四点共圆2-15题+梅塞定理7题+一笔画定理6题(30道,含详细解答)

四点共圆2-15题+梅塞定理7题+一笔画定理6题

四点共圆2-15题+梅塞定理7题+一笔画定理6题

一．选择题（共2小题）

1．如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC 的面积的（）

2．下面的图形，共有（）个可以一笔画（不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸）

二．填空题（共2小题）

3．如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD=BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF 的面积为_________．

4．公园小路如图，只要把A，B，C，D，E，F，G七个点中的_________两处设为出口，可实现从一口进从另一口出且使游客走完全部小路而又不重复走．

三．解答题（共24小题）

5．求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．

6．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上．

7．如图，BD，CE是△ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是△ABC的外心．求证：AO∥FG．

8．已知半径为r的⊙O1与半径为R的⊙O2外离，直线DE经过O1切⊙O2于点E并交⊙O1于点A和点D，直线CF经过O2切⊙O1于点F并交⊙O2于点B和点C，连接AB、CD，

（1）[以下ⅰ、ⅱ两小题任选一题]

（ⅰ）求四边形ABCD的面积

（ⅱ）求证：A、B、E、F四点在同一个圆上

（2）求证：AB∥DC．

9．如图，自△ABC的外接圆弧BC上的任一点M，作MD⊥BC于D，P是AM上一点，作PE⊥AC，PF⊥AB，PG⊥BC，E，F，G分别在AC，AB，AD上．证明：E，F，G三点共线．

10．如图，点F是△ABC外接圆的中点，点D、E在边AC上，使得AD=AB，BE=EC．证明：B、E、D、F四点共圆．

11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．

12．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心．求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置．

13．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N．以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q．求证：M，N，P，Q四点共圆．

（第19届美国数学奥林匹克）

14．如图．AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM 于E，求证∠AEB=90°．

15．如图，⊙O是△ABC的边BC外的旁切圆，D、E、F分别为⊙O与BC、CA、AB的切点．若OD与EF相交于K，求证：AK平分BC．

16．设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3（互不重合）．求证：△M1M2M3也是正三角形．

17．给定锐角三角形PBC，PB≠PC．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O．过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N．

（1）若A，B，C，D四点共圆，求证：EM?FN=EN?FM；

（2）若EM?FN=EN?FM，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论．

18．⊙O2与⊙O1交于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点．求证：点A是△BCD的内心．

19．△ABC为不等边三角形．∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2，同样得到B1，B2，C1，C2．求证：A1A2=B1B2=C1C2．

20．定理3 （梅涅劳斯（Menelaus）定理）：

一条不经过△ABC任一顶点的直线和三角形三边BC，CA，AB（或它们的延长线）分别交于P，Q，R．

21．设P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB上的点．若，则AP，BQ，CR交于一点．

22．由矩形ABCD的外接圆上任意一点M向它的两对边引垂线MQ和MP，向另两边延长线引垂线MR，MT．证明：PR与QT垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上．

23．ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点．AF交ED于G，EC交FB于H．连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M．求证：DL=BM．

24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC 于G．求证：∠GAC=∠EAC．

25．一个展览馆有28间展览室（如图，每一个方格代表一间展览室）．每相邻展室有门相通，问能否设计出一条从入口到出口的参观路线，既不重复，也不遗漏的走过每间展览室，画出参观路线的示意图，如果不能，请说明理由？

不重复地走遍这16个城市？

27．如图是3×3的方格型道路网，如果每个小方格的边长为1千米，那么由A点出发走完全部路段，最后又回到A 点，最少要走多少千米？

28．下列图形是否可以一笔画出？

四点共圆2-15题+梅塞定理7题+一笔画定理6题

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC 的面积的（）

根据梅涅劳斯定理得出==

??，则=

=，====

=

2．下面的图形，共有（）个可以一笔画（不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸）

二．填空题（共2小题）

3．如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD=BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF

的面积为．

根据梅涅劳斯定理得，??，则=

由梅涅劳斯定理得，??

即?=1，则=

=S=

S

××

×=

故答案为

4．公园小路如图，只要把A，B，C，D，E，F，G七个点中的 F D两处设为出口，可实现从一口进从另一口出且使游客走完全部小路而又不重复走．

三．解答题（共24小题）

5．求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．

AB

AB

6．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上．

为圆心，

为圆心，

为圆心，AB

7．如图，BD，CE是△ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是△ABC的外心．求证：AO∥FG．

一半可得出，，

∴

即

∴

8．已知半径为r的⊙O1与半径为R的⊙O2外离，直线DE经过O1切⊙O2于点E并交⊙O1于点A和点D，直线CF经过O2切⊙O1于点F并交⊙O2于点B和点C，连接AB、CD，

（1）[以下ⅰ、ⅱ两小题任选一题]

（ⅰ）求四边形ABCD的面积

（ⅱ）求证：A、B、E、F四点在同一个圆上

（2）求证：AB∥DC．

9．如图，自△ABC的外接圆弧BC上的任一点M，作MD⊥BC于D，P是AM上一点，作PE⊥AC，PF⊥AB，PG⊥BC，E，F，G分别在AC，AB，AD上．证明：E，F，G三点共线．

得出推出

∴

∴

10．如图，点F是△ABC外接圆的中点，点D、E在边AC上，使得AD=AB，BE=EC．证明：B、E、D、F四点共圆．

11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．

，推出，=

∴，

则，

12．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心．求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置．

知

解：

13．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N．以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q．求证：M，N，P，Q四点共圆．

（第19届美国数学奥林匹克）

于E，求证∠AEB=90°．

∴

15．如图，⊙O是△ABC的边BC外的旁切圆，D、E、F分别为⊙O与BC、CA、AB的切点．若OD与EF相交于K，求证：AK平分BC．

16．设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3（互不重合）．求证：△M1M2M3也是正三角形．

=AB

17．给定锐角三角形PBC，PB≠PC．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O．过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N．

（1）若A，B，C，D四点共圆，求证：EM?FN=EN?FM；

（2）若EM?FN=EN?FM，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论．

，则，得到

同理得（由②

理可得，，所以

∴

∴

又∵

∴

得

故

同理可得，

所以

18．⊙O2与⊙O1交于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点．求证：点A是△BCD的内心．

圆幂定理

圆幂定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等。 定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等） 几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 概述 相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为： 切割线定理 割线定理 2证明 证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB ∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。 P 不是圆心 3比较

切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。 切割线定理示意图 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA·PB（切割线定理） 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言： ∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理） 由上可知:PT2=PA·PB=PC·PD 2证明 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA·PB

证明：连接AT, BT ∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理 ) 切割线定理的证明 ∠APT=∠APT(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB·PA 3比较 相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求直线段长度。 割线定理：指的是从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等， 1定义 文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有LA·LB=LC·LD=LT^2。如下图所示。(LT为切线）

《1.3.1圆幂定理》教学案3

《1.3.1圆幂定理》教学案 【教学目标】 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 【教学重难点】 重点：相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用； 难点：灵活运用圆幂定理解题. 【教学过程】 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等. 定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等) 几何语言：若弦AB、CD交于点P则P A·PB=PC·P D(相交弦定理) 2证明 证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B.(圆 周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.) ∴△P AC∽△PDB ∴P A∶PD=PC∶PB，P A·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性.其逆定理也可用于证明四点共圆. 3比较 相交弦定理、切割线定理以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求线段长度. 4相交弦定理推论 定理 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项. 说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则=P A·PB(相交弦定理推论)

切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.是圆幂定理的一种. 切割线定理示意图 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=P A·PB(切割线定理) 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： ∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=P A·PB(切割线定理推论)(割线定理) 由上可知:PT2=P A·PB=PC·PD 2证明 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=P A·PB 证明：连接AT，BT ∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理 ) 切割线定理的证明 ∠APT=∠APT(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB·P A

初中数学中被删掉的有用知识圆幂定理及其应用

圆幂定理及其应用 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD 是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外 一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过 的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点 旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可 得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2； 在图(2)中，PA·PB＝PT2＝OP2-OT2 ＝OP2-R2 在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT2 ＝OP2-R2. 教师指出，由于PA·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理. 二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行) 例1 如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆

圆幂定理及其应用

[文件] sxc3jja0008.doc [科目] 数学 [年级] 初三 [章节] [关键词] 圆/圆幂定理/应用 [标题] 圆幂定理及其应用 [内容] 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方 法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程， 从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一 点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的 切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋 转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和 切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2；

一笔画攻略

一笔画攻略 一．这篇文档是什么 1.首先这篇文档是一篇一笔画游戏攻略。文档详细叙述有关一笔画问题的解答方法和技巧。不同于网上流行的一些一笔画攻略，每幅图都一步步的给出了连线步骤，而是力图带着读者进行一些思考，用抽象和归纳的方法，得出一些通用的结论和解答技巧。 2.这篇文档是作者的itunes store发布的应用程序的自我推广文档。后面将给出链接，如果读者是iphone用户，并且喜欢该文档，可以下载使用。当然你也可以通过阅读本文，领悟技巧，然后下载Android版本的一笔画游戏。毕竟游戏内容和关卡都比较类似，但是我的游戏中融入了攻略以及互动关卡，在互动过程中，竖琴精灵会给予你启发，与本文思想完美融合，并且在出错的第一时间提示你应该注意的地方，并且支持及时撤销等操作。 二．这篇文档不是什么 1.这篇文档不是一个填鸭式的游戏攻略，网上流行的攻略都是详细的操作步骤，这种所谓的攻略无法满足热衷于思考的读者。 2.这篇文档不是一篇单纯的广告，虽然我拟写文档的目的之一是为了推广自己的IOS应用，但更是凝结了我大量的尝试，思考和归纳。作为致力于科研和教育事业的我，更希望读者在阅读过程中有所收获，至于读者是不是苹果用户，或者是否愿意消费购买，是其次的事情，如果你是越狱用户，也可以直接联系我，我会把无认证的app发

给你。 3.这篇文档不是一篇有关拓扑学的文献，虽然作者本人，是从事科学研究工作，并致力于教育事业，对图论，离散数学，计算几何等相关学科略知一二，但是本文不是绝对的严格！的确文中引入了某些拓扑学的概念，也进行了一些逻辑推导，但立足点是针对游戏，某些推导是带有武断性的，它往往指引我们找到答案，但并非总是正确！ 三．目录 1.欧拉生平简介 2.柯尼斯堡七桥于拓扑学 3.相关游戏链接推荐 4.单线问题 5.双线问题 6.箭头(有向图) 7.传送门 8.结语

圆幂定理及其证明#(优选.)

圆幂的定义 假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂； 若P点在圆内，则圆幂为R^2-OP^2； 综上所述，圆幂为|OP^2-R^2|。 圆幂恒大于或等于零。 圆幂的由来 过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值） 若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。 圆幂定理 定理内容 过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有 。[1] 圆幂定理的所有情况 考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与M、N，R为圆的半径，则有

圆幂定理的证明 图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AB、BD，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以 。所以有： ，即： 图Ⅱ：割线定理。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有 ，同上证得 图Ⅲ：切割线定理。如图，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有 易证

《1.3.1圆幂定理》教学案1

《1.3.1圆幂定理》教学案 教学目标 1．知识与技能：(1)理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；(2)学会作两条已知线段的比例中项； 2．过程与方法：师生互动，生生互动，共同探究新知； 3．情感、态度、价值观：通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．教学重、难点 重点：正确理解相交弦定理及其推论 难点：相交弦定理及其推论的熟练运用 教学过程 前面讨论了与圆有关的角之间的关系.下面我们讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题.下面沿用从特殊到一般地思路，讨论与圆的相交弦有关的问题. 探究1如图2-20，AB是⊙O的直径，CD⊥AB.AB与CD相交于P，线段P A、PB、PC、P D之间有什么关系？ ?=?(老师引导学生完成推导过程) . PA PB PC PD 探究2将图2-20中的AB向上(或向下)平移，使AB不再是直径(图2-21)，探究1的结论还成立吗？ 连接AD、BC，请同学们自己给出证明. 探究3如果CD与AB不垂直，如图2-22，CD、AB是圆内的任意两条相交弦，探究1的结论还成立吗？ 事实上，AB、CD是圆内的任意相交弦时，探究1仍然成立，而证方法不变.请同学们自己给出证明. 由上诉探究和论证，我们有 1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 探究4在图2-24中，使割线PB绕P运动到切线的位置(图2-25)，线段P A(或PB)、PC、P D之间有什么关系？ 2. =?(老师引导学生完成推导过程) PA PC PD

由上诉探究和论证，我们有 3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 探究5下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析： 由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线交圆于A，B两点，只要点P的位置确定了，则P A? PB都是定值. 设定植为k，则： 当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得 k = P A? PB = PT2= PO2- r2( r表示⊙O的半径 ) 当点P在圆内时，如图，过点P作AB垂直于OP，则： k = P A? PB = P A2= r2 - PO2( r表示⊙O的半径 ) 当点P在圆上时，显然k=0. 由上，我们可以得到： 圆幂定理： 已知⊙(O，r)，通过一定点的任意一条割线交圆于A，B两点，则： 当点P在圆外时，k= PO2- r2； 当点P在圆内时，k= r2- PO2； 当点P在⊙O上时，k= 0. 我们称定值k为点P对⊙O的“幂” 【自主检测】 1. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为_ ____. 2. 已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若P A·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_______. 3 . 若P A为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，P A=P C的长为_______. 4. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，⊙O的切线EF和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF ＝______．

专题13相似三角形定理与圆幂定理

专题十三相似三角形定理与圆幂定理 本专题主要复习相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识．通过本专题的复习，了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．【知识要点】 1．相似三角形概念 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形． 相似比：相似三角形对应边的比． 2．相似三角形的判定 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等两三角形相似)． 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)． 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)． 3．直角三角形相似的判定定理 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似． 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 4．相似三角形的性质 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 5．相关结论 平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例． 三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比． 经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰． 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行． 6．弦切角定理 弦切角定义：切线与弦所夹的角． 弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 7．圆内接四边形的性质 圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角． 8．圆幂定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D则有PA·PB＝PC·PD．【复习要求】 1．了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理． 2．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推

圆幂定理(垂直弦定理)偏难

【例题求解】 【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ． (市中考题) 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长． 注：比例线段是几之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例； (3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来． 【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ． 415 D ．5 16 (全国初中数学联赛题) 思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得多等线段，为切割线定理的运用创设条件．

注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键． 【例3】如图，△ABC接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B． (1)求证：PA是⊙O的切线； (2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值． (北京市海淀区中考题) 思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的程． 【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE (省竞赛题) 思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=D E，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明． 注：圆中的多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁． 需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几各种类型的问题

一笔画(奥数)

一笔画 【知识要点】 1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。 2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。 3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。 【题目】 1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。 2 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？ 3 判断下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？ D B C D E F B C A

5 如图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进出口应设在什么地方？ 6 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。 7．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。 8．下图中的线段代表小路，请小朋友想一想，能够不重复地爬遍小路的甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎么爬？ 9．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？ 10．下图是一个公园的平面图，应怎样走才能使游客走通每条路而不重复，设计一条最佳路线。 A B H C G F E D

11 一个公园的平面图如下，请你设计好入口、出口，并给出一条浏览路线，要求走遍每一条路且不重复。 12 重复。 13 ．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？ 14 A 点位置，白色的鱼在B 点位置。哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？ 15．能用一根铁丝弯成下面的图形吗？ 16．一个邮递员投递信件要走的街道如图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一 条街道，你能帮帮他吗？ 17．一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？ 18．你能用一笔画成4条线段把下图的9个点都连起来吗？ E

【经典】圆的有关性质+知识点

圆的有关性质 一、〖知识点〗 圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗 1．正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系； 2．熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一； 3．熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系； 4．掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 5．掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题； 6．注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据； （2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；

平面几何中几个重要定理的证明

1 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以 APC BPC S AD DB S ??=．同理可得 APB APC S BE EC S ??=， BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有 A B C D F P A B C D E F P D /

圆-第10讲圆幂定理圆中比例线段6学

圆幕定理是初中平面几何中重要定理之一，在有关计算和证明中应用非常多，尤其是在证明圆中线段 比例式（或等积式）时，能有效地考査学生综合运用相似形和圆的有关知识分析.解决问题的能力，因而 成为全国各省市中考及数学竞赛命题的一个热点，切实加强这方面知识的复习与训练，全面掌握这类问题 的证明思路和方法，对每一个同学都非常重要. 此外，证明圆中线段比例式（或等积式）的基本思路有（1）利用平行线分线段成比例定理；（2）利用相 似三角形给出证明；（3）利用圆幕定理给出证明；（4）利用面积或三角函数给出证明. 一、 基础知识 1、 相交弦定理 如果圆内两条弦AB 和CD 相交于点P,那么PA ?PB=PC ?PD （如下图1）； 2、 割线定理 如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和PCD,那么PA ?PB=PC ?PD （如下图2）； 3、 切割线定理 如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和切线PC,那么PA ? PB=PC2 （如下图3）； 上述三个定理统称为圆基定理?实际上，可以把切割线定理看作是割线定理的极限情形，于是上述三 个结论可以合并为：如果交点为P 的两条宜线与圆O 相交于A 、B 与C 、D,那么就有PA ?PB=PC ?PD, 这里P 、A. B 共线及P. C\ D 共线； 二 例题 例 1 （★）已知，如图 AB 是OO 的弦，P 是 AB 上一点,AB=10cm, PA=4cm, OP=5cm,求：OO 的半径? 例2 （★）如图，已知OOi 和002相交于CD 两点.其外公切线AB 分别切OO K OO2于点AB,求证: 直线CD 平分线段AB. 例3 （★）如图，E 是圆内弦AB. CD 的交点，直线EF 〃CB,交AD 的延长线于F, FG 切圆于G,连 第十讲 扇定理, 中比例线段

圆的相关定理及其几何证明(含答案)

圆的相关定理及其几何证明 典题探究 例1：如图，圆是的外接圆，过点C 作圆的切线交的延长线于点.若 O ABC ?O BA D ，，则线段的长是 ；圆的半径是 . CD =2AB AC ==AD O 例2：如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），EF BC ^,垂 足为F ．若6AB =，5CF CB × =，则AE =

例3：如图已知与圆相切于，半径，交于，若, PA O A OC OP ⊥AC PO B 1OC =，则 ， ． 2OP =PA ==PB 例4：如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知， O P O PA PBC 30BPA ∠=?，, 则 ,圆的半径等于 11BC =1PB =PA =O 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若，则⊙O 的21PF PD =+=半径为 ； . EFD ∠=A B C O P

D C B P A O

C B A 5．如图所示，以直角三角形的直角边为直径作⊙，交斜边于点，过点 ABC AC O AB D 作⊙的切线，交边于点.则 . D O BC E =BC BE 6．如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、EC 。则下面结论中，错误的结论是( ) A ．∠ECA = 90o B ．∠CEM=∠DMA+∠DBA C ．AM 2 = AD·AE D ．AD·D E = AB·BC 7．如图，切圆O 于点,为圆O 的直径，交圆O 于点，为的中点，AB A AC BC D E CD 且则__________；__________. 5,6,BD AC ==CD =AE =

圆幂定理及其证明

圆幂定理 圆幂的定义:一点P 对半径R 的圆O 的幂定义如下：22 OP R - 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。 （1） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。所以△APD ∽△BPC 。所以 AP PD AP BP PC PD PC BP =??=? （2） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点 的两条线段长的比例中项。 如图，PT 为圆切线，PAB 为割线。连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以 2PT PA PT PA PB PB PT =?=? （3） 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于 A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD 。 这个证明就比较简单了。可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。证相似。

存在：PA PB PC PD ?=? 进一步升华（推论）： 过任意在圆O 外的一点P 引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于 A 、 B （可重合，即切线），L2与圆交于 C 、 D 。则PA·PB=PC·PD 。若圆半径为r ，则 2222()()||PC PD PO R PO R PO R PO R ?=-?+=-=-（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P 到圆O 的幂。（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值） 若点P 在圆内，类似可得定值为2222||R PO PO R -=- 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。（这就是“圆幂”的由来）

一笔画

一、解决一笔画或多笔画问题，都要先数出奇点的个数，奇点个数是0个或2个的连续图形可以一笔画；奇点个数超过2个的连续图形无法一笔画，奇点的个数是2的几倍，画出该图形就需要几笔。 二、一个多笔画的图形，可以通过连线减少奇点个数变成一笔画图形，反之亦然。 三、一笔画图形没有奇点时，要想一笔画出，必须从一个双数点出发，最后再回到原来的双数点；一笔画图形有两个奇点时，要想一笔画出，必须从一个奇点出发，最后再回到另外一个奇点。 【题目】： 下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路而又不重复，出、人口应该设在哪里？ 【解析】： 要使游客走遍每一条路而又不重复，也就是一笔画出上图，公园的出入口就是一笔画的起点和终点，观察图形，图中只有I和E两个奇点（每个点连接3条线），因此公园的出入口应设在这两个点上，以其中一个点为入口，以另一个点为出口。 【题目】： 下面各图至少要用几笔才能画成？ 【解析】： 首先观察上面三个图形，数出每个图形中奇点的个数，再根据奇点的个数作出判断： 第（1）个图形中有8奇点（红色交点），8÷2=4，可以四笔画成； 第（2）个图形中有8奇点（红色交点），8÷2=4，可以四笔画成； 第（3）个图形中有4奇点（红色交点），4÷2=2，可以两笔画成。 【题目】： （1）能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？ （2）能否用剪刀一次连续剪下右下图中六个三角形？

【解析】： 上面两个图形都只有两个奇点（红色交点），都是一笔画图形，但用笔画和用剪刀剪，这两种操作是有区别的。 第一、用笔画，笔要经过图中的每一条线段，用剪刀剪只能剪图形内部线段，四周的边框是不能剪的； 第二，用笔画一条经过某个点的直线后，图形还是完整的，用剪刀沿直线经过某个点剪一刀后，这个图形会被剪成两段。因此在剪的过程中要注意技巧，可以分别准备好这样的两张纸片，在纸片上画出对应的线段，让孩子在剪纸的操作中慢慢体验这一点。 这两个图形都可以按题目要求一次连续剪下。上面左边图形在剪的时候注意：可以从图形左边奇点开始先向右剪，遇到第一个交点后拐弯向上，再向右下，再向左剪，最后向下到第二个奇点结束. 奥赛天天练》第45讲《一笔画》，所谓一笔画，是指笔不离纸地一次性画出一个图形，而且笔所走过的路线不能重复。一笔画是个很有趣的数学问题，这个数学问题的学习可以从下面这个著名数学故事《七桥问题》开始： 18世纪，在哥尼斯堡城风景秀美的普莱格尔河上有7座别致的拱桥，将河中的两个岛和河岸连结（如下图）。 城中的居民经常沿河过桥散步。城中有位青年很聪明，爱思考，有一天，这位青年给大家提出了这样一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是举世闻名的七桥问题，当时的人们始终没有能找到答案。 大数学家欧拉从朋友那里听到这个问题，很快便证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，思考过程如下图：

有趣的一笔画

二有趣的一笔画 ——写有标点的话 【训练内容】1.初步了解标点符号，正确运用逗号与句号。 2.写有标点的话。 【教学目标】1.掌握逗号与句号，并能正确使用。 2.写有标点的话。 【教学重点】学习标点符号，会正确使用逗号与句号，并写几句有标点的句子。 【教学难点】1.正确使用逗号和句号。 2.激发学生想象力，用带标点的句子叙述一笔画。【教学方法】讲授法、采访法。 【教学准备】幻灯片 【教学过程】 第一课时 一. 读经典，我快乐。 学习方法：1.教师先读，学生看准字音。 2.学生齐读，教师简单释义。 3.学生分句来读，并试着背。 4.最后再请齐读一遍，学生试着背诵。 二、学习古诗《月夜》 学习方法：1.教师先读，学生看准字音。 2.学生齐读，教师简单释义。

3.学生有感情的读，要求不出错。 4.学生分句来背。 5.学生试着背诵整首古诗。 三、谚语格言读一读 学习方法：1.学生有感情读。 2.教师简单释义。 3.写一写 四、我说的又快又准。 学习方法：1.学生自己先读，字音要准确。 2.同桌为小组，比一比，谁读的又准又快。 3.找同学读，比一比，谁是小冠军。 五、寓言故事大家讲。 学习方法：1、学生分段来读。 2、说说意思。 第二课时 一、故事导入 师：今天老师讲个故事，同学们要认真听，秀才是怎么样智斗财主的？ 二、老师讲故事，学生回答问题 师：故事讲完了，你认为秀才聪明吗？他是怎样智斗财主的？生：秀才很聪明，他利用了标点符号来智斗财主的。 师：说的很对，同学们，你们看，标点的作用多大呀，以后可要

认真学习它。知道吗？学习标点利用标点符号歌，记得又快又准，我们一起学学标点符号歌吧。 三、学习标点符号歌，记忆标点的写法及用法。 四、做练习（p13） 五、一笔画 师:同学们，喜欢画画吗？谁能一笔画出一幅画呢？ （老师现在黑板上画，然后学生自告奋勇来黑板上画一画） 师：画的不错，谁来为自己的一笔画配个简短的介绍呀？比如老师画的苹果，可以这样说：我一笔画出一个大苹果，红红的、圆圆的，吃在嘴里甜甜的。我最爱吃苹果了，因为它有丰富的营养。（说说一笔画成了什么？它是什么样的？为什么画它？）生：…… （语句通顺的奖励星星） 第三课时 一、激发写作欲望 一笔画有意思吗？你一笔画出了什么？它是什么样的？你为什么要画它？用几句通顺的话写出来，要用上正确的标点符号呦。 二、写作要求： 1.在作文本上画出自己喜欢的一笔画 2.在画的旁边配上几句通顺的话，说说画的是什么？它是什 么样子的？为什么要画它？

实用文库汇编之4个圆幂定理及其证明

作者：于椅上 作品编号：785632589421G 101 创作日期：2020年12月20日 实用文库汇编之相交弦定理 如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD 证明： 连结AC，BD，由圆周角定理 的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。 ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. A D C 切割线定理 如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC2=TA·TB 证明：连接AC、BC P

∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC ∴由弦切角定理，得∠TCB=∠A 又∠ATC=∠BTC ∴△ACT∽△CBT ∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT2=A T·BT 弦切角定义： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明 证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交B C于D， 则∠TCB=∠CDA ∵∠TCB=90-∠OCD ∵∠BOC=180-2∠OCD ∴,∠BOC=2∠TCB 切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 如图中，切线长AC=AB。 ∵∠ABO=∠ACO=90° BO=CO=半径 AO=AO公共边 ∴RtΔABO≌RtΔACO（HL） ∴AB=AC ∠AOB=∠AOC ∠OAB=∠OAC 割线定理 如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC ∵∠A和∠C都对弧BD ∴由圆周角定理，得∠A=∠C 又∵∠APD=∠CPB ∴△ADP∽△CBP ∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

【免费下载】 一笔画技巧

益智游戏“一笔画”的技巧 当你还是个小学生的时候，也许就接触过“一笔画”的智力游戏了。对于一个已知的几何图形，要求用笔不间断、不重复路线的方法一次性把它画完，就是“一笔画”。现在有人把它做成手机触屏游戏，在互联网上流传。不懂技巧的人玩起来就像迷路的司机，开着车转来转去，却始终找不到正确的方向，感觉很费神。 其实，“一笔画”是个古老的问题，欧洲人把它叫做“邮递员问题”。邮递员面对错综复杂的城市街道，需要把邮件送达到分散在街道上的各个地方的客户手上，为了少走冤枉路，出发前需要对途经路线进行一个合理的规划，其中需要用到的知识就是“一笔画”。 在介绍一笔画技巧之前，我们先来了解两个基本概念：“奇数端点”和“偶数端点”，看下面的图形：

上图中：以A 为端点，只有AC 一条射线；以E 为原点，有EF 、EJ 、ERJ 三条射线；以G 为端点有GC 、GF 、GH 、GJ 、GK 五条射 线，因为以它们为端点的射线条数都为奇数，所以称它们为“奇数端点”。 同理把B 、C 、D 、F 、H 、J 、K 、L 、M 称为“偶数端点”。概念：以图形中任意一点为端点的射线数量如果为奇数，这个端点就是“奇数端点”；如果为偶数，这个端点就是“偶数端点”。（在这个概念中提到的射线允许是曲线，如上图中的ERJ 和ISK ）对于任意图形，它的“奇数端点”数量只有两种可能：0个或偶数个。即是说你永远也不可能画出一个有奇数个“奇数端点”的图形。【不信你自己拿纸笔试画一下，看看你能否画出一个只有1个（或3个、5个、7个……）奇数端点的图形】。而偶数端点可以是任意个，比如下面的这个圆，你可以把它看成是没有偶数端点的图形（左边），也可以把它看成是有无数个偶数端 点的图形（右边 ），了解了“奇数端点”和“偶数端点”的概念后，下面我们来研究“一笔画”，研究一笔画的重点是研究“奇数端点”，而“偶数端点”可以