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【每周一讲】2016年高考数学复习-不等式的解决方案(PDF版)

【每周一讲】2016年高考数学复习-不等式的解决方案(PDF版)
【每周一讲】2016年高考数学复习-不等式的解决方案(PDF版)

高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)

专题7.3 基本不等式 【核心素养分析】 1.了解基本不等式的证明过程; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】 知识点一 基本不等式ab ≤ a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R);(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号); (3)ab ≤????a +b 22(a ,b ∈R);(4)????a +b 22≤a 2 +b 2 2(a ,b ∈R); (5)2ab a +b ≤ab ≤a +b 2≤ a 2+ b 2 2 (a >0,b >0). 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 2 4(简记:和定积最大). 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频 考点一 利用基本不等式求最值 【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ,则22x y +的最小值是 ▲ .

不等式选讲-2019年高考理科数学解读考纲

16 不等式选讲 选考内容 (二)不等式选讲 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1). (2). (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: . 2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. (1)柯西不等式的向量形式: (2). (3). (此不等式通常称为平面三角不等式.) 3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形: 4.会用向量递归方法讨论排序不等式. 5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题. 6.会用数学归纳法证明伯努利不等式: 了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

1.从考查题型来看,涉及本知识点的题目主要以选考的方式,在解答题中出现,考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2.从考查内容来看,主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明,求最值问题等. 3.从考查热点来看,重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等,绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势,值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解 样题1 (2018新课标全国Ⅱ理科)设函数 . (1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集; (2)若()1f x ≤,求a 的取值范围. 样题2 (2018新课标全国Ⅲ理科)设函数 . (1)画出()y f x =的图象;

(2)当[)0x +∞∈,,,求a b +的最小值. 【解析】(1)()y f x =的图象如图所示.

高考数学不等式知识点总结及解题思路方法

高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 (1)不等(等)号的定义:. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a (2)不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3)同向不等式与异向不等式. (4)同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1)a >(对称性) ? a< b b (2)c ? > >,(传递性) a> c a b b (3)c + ? > >(加法单调性) c a+ a b b (4)d + > >,(同向不等式相加) a+ > ? d b c a c b

(5)d b c a d c b a ->-?<>,(异向不等式相减) (6)bc ac c b a >?>>0,. (7)bc ac c b a 0,(乘法单调性) (8)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式相乘) (9)0,0a b a b c d c d >><(异向不等式相除) 11(10),0a b ab a b >>?<(倒数关系) (11))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(开方法则) 3.几个重要不等式 (1)0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 (2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号) (3)如果a ,b 都是正数,那么 .2a b +(当仅当a=b 时取等号) 极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则: ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号) 0,2b a ab a b >+≥(5)若则(当仅当a=b 时取等号) 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->

2018年高考数学总复习 基本不等式及其应用

第二节基本不等式及其应用 考纲解读 1. 了解基本不等式错误!未找到引用源。的证明过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点考查的知识点之一,其应用范围涉及高中数学的很多章节,且常考常新,但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题. 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断,求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强,解答题一般为较难题目,每年分值为58分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 (1)错误!未找到引用源。 (2)基本不等式:如果错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。(当且仅当“错误!未找到引用源。”时取“”). 特例:错误!未找到引用源。同号. (3)其他变形: ①错误!未找到引用源。(沟通两和错误!未找到引用源。与两平方和错误!未找到引用源。的不等关系式) ②错误!未找到引用源。(沟通两积错误!未找到引用源。与两平方和错误!未找到引用源。的不等关系式) ③错误!未找到引用源。(沟通两积错误!未找到引用源。与两和错误!未找到引用源。的不等关系式) ④重要不等式串:错误!未找到引用源。即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知错误!未找到引用源。. (1)如果错误!未找到引用源。(定值),则错误!未找到引用源。(当且仅当“错误!未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值,积有最大值”. (2)如果错误!未找到引用源。(定值),则错误!未找到引用源。(当且仅当“错误!未找到引用源。”时取“=”).即积为定值,和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件,合理选择基本不等式的形式解题,要注意对不等式等号是否成立进行验证. 例7.5“错误!未找到引用源。”是“错误!未找到引用源。”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

基本不等式-高考数学知识点总结-高考数学真题复习

§7.4 基本不等式 2014高考会这样考 1.利用基本不等式求最值、证明不等式;2.利用基本不等式解决实际问题. 复习备考要这样做 1.注意基本不等式求最值的条件;2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用. 1. 基本不等式≤ab a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号.2. 几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ).(2)+≥2(a ,b 同号). b a a b (3)ab ≤ 2 (a ,b ∈R ). (a +b 2)(4) ≥2 (a ,b ∈R ). a 2+ b 22 (a +b 2)3. 算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:a +b 2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4. 利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则

(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2.(简记:积定和最p 小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是.(简记:和定积最大)p 2 4[难点正本 疑点清源] 1. 在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为 正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误. 2. 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用 就是ab ≤ ;≥ (a ,b >0)逆用就是ab ≤ 2 (a ,b >0)等.还要注意“添、 a 2+ b 2 2 a +b 2ab (a +b 2)拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 3. 对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数y =x +(m >0)的单调性. m x 1. 若x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值是________. 答案 81 解析 由于x >0,y >0,则x +y ≥2, xy 所以xy ≤ 2 =81, (x +y 2)当且仅当x =y =9时,xy 取到最大值81. 2. 已知t >0,则函数y = 的最小值为________. t 2-4t +1 t 答案 -2

高考数学《不等式选讲》专项复习

高考数学《不等式选讲》专项复习 一、考纲解读 1.了解绝对值的几何意义,会利用绝对值的定义解不等式,利用绝对值不等式证明不等式和求最值. 2.了解柯西不等式及其几何意义,会用它来证明不等式和求最位. 3.了解基本不等式,会用它来证明不等式和求最值. 4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究 本节内容为新课标新增内容,是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点,不等式的应用为次重要考点,不等式证明放在一般位置,难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成 (1), >>?>; a b b c a c (2),c >>?+>+; a b d a c b d (3)0,c0 >>>>?>. a b d ac bd (合成后为必要条件) 2.同解变形 >?+>+; (1)a b a c b c (2)0,0, >?>>?<<; a b c ac bc c ac bc

(3)11 000a b b a >>? >>?>>. (变形后为充要条件) 3.作差比较法 0,0a b a b a b a b >?>->-<<;0,||,a x a x a x a >>?>><-或 (2)22||||a b a b >?> (3)||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式 (1)222a b ab +>(当且仅当等号成立条件为a b =) (2)0,0, 2 a b a b +>>≥a b =) ; 0,0,0, 3 a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立) (3)柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+(当且仅当ad bc =时取等号) ①几何意义:||ad bc ??+≤a b a b ||||||≤②推广:22222 2 212 121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++ +≥++ +.当且仅当向量 12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >>< ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络

其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时,

高考数学复习+不等式选讲大题-(文)

专题十五不等式选讲大题 (一)命题特点和预测: 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题,发现8年8考,主要考查绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视)、不等式恒成立或有解求参数的范围,考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式,难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视)、不等式恒成立或有解求参数的范围,考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式,难度为基础题. (二)历年试题比较: . 时,求不等式 时不等式成立,求的取值范围. 已知函数, 的解集; 的解集包含

已知函数 ?并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 (2018年)【解析】(1)当时,,即 故不等式的解集为. (2)当时成立等价于当时成立.若,则当时;

若,的解集为,所以,故. 综上,的取值范围为. (2017年)【解析】 x>时,①式化为,从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题. (2016年)【解析】(I) y=的图像如图所示. f ) (x

(II )由)(x f 的表达式及图像,当1)(=x f 时,可得1=x 或3=x ; 当1)(-=x f 时,可得3 1 = x 或5=x , 故1)(>x f 的解集为{} 31<x f 的解集为 . 【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式. 以△ABC 的面积为22 (1)3 a +. 由题设得 22 (1)3 a +>6,解得2a >.

2014届高考数学知识点总复习教案一元二次不等式及其解法

第2讲 一元二次不等式及其解法 A 级 基础演练 (时间:30分钟 满分:55分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.(2012·南通二模)已知f (x )=????? x 2 ,x ≥0, -x 2+3x ,x <0, 则不等式f (x )2,因此x <0. 综上,x <4.故f (x )

3.设a >0,不等式-c 0,∴-b +c a 0的解集是 ( ). A .(0,1)∪(2,+∞) B .(-2,1)∪(2,+∞) C .(2,+∞) D .(-2,2) 解析 原不等式等价于??? x 2-2>0,log 2x >0或??? x 2 -2<0, log 2x <0. ∴x >2或00的解集为? ???? -13,12,则不 等式-cx 2+2x -a >0的解集为________. 解析 由ax 2+2x +c >0的解集为? ???? -13,12知a <0,且-13,12为方程ax 2+2x +c =0的两个根,由根与系数的关系得-13+12=-2a ,-13×12=c a ,解得a =-12,c =2,∴-cx 2+2x -a >0,即2x 2-2x -12<0,其解集为(-2,3). 答案 (-2,3) 6.在实数集上定义运算?:x ?y =x (1-y ),若不等式(x -a )?(x +a )<1对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是________.

2020年高考数学复习题:基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 [基础训练] 1.下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0,则a 2 +1 a 的最小值是2a ; ②函数f (x )=sin 2x 3+cos 2x 的最大值是2; ③函数f (x )=x +1 x 的值域是[2,+∞); ④对任意的实数a ,b 均有a 2+b 2≥-2ab ,其中等号成立的条件是a =-b . A .0 B .1 C .2 D .3 : 答案:B 解析:①错误:设f (a )=a 2 +1 a ,其中a 是自变量,2a 也是变化的,不能说2a 是f (a )的最小值; ②错误:f (x )=sin 2x 3+cos 2 x ≤sin 2x +3+cos 2x 2 =2, 当且仅当sin 2x =3+cos 2x 时等号成立,此方程无解, ∴等号取不到,2不是f (x )的最大值; ③错误:当x >0时,x +1 x ≥2 x ·1x =2, 当且仅当x =1 x ,即x =1时等号成立; 当x <0时,-x >0,x +1 x =-? ?? ??-x +1-x ≤-2 -x ·1 -x =-2, ¥ 当且仅当-x =-1 x ,即x =-1时等号成立. ∴f (x )=x +1 x 的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞); ④正确:利用作差法进行判断.

∵a 2+b 2+2ab =(a +b )2≥0,∴a 2+b 2≥-2ab , 其中等号成立的条件是a +b =0,即a =-b . 2.[2019河北张家口模拟]已知a +2b =2,且a >1,b >0,则 2 a -1+1 b 的最小值为( ) A .4 B .5 C .6 D .8 答案:D 解析:因为a >1,b >0,且a +2b =2, \ 所以a -1>0,(a -1)+2b =1, 所以2a -1+1b =? ????2 a -1+1 b ·[(a -1)+2b ] =4+4b a -1 +a -1b ≥4+2 4b a -1·a -1 b =8, 当且仅当4b a -1=a -1 b 时等号成立, 所以2a -1 +1b 的最小值是8,故选D. 3.若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是( ) A .[0,2] B .[-2,0] C .[-2,+∞) D .(-∞,-2] ! 答案:D 解析:∵2x +2y ≥22x ·2y =22x +y (当且仅当2x =2y 时等号成立), ∴2 x +y ≤12,∴2x +y ≤14, 得x +y ≤-2.故选D. 4.已知x >0,y >0,且4xy -x -2y =4,则xy 的最小值为( ) B .2 2 D .2 答案:D 解析:∵x >0,y >0,x +2y ≥22xy , ∴4xy -(x +2y )≤4xy -22xy , ∴4≤4xy -22xy ,

高考数学百大经典例题——不等式解法

典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)(-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 , 0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分. ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--

①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三

2018年高考数学考试大纲解读专题16不等式选讲理版含答案

专题16 不等式选讲 选考内容 (二)不等式选讲 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1) a b a b . (2)a b a c c b . (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: ; ;ax b c ax b c x a x b c . 2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明 . (1)柯西不等式的向量形式: ||||||.(2) 22222()(+)()a b c d ac bd . (3)222222121223231313()()()()()()x x y y x x y y x x y y . (此不等式通常称为平面三角不等式.) 3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形: 4.会用向量递归方法讨论排序不等式. 5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明 一些简单问题. 6.会用数学归纳法证明伯努利不等式: 了解当n 为大于1的实数时伯努利不等式也成立 . 7.会用上述不等式证明一些简单问题 .能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值. 8.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

1.从考查题型来看,涉及本知识点的题目主要以选考的方式,在解答题中出现,考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2.从考查内容来看,主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明,求最值问题等 . 3.从考查热点来看,重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等,绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势,值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解样题1 (2017新课标全国Ⅰ理科)已知函数 2–4()x ax f x ,11()x x g x ||||. (1)当a =1时,求不等式 ()()f x g x 的解集;(2)若不等式()()f x g x 的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 所以a 的取值范围为[1,1]. 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法, 也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题.

必修五不等式知识点总结

不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110,> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间

三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2 112a b a b ++(当a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +?∈,||ax b c x φ+?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结:

2020高考数学不等式知识复习汇总

2020高考数学不等式知识复习汇总 高考是人生道路上的重要转折点,会对考生的未来发展产生重要的影响作用,甚至改变命运。想要在高考中取得好成绩,自然是要付出努力的,只有努力才能获得回报。这里给大家分享一些2020高考高频考点知识归纳,希望对大家有所帮助。 2020高考数学不等式知识复习汇总 高中数学不等式知识点总结: 1.用符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。 2.性质: ①如果xy,那么yy;(对称性) ②如果xy,yz;那么xz;(传递性) ③如果xy,而z为任意实数或整式,那么x+zy+z;(加法原则,或叫同向不等式可加性) ④如果xy,z0,那么xzyz;如果xy,z0,那么xz ⑤如果xy,mn,那么x+my+n;(充分不必要条件) ⑥如果xy0,mn0,那么xmyn; ⑦如果xy0,那么x的n次幂y的n次幂(n为正数),x的n次幂。或者说,不等式的基本性质有: ①对称性; ②传递性; ③加法单调性,即同向不等式可加性;

④乘法单调性; ⑤同向正值不等式可乘性; ⑥正值不等式可乘方; ⑦正值不等式可开方; ⑧倒数法则。 3.分类: ①一元一次不等式:左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 ②一元一次不等式组: a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组。 b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。 4.不等式考点: ①解一元一次不等式(组) ②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题 ③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集 注:不等式两边相加或相减同一个数或式子,不等号的方向不变。(移项要变号) 不等式两边相乘或相除同一个正数,不等号的方向不变。(相当系数化1,这是得正数才能使用) 不等式两边乘或除以同一个负数,不等号的方向改变。(÷或×1个负

高三数学第二轮复习 不等式选讲

第2讲 不等式选讲 [考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等,结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点,主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想. 热点一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)?f (x )>a 或f (x )<-a . (2)|f (x )|0)?-a 1. (1)当a =2时,求不等式f (x )≥4-|x -4|的解集; (2)已知关于x 的不等式|f (2x +a )-2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2},求a 的值. 解 (1)当a =2时,f (x )+|x -4|=|x -2|+|x -4|=????? -2x +6,x ≤2,2,2

高考数学一轮复习不等式知识点讲解

2019年高考数学一轮复习不等式知识点讲 解 不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用。下面是不等式知识点讲解,请考生掌握。 1。解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化。在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰。 2。整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学 生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可

记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 3。在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰。 观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨,我问:“雨下得怎样?”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编

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