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关系代数讲解与例题

关系代数

关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。

?关系代数的9种操作：

并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接运算。

五个基本操作：

并(∪) 差(-) 笛卡尔积（×）投影(σ) 选择(π)

四个组合操作：

交(∩) 联接（等值联接）自然联接(R S) 除法(÷)

?关系代数表达式：

由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。关系代数(演算)要求掌握各种语句的应用，多做书中的例题可以帮助自己熟能生巧。

关系代数表达式举例

用关系代数表示数据查询的典型例子

[例]设教学数据库中有3个关系：

学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)

学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)

课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)

下面用关系代数表达式表达每个查询语句。

(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。

πSNO，GRADE(σ CNO='C2'(SC))

(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名

πSNO，SNAME(σ CNO='C2'(S SC))

由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。

此查询亦可等价地写成：

πSNO，SNAME（S）（πSNO(σ CNO='C2'(SC))）

这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。

（3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。

πSNO，SANME(σ CNAME='MATHS'(S SC C))

（4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。

πSNO(σCNO='C2'∨CNO='C4'(SC))

（5）检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。

π1(σ1=4∧2='C2'∧5='C4'（SC×SC）)

这里（SC×SC）表示关系SC自身相乘的乘积操作，其中数字1，2，4，5都为它的结果关系中的属性序号。

比较这一题与上一题的差别。

（6）检索不学C2课的学生姓名与年龄。

πSNAME，AGE（S）－πSNAME，AGE(σ CNO='C2'（S SC）)

这个表达式用了差运算，差运算的左分量为"全体学生的姓名和年龄"，右分量为"学了C2课的学生姓名与年龄"。

（7）检索学习全部课程的学生姓名。

编写这个查询语句的关系代数过程如下：

(a) 学生选课情况可用πSNO,CNO(SC)表示；

(b) 全部课程可用πCNO(C)表示；

操作结果为学号SNO的集合，该集合中每个学生（对应SNO)与C中任一门课程号CNO配在一起都在πSCO，CNO（SC）中出现（即SC中出现），所以结果中每个学生都学了全部的课程（这是"除法"操作的含义）：

πSNO,CNO(SC)÷πCNO(C)

(d) 从SNO求学生姓名SNAME，可以用自然连结和投影操作组合而成：

πSNAME(S (πSNO,CNO(SC)÷πCNO(C)))

这就是最后得到的关系代数表达式。

（8）检索所学课程包含S3所学课程的学生学号。

注意：学生S3可能学多门课程，所以要用到除法操作来表达此查询语句。

学生选课情况可用操作πSNO,CNO(SC)表示；

所学课程包含学生S3所学课程的学生学号，可以用除法操作求得：πSNO,CNO(SC)÷πCNO(σ SNO='S3'(SC)）

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

代数式知识点、经典例题、习题及答案

代数式【考纲说明】 1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。 2、用代数式表示实际问题中的数量关系，求代数式的值。【知识梳理】 1、代数式：指含有字母的数学表达式。 2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。 3、代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。 4、用字母表示数的规范格式：（1）、数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“.”来代替。（2）、当数和字母相乘，省略乘号时，要把数字写到前面，字母写后面。如：100a或100?a，na或n?a。（3）、后面接单位的相加式子要用括号括起来。如：（ 5s ）时（4）、除法运算写成分数形式。（5）、带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。 5、列代数式时要注意：（1）语言叙述中关键词的意义，如“大”“小”“增加”“减少”。 “倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。（2）要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等。（3）在同一问题中，不同的数量必须用不同的字母表示。

【经典例题】【例1】（2012重庆，9，4分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中的五角星的个数为（）【解析】仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一行的个数都是偶数，分别是2，4，6，…，6,4,2，故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。答案：D 【例2】（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知，每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的1 2 ，故后一个矩形的面积是前一个矩形的 1 4 ，所以第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的1 22 1142n n --????= ? ??? ?? ，已知第一个矩形面积为1，则第n 个矩形的面积为22 12n -?? ? ?? 。【例3】按一定规律排列的一列数依次为111111 ,,,,,,2310152635 …，按此规律，第7个数是。【解析】先观察分子：都是1；再观察分母：2,3,10,15,26，…与一些平方数1,4,9,16，…都差1,2=12 +1，3=22 -1，10=32 +1，15=42 -1，26=52 +1，…，这样第7个数为2 11 7150 =+。答案： 150 【例4】已知： 114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值为（） A ．6 B ．--6 C ．215- D ．2 7 - 【解析】由已知114a b -=，得 4b a ab -=，

关系代数习题3.26

1. 下面的选项不是关系数据库基本特征的是（）。 A.不同的列应有不同的数据类型 B.不同的列应有不同的列名 C.与行的次序无关 D.与列的次序无关 2. 一个关系只有一个（）。 A.候选码 B. 外码 C. 超码 D. 主码 3. 关系模型中，一个码是（）。 A.可以由多个任意属性组成 B.至多由一个属性组成 C.可有多个或者一个其值能够唯一表示该关系模式中任何元组的属性组成 D.以上都不是 4. 现有如下关系：患者（患者编号，患者姓名，性别，出生日起，所在单位）医疗（患者编号，患者姓名，医生编号，医生姓名，诊断日期，诊断结果）其中，医疗关系中的外码是（）。 A. 患者编号 B. 患者姓名 C. 患者编号和患者姓名 D. 医生编号和患者编号 5. 现有一个关系：借阅（书号，书名，库存数，读者号，借期，还期），假如同一本书允许一个读者多次借阅，但不能同时对一种书借多本，则该关系模式的外码是（）。 A. 书号 B. 读者号 C. 书号+读者号 D. 书号+读者号+借期 6. 关系模型中实现实体间N：M 联系是通过增加一个（）。

A.关系实现 B. 属性实现 C. 关系或一个属性实现 D. 关系和一个属性实现 7. 关系代数运算是以（）为基础的运算。 A. 关系运算 B. 谓词演算 C. 集合运算 D. 代数运算 8. 关系数据库管理系统应能实现的专门关系运算包括（）。 A. 排序、索引、统计 B. 选择、投影、连接 C. 关联、更新、排序 D. 显示、打印、制表 9. 五种基本关系代数运算是（）。 A.∪－× σ π B.∪－σ π C.∪∩× σ π D.∪∩σ π 11. 关系数据库中的投影操作是指从关系中（）。 A.抽出特定记录 B. 抽出特定字段 C.建立相应的影像 D. 建立相应的图形 12. 从一个数据库文件中取出满足某个条件的所有记录形成一个新的数据库文件的操作是（）操作。 A.投影 B. 联接 C. 选择 D. 复制 13. 关系代数中的联接操作是由（）操作组合而成。 A.选择和投影 B. 选择和笛卡尔积 C.投影、选择、笛卡尔积 D. 投影和笛卡尔积 14. 自然联接是构成新关系的有效方法。一般情况下，当对关系R和S是用自然联接时，要求R和S含有一个或者多个共有的（）。 A.记录 B. 行 C. 属性 D. 元组 15. 假设有关系R和S，在下列的关系运算中，（）运算不要求：“R 和S具有相同的元数，且它们的对应属性的数据类型也相同” 。

关系代数讲解与例题

关系代数关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。关系代数的9种操作：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接运算。五个基本操作：并(∪) 差(-) 笛卡尔积（×）投影(σ) 选择(π) 四个组合操作：交(∩) 联接（等值联接）自然联接(RS) 除法(÷) 关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。关系代数(演算)要求掌握各种语句的应用，多做书中的例题可以帮助自己熟能生巧。关系代数表达式举例用关系代数表示数据查询的典型例子 [例]设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX) 学习关系SC(SNO,CNO,GRADE) 课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER) 下面用关系代数表达式表达每个查询语句。 (1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。 πSNO，GRADE(σCNO='C2'(SC)) (2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名 πSNO，SNAME(σCNO='C2'(SSC)) 由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。此查询亦可等价地写成： πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))）这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。（3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。 πSNO，SANME(σCNAME='MATHS'(SSCC)) （4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。 πSNO(σCNO='C2'∨CNO='C4'(SC)) （5）检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。 π1(σ1=4∧2='C2'∧5='C4'（SC×SC）) 这里（SC×SC）表示关系SC自身相乘的乘积操作，其中数字1，2，4，5都为它的结果

代数式知识点、经典例题、习题及答案(供参考)

1.2 代数式【考纲说明】 1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。 2、用代数式表示实际问题中的数量关系，求代数式的值。【知识梳理】 1、代数式：指含有字母的数学表达式。 2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。 3、代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。 4、用字母表示数的规范格式：（1）、数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“.”来代替。（2）、当数和字母相乘，省略乘号时，要把数字写到前面，字母写后面。如：100a或100?a，na或n?a。（3）、后面接单位的相加式子要用括号括起来。如：（5s ）时（4）、除法运算写成分数形式。（5）、带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。 5、列代数式时要注意：（1）语言叙述中关键词的意义，如“大”“小”“增加”“减少”。 “倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。（2）要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等。（3）在同一问题中，不同的数量必须用不同的字母表示。【经典例题】【例1】（2012重庆，9，4分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五

角星，…，则第⑥个图形中的五角星的个数为（）【解析】仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一行的个数都是偶数，分别是2，4，6，…，6,4,2，故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。答案：D 【例2】（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知，每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的 12，故后一个矩形的面积是前一个矩形的14 ，所以第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的1221142n n --????= ? ?????，已知第一个矩形面积为1，则第n 个矩形的面积为2212n -?? ???。【例3】按一定规律排列的一列数依次为 111111,,,,,,2310152635 …，按此规律，第7个数是。【解析】先观察分子：都是1；再观察分母：2,3,10,15,26，…与一些平方数1,4,9,16，…都差1,2=12+1，3=22-1，10=32+1，15=42-1，26=52+1，…，这样第7个数为 2117150=+。答案：150 【例4】已知： 114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值为（） A ．6 B ．--6 C ．215- D ．27 - 【解析】由已知114a b -=，得4b a ab -=， ∴4,4, 2()242 6.2272()787b a ab a b ab a ab b a b ab ab ab a b ab a b ab ab ab ∴-=-=-------∴===-+-+-+答案：A 【课堂练习】 1、（2012湖北武汉，9，3分）一列数a1，a2，a3，…，其中a1= 111,21n n a a -=+（n 为不

关系代数习题

习题四 1. 试述关系模型的三个组成部分。 .关系是由（R，U，D,dom,F ）组成，R 为关系名，关系结构、关系操作、关系完整性约束 U 位组成关系的元组属性集合，D 为属性集合U 来自的域，dom 为对象关系的映像集合，F 为属性依赖关系集合。关系操作为关系代数、关系演算、关系映象操作，此语言表达能和功能强大，约束：参照完整性约束，用户自定义约束，实体完整性约束。 2. 试述关系数据语言的特点和分类。关系操作语言灵活方便、语言表达能力和功能强，其特点：操作一体化，操作方式一次一集合，高度的非过程化的操作，关系操作语言包括：关系代数语言、关系演算语言、基于映像的语言，关系代数语言是对关系的运算来表达查询的语言，关系演算语言查询元组的应该满足的谓词条件的运算查询语言，基于映像的语言具有关系代数与关系演算的语言的双重特点语言查询！

3. 定义并解释下列术语，说明它们之间的联系与区别。主码、候选码、外码。）1 在一个关系中某个属性（或属性组）能够唯一标识一个元组，则称该属性为候选码，选择其 R 中属性F 不是R 的码，h 为K 关系的主码，如果F 与h 相对应，中一个为主码，在关系则称 F 为管系R 的外码笛卡尔积、关系、元组、属性、域。2）给定一组域D1,D2,D3 3）关系、关系模式、关系数据库。 4. 试述关系模型的完整性规则。在参照完整性中，为什么外码属性的值也可以为空？什么情况下才可以为空？ 5. 试述等值连接与自然连接的区别和联系。 6. 对于学生选课关系，其关系模式为：学生（学号，姓名，年龄，所在系）；课程（课程名，课程号，先行课）；选课（学号，课程号成绩）。用关系代数完成如下查询。求学过数据库课程的学生的姓名和学号。1）求学过数据库和数据结构的学生姓名和学号。2）求没学过数

线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和勺L =力（jW'g 叫?叫（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转宜行列式D = D r ） ② 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③ 常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行推论：行列式中某一行 ④ 行列式具有分行 ⑤ 将行列式某一行行列式依行（列）展开：余子式M”、代数余子式州=（-1）砒定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则： 0 非齐次线性方程组：当系数行列式￡＞工0时，有唯一解：Xj= +（j = l 、2......n ）齐次线性方程组：当系数行列式D = 1^0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式: 5 铅 a l3 5 ?21 ①转置行列式: ?21 a 22 U 23 "12 ^22 °32 Cl 3\ Cl 32 °33 勺3 ?23如 ②对称行列式:gj = 5 ③反对称行列式:勺= ~a ji 奇数阶的反对称行列式值为零务2 a !3 ④三线性行列式: “22 0 方法：用?“22把"21化为零，。。化为三角形行列式 0 "33 （列）（列）成比例，则行列式值为零；元素全为零，行列式为零。可加性的k 倍加到另一行（列）上，值不变

⑤上（下）三角形行列式:

行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法.升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：A 〃伤（零矩阵、负矩阵、行矩阵.列矩阵.n 阶方阵、相等矩阵）矩阵的运算：加法（同型矩阵） ------- 交换、结合律数乘kA = （ka ij ）m .n ---- 分配、结合律注意什么时候有意义一般AB*BA,不满足消去律：由AB=O,不能得A=0或B=0 (M)r = kA T (AB)T = B T A r (反序定理) 方幕：A kl A kz =A k ^kl 对角短阵：若 AB 都是N 阶对角阵，k 是数，贝ij kA 、A+B 、 A3都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方制是0 数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的. 力"=3（非奇异矩阵、奇异矩阵IAI=O.伴随矩阵）初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 仔加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）（I o\ 等价标准形矩阵r O O 乘法转置(A T )T = A (A + B)T =A r +B 1 几种特殊的矩阵: 分块矩阵：加法,

数据库习题课答案(sql-关系代数-权限管理)教程文件

数据库习题课答案(s q l-关系代数-权限管理)

●根据下面所给的商品库，写出SQL语句商品表1(商品代号char(8)，分类名char(8),单价float数量int) 商品表2(商品代号char(8)，产地char(8),品牌char(8) ） 1)从商品库中查询出数量在10和20之间的商品种数 select count(*) from 商品表1 where 数量between 10 and 20; 2)从商品库中查询出每类(即分类名相同)商品的总数量 select 分类名,sum(数量) from 商品表1 group by 分类名 3)从商品库中查询出比所有商品单价的平均值要低的全部商品 select * from 商品表1 where 单价< (select avg(单价) from 商品表1) 4)从商品库中查询出所有商品的不同产地的总数 select count(distinct 产地) from 商品表2 ●设车辆管理数据库的数据模式如下：车辆（车号，车名，车颜色，生产厂名）工厂（厂名，厂长姓名，所在城市名）城市（城市名，人口，市长姓名）用关系代数写出如下查询： 1)查询车名为红旗牌轿车的所有车号 π车号（σ车名=‘红旗’（车辆）） 2)查询红旗牌轿车的生产厂家及厂长姓名 Π 厂名，厂长姓名（σ车名=‘红旗’（车辆工厂）） 3)查询林肯牌轿车的生产厂家及所在城市的市长姓名 Π 生产厂家，市长姓名（σ车名=‘林肯’（车辆工厂城市）） 4)查询第一汽车制造厂生产的汽车的颜色 Π 车颜色（σ生产厂名=’第一汽车制造厂’（车辆）） 5)查询武汉生产哪些牌子的车 Π车名（σ所在城市名=’武汉’（车辆工厂）） ●今有两个关系模式：职工（职工号，姓名，年龄，职务，工资，部门号）；部门（部门号，名称，经理名，地址，电话）。请用SQL 的GRANT和REVOKE语句（加上视图机制），完成以下授权定义或存取控制功能。 1）用户王明对两个表有SELECT权力。 GRANT SELECT ON 职工,部门 TO 王明 2）用户李勇对两个表有INSERT和DELETE权力。

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

数据库关系代数习题

2.现有关系数据库如下：学生(学号，姓名，性别，专业，奖学金)。课程(课程号，名称，学分)。学习(学号，课程号，分数)。用关系代数表达式实现下列1-4小题： 1. 检索"英语"专业学生所学课程的信息，包括学号、姓名、课程名和分数。 П学号，姓名，课程名，分数(σ专业='英语'(学生∞学习∞课程))。 2. 检索"数据库原理"课程成绩高于90分的所有学生的学号、姓名、专业和分数。 П学号，姓名，专业，分数(σ分数>90∧名称='数据库原理'(学生∞学习∞课程))。 3. 检索不学课程号为"C135"课程的学生信息，包括学号，姓名和专业。 П学号，姓名，专业(学生)-П学号，姓名，专业(σ课程号='C135'(学生∞学习))。 4. 检索没有任何一门课程成绩不及格的所有学生的信息，包括学号、姓名和专业。 П学号，姓名，专业(学生)-П学号，姓名，专业(σ分数<60(学生∞学习))。 5.检索选修全部课程的学生姓名 6.检索至少选修了李强同学所选修的全部课程的学生姓名。

3.现有关系数据库如下：学生(学号，姓名，性别，专业、奖学金)。课程(课程号，名称，学分)。学习(学号，课程号，分数)。用关系代数表达式实现下列1—4小题： 1. 检索“国际贸易”专业中获得奖学金的学生信息，包括学号、姓名、课程名和分数。 Π学号，姓名，课程名，分数(σ奖学金>0∧专业=国际贸易(学生∞学习∞课程))。 2. 检索学生成绩得过满分(100分)的课程的课程号、名称和学分。 Π课程号，名称，学分(σ分数=100(学习∞课程))。 3. 检索没有获得奖学金、同时至少有一门课程成绩在95分以上的学生信息，包括学号、姓名和专业。 Π学号，姓名，专业(σ奖学金<=0∧分数>95(学生∞学习))。 4. 检索没有任何一门课程成绩在80分以下的学生的信息，包括学号、姓名和专业。 Π学号，姓名，专业(学生)-Π学号，姓名，专业(σ分数<80(学生∞学习))。 4．设有关系S、SC和C，试用关系代数表达式完成下列操作。 S（snum,sname,age,sex）,例：（1，“李强”，23，‘男’）是一条数据记录。SC(snum,cnum,score)，例：（1，“C1”，83）是一条数据记录。C(cnum,cname,teacher) 例：（“C1”，“数据库原理”，“王华”）是一条数据记录。

数据库第二章关系代数习题

1.设有如图所示的关系S、SC和C,试用关系代数表达式表示下列查询语句: S C SC S# SNAME AGE SEX 1李强23男. 2 刘丽22女5张友22男C#< CNAME TEACHER k1C语言王华 k5数据库原理程军 k8编译原理? 程军 S#C#GRADE 1k183 2k1{ 5k192 2k590 5k584 &k880 (1) 检索”程军”老师所授课的课程号(C#)和课程名(CNAME)。 (2) 检索年龄大于21的男学生学号(S#)和姓名(SNAME)。 (3) 检索至少选修”程军”老师所授全部课程的学生姓名(SNAME)。 (4) 检索”李强”同学不学课程的课程号(C#)。 (5) 检索至少选修两门课程的课程号(S#)。 (6) 检索全部学生都选修的课程的课程号(C#)和课程名(CNAME)。 \ (7) 检索选修课程包含”程军”老师所授课程之一的学生学号(S#)。 (8) 检索选修课程号为k1和k5的学生学号(S#)。 (9) 检索选修全部课程的学生姓名(SNAME)。 (10) 检索选修课程包含学号为2的学生所选修课程的学生学号(S#)。 (11) 检索选修课程名为”C语言”的学生学号(S#)和姓名(SNAME)。（12）检索没有一门课程成绩不及格的学生学号，姓名。答:本题各个查询语句对应的关系代数表达式表示如下: (1) ΠC#,CNAME(σTEACHER ='程军'(C)) (2) ΠS#,SNAME(σAGE>21^SEX ='男'(S)) （ (3) ΠSNAME(S(ΠS#,C#(SC)÷ΠC#(σTEACHER ='程军'(C)))) (4) ΠC#(C)-ΠC#(σSNAME ='李强'(S)∞SC) (5) ΠS# (σ1=4^2≠5 (SC×SC)) (6) ΠC#,CNAME(C∞(ΠS#,C#(SC)÷ΠS#(S))) (7) ΠS# (SC∞ΠC# (σTEACHER ='程军'(C))) (8) ΠS#,C#(SC)÷ΠC#(σC#=’K1’VC#=’K5’ (C)) (9) ΠSNAME(S∞(ΠS#,C#(SC)÷ΠC#(C))) (10) ΠS#,C#(SC)÷ΠC#(σC#=’2’ (SC)) (11) ΠS#,SNAME(S∞ΠS#(SC∞(σCNAME ='C语言'(C))))

数据库关系代数除法讲解

数据库关系代数除法讲解 This manuscript was revised by JIEK MA on December 15th, 2012.

【数据库原理】关系代数篇——除法讲解陈宇超编辑总结: 除法运算的一般形式示意图如何计算R÷S呢，首先我们引进”象集”的概念，具体意义看下面的陈述即可理解关系R和关系S拥有共同的属性B、C , R÷S得到的属性值就是关系R包含而关系S不包含的属性，即A属性在R关系中A属性的值可以取{ a1，a2，a3，a4 } a1值对应的象集为 { (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) } a2值对应的象集为 { (b3,c7) , (b2,c3) } a3值对应的象集为 { (b4,c6) } a4值对应的象集为 { (b6,c6) } 关系S在B、C上的投影为 { (b1,c2) , (b2,c1) , (b2,c3) } 只有a1值对应的象集包含关系S的投影集，所以只有a1应该包含在A属性中为设有教学数据库有3个关系(以下四小问均用除法的思想解决) 学生信息关系student（sno，sname，age，sex）学生选课关系 sc（sno，cno，score）学校课程关系 course（cno，cname）

S003C00269 S005C00277 S005C00398 有存在量词的谓词。解决这类的除法问题一般采用双嵌套not exists来实现带全称量词的查询解决所谓forall的问题。 (1)检索所学课程包含了C002课程的学生学号解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σcno=’C002’ (course) ) Sql语句从略 (2)求至少选择了C001和C003两门课程的学生学号解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σcno=’C001’ or cno=’C003’(course) ) Sql语句 select distinct sno from sc A where not exists ( select*from course B where cno in('C002','C003')and not exists ( select*from sc C where=and= ) ) 也可以采用自连接 select from (select*from sc where cno='C001')as s1, (select*from sc where cno='C003')as s2 where= (3)求至少学习了学生S003所学课程的学生学号解关系代数表达式：∏sno ( sc÷∏cno(σsno=’S003’ (sc) ) select distinct sno from sc A where not exists ( select*from sc B where sno='S003'and not exists ( select*from sc C where=and= ) ) (4)求选择了全部课程的学生的学号解此例的等价自然语义是，输出这样的学号，不存在某门课程在他的选课记录里没有选这门课关系代数表达式：∏sno (sc÷∏cno(course) ) Sql语句 select distinct sno from sc A where not exists

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

关系代数运算习题

一、选择题 1关系代数运算可以分为两类：传统的集合运算和专门的关系运算?下面列出的操作符中，属于传统的集合运算是（ A ） I .n（交）n .u（并）『x（广义笛卡儿积）w?一（差）v.n（投影）w选择） A）I、n、川和w B）川、w、V和w C）I、川、V和w D）都是 2、关系数据库管理系统能实现的专门关系操作包括（B） A、显来，打印和制表 B、选择，投影和连接 C、关联、更新和排序 D、排序、索引和统计 3、在关系数据基本操作中，从表中选项出满足某种条件的记录的操作称为（ A ） A、选择 B、投影 C、连接 D、扫描 4、元组的集合在关系数据库中称为关系，一般来说，表示元组的属性或者最小属性组称为D A、字段 B、索引 C、标记 D、主键 5、在下面3个关系中学生S （SNO , SNAME , SEX, AGE ）课程 C （CNO , CNAME , CREDIT ）学生选课SC （SNO, CNO , GRADE ）要查找选修“数据库”课程的女学生的姓名，将涉及到关系（D） A、S B、C, SC C、S, SC DS, C, SC 6、对于关系数据库来讲，下面（C）说法是错误的。 A、每一列的分量是同一种类型数据，来自同一个域 B、不同列的数据可以出自同一个域 C、行的顺序可以任意交换，但列的顺序不能任意交换关系中的任意两个元组不能完全相同 7、关系数据库中有3种基本操作，从表中取出满足条件的属性的操作是（A） A、选择 B、投影 C、连接 D、扫描 8、关系数据库在有3种基本操作，将具有共同属性的两个关系中的元组连接到一起，构成新表的操作称为（C ） A、选择 B、投影 C、连接 D、扫描 9 若D1={a1,a2,a3} , D2={b1,b2,b3}，贝U D1*D2 集合中共有元组（C）个 A、 6 B、8 C、9 D、12 10下列（C）运算不是专门的关系运算 A、选择 B、投影 C、笛卡尔积 D、连接 11、如下两个关系R1和R2,它们进行运算后得到R3。（D ） R1 R2 B D E 1M I 2N J A__M R3 A 1 X M I D 1 Y M I

关系代数习题

习题四 1. 试述关系模型的三个组成部分。关系结构、关系操作、关系完整性约束.关系是由（R，U，D,dom,F ）组成，R 为关系名，U 位组成关系的元组属性集合， D 为属性集合U 来自的域，dom 为对象关系的映像集合， F 为属性依赖关系集合。关系操作为关系代数、关系演算、关系映象操作，此语言表达能和功能强大，约束：参照完整性约束，用户自定义约束，实体完整性约束。 2. 试述关系数据语言的特点和分类。关系操作语言灵活方便、语言表达能力和功能强，其特点：操作一体化，操作方式一次一集合，高度的非过程化的操作，关系操作语言包括：关系代数语言、关系演算语言、基于映像的语言，关系代数语言是对关系的运算来表达查询的语言，关系演算语言查询元组的应该满足的谓词条件的运算查询语言，基于映像的语言具有关系代数与关系演算的语言的双重特点语言查询！ 3. 定义并解释下列术语，说明它们之间的联系与区别。 1）主码、候选码、外码。在一个关系中某个属性（或属性组）能够唯一标识一个元组，则称该属性为候选码，选择其中一个为主码，在关系R 中属性 F 不是R 的码，h 为K 关系的主码，如果 F 与h 相对应，则称 F 为管系R 的外码 2）笛卡尔积、关系、元组、属性、域。给定一组域D1,D2,D3 3）关系、关系模式、关系数据库。 4. 试述关系模型的完整性规则。在参照完整性中，为什么外码属性的值也可以为空？什么情况下才可以为空？ 5. 试述等值连接与自然连接的区别和联系。 6. 对于学生选课关系，其关系模式为：学生（学号，姓名，年龄，所在系）；课程（课程名，课程号，先行课）；选课（学号，课程号成绩）。用关系代数完成如下查询。 1）求学过数据库课程的学生的姓名和学号。 2）求学过数据库和数据结构的学生姓名和学号。 3）求没学过数据库课程的学生学号。 4）求学过数据库的先行课的学生学号。

初中数学代数式典型例题

代数式专项复习一、知识储备 1. 代数式的定义 2. 单项式的定义、构成和注意事项 3. 多项式的定义、构成和注意事项 4. 求代数式的值的三种题型 5. 整式的定义 6. 同类项的定义 7. 去括号法则 8.．．整式的运算法则（加减乘除乘方与混合运算）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9. 因式分解的定义和性质 10. 因式分解的常用方法 11. 公因式的定义 12. 因式分解的具体步骤 13. 因式分解的具体要求：幂大中正前，降整整畸形 14. 分式的定义和限制条件 15. 分式的基本性质 16. 分式的约分、通分和使用条件 17. 最简分式的定义 18.．．．分式的运算法则（加减乘除乘方．．．．．．．．．．．．．．与混合运算．．．．．）． 19. 二次根式的定义和性质 20. 最简二次根式的定义 21. 化简最简二次根式的步骤 22. 同类二次根式的定义 23. 二次根式的基本性质 24.．．．二次根式的运算法则（加减乘除乘方与混合运算）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、经典例题 1. 将下列的代数式分别填入相应的大括号内： 221ab ，b a ，31，2x x +，23312-+-n mn n m ，32-x ，y x +1，3122-+x x ，x x x ++12 单项式{ ...} 多项式{ ...} 二次式{ ...} 整式{ ...} 分式{ ...} 2. 若多项式()23522--+y n y x m 是关于x 、y 的四次二项式，求222n mn m +-的值。 3. 已知当2=x 时，代数式23+-bx ax 的值是-1，则当2-=x 时，这个代数式的值是（） 4. 化简：（1）()()()()22223225x y y x y x y x -----+-，其中x =1，y =4 3；

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。典型例题解析例1 设均为3阶矩阵，且，则。解：答案：72 因为，且

所以例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。解：答案：A 因为，所以A可进行。关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。例3 已知求。分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。解：因为得。

例4 设矩阵求。解：方法一：伴随矩阵法可逆。且由得伴随矩阵则=

方法二：初等行变换法注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。例4 设矩阵求的秩。分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。解：。

(最新最全)实数经典例题+习题(全word已整理)

经典例题类型一．有关概念的识别 1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（） A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选C 举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（） A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念， ∵=9，9的平方根是±3，∴A正确． ∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（） A、1 B、1.4 C、 D、【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．【变式3】【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10 因此3π-9＞0，3π-10＜0 ∴ 类型二．计算类型题 2．设，则下列结论正确的是（） A. B.

C. D. 解析：（估算）因为，所以选B 举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3） ___________，___________，___________. 【答案】1）；.2）-3. 3），，【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4 类型三．数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______ 解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C 表示的数是（）． A．－1 B．1－C．2－D．－2 【答案】选C [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简【答案】：类型四．实数绝对值的应用

关系代数习题

小测验1 (一)单项选择题 1．关系模型基本的数据结构是（D） A．树B．图 C.索引 D.关系 2．关系数据库的查询语言是一种（C） A 过程性语言 B.第三代语言 c．非过程性语言 D.高级程序设计语言 3．关系模型中，实体完整性规则是（B） A．实体不允许是空实体 B.实体的主键值不允许是空值 c．实体的外键值不允许是空值 D.实体的属性值不允许是空值 4．关系数据库的数据操作分为两类（A） A．查询和更新 B.排序和索引c．插入和删除 D.修改和排序 5．在关系模型中，下列说法正确的为( D )。 A．关系中存在可分解的属性值 B. 关系中允许出现相同的元组 C.关系中考虑元组的顺序 D．元组中，属性理沦上是无序的，但使用时按习惯考虑列的顺序 6. 在关系模型中，下列说法正确的为（B） A．关系中元组在组成主键的属性上可以有空值 B．关系中元组在组成主键的属性上不能有空值 C．主键值起不了唯一标识元组的作用 D．关系中可引用不存在的实体 7．下列为非过程语言的为( C )。 A．汇编语言 B.PASCAL语言‘ C．关系查询语言D．C语言 8．设关系R、s、w各有10个元组，则这三个关系的笛卡尔积的基数为（C）A．10 B.30 C．1000 D.不确定（与计算结果有关） 9．关系代数中，一般联接操作由（A）组合而成。 A．笛卡尔积和选择 B.笛卡尔积、选择和投影 C．笛卡尔积和投影 D.投影和选择 10．设关系R和S的属性个数分别为r和s，那么(R x S)操作结果的属性个数为( A ) A．r十s B.r-s C．r×s D.max(r,s) 11．设关系R和s的结构相同,且各有100个元组，则这两个关系的并操作结果的元组个数为（D） A．100 B.小于等于100 C.200 D. 小于等于200 12．关系代数的交操作可以由（B）操作组合而成。 A．并和差 B.差C．选择 D.联接 13．如果两个关系没有公共属性，那么其自然联接操作（A） A．转化为笛卡尔积操作B．转化为联接操作 c．转化为外部并操作D．结果为空关系 14．设关系R和S的值如下：