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复变函数复习题

一、复数基本概念及初等函数 1、

2(1)

i i -++= 2、复数1i -的模为，主辐角为 3

、1z =+的指数表示式为 4、设20

1z i =+（），则Im z =

＝ 6、(1)Ln i --＝ 7、复数21i

i +（）的值为 8、求下列方程的根：

（1）3

10z ＋＝（2）sin cos 0z z += 二、解析函数与调和函数

1、函数2

()f z z z =在何处可导？何处解析？

2、设3322

()33f z x iy x yi xy =-+-，证明它是解析函数，并求()f z '

3、若3232

()()f z my nx y i x lxy =+++为解析函数，求,,l m n 4、设22

(,)(0)y

u x y x x y

>+证明u(x,y)是调和函数，并求解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y +＝

5、设(,)2(1),u x y x y =-求解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y +＝，且使得(2)f ＝i

6、若函数()f z u iv +＝在区域D 内解析，且()f z 在D 内是一个常数，证明()f z 是常数。三、级数 1、级数

1!2

n n z ∞

=∑的收敛半径为 2、若

0(1)

n n a z ∞

=-∑在z=2处条件收敛，则它的收敛半径为

3、若

n n a z ∞

=∑（－在z ＝－6处收敛，则它在z ＝7处

4、把1

()2f z z +＝

在z=1处展开成泰勒级数 5、把23()2

f z z z --＝在下列指定圆环域内展开成洛朗级数：

（1）2z <<+∞ （2）3z <<+∞－2

6、把2

()(1)

z f z z z +-＝

在下列指定圆环域内展开成洛朗级数：（1）01z << （2）1z <<+∞ 四、共形映射

1、2

w z =在z=1+i 处的伸缩率为，转动角为 2、在映射2

w z =下，扇形区域0arg 4

z π

<<的像区域为

3、1

z w z +=

-将1z =映射成什么图形？ 4、求将上半平面Im()0z >映射成单位圆1w =，且满足()0,arg ()2

w i w i π

'==-的分式

线性映射。

5、求且满足(0)0,arg (0)2

L L π

'==-,且将单位圆1z =映射成单位圆1w =的分式线性映

射。五、积分 1、()()

()1

z z i z i f z e π-++＝

的奇点是

2、z=0是24

1()z

e f z z -＝的级极点。

3、z=0 是2sin ()z

f z z

＝

的级极点，且Re [(),0]s f z ＝ 4、3

2()t

e f z dt t z

πξ=-? ＝，则()f i ＝，()f i -＝ 5、求Re()C

z dz ?

，其中C 是连接z=0和z=1+i 的直线段

6、

sin i

z zdz ?＝

7、1

2Re [,0]z

s z e -= 8、求以下积分：

（1）12z z e dz z =-? （2）1

sin z z dz z =? （3）23

(1)iz

z e dz z z =

－（4）22

52z z dz z =? -（z-1）（5）

tan z zdz =? （6）3

tan z zdz π=? （7）20

53sin d π

θθ

（8）220sin 2(1)(2)x x dx x x ∞++?＋（9）

dx x ∞

＋ 9、如果()f z 在z 1<内解析，且1()1f z z <-，证明：()

!(0),(01)(1)n n

n f r r r ≤<<-，n 取正整数

参考答案：

一、1、9344i -+ 2

π- 3、32i e π 4、102sin5π 5

8i π

i π

7、42

(cosln 2sin ln 2)k e

i π

π--+

二、1、在（0，0）处可导，处处不解析 2、2

()(33)6f z x y xyi '=-+ 3、3,1,3l m n === 5、2

()(1)f z z i =--

三、1、0 2、1 3、收敛 4、1

(1)(1),122n

n n z z ∞

+=---<∑ 5、（1）23433915()f z z z z z

=++++ （2）2

23333()2(2)(2)f z z z z =-++--- 6、（1）

12()222f z z z z

---- （2）2

1222()f z z

四、1

、

4π 2、0arg 2w π<< 4、z i w z i

+ 5、2i

L e z π

-= 五、1、(21),0,1,2k i k +=±± 2、三级 3、一级，0（提示：求洛朗展开式） 4、3

2i ie π

π，3

2i ie

ππ-

5、1(1)2i +

6、cos1sin1(cos1sin1)i ----

7、16-

（提示：求洛朗展开式）

8、（1）0 （2）0 （3）1i - （4）0

一、填空题

1、复数1z i =-的模z = ，辐角Arg z = 2

、复数1z =的指数表示式为 3、2(1)i

i + 4、函数1

()2f z z

+关于z 的幂级数展开式为二、选择题

1、下列积分值可能不为0的是（）（利用柯西-古萨基本定理判断） (A)

cos z z zdz =? (B)

1cos z dz

z =? (C) 1

31z dz

z =+? (D) 2

z z dz =?

2、0z =为函数3sin ()z

f z z

的（）（分别判断z=0是分子分母的几级零点） (A)零点 (B)一级极点 (C)二级极点 (D) 三级极点 3、映射2

w z =在点1z i =+处的伸缩率是（） (A) 22i +

(B) (C) 1i + (D) 2 4、函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的( )

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)无关条件 5.

方程23z i +-=

( )

(A) 中心为23i - ,

半径为的圆周 (B) 中心为23i -+ ,半径为2的圆周

(D) 中心为23i - ,半径为2的圆周三、函数()f z z z =-在何处可导？何处解析？

四、已知(,)2(1)u x y x y =-，求(,)v x y 使得()f z u iv =+解析。

五、将函数1

()(1)(2)

f z z z =

--在下列区域中展成洛朗级数：（1）12z <<（2）

2z <<+∞ 六、计算下列积分：（1）2(1)z z e dz z z =-? （2）22

cos (1)z zdz

z π=-? 七、求把上半平面Im()0z >映射为圆域1w <且满足(2)0,arg (2)0w i w i '==的分式线性变换。

答案

一、填空题 1

，24

k π

π-

+ 2、3

2i e π 3

、(4)2

sin k e

i π

π-+

4、1

(1)2n n

n n z ∞

+=-∑ （2z <）二、选择题CCBBC

三、解：()2(,)0,(,)2f z z z yi u x y v x y y =-=∴==

0,0,2

x y x y u u v v ?====

因此y x v u ≠，函数处处不可导，处处不解析。四、(,)2(1)2,2(1)x y u x y x y u y u x =-?==-

22(,)()x y y u v v y v x y y x ?=?=?=+由于

因此(),2(1)x x y v x v u x ?'==-=--又由于，

2()2(1)()(1)C x x x x ??'=--?=--+可得所以22(,)(1)v x y y x C =--+

五、解：111

()(1)(2)21f z z z z z =

---- （1）12z <<1

1,12z z

<< 21111(1())22222

z z

z z =-?=-+++-- 2111111(1)111z z z z z

=?=+++-- 因此2

2111111()(1)(2)21248

z z f z z z z z z z =

=-=---------- （2）2z <<+∞21

1,1z z

2111122(1())221z z z z z

=-?=+++-- 2111111(1)111z z z z z

=?=+++-- 因此234111137

()(1)(2)21f z z z z z z z z

=-=+++----

六、（1）2

(1)z

z e dz z z =-? 解：有2个奇点：120,1z z ==

[][]001

0Re (),0lim lim 1

(1)1Re (),1lim(1)lim (1)z z

z z z z

z z e e s f z z z z z e e

s f z z e

z z z

→→→→=?==---=-?

==-

原式=2(1)i e π- （2）

cos (1)z zdz

z π=-? 解：奇点为1z = 为二级极点

[]()2

200cos Re (),1lim (1)lim cos 0(1)z z s f z z z z π→→'??'=-?==??-?

? 原式=0

七、解：设22i z i w e z i θ

-??

?+??

则2

4(2)()(2)4

i i i i w e

w i e z i θ

''=?=-+ a r g (2)

a r g a r g ()0422i i w i e θ

ππ

θθ'=+

-=-=?= 因此所求的映射为22z i w i z i -??

?+??

一、填空题（30分） 1

、设12z z i =

=，试用指数形式表示12z z ?= 2、方程3

10z +=的全部为 3、复数z (1)i

i =+的值为

4、映射2

()f z z z i ==在点的伸缩率为，旋转角为 5、在有限复平面上，函数1

()sin f z z

=的孤立奇点为 6、函数1

()31

f z z =

-关于z 的幂级数展开式为二、若函数()f z 在区域D 内解析，且()f z 在D 内为常数，证明()f z 在D 内必为常数.（10分）

三、证明2

(,)2u x y x x y =+-为整个复平面上的调和函数，求(,)v x y 使得()f z u iv =+解析。（14分）四、将函数()(21)(2)

f z z z =

+-在下列区域中展成洛朗级数：（16分）

（1）1

z <

（2）2z <<+∞ 五、（20分）计算下列积分：（1）22

(1)z z dz z z =--? （2）20cos 1x dx x +∞+? 六、（10分）求把上半平面Im()0z >共形映射为圆域0w w R -<的分式线性映射

()w L z =，且满足0(),()0L i w L i '=>。

答案

一、填空题

1、12

π， 2、()213

(k 0,1,2)k i

z e

π+== 3、1ln 224i k e

-+ ???

4、2，

5、k π

6、0

3n n

n z ∞

=-∑ （13z <）二、解：

三、解：22,22,2x xx y yy u x u u y u =+==-=-， 0xx yy u u +=，此时，u 是调和函数。由于()f z u iv =+解析，所以有

22,x y u v x ==+2,x y v u y =-=

从而22(),v xy y g x =++

解得()C g x = 故22v xy y C =++

所以2

()2222f z u iv x x y i xy y C z z iC =+=+-+++=++() 四、解：1121

()(21)(2)52152

z f z z z z z =

+-+- （1）12

z <

()22332

222233

2231

1222211111(1)

22222121121

()521521211222(1)552221313

248

z z z z z z z z f z z z z z z z z z z z =-+-++=-=-+++--∴=+

+-=-+-+-?+++=-+-+

（2）2z <<+∞

223

111111121222212111122(1)

2211121

()52152

111121221(1)

522253*********z z z z z z

z z z z z z f z z z z z z z z z z z z ????

==-++ ?

? ?+????

+==+++--∴=+

+-????=?-+++?+++ ? ? ?????

=+++ 五、（1）

(1)z z dz z z =--? 解：有2个奇点：10,z = （一级极点） 21z =（二级极点）

[][]Re (),02,Re (),12s f z s f z =-= 则原式=2(22)0i π-+=

（2）

20cos 1x

dx x +∞

解：原式= 21cos 21

dx x +∞-∞+? 2

1ix

e dx x +∞-∞

=1122Re ,212ix e e i s i i e x i πππ--??=?=??+??

则

122cos Re()1

1ix

e dx dx e x x π+∞

+∞--∞

-∞==++?

? 从而

c o s 12

x e dx x π-+∞=+?

六、解：首先作分式线性变换0

1w w w R

将圆域0w w R -<映射为1w R < 再作从上半平面Im()0z >到圆域1w R <的分式线性映射i z i w e z i θ

-??

?+??

把上面两个映射复合，可得

0i w w z i e R z i θ--??= ?+??

，即0i z i w w Re z i θ-??=+ ?+??

由于

()

()R e0

222

L i e

'=?=>?=

因此所求的映射为()0

z i

w L z w Ri

z i

==+ ?

复变函数试题及答案

1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数

4、根式31-的值之一是（） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分）

中南大学复变函数考试试卷(A)及答案

中南大学考试试卷(A) 2008--2009学年第二学期时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分考试形式：闭卷专业年级：教改信息班总分100分，占总评成绩70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、单项选择题（15分，每小题3分） 1．下列方程中，表示直线的是（）。 ()()()()()()()254(54)54(54)1 12R e 1 A i z i z z z B i z i z C z i z i D z z z -++ =-++=-++= =- 2．函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（）处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面处处不可导 3．下列命题中，不正确的是（）。 ()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i ωπω∞∞ =-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数 ,则在内解析. 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆 4．下列级数绝对收敛的是（）。 ()()()() ()2 2111 1112n n n n n n n i i i A B C i D n n n ∞∞ ∞ ∞ ====?? ++ ?? ?∑ ∑∑∑ 5．设()f z 在01z <<内解析且()0 lim 1z zf z →=，那么()() Res ,0f z =（）。

()()()()22 11 A i B i C D ππ-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为。 2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3． ()1 sin z z z e z dz =-=? 。 4．函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式。 5．幂级数()1 1n n z n ∞ =-∑ 的收敛半径为。三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。四．(20分)求下列积分的值 1． () 2 2 4 1z z e dz z z =-? 2． ()2 sin 0x x dx a x a +∞ >+? 五．(15分)若函数()z ?在点解析，试分析在下列情形： 1．为函数()f z 的m 阶零点； 2．为函数()f z 的m 阶极点；求()()()0Res ,f z z z f z ??? '??? ?。六．（15分）试求()2 1 1f z z = +以z i =为中心的洛朗级数。七．（10分）已知单位阶跃函数()0 01 t u t t >?=?

复变函数与积分变换复习题.

第一章一、选择题 1. 一个向量顺时针旋转 3 π，向右平移3个单位，再向下平移1个单位，对应的复数为1-，则原向量对应的复数是（A ） A. 2 B. 1 C. i D. i + 2. 设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（B ） A. 34i - + B. 34i + C. 3 4 i - D. 34i -- 3. 方程23z i +-= C ） A. 中心为23i - 的圆周 B. 中心为23i -+，半径为2的圆周 C. 中心为23i -+ D. 中心为23i -，半径为2的圆周 4. 15()1, 23, 5f z z z i z i =-=+=-则 12()f z z -=（C ） A. 44i -- B. 44i + C. 44i - D. 44i -+ 5. 设z C ∈，且1z =,则函数21()z z f z z -+=的最小值是（A ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 二、填空题 1.不等式225z z -++<所表示的区域是曲线_________________的内部。（椭圆 22 22153()()22 x y +=） 2. 复数 2 2 (cos5sin 5) (cos3sin 3)θθθθ+-的指数表示式为_______________.（ 16i e θ） 3. 方程 2112(1)z i i z --=--所表示曲线的直角坐标方程为__________________.（221x y +=） 4. 满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为，以±2为焦点，长半轴为25 的椭圆，该图形是否为区域否 . 5．复数 () i i z --= 11 32 的模为_________，辐角为____________. （5/12π- ）

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（） 3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点

复变函数经典习题及答案

练习题一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ），主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（绝对收敛）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点；二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

复变函数试题汇总

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《复变函数》考试试题(一）一、判断题（2０分）: 1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析．（ ) 2. 有界整函数必在整个复平面为常数 . ( ）３ . 若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. （ ) 4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）. ( ) ５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点，则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极点．（ ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z ０是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. （） 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ）二．填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz ＿__＿______.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿．

《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷第1页（共4页）《复变函数》试卷第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试复变函数试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-

复变函数试题及标准答案样本

二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z )

2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【】 3．z e z f =)(是周期函数。【】 4．每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<<

复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错；5.对的；6.错； 7.错； 8. 错；9. 对的；10. 错。三(8分) 解：1)在2||1<

重庆大学《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

得分得分 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ）一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（）；2.)1(i Ln +-的主值是（）；3. 2 11)(z z f +=，=)0() 5(f （）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （）；二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ） y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=?C z z f ．（A ） 23-z ；（B ）2 )1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；

(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ；得分

复变函数练习题及答案

复变函数卷答案与评分标准一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分）定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分）定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。（3分）定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分）二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分）解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分）（2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数.

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）

复变函数测试题及答案-精品

第一章复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）

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【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中 n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设)2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z 2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.（n 为自然数）

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）

（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z

（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z

复变函数复习题答案()

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复变函数复习题答案<2018.12）一、判断题(红色的是错误的> 1.的幅角为. 2.. 3.. 4.. 5.. 6.. 7.. 8.. 9.. 10.函数在复平面内没有奇点. 11.若是函数的奇点，则不存在. 12.设是的共轭调和函数，函数则也是的共轭调和函数. 13．设是的共轭调和函数，则一定是调和函数. 14.函数的奇点只有一个. 15.设是不经过原点的简单闭曲线，则. 16.解读函数的导数还是解读函数. 17.. 18.. 19..

20.. 21.. 22.若，则z0是函数的可去奇点. 23.若函数f(z>在z0处解读，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 24. 若是函数的可去奇点，则. 25. 设是的孤立奇点,如果,则是的极点. 二、选择题 1．下列各式中表示有界区域的是< C）. A. B. C. D. 2．在映射下，双曲线在平面上的象是，其中是整数. A. B. C. D. 7．对于幂级数，下列命题中正确的是< B ）.

A.在收敛圆内，其条件收敛 B.在收敛圆内，其绝对收敛 C.在收敛圆上，其处处收敛 D在收敛圆上，其处处发散 8．是的< D ）. A.本性奇点 B.极点 C.连续点 D.可去奇点p1EanqFDPw 9．在复平面内，关于的命题中，错误的是< C ）. A.是周期函数 B.是解读函数 C. D. 10．设为正向曲线，则( A >. A. B. C. D.DXDiTa9E3d 11．设，则( C >. A. B. C. D.RTCrpUDGiT 12.函数将平面上的曲线映射成平面内的一条

复变函数测试试题库

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《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内