(-i**2/2)/sqrt

(2*(3.1415926));
z1=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));


output;
end;
run;

proc gplot data=normal;
plot z0*i=1 z1*i=1/overlay ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;


分布函数图：



data normal;
do x=-5 to 10 by 0.01;
y=PROBNORM(x);
output;
end;
run;

proc gplot data=normal;
plot y*x=1 ;
symbol1 v=none i=join r=1 c=black;
run;


3、标准正态分布与有关概率的计算

若 ,则称X服从标准正态分布，其概率密度、分布函数分别记为
(x)= (2.37)
Φ(x)= (2.38)

注意：Φ(0)=0.5
Φ(-x)=1-Φ(x)

一般，若 ，我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布。

引理(P55):若 ，则



证：

作变换 ,…….





学会查附表2：标准正态分布表。注意表中公式的正确形式为：




注：如果用SAS算出附表2，需要时间不到1秒钟。

data normal;
do z=0 to 4 by 0.01;
Prob=PROBNORM(z);
output;
end;
proc print noobs;
run;

这样还可以算出其它任意条件的概率。如利用


即
(2.43)

对任意的实数 1, 2 ( 1< 2)，利用(2.43)式可得
Φ( ) (2.44)
1-Φ( ) (2.45)
Φ( )-Φ( ) (2.46)

比如：, ?=1.5 ?=2时：

全部概率值：
data normal;
do z=0 to 4 by 0.01;
Prob=PROBNORM((z-1.5)/2);
output;
end;
proc print noobs;
run;

P(X>0)=

data ;
Prob=1- PROBNORM((0-1.5)/2); Put prob=;
Run;
Prob=0.773372647

P(-1data ;
Prob= PROBNORM((2-1.5)/2)- PROBNORM((-1-1.5)/2); Put prob=;
Run;
Prob=0.493056552



例1： X服从N(1,4),求P(x?1.6) , P(04)

解：请大家通过变换后查表得出结果。并与下面的结果进行对比。

data ;
prob=probnorm((1.6-1)/2); put prob=;
prob=probnorm((1.6-1)/2)- probnorm((0-1)/2); put prob=;
prob=1-probnorm((4-1)/2)+probnorm((-4-1)/2); put prob=;
run;

P(x?1.6)=0.6179114222
P(0P(|x|>4)=0.0730168666

例3 P56 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,0.52)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少

解：



(1)
data ;
prob=probnorm((89-90)/0.5); put prob=;
run;
P(X<89)=0.022*******

(2)要求0.99?P{X>80}
即 P{X<80}?0.01
P{(X-d)/0.5<(80-d)/0.5}?0.01
(80-d)/0.5?-2.326347874



data;
Z=probit(.010); put Z=;
run;
Z=-2.326347874




定义：设X~N(0, 1)，若 满足条件
,
则称点 为标准正态分布的上 分位点。

书上57页图

例：

下分位数：

data;

Z1=probit(.001); put Z1=;
Z2=probit(.0025); put Z2=;
Z3=probit(.005); put Z3=;
Z4=probit(.010); put Z4=;
run;

Z1=-3.090232306 ( )
Z2=-2.807033768 ( )
Z3=-2.575829304 ( )
Z4=-2.326347874 ( )


上分位数：

data;

Z1=probit(1-.0

01); put Z1=;
Z2=probit(1-.0025); put Z2=;
Z3=probit(1-.005); put Z3=;
Z4=probit(1-.010); put Z4=;
run;

Z1=3.0902323062
Z2=2.8070337683
Z3=2.5758293035
Z4=2.326347874

本人不同意分为上下分位数，分位数就是分位数，定义为：

若 满足条件
,
则称点 为随机变量的 分位数。






单边的, 双边的，
注意和以均值为中心，1,2,3倍标准差宽度区间的概率值的区别。

SAS的两种计算公式：

data;
p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;
p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;
p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=;
run;

p1=0.6826894921
p2=0.9544997361
p3=0.9973002039


data;
p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;
p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;
p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;
run;
p1=0.6826894921
p2=0.9544997361
p3=0.9973002039

也可以验证数据，即以 为中心，需要几倍的标准差 距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。
Data;
q1=abs(probit((1-0.6826894921)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2));put q3=;
run;
q1=0.9999999999
q2=2
q3=2.9999999959

data;
q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);put q1=;
q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);put q2=;
q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);put q3=;
run;

q1=0.9999999999
q2=2
q3=2.9999999959

注意： 为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差 距离。

Data;
q1=abs(probit((1-0.9)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-0.95)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-0.98)/2));put q3=;
q3=abs(probit((1-0.99)/2));put q3=;
run;
q1=1.644853627
q2=1.9599639845
q3=2.326347874
q3=2.5758293035

比如，
=0.95
等的结论也是常用的。几乎都成常识了。



以下例1---4为第一版内容。

例1： X服从N(1,4),求P(x?1.6) , P(14)

例2： 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,0.52)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少

例：（书上例2.14） 某市高校高等数学统考，假定考生成绩X～ 。现已知80分以上者占总人数的33%,40分以下者占总人数的8%,求考生的及格率（即60分以上者占总人数的百分比）。

例3：（书上例2.15） 一桥长60cm,以桥的中心为原点，沿着桥的方向引入坐标轴如书上图2-10。一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥，假定弹着点的坐标X～N .(1)求投掷一枚炸弹，命中此桥的概率p；(2)问独立重复投掷多少枚炸弹，才能使至少有一弹命中此桥的概率大于0.9。

例4：(书上例2.16) 甲,乙,丙三个工厂生产同一种产品且产量相等。它们的产品每件某种物质的含量（单位：mg）分别为 ，且 , , .（1）今从三个厂的产品中任取一件，求这件产品某种物质的含量大于55mg的概率。（2

）今从三个厂的产品中独立地任取两件，求这两件产品某种物质地含量都不大于55mg的概率。


§2.5 随机变量函数的分布

一、 若X是离散型随机变量


X




…


…






…


…

P





…


…

例1 P58，已知X分布列为

X -1 0 1 2
P 0.2 0.3 0.1 0.4
求Y=(X-1)2的分布列

解：Y的所有可能取的值为0，1，4.


例1 (第一版) 已知X分布列为

X -2 –1 0 1 2
P 1/6 1/4 1/6 1/4 1/6
求Y=(1/2)X2的分布列
解：Y的所有可能取的值为：0，1/2, 2
练习。。


二、X是连续型随机变量
1． 当 是单调函数

例2，P58页：

例3，P59



定理 若连续型随机变量X只在 上取值，它的概率密度为 ，又 是严格单调的可导函数，则 是连续型随机变量，其概率密度为

其中 是 的反函数， 是 的值域。







例1 (第一版)， 第二版，P60例4， 设R.V.X~N( ), 求 的概率密度（ 是常数）
法一、用公式 ~
是单调函数， 可直接用公式。
的反函数为 ，
~
,
可知 ~ 。

法二、直接法，见书P-57~58（第一版）。答案同上。

小结：正态分布R.V的线性函数仍是正态R.V。

例5，P61。。。


例2 （第一版） 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明： 在区间[0，1]上服从均匀分布。

法一、公式法；法二、直接法。

2、 当 是非单调函数 （第一版）
例1：X服从N(0,1)，求Y=X2的概率密度。

例2：已知连续型随机变量X的概率密度为

求 的概率密度 。


本章习题：

1，3，4，5，18，19，23，25，26，27，29，30.