2018高考理科数学模拟试题
，2 3 1 ， ， ，2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 3 4 3 4 5 2018 学年高三上期第二次周练
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 A = {01，，}， B = {
x x = 2a - 1，a ∈ A }
，则 A ? B=(
)
A. {，}
B. {13}
C. {01}
D. {-13}
2．已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 (1 + i )z = 2i ，则 z 的虚部是（
）
A. -i
B. i
C. -1
D. 1
3．在等比数列{a n
}中， a + a + a = 21 ， a + a + a = 42 ， 1 3 5 2 4 6
则数列 {a n
}的前 9 项的和 S 9 = （ ）
A. 255
B. 256
C. 511
D. 512
4．如图所示的阴影部分是由 x 轴，直线 x = 1 以及曲线 y = e x - 1 围成，
现向矩形区域 O ABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（
）
A. 1 e - 2
B.
e e - 1
1 1
C. D. 1 -
e - 1 e
5．在
( x 2 + x + y)5 的展开式中，含 x 5 y 2 的项的系数是（
）
A. 10
B. 20
C. 30
D. 60
6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的
体积为 ( )
A. 3π + 6
B. 6π + 6
C. 3π + 12
D. 12
7．已知函数 f (x )= log(2 - a x ) 在
(-∞,1) 上单调递减，则 a 的取值范围是
( )
A. 1 < a < 1
B. 0 < a < 1或1 < a < 2
C. 0 < a < 1
D. 0 < a < 1或a > 2
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2 ，则输入的正整数的 可能取值的集合是（ ）
A.{2，，，5}
B. { ，，，，，6}
C.{ ，，，，5}
D. {2，，，，6}
11．已知函数 f (x ) = 4sin ω x ? sin 2 ? ω x - 2sin 2ω x (ω > 0 )在区间 ?- π ? ? π 2π ? ?? 上是增函数，
, 4 ?
? 2 3 [
? 1 3 ? A. (0,1]
? B. 0, ? C. 1,+∞)
D. ? , ?
v v v v v v
9． R 上的偶函数 f (x )满足 f (x -1) = f (x + 1) ，当 0 ≤ x ≤ 1 时， f (x ) = x 2 ，则
y = f (x )- log x 的零点个数为（
） 5
A. 4
B. 8
C. 5
D. 10
10．如图，已知抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F ，直线 l 过 F 且依次交
抛物线及圆 (x - 1)2 + y 2 = 1 于点 A, B, C , D 四点，则 AB + 4 CD
4
的最小值为（
）
A. 17 15 13 11
B.
C.
D.
2 2 2 2
? 2 + ?
且在区间 [0,
π ]
上恰好取得一次最大值，则ω 的取值范围是（ ）
3 ? ?
4 ?
? 2 4 ?
12．已知数列 {a } 中， a =1，且对任意的 m , n ∈ N * ,都有 a
n
1
m +n
2018 = a + a + mn ,
则 ∑
m n
i =1
1 a
i
= （）
A ． 2018 2017
B ．
2019 2018 C ． 2 D ．
4036 2019
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.
13．已知平面向量 a = (2,1), b = (2, x ) ，且 (a + 2b )⊥ (a - b )
，则 x = __________.
x + y ≤ 2
14．若变量 x, y 满足{2 x - 3 y ≤ 6 ，且 x + 2 y ≥ a 恒成立，则 a 的最大值为______________.
x ≥ 0
15．若双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2
= 1(a > 0, b > 0) 上存在一点 P 满足以 OP 为边长的正方形的面积等于 2ab
（其中 O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．
16．若曲线 C : y = ax 2 (a > 0) 与曲线 C : y = e x 存在公共切线，则 a 的取值范围为__________．
1
2
17．已知向量 a = (sin - x ? , 3sin - x ??
, b = (sinx,cos x ), f (x ) = a ? b .
+ ∈ M 且 c = 1 ，求△ ABC 的周长的取值范围.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
v ? π ? ? 3π ? 2
?
? 2
??
（1）求 f (x )的最大值及 f (x )取最大值时 x 的取值集合 M ；
（2）在△ ABC 中， a, b , c 是角 A, B, C 的对边,若 C π
2 4
18．如图，已知四棱锥P - ABCD 的底面为直角梯形， AB / / D C ， ∠DAB = 90? ， P A ⊥ 底面ABCD ，
且 P A = AD = DC = 1 2
， AB = 1 ， M 是 PB 的中点。
（Ⅰ）求证： 平面P AD ⊥ 平面PCD ；
（Ⅱ）求二面角 A - CM - B 的余弦值。
19．从某市的高一学生中随机抽取 400 名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图.
（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60k g 的概率；
（Ⅱ）假设该市高一学生的体重 X 服从正态分布 N (
57,
a 2)
.
（ⅰ）估计该高一某个学生体重介于54～57 k g 之间的概率；
（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取 3 人，记体重介于 54～57 k g 之间的人数为Y ，利用（ⅰ）的结论，
求 Y 的分布列及 EY .
+ 相交于 P 、 Q 两点， = 1(a > 3) 与直线 y = a 3 7
? y = 2 + sin α （2）若直线 C 与曲线 C 交于 A, B 两点，求 1
| OA | | OB | ?
20．已知右焦点为 F 的椭圆 M : x 2 y 2 3 2
且 PF ⊥ QF ．
（1）求椭圆 M 的方程；
（2） O 为坐标原点， A ， B ， C 是椭圆 E 上不同的三点，并且 O 为 △ABC 的重心，
试探究 △ABC 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
21. 已知函数 f (x ) = x 2 - 2x + a ln x (a > 0).
（1）当 a = 2 时，试求函数图像过点 (
1,
f (1))
的切线方程；
（2）若函数 f (x )有两个极值点 x 、x
1 2
试求实数 m 的取值范围.
(x 1
< x )，且不等式 f (x ) ≥ m g x 恒成立，
2 1 2
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ? x = 2 + cos α
（ α 为参数），
1
直线 C 的方程为 y = 3x ，以 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
2
（1）求曲线 C 和直线 C 的极坐标方程；
1 2
1
+ .
2 1
23.【不等式选讲】已知 f (x ) = x - 3 + x + 1 ， g (x ) = x + 1 - x + a - a .
（1）解不等式 f (x ) ≥ 6 ；
（2）若不等式 f (x ) ≥ g (x )恒成立，求实数 a 的取值范围.
(
)
cos2 x - = sin 2 x － ? -
v v
∴ f (x ) 的最大值为1 -
3
k ∈ z ∴ M ? x |x = k π + , k ∈ z ? 5π 12
（2）Q C
， C = 2k π + , Q C ∈ (0,π ) ∴ C = = (a + b ) - 3ab ≥ (a + b ) - 1 ? uuuv 各点为 A (0,0,0 )， B (0,2,0 ) ， C (0,1,0 ) ， D (1,0,0 ) ， P (0,0,1)， M 0,1, ? ，则 AP = (0,0,1) ，
(x, y , z )，则存在 λ ∈ R ，使 uuuv
= λ uuuuv
，连接 AN , BN ， NC = (1 - x,1 - y
, - z )， uuuuv ? 1 ? 1 1 MC = 1,0, - ? ，所以 x = 1- λ ， y = 1 ， z = λ 。要使 AN ⊥ MC ，只要 AN ? MC
= 0 ，即 x - z = 0 ， 。可知当 λ = 时， N 点坐标为 ,1, ? ，能使 AN ? MC = 0 ，此时， AN = ,1, ? ， uuuv ? 1
uuuv uuuuv uuuv uuuuv uuuv uuuv
BN = , -1, ? ， 所 以 BN ? MC = 0 。 由 AN ? MC = 0 ， AN = ， BN = ，所以 AN ? BN 2 2
参考答案
1．B 2．D 3．C
4．B 5．C 6．A ，7．A
8．A 9．C 10．C 11.D 12.D
1
? 5 ? ? e 2 ?
13． - 或1 14． -4 15． ? , +∞ ?? 16． ? , +∞ ?
2 ? 2 ?
? 4 ? v 17．（1） a = cosx - 3cosx ，
f (x ) = a ? b = sinxcosx - 1 3 3 ? π ? 3 3cos 2 x = sin2 x -
2 2 2 ?
3 ? 2
，
π
π
，此时 2 x -
= 2k π +
,
2
3
2
即 x = k π +
5π ?
? 12 ? ?
π C π 5π π
π + ∈ M ∴ + = k π + 2 4 2 4 12 3 3
Q c = 1由 c 2 = b 2 + a 2 - 2abcosc 得 c 2 = a 2 + b 2 - ab
2 2
3 (a + b )2 (a + b )2
=
4 4
∴ a + b ≤ 2
又Q a + b > 1,
故 2 < a + b + c ≤ 3 ，即周长 l 的范围为 l ∈ (2,3] .
18．证明：（Ⅰ）以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度，如图，建立空间直角
坐标系，则
?
?
2 ?
uuuv uuuv uuuv
DC = (0,1,0)，故 AP ? DC = 0 ，所以 AP ⊥ DC ，由题设知 AD ⊥ DC ，且 AP 与 AD 是平面 P AD 内的两条
相交直线，由此得 DC ⊥ 平面PAD ,又 DC 在平面 PCD 内,故平面 P AD ⊥ 平面PCD 。
（Ⅱ）在 M C 上取一点 N
NC MC uuuv
uuuv uuuuv
?
2 ?
2
2
解得 λ =
4 4 ? 1 2 ?uuuv uuuuv uuuv ? 1 2 ?
5 5 ? 5 5 ? ? 5 5 ?
2 ? 30 30
? 5
5 ? 5 5 uuuv uuuv uuuv uuuv
cos AN , BN = uuuv uuuv = - ，故所求二面角的余弦值为 - 。
AN ? BN
3 3
( ) （Ⅱ）（ⅰ）∵ X ～N 57, σ 2 ， P( X > 60) = ，∴ P( X < 54) = ，
其中体重介于 54～57 k g 之间的人数 Y ～B 3, ? ， P (Y = i ) = C i ? 1 ?? ? 3 ?? ， i = 0,1,2,3 .
? 1 ? 20．（1）设 F (c ，)， P t ， ? ，则 Q -t ， ? ，
? 3 ? ? 3 ? 7 ? + = 1 ，即 t 2 = a 2 ①，∵ PF ⊥ QF ，∴ 7 g 7 = -1 ，即 c 2 - t 2 = - 9 ②，
t - c -t - c
，又 a 2 - c 2 = 3 ， a 2 = 4 ， ∴椭圆 M 的方程为 + ?? 1 ( )
由 ? 4
3 得 3 + 4k 2 x 2 + 8kmx + 4m 2 -12 = 0 ，∴ ? ， ? y + y = ? y = kx + m ?? 1 3 + 4k 2
? ( )
? 8km -6m ?
∵ O 为重心，∴ OC = - OA + OB = ?
， ? 3 + 4k 2 ? + ? 3 + 4k 2 ? = 1 ，可得 4m 2 = 4k 2 + 3 ，
19．（Ⅰ）这 400 名学生中，体重超过 60k g 的频率为 (0.04 + 0.01)? 5 =
1 4
，
由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60k g 的概率为 1 4
.
1 1
4 4
1 1 1 1 1
∴ P(54 < X < 60) = 1 - 2 ? = ，∴ P(54 < X < 57) = ? = .
4 2 2 2 4
（ⅱ）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取 3 人，可以视为独立重复实验，
i 3-i ? 4 ? 3 ? 4 ? ? 4 ?
所以 Y 的分布列为
Y
P
27 64 1
27 64 2
9 64 3
1 64
EY = 3 ? 1 3
= .
4 4
0 ? ?
7 ?
3 3 ∴ t 2 3
4 a 2 7 7 7
4 9 x 2 y 2
∴由①②得 c 2 - a 2 =- 7 7 4 3
（2）设直线 AB 方程为： y = kx + m ，
? x 2
y 2
x + x = ? + = 1 2 3 + 4k 2 2
uuur uuur uuur ， ? 3 + 4k 2 3 + 4k 2 ?
? -8km
6m
= 1 ．
∵ C 点在椭圆 E 上，故有 ? 8km ?2 ? -6m ?2
? ?
4 3
? - 4 ?
? 3 + 4k 2 ? ? 3 + 4k ?
= 12k 2 + 9 - 3m 2 ， △S
ABC =
6 m 6 m △S
ABC = ，∴
△ABC 的面积为定值 ． （2）∵ f (x )的定义域为：{x | x > 0}, f ' (x ) = 2 x - 2 + = . ∴ ? > 0 ? 0 < a <
1
2 2
2 恒成立
? m ≤ = 1 1 恒成立，
f (x ) x 2 - 2 x + (2 x - 2 x 2 )ln x
= 1 1 = (1 - x
)- 1 x x + 2t ln t 0 < t < ? ，∴ h ' (t ) = 1 - 2 ? ∴函数 h (t )在 0, ? 上单调递减，∴ h (t ) > h 2 ?
? 2 ?
而 AB = 1 + k 2
? -8km ?2 ? 4m 2 -12 ?2
2 4 1 + k 2
3 + 4k 2
3m 点 C 到直线 AB 的距离 d =
（ d 是原点到 AB 距离的 3 倍得到），
1 + k 2
∴ 1 9 AB g d = 12k 2 + 9 - 3m 2 = 12m 2 - 3m 2 = ，
2 3 + 4k 2 4m 2 2
当直线 AB 斜率不存在时， AB = 3 ， d = 3 ， 9
9 2 2
21.【解析】（1）当 a = 2 时，有 f (x ) = x 2 - 2x + 2ln x .
2 2 (x 2 - x + 1)
∵ f ' (x ) = 2 x - 2 +
=
，∴ f ' (1) = 2 ，
x x
∴过点 (
1, f (1))
的切线方程为： y +1 = 2 (x -1)，即 2 x - y - 3 = 0 .
a 2 x
2 - 2 x + a x
x
令 f ' (x ) = 0 ? 2x 2 - 2x + a = 0 .
又∵函数 f (x )有两个极值点 x 、x
1
2
(x 1
< x )，
2
∴ 2 x 2 - 2 x + a = 0 有两个不等实数根 x 、x 1 2
(x 1
< x )，
2
1
，且 x + x = 1,a = 2 x - 2 x 2
，从而 0 < x < < x < 1 .
1
2 1 1
1 2
由不等式 f (x ) ≥ m g x
1 f (x ) x
2 - 2 x + a ln x
1 1
x x
2 2
∵
2 2 1 1 1 1 1 1 - x
1
+ 2 x ln x ， 1 1
令 h (t ) = 1 - t - 1 1 - t ? 1 ? 1
? (1 - t )2
+ 2ln t < 0 ，当 0 < t < 1 2 时恒成立，
?
? 1 ? ? 1 ?
?3
= - - ln 2 ，
2
故实数 m 的取值范围是： m ≤ - 3 2
- ln 2 .
22.（1）曲线 C 的普通方程为 ( x - 2)2 + ( y - 2)2 = 1 ，
1
则 C 的极坐标方程为 ρ 2 - 4ρ cos θ - 4ρ sin θ + 7 = 0 ， 1
由于直线 C 过原点，且倾斜角为
2
π
3
π
，故其极坐标为θ = ( ρ ∈ R) （或 tan θ = 3 ）
3
?θ = ∴ 1
| 2 .
2
时，不等式
f (x
) ≥
g (x
)恒成立
? ρ 2 - 4ρ cos θ - 4ρ sin θ + 7 = 0 ?
（2）由 ? π
?
3
得： ρ 2 - (2 3 + 2) ρ + 7 = 0 ，故 ρ + ρ = 2 3 + 2 ， ρ ρ = 7 ， 1 2 1 2
1 | OA | + | OB | ρ + ρ + = = 1 | OA | | OB | | OA |g OB | ρ ρ
1 2
2 =
2 3 + 2
7 .
23(1) 解集为{ x x ≤ -2 或 x ≥ 4}；(2) a ≥ - 3 2
.
（1）当 x ≥ 3 时， 2x - 2 ≥ 6 解得 x ≥ 4 . 当 -1 < x < 3 时， 4 ≥ 6 无解， 当 x ≤ -1时， -2x + 2 ≥ 6 解得 x ≤ -2 .
∴ f (x ) ≥ 6 的解集为{ x x ≤ -2 或 x ≥ 4}.
（2）由已知 x - 3 + x + 1 ≥ x + 1 - x + a - a 恒成立.
又 x - 3 + x + a ≥ x - 3 - x - a = -3 - a = a + 3 .
∴ a ≥ -
3
∴ x - 3 + x + a ≥ -a 恒成立.
∴ a + 3 ≥ -a ，解得 a ≥ - 3