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高一数学培优学案8--指数函数的图象与性质

高一数学培优学案8--指数函数的图象与性质
高一数学培优学案8--指数函数的图象与性质

高一数学培优学案8--指数函数图象与性质

指数函数常见题型

一、指数函数的定义问题 1、若210

25x

=,则10x -等于 ( ) A 、51 B 、- 51 C 、501 D 、625

1

2、已知指数函数图像经过点)3,1(-p ,则=)3(f ———————— 二、指数函数的图像问题

1、若函数

(1)(0,1)x

y a b a a =-+>≠的图像经过第一、三、四象限,则一定有( )

A .01>>b a 且

B .010<<

C .010><

D .11>>b a 且

2、方程2|x|+x=2的实根的个数为_________

3、直线a y 3=与函数)10(1≠>-=a a a y x 且的图像有两个公共点,则a 的取值范围是________。

1、下列函数中,值域为()+∞,0的函数是( x

y A 2

3.= 12.-=x y B 12.+=x y C

x

y D -??? ??=221.

2、函数f(x)=x

21-的定义域是 ( )

A 、(]0,∞-

B 、[0,+∞)

C 、(-∞,0)

D 、(-∞,+∞)

3、若函数

()1222

-=--a

ax x

x f 的定义域为R ,则实数a 的取值范围_____________ 。

四、比较大小问题

1、设.

)32(,)32(2.15.1-==b a 那么实数a 、b 与1的大小关系正确的是 ( )

A. 1<

B. 1<

C. a b <<1

D. b a <<1

2、3

1

12

13,32,2-??? ??的大小顺序有小到大依次为_____________。

五、定点问题 函数)10(33

≠>+=-a a a

y x 且的图象恒过定点____________。

六、单调性问题

1、函数

x

x y 2221-?

??

??=的单调增区间为_____________ 2、函数

)10()(≠>=a a a x f x

且在区间]2,1[上的最大值比最小值大2a

,则a =__________

2、函数1

)1(222

)(+--=x a x x f 在区间),5[+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是( )

A. [6,+)∞

B. ),6(+∞

C. ]6,(-∞

D. )6,(-∞

3、函数),0,0()(1

1b a b a b a b a x f x

x x x ≠>>++=++的单调性为( )

A .增函数

B .减函数

C .常数函数

D .与a, b 取值有关

4、设01a <<,解关于x 的不等式2

2

232

223

x

x x

x a

a -++->。

5、已知函数

225

13x x y ++??= ???,求其单调区间及值域

1、如果函数)(x f 在区间[]

a

a 24,2--上是偶函数,则a =_________

2、函数

2121x x

y -=+是( ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数

3、若函数

141

)(++

=x a x f 是奇函数,则a =_________ 4、若函数

141

)(-+

=x a x f 是奇函数,则a =_________

5、2()1()(0)

21x F x f x x ?

?=+?≠ ?-??是偶函数,且()f x 不恒等于零,则()f x ( )

A 、是奇函数

B 、可能是奇函数,也可能是偶函数

C 、是偶函数

D 、不是奇函数,也不是偶函数

6、设函数

2

()21x f x a =-

+,求证:不论a 为何实数()f x 总为增函数; 确定a 的值,使()f x 为奇函数及

此时()f x 的值域.

7、已知函数1()(1)

1x x a f x a a -=>+, (1)判断函数的奇偶性;(2)求该函数的值域;(3)证明()f x 是R 上

的增函数。

高一数学指数函数经典例题

高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3,∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12 -=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)12 41 ++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 358945 12--()

高三数学复习教案:指数与指数函数教案

第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14 C 的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景; (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a >0,a ≠1)。 4、函数与方程

(1)了解函数零点的概念,结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系。 (2)理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。 (3)能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点:①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是:1.题型有两个选择题和一个解答题;2.题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题,则难度会加大。

高一数学指数函数知识点及练习题

2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习

1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 343 3)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><≤-=-0 ,0,12)(21x x x x f x ,满足1)(>x f 的x 的取值范围 ( ) A .)1,1(- B . ),1(+∞- C .}20|{-<>x x x 或 D .}11|{-<>x x x 或 9.函数2 2)2 1(++-=x x y 得单调递增区间是 ( ) A .]2 1,1[- B .]1,(--∞ C .),2[+∞ D .]2,2 1 [ 10.已知2 )(x x e e x f --=,则下列正确的是 ( ) A .奇函数,在R 上为增函数 B .偶函数,在R 上为增函数

复合函数知识总结及例题

复合函数问题 一、复合函数定义: 设y=f(u)的定义域为A ,u=g(x)的值域为B ,若A ?B ,则y 关于x 函数的y=f [g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题: (1)、已知f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域 思路:设函数f x ()的定义域为D ,即x D ∈,所以f 的作用范围为D ,又f 对g x ()作用,作用范围不变,所以D x g ∈)(,解得x E ∈,E 为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数f u ()的定义域为(0,1),则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析:函数f u ()的定义域为(0,1)即u ∈()01,,所以f 的作用范围为(0,1) 又f 对lnx 作用,作用范围不变,所以01<

高一数学指数函数的图像和性质练习题带详细答案

指 数函数练习题 一. 选择题: 1.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)。经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成( ) 511.A 个 512.B 个 1023.C 个 1024.D 个 2.在统一平面直角坐标系中,函数ax x f =)(与x a x g =)(的图像可能是( ) x a 5函数x a x f )1()(2-=在R 6.函数1 21-=x y 的值域是( ) 7.当1>a 时,函数1 1-+=x x a a y 是( ) .A 奇函数 .B 偶函数 .C 既奇又偶函数 .D 非奇非偶函数 8.函数0.(12>+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点( ) 9.若0x 是方程x x 12=的解,则∈0x ( ) 10.某厂1998年的产值为a 万元,预计产值每年以n %递增,则该厂到2010年的产值(单位:万元)是( ) n a A +1(.%13) n a B +1(.%12) n a C +1(.%11) n D -1(910. %12) 二. 填空题: 1. 已知)(x f 是指数函数,且255)23(= -f ,则=)3(f 2. 设10<x x x x a a 成立的x 的集合是 3. 若方程0)21()41( =++a x x 有正数解,则实数a 的取值范围是 4. 函数 x x y 28)13(0-+-=的定义域为 5. 函数x x y -=22的单调递增区间为 三、解答题:

1.设20≤≤x ,求函数5234 21+?-=-x x y 的最大值和最小值。 2函数0()(>=a a x f x 且)1≠a 在区间]2,1[上的最大值比最小值大2 a ,求a 的值。 3.设R a ∈,)(,1 222)(R x a a x f x x ∈+-+?=试确定a 的值,使)(x f 为奇函数。 4.已知函数1762)2 1(+-=x x y (1)求函数的定义域及值域; (2)确定函数的单调区间。 5.已知函数3)2 1121()(x x f x +-= (1)求函数的定义域; (2)讨论函数的奇偶性; (3)证明:0)(>x f 指数函数练习题答案 一、 选择题 二、填空题 1. 125; 2. -4∞(,) ; 3.()-2,0; 4.()(]-00,3∞U ,; 5.1+2??∞ ???, 三、解答题

(完整版)高一数学复合函数讲解

1、复合函数的概念 如果y是a的函数,a又是x的函数,即y=f(a),a=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数y=f(x)和a=g(x)的复合函数,其中a是中间变量,自变量为x,函数值y。 例如:函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立。 a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例对任意a,都有意义(a>0且a≠1)且。 对任意, 当a>1时,单调递增,当0<a<1时,单调递减。 ∵当a>1时, ∵y=f(u)是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地,当0<a<1时, 是单调递增函数 一般地,定理:设函数u=g(x)在区间M上有意义,函数y=f(u)在区间N上有意义,且当X∈M时,u∈N。 有以下四种情况: (1)若u=g(x)在M上是增函数,y=f(u)在N上是增函数,则y=f[g(x)]在M上也是增函数;

(2)若u=g(x)在M上是增函数,y=f(u)在N上是减函数,则y=f[g(x)]在M上也是减函数; (3)若u=g(x)在M上是减函数,y=f(u)在N上是增函数,则y=f[g(x)]在M上也是减函数; (4)若u=g(x)在M上是减函数,y=f(u)在N上是减函数,则y=f[g(x)]在M上也是增函数。 注意:内层函数u=g(x)的值域是外层函数y=f(u)的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 (1)(2) 又是减函数 ∴函数的增区间是(-∞,2],减区间是[2,+∞)。 ②x∈(-1,3) 令 ∴x∈(-1,1]上,u是递增的,x∈[1,3)上,u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减。 注意:要求定义域

高中数学人教A版(2019)必修第一册第四章4.2《指数函数 》教 案

《指数函数及其性质》 教材分析 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值. 根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 教学目标 1.理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图像,掌握指数函数的性质. 2.采用具体到一般、数形结合的思想方法,体会研究具体函数的性质. 3.使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实其他学科的联系;感受探究未知世界的乐趣,从而培养学生对数学的热爱情感. 教学重难点 【教学重点】 掌握指数函数的概念和性质. 【教学难点】 用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 课前准备 引导学生通过实际问题了解指数函数的实际背景,通过本节课导学案的使用和预习,初步理解指数函数的概念和意义,根据图像理解指数函数的性质,带着问题学习. 教学过程

(一)创设情景,揭示课题 1.对任意实数x,3x的值存在吗?(-3)x的值存在吗?1x的值存在吗? 2.y=3x是函数吗?若是,这是什么类型的函数? 3.(备选引例) (1)思考1:用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服,若每次能洗去残留污垢的,则漂洗x次后,衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么? (2)(合作讨论)人口问题是全球性问题,由于全球人口迅猛增加,已引起全世界关注.世界人口2000年大约是60亿,而且以每年1.3%的增长率增长,按照这种增长速度,到2050年世界人口将达到100多亿,大有“人口爆炸”的趋势.为此,全球范围内敲起了人口警钟,并把每年的7月11日定为“世界人口日”,呼吁各国要控制人口增长. ○1按照上述材料中的1.3%的增长率,从2000年起,x年后我国的人口将达到2000年的多少倍? ○2到2050年我国的人口将达到多少? ○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响? (3)上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x(x∈N*,x≤20)能否构成函数? (4)一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的84%,那么以时间x年为自变量,残留量y的函数关系式是什么? 提出问题:上面的几个函数有什么共同特征? (二)研探新知 1.指数函数的概念

高考数学知识点:指数函数、函数奇偶性

高考数学知识点:指数函数、函数奇偶性指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到: (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a 大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。(7)函数总是通过(0,1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 注图:(1)为奇函数(2)为偶函数

1.定义 一般地,对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。 (分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论) ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2.奇偶函数图像的特征: 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象

高一数学必修1《指数函数》教案

高一数学必修1《指数函数》教案 教学目标: 1、知识目标:使学生理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图像和性质。 2、能力目标:通过定义的引入,图像特征的观察、发现过程使学生懂得理论与实践的辩证关系,适时渗透分类讨论的数学思想,培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问题的能力。 3、情感目标:通过学生的参与过程,培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 教学重点、难点: 1、重点:指数函数的图像和性质 2、难点:底数a 的变化对函数性质的影响,突破难点的关键是利用多媒体动感显示,通过颜色的区别,加深其感性认识。 教学方法:引导发现教学法、比较法、讨论法 教学过程: 一、事例引入 T:上节课我们学习了指数的运算性质,今天我们来学习与指数有关的函数。什么是函数? S:-------- T:主要是体现两个变量的关系。我们来考虑一个与医学有关的例子:大家对非典应该并不陌生,它与其它的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时间里病原体在机体内不断地繁殖,病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程: C:动画演示(某种球菌分裂时,由1分裂成2个,2个分裂成4个,------。一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的函数关系式是:y = 2 x ) S,T:(讨论) 这是球菌个数y 关于分裂次数x 的函数,该函数是什么样的形式(指数形式), 从函数特征分析:底数2 是一个不等于1 的正数,是常量,而指数x 却是变量,我们称这种函数为指数函数点题。 二、指数函数的定义

C:定义:函数y = a x (a 0且a 1)叫做指数函数,x R.。 问题1:为何要规定a 0 且a 1? S:(讨论) C:(1)当a 0 时,a x 有时会没有意义,如a=﹣3 时,当x= 就没有意义; (2)当a=0时,a x 有时会没有意义,如x= - 2时, (3)当a = 1 时,函数值y 恒等于1,没有研究的必要。 巩固练习1: 下列函数哪一项是指数函数( ) A、y=x 2 B、y=2x 2 C、y= 2 x D、y= -2 x

高一数学《指数函数》优秀教案

高一数学《指数函数》优秀教案 导语:指数函数是学生在学习了函数的概念、图象与性质后,学习的第一个新的初等函数.它是一种新的函数模型,也是应用研究函数的一般方法研究函数的一次实践。下面是为您收集的教案,希望对您有所帮助。 一.教学目标: 1.知识与技能 (1)理解指数函数的概念和意义; (2)与的图象和性质; (3)理解和掌握指数函数的图象和性质; (4)指数函数底数a对图象的影响; (5)底数a对指数函数单调性的影响,并利用它熟练比较几个指数幂的大小 (6)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.情感、态度、价值观 (1)让学生了解数学生活,数学又服务于生活的哲理. (2)培养学生观察问题,分析问题的能力. 二.重、难点 重点: (1)指数函数的概念和性质及其应用. (2)指数函数底数a对图象的影响; (3)利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小

难点: (1)利用函数单调性比较指数幂的大小 (2)指数函数性质的归纳,概括及其应用. 三、教法与教具: ①学法:观察法、讲授法及讨论法. ②教具:多媒体. 四、教学过程 第一课时 讲授新课 指数函数的定义 一般地,函数(>0且≠1)叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为R. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1)(2)(3) (4)(5)(6) (7)(8)(>1,且) 小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为>0,是任意一个实数时,是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R. 若<0,如在实数范围内的函数值不存在. 若=1,是一个常量,没有研究的意义,只有满足的形式才能称为指数函数,不符合

复合函数相关性质和经典例题

定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数,其中)(u f y =通常称为外层函数,)(x g u =称为内层函数。 求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间,我们一般可以按照下面这几个步骤来进行: (1) 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =; (2) 求外层函数)(u f y =的单调区间(包括增区间和减区间)B A 、等; (3) 令内层函数A x g u ∈=)(,求出x 的取值范围M ; (4) 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间,则M 便是原复合函数 )]([x g f y =的一个单调区间; 若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间,则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间,这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间; (5) 根据复合函数“同增异减”的复合原则,分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性; (6) 令内层函数B x g u ∈=)(,同理,重复上述(3)、(4)、(5)步骤。若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ,则同步骤(6)类似,不断地重复上述步骤。 (7) 设单调函数)(x f y =为外层函数,)(x g y =为内层函数 (8) (1) 若)(x f y =增,)(x g y =增,则))((x g f y =增. (9) (2) 若)(x f y =增,)(x g y =减,则))((x g f y =减. (10) (3) 若)(x f y =减,)(x g y =减,则))((x g f y =增. (11) (4) 若)(x f y =减,)(x g y =增,则))((x g f y =减. (12) 结论:同曾异减 (13) 例1. 求函数222)(-+=x x x f 的单调区间. (14) 解题过程: (15) 外层函数:t y 2= (16) 内层函数:22-+=x x t (17) 内层函数的单调增区间:],2 1[+∞-∈x (18) 内层函数的单调减区间:2 1,[--∞∈x (19) 由于外层函数为增函数 (20) 所以,复合函数的增区间为:],2 1[+∞-∈x (21) 复合函数的减区间为: 2 1,[--∞∈x (22) 求函数)23(log 221x x y --=的单调区间. (23) 解 原函数是由外层函数u y 2 1log =和内层函数223x x u --=复合而成的; (24) 易知),0(+∞是外层函数u y 2 1log =的单调减区间; (25) 令0232>--=x x u ,解得x 的取值范围为)1,3(-; (26) 解题过程:

高中数学复合函数练习题

第一篇、复合函数问题 一、复合函数定义: 设y=f(u)的定义域为A ,u=g(x)的值域为B ,若A ?B ,则y 关于x 函数的y=f [g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题: (一)例题剖析: (1)、已知 f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域 思路:设函数 f x ()的定义域为D ,即x D ∈,所以f 的作用范围为D ,又f 对g x ()作用,作用范 围不变,所以D x g ∈)(,解得x E ∈,E 为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数 f u ()的定义域为(0,1) ,则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析:函数 f u ()的定义域为(0,1)即u ∈()01,,所以f 的作用范围为(0,1) 又f 对lnx 作用,作用范围不变,所以01<f x ()的定义域为

高中数学必修1 指数函数教案1(高一数学)

指数函数教案1(高一数学) 教学目标 1. 理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用. 2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法. 3. 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣. 教学重点和难点 重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质. 难点是认识底数对函数值影响的认识. 教学过程 一、复习回顾,新课引入 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出 细胞分裂 之间的函数关系式吗? 与 与之间的关系式,可以表示为. 由学生回答: 问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子 次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的函数关系. 的一半,……剪了 由学生回答:. 在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数. 二、师生互动,新课讲解: 1.定义:形如的函数称为指数函数. 2.几点说明 (1) 关于对的规定: 教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有 会有什么问题?如,此时,等在实 困难,可将问题分解为若 数范围内相应的函数值不存在. 若 x a对于都无意义,若则无论取何值,它总是1,对它没有 且. 研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定 (2)关于指数函数的定义域 教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实 当指数为无理数时,也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为.扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值. (3)关于是否是指数函数的判断

高一数学指数函数知识点及练习题含答案

指 数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数 时,0a ≥. n a =;当n a =;当n (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.② 正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0 的负分数指 数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质

2.1指数函数练习 1.下列各式中成立的一项 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B .31243)3(-=- C .4 3433)(y x y x +=+ D . 33 39= 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 6 B .a - C .a 9- D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><≤-=-0 ,0 ,12)(21x x x x f x ,满足1)(>x f 的x 的取值范围 ( ) A .)1,1(- B . ),1(+∞- C .}20|{-<>x x x 或 D .}11|{-<>x x x 或 9.函数2 2)2 1(++-=x x y 得单调递增区间是 ( )

高一数学复合函数讲解(最新整理)

1、复合函数的概念 如果y是a的函数,a又是x的函数,即y=f(a),a=g(x),那么y关于x的函数y=f[g (x)]叫做函数y=f(x)和a=g(x)的复合函数,其中a是中间变量,自变量为x,函数值y。 例如:函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立。 a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例对任意a,都有意义(a>0且a≠1)且。 对任意, 当a>1时,单调递增,当0<a<1时,单调递减。 ∵当a>1时, ∵y=f(u)是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地, 当0<a<1时, 是单调递增函数 一般地,定理:设函数u=g(x)在区间M上有意义,函数y=f(u)在区间N上有意义,且当X∈M时,u∈N。 有以下四种情况: (1)若u=g(x)在M上是增函数,y=f(u)在N上是增函数,则y=f[g(x)]在M上也是增函数;

(2)若u=g(x)在M上是增函数,y=f(u)在N上是减函数,则y=f[g(x)]在M上也是减函数; (3)若u=g(x)在M上是减函数,y=f(u)在N上是增函数,则y=f[g(x)]在M上也是减函数; (4)若u=g(x)在M上是减函数,y=f(u)在N上是减函数,则y=f[g(x)]在M上也是增函数。 注意:内层函数u=g(x)的值域是外层函数y=f(u)的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 (1)(2) 又是减函数 ∴函数的增区间是(-∞,2],减区间是[2,+∞)。 ②x∈(-1,3) 令 ∴x∈(-1,1]上,u是递增的,x∈[1,3)上,u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减。 注意:要求定义域

高中数学-指数函数及其性质教案

高中数学-指数函数及其性质教案 教学目标:(1)使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科 的联系; (2)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性和特殊点; (3)在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的方法等. 教学重点:指数函数的的概念和性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教学过程: 一、 引入课题 课本52页问题1中函数 的解析式与问题2中函数 的解析式有什么共同特征 如果用a 来代替 和1.073,那么以上两个函数的解析式都可以表示为 的形式,其中自变量x 是指数,底数a 是一个大于0且不等于1的常量. 二、 新课教学 (一)指数函数的概念 一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数(exponential function ),其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:○ 1 指数函数的定义是一个形式定义,要引导学生辨析; ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围,引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1. 巩固练习:利用指数函数的定义解决(教材P 68例2、3) (二)指数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: ()1.073 N ,20x y x x *=∈≤()5730102t P t ??=> ???1573012?? ???x y a =

高一数学指数函数经典例题

2 (2) 【例3】比较大小: 高一数学指数函数平移问题 x 1 x 2 x 1 x 2 ⑴y=2 与 y=2 . ⑵y =2 与 y =2 f(x)的图象 向左平移a 个单位得到f(x + a)的图象;向右平移a 个单位得到f(x — a)的图象; 向上平移a 个单位得到f(x) + a 的图象;向下平移a 个单位得到f(x) — a 的图象. 指数函数?经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: 1 (1)y = 3厂 (2)y = ..2x 2 1 (3)y = .3 3x 1 解 (1)定义域为x € R 且x 丰2 .值域y > 0且沪 1 . ⑵由2x+ 2 — 1 >0,得定义域{x|x >— 2},值域为y 》0. ⑶由 3— 3x-1 > 0,得定义域是{x|x < 2},: 0< 3 — 3x — 1 v 3,二值域是 0 < y V 3 . 及时演练 求下列函数的定义域与值域 (1) y (2) y (|)|x|; 【例2】指数函数y = ax , y = b x , y = c x , y = d x 的图像如图2. 6 — 2所示, 则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A . a v b v 1 v c v d C . b v a v 1 v d v c B . a v b v 1 v d v c D . c v d v 1 v a v b 选(c),在x 轴上任取一点(x , 0),则得 b v a v 1 v d v c . J y y=c E r 匪.6-2 及时演练 指数函数①' ②「J —」 满足不等式1’ 一」;「-,则它们的图象是(). (1) 2、3 2、5 4、8 8、 9 16的大小关系是: (2)0.6 3

高中数学必修一教案指数函数

课 题 3.1.2指数函数 上课人 课型 新授课 时间 教学重点 指数函数的图象和性质 教学难点 用数形结合的方法从特殊到一般地探索,概括指数函数的性质 学习目标 1.理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象与性质; 2.归纳总结出比较大小的规律方法; 3.体会由特殊到一般的数学思维方式。 备课设计 双边活动 一、创设情境,引入概念 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,1个这样的细胞分裂x 次后,得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是什么? 问题2:放射性物质衰变 二者有何共同特点?定义域是什么? 二、解读学习目标 1.理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象与性质; 2.归纳总结出比较大小的规律方法; 3.体会由特殊到一般的数学思维方式。 三、预习案核心引领 (0,1)x y a a a x R =>≠定义:一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域是。 1.从形式上看指数函数的解析式有何特征? 指数函数是形式化的概念,要判断一个函数是否是指数函数,需抓住三点: ①底数a 大于零且不等于1的常数; ②化简后幂指数有单一的自变量x ; ③化简后幂的系数为1,且没有其他的项 2.01a a >≠在定义中为什么规定且? =100=x 0 ,a 2,f(x)111 x ,,246 x x x x x >?? ≤?=-==---(1)当a=1时,f(x)=1为常值函数,无研究必要,(2)当a=0时,f(x)=0无意义,(3)当a<0时,f(x)=a 如(-2), 无意义 3. 底数a 对指数函数图象的影响 了解指数函数的实际背景,抽象出问题的共同特征,并把定义域由正整数集推广到实数集。 让学生明确本节课的目标,每个人目标及其明确地投入课堂中去。 让学生根据预习自测1明确如何判断给定函数是否为指数函数。 让生分类讨论反面情况为什么不考虑,明确这样规定的合理性。

高中数学指数与指数函数知识梳理

指数与指数函数 【考纲要求】 1.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质 2.掌握无理指数幂的概念,将指数的取值范围推广到实数集; 3.掌握指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域; 4.掌握指数函数图象: 5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法; 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念 () ()),0(1010*Z*n a a a a a Z n a a a a n n a n n ∈≠=≠=∈???=- 个 (2)运算法则 ①n m n m a a a +=?; ②()mn n m a a =; ③()0≠>=-a n m a a a n m n m ,; ④()m m m b a ab =. 指数与指数函数 图象与性质 指数运算 性 质 指数函数的 图 像 与 指 数 的 概 念

考点二、根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义: 若x n =y(n ∈N *,n>1,y ∈R),则x 称为y 的n 次方根. 要点诠释: n 为奇数时,正数y 的奇次方根有一个,是正数,记为n y ;负数y 的奇次方根有一个,是负数,记为n y ;零的奇次方根为零,记为00=n ; n 为偶数时,正数y 的偶次方根有两个,记为 0=. (2)根式的意义与运算法则 y y n n =)( ???=) (||)(,为偶数为奇数n a n a a n n 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论,我们约定a>0,n ,m ∈N *,且m n 为既约分数,分数指数幂可如下定义: 1 n a = m m n a ==-1m n m n a a = 考点四、有理数指数幂的运算性质 ()Q b a ∈>>βα,00,, (1);a a a αβαβ+?= (2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα= 当a>0,p 为无理数时,a p 是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释: (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算; (2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-; (3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-. 考点五、指数函数 (1)定义:

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