一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=81
4
.动点P从A点出发,沿AB方向以每秒
5个单位长度的速度向B点匀速运动,动点Q从C点同时出发,以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动,当点P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正△PQM (P、Q、M按逆时针排序),以QC为边在AC上方作正△QCN,设点P运动时间为t秒.(1)求cosA的值;
(2)当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=9
5
S△QCN时,求t的值;
(3)当t为何值时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
【答案】(1)coaA=4
5
;(2)当t=
3
5
时,满足S△PQM=
9
5
S△QCN;(3)当t=2733
-s或
2733
+s时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
【解析】
分析:(1)如图1中,作BE⊥AC于E.利用三角形的面积公式求出BE,利用勾股定理求出AE即可解决问题;
(2)如图2中,作PH⊥AC于H.利用S△PQM=9
5
S△QCN构建方程即可解决问题;
(3)分两种情形①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.分别构建方程求解即可;
详解:(1)如图1中,作BE⊥AC于E.
∵S△ABC=1
2
?AC?BE=
81
4
,
∴BE=
92
, 在Rt △ABE 中,AE=22=6AB BE -,
∴coaA=
64
7.55
AE AB ==. (2)如图2中,作PH ⊥AC 于H .
∵PA=5t ,PH=3t ,AH=4t ,HQ=AC-AH-CQ=9-9t , ∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+(9-9t )2, ∵S △PQM =9
5
S △QCN , ∴
3?PQ 2=935??CQ 2, ∴9t 2+(9-9t )2=9
5
×(5t )2, 整理得:5t 2-18t+9=0,
解得t=3(舍弃)或35
. ∴当t=
35时,满足S △PQM =9
5
S △QCN . (3)①如图3中,当点M 落在QN 上时,作PH ⊥AC 于H .
易知:PM ∥AC , ∴∠MPQ=∠PQH=60°, ∴3, ∴39-9t ),
-.
∴t=2733
26
②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.
同法可得PH=3QH,
∴3t=3(9t-9),
∴t=27+33
,
26
-s或27+33s时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN 综上所述,当t=2733
26
的边上.
点睛:本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
2.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7).
【答案】32.4米.
【解析】
试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.
试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E,
根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.
∵AB⊥AC,CD⊥AC,
∴四边形ABEC为矩形,∴CE=AB=12m,
在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE
,
∴BE=CE?cot30°=12×3=123,
在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,
得DE=BE=123.
∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4.
答:楼房CD的高度约为32.4m.
考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.
3.如图,在⊙O的内接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O
于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,,求PD的长;
(3)在点P运动过程中,设=x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论.
(2)由AC=2BC,设,应用勾股定理即可求得BC,AC的长,则由AC=2BC得
,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的长,由可知△APB是等腰直角三角形,从而可求得PA的长,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长,
由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的长.
(3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得,由角的转换可得
,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,两式相乘可得结果.
试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B,
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC.
∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD.
又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.
(2)连接BP,设,∵∠ACB=90°,AB=5,
∴.∴.
∵△ACE∽△ABC,∴,即. ∴.
∵AB⊥CD,∴.
如图,连接BP,
∵,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°,.
∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.
由(1)△PAC∽△PDF得,即.
∴PD的长为.
(3)如图,连接BP,BD,AD,
∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即.
∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD.
∵,∴.
∵△AGP∽△DGB,∴.
∵△AGD∽△PGB,∴.
∴,即.
∵
,∴
.
∴与之间的函数关系式为
.
考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定和性质;4.勾股定理;5.等腰直角三角形的判定和性质;6.垂径定理;7.锐角三角函数定义;8.由实际问题列函数关系式.
4.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)
已知:如图,AB 是半圆O 的直径,弦//CD AB ,动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上,且DQ OP =,AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F (点F 与点C 、D 不重合),20AB =,4
cos 5
AOC ∠=
.设OP x =,CPF ?的面积为y .
(1)求证:AP OQ =;
(2)求y 关于x 的函数关系式,并写出它的定义域; (3)当OPE ?是直角三角形时,求线段OP 的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)236030050
(10)13
x x y x x -+=<<;(3)8OP =
【解析】 【分析】
(1)证明线段相等的方法之一是证明三角形全等,通过分析已知条件,OP DQ =,联结
OD 后还有OA DO =,再结合要证明的结论AP OQ =,则可肯定需证明三角形全等,寻
找已知对应边的夹角,即POA QDO ∠=∠即可;
(2)根据PFC ?∽PAO ?,将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求;(3)分成三种情况讨论,充分利用已知条件4
cos 5
AOC ∠=、以及(1)(2)中已证的结论,注意要对不符合(2)中定义域的答案舍去. 【详解】
(1)联结OD ,∵OC OD =, ∴OCD ODC ∠=∠, ∵//CD AB , ∴OCD COA ∠=∠, ∴POA QDO ∠=∠. 在AOP ?和ODQ ?中,
{OP DQ
POA QDO OA DO
=∠=∠=, ∴AOP ?≌ODQ ?, ∴AP OQ =;
(2)作PH OA ⊥,交OA 于H , ∵4cos 5
AOC ∠=, ∴4455OH OP x =
=,3
5PH x =, ∴1
32
AOP S AO PH x ?=
?=. ∵//CD AB , ∴PFC ?∽PAO ?, ∴
22
10(
)()AOP
y CP x S OP x
?-==, ∴2360300
x x y x
-+=,当F 与点D 重合时,
∵4
2cos 210165
CD OC OCD =?∠=??
=,
∴
101016x x =-,解得50
13
x =,
∴2360300x x y x
-+=
50
(10)13x <<; (3)①当90OPE ∠=时,90OPA ∠=, ∴4
cos 1085
OP OA AOC =?∠=?
=; ②当90POE ∠=时,
101025
4cos cos 25OC CQ QCO AOC =
===
∠∠,
∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622
=-=, ∵
50
1013
OP <<, ∴7
2
OP =
(舍去); ③当90PEO ∠=时,∵//CD AB , ∴AOQ DQO ∠=∠, ∵AOP ?≌ODQ ?, ∴DQO APO ∠=∠, ∴AOQ APO ∠=∠,
∴90AEO AOP ∠=∠=,此时弦CD 不存在,故这种情况不符合题意,舍去; 综上,线段OP 的长为8.
5.在正方形ABCD 中,BD 是一条对角线.点P 在射线CD 上(与点C ,D 不重合),连接AP ,平移△ADP ,使点D 移动到点C ,得到△BCQ ,过点Q 作QH ⊥BD 于点H ,连接AH 、PH.
(1)若点P 在线CD 上,如图1,
①依题意补全图1;②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系并加以证明;
(2)若点P 在线CD 的延长线上,且∠AHQ =152°,正方形ABCD 的边长为1,请写出求DP 长的思路.(可以不写出计算结果)
【答案】(1)①如图;②AH=PH,AH⊥PH.证明见解析(2)或
【解析】
试题分析:(1)①如图(1);②(1)法一:轴对称作法,判断:AH=PH,
AH⊥PH.连接CH,根据正方形的每条对角线平分一组对角得:△DHQ等腰Rt△,根据平移的性质得DP=CQ,证得△HDP≌△△HQC,全等三角形的对应边相等得PH=CH,等边对等角得∠HPC=∠HCP,再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP=180°-∠ADP=90°,∴AH=PH且AH⊥PH.四点共圆作法,同上得:∠HPC=∠DAH,∴A、D、P、H共向,∴∠AHP=90°,∠APH=∠ADH=45°,∴△APH等腰Rt△.
(2)轴对称作法同(1)作HR⊥PC于R,∵∠AHQ=152°,∴∠AHB=62°,∴∠DAH=17°
∴∠DCH=17°.设DP=x,则.由代入HR,CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法,A、H、D、P共向,∴∠APD=∠AHB=62°,
∴.
试题解析:(1)①
法一:轴对称作法,判断:AH=PH,AH⊥PH
证:连接CH,得:△DHQ等腰Rt△,又∵DP=CQ,∴△HDP≌△△HQC,∴PH=CH,
∠HPC=∠HCP
BD为正方形ABCD对称轴,∴AH=CH,∠DAH=∠HCP,∴AH=PH,∠DAH=∠HPC,
∴∠AHP=180°-∠ADP=90°,∴AH=PH且AH⊥PH.
法二:四点共圆作法,同上得:∠HPC=∠DAH,∴A、D、P、H共向,∴∠AHP=90°,
∠APH=∠ADH=45°,∴△APH等腰Rt△.
(2)法一:轴对称作法
考虑△DHQ等腰Rt△,PD=CQ,作HR⊥PC于R,∵∠AHQ=152°,∴∠AHB=62°,
∴∠DAH=17°
∴∠DCH=17°.设DP=x,则.
由得:,∴.即PD=
法二:四点共向作法,A、H、D、P共向,∴∠APD=∠AHB=62°,
∴.
考点:全等三角形的判定;解直角三角形;正方形的性质;死电脑共圆
6.(2013年四川攀枝花12分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,
AB∥CD,点B(10,0),C(7,4).直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=
2
2
.动点P
在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线
A→D→C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.
(1)点A的坐标为,直线l的解析式为;
(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围;
(3)试求(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值;
(4)随着P,Q两点的运动,当点M在线段DC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.
【答案】解:(1)(﹣4,0);y=x+4.
(2)在点P、Q运动的过程中:
①当0<t≤1时,如图1,
过点C作CF⊥x轴于点F,则CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5.
过点Q作QE⊥x轴于点E,则BE=BQ?cos∠
CBF=5t?
3
5
=3t.
∴PE=PB﹣BE=(14﹣2t)﹣3t=14﹣5t,
S=
1
2
PM?PE=
1
2
×2t×(14﹣5t)=﹣5t2+14t.
②当1<t≤2时,如图2,
过点C、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E,则CQ=5t﹣5,PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣(5t﹣5)=16﹣7t.
S=
1
2
PM?PE=
1
2
×2t×(16﹣7t)=﹣7t2+16t.
③当点M与点Q相遇时,DM+CQ=CD=7,
即(2t﹣4)+(5t﹣5)=7,解得t=
16
7
.
当2<t<
16
7
时,如图3,
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,
S=
1
2
PM?MQ=
1
2
×4×(16﹣7t)=﹣14t+32.
综上所述,点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为
()
()
2
2
5t14t0 S{7t16t1 16 14t322 7 -+≤ =-+≤ ?? -+ ? ?? . (3)①当0<t≤1时, 2 2 749 S5t14t5t 55 ?? =-+=--+ ? ?? , ∵a=﹣5<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=7 5 , ∴当0<t≤1时,S随t的增大而增大. ∴当t=1时,S有最大值,最大值为9. ②当1<t≤2时, 2 2 864 S7t16t7t 77 ?? =-+=--+ ? ?? , ∵a=﹣7<0,抛物线开口向下,对称轴为直线t=8 7 , ∴当t=8 7时,S有最大值,最大值为 64 7 . ③当2<t<16 7 时,S=﹣14t+32 ∵k=﹣14<0,∴S随t的增大而减小. 又∵当t=2时,S=4;当t=16 7 时,S=0,∴0<S<4. 综上所述,当t=8 7 时,S有最大值,最大值为 64 7 . (4)t=20 9 或t= 12 5 时,△QMN为等腰三角形. 【解析】 (1)利用梯形性质确定点D的坐标,由sin∠DAB= 2 ,利用特殊三角函数值,得到 △AOD为等腰直角三角形,从而得到点A的坐标;由点A、点D的坐标,利用待定系数法求出直线l的解析式: ∵C(7,4),AB∥CD,∴D(0,4). ∵sin∠,∴∠DAB=45°.∴OA=OD=4.∴A(﹣4,0). 设直线l的解析式为:y=kx+b,则有 4k b0 { b4 -+= = ,解得: k1 { b4 = = .∴y=x+4. ∴点A坐标为(﹣4,0),直线l的解析式为:y=x+4. (2)弄清动点的运动过程分别求解:①当0<t≤1时,如图1;②当1<t≤2时,如图2; ③当2<t<16 7 时,如图3. (3)根据(2)中求出的S表达式与取值范围,逐一讨论计算,最终确定S的最大值.(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种,需要分类讨论: ①如图4,点M在线段CD上, MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣(2t﹣4)﹣(5t﹣5)=16﹣7t,MN=DM=2t﹣4, 由MN=MQ,得16﹣7t=2t﹣4,解得t=20 9 . ②如图5,当点M运动到C点,同时当Q刚好运动至终点D, 此时△QMN为等腰三角形,t=12 5 . ∴当t=20 9或t= 12 5 时,△QMN为等腰三角形. 考点:一次函数综合题,双动点问题,梯形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,由实际问题列函数关系式,一次函数和二次函数的性质,等腰三角形的性质,分类思想的应用. 7.如图,已知正方形在直角坐标系中,点分别在轴、轴的正半轴上,点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点,分别在上,且 将三角板绕点逆时针旋转至的位置,连结 (1)求证: (2)若三角板绕点逆时针旋转一周,是否存在某一位置,使得若存在,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在,或 【解析】 (1)证明:∵四边形为正方形,∴ ∵三角板是等腰直角三角形,∴ 又三角板绕点逆时针旋转至的位置时,∴···························· 3分 (2)存在.································· 4分 ∵ ∴过点与平行的直线有且只有一条,并与垂直, 又当三角板绕点逆时针旋转一周时,则点在以为圆心,以为半径的圆上,························ 5分 ∴过点与垂直的直线必是圆的切线,又点是圆外一点,过点与圆相切的直线有且只有2条,不妨设为和 此时,点分别在点和点,满足 ·························· 7分 当切点在第二象限时,点在第一象限, 在直角三角形中, ∴∴ ∴点的横坐标为: 点的纵坐标为: ∴点的坐标为··························· 9分 当切点在第一象限时,点在第四象限, 同理可求:点的坐标为 综上所述,三角板绕点逆时针旋转一周,存在两个位置,使得此时点的坐标为或································ 11分 (1)根据旋转的性质找到相等的线段,根据SAS定理证明; (2)由于△OEF是等腰Rt△,若OE∥CF,那么CF必与OF垂直;在旋转过程中,E、F的轨迹是以O为圆心,OE(或OF)长为半径的圆,若CF⊥OF,那么CF必为⊙O的切线,且切点为F;可过C作⊙O的切线,那么这两个切点都符合F点的要求,因此对应的E点也有两个;在Rt△OFC中,OF=2,OC=OA=4,可证得∠FCO=30°,即∠EOC=30°,已知了OE 的长,通过解直角三角形,不难得到E点的坐标,由此得解. 8.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C,用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米,到达点E处(C,E,B三点在同一直线上),又测得主教学楼顶端A的仰角为60°,已知测角器CD的高度为1.6米,请计算主教学楼AB的高 度.(3≈1.73,结果精确到0.1米) 【答案】22.4m 【解析】 【分析】 首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造等量关系,进而求解. 【详解】 解:在Rt△AFG中,tan∠AFG3, ∴FG = tan 3 AG AFG =∠, 在Rt △ACG 中,tan ∠ACG =AG CG , ∴CG = tan AG ACG ∠=3AG . 又∵CG ﹣FG =24m , 即3AG ﹣3 =24m , ∴AG =123m , ∴AB =123+1.6≈22.4m . 9.如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退,红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截,红方行驶1000米到达C 处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D 处成功拦截蓝方,求拦截点D 处到公路的距离(结果不取近似值). 【答案】拦截点D 处到公路的距离是(500+500)米. 【解析】 试题分析:过B 作AB 的垂线,过C 作AB 的平行线,两线交于点E ;过C 作AB 的垂线,过D 作AB 的平行线,两线交于点F ,则∠E=∠F=90°,拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF .解Rt △BCE ,求出BE=BC= ×1000=500米;解Rt △CDF ,求出 CF= CD=500 米,则DA=BE+CF=(500+500 )米. 试题解析:如图,过B 作AB 的垂线,过C 作AB 的平行线,两线交于点E ;过C 作AB 的垂线,过D 作AB 的平行线,两线交于点F ,则∠E=∠F=90°,拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF . 在Rt△BCE中,∵∠E=90°,∠CBE=60°, ∴∠BCE=30°, ∴BE=BC=×1000=500米; 在Rt△CDF中,∵∠F=90°,∠DCF=45°,CD=BC=1000米, ∴CF=CD=500米, ∴DA=BE+CF=(500+500)米, 故拦截点D处到公路的距离是(500+500)米. 考点:解直角三角形的应用-方向角问题. 10.如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点,过点D作⊙O的切线交AC边于点F. (1)求证:DF⊥AC; (2)若∠ABC=30°,求tan∠BCO的值. 3 【答案】(1)证明见解析; (2) tan∠ 【解析】 试题分析:(1)连接OD,根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC,根据切线的性质可证明DE⊥OD,进而得证. (2)过O作OF⊥BD,根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长,根据三角函数的定义求解. 试题解析:证明:连接OD ∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE ∵O为AB中点, D为BC的中点 ∴OD‖AC ∴DE⊥AC (2)过O作OF⊥BD,则BF=FD 在Rt△BFO中,∠ABC=30° ∴OF=1 2OB ∵BD=DC, BF=FD,∴ 在Rt△OFC中,tan∠ BCO= 1 9 OB OF FC ==. 点睛:此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识 点,有一定的综合性,根据已知得出OF=1 2 OB, BF= 2 OB, FC=3BF= 2 OB是解题关 键. 一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB , 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60° 在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再 易错题训练(一) 1.一物体作匀加速直线运动,通过一段位移Δx 所用的时间为t 1,紧接着通过下一段相同位移Δx 所用时间为t 2。则物体运动的加速度为( ) A .1212122()()x t t t t t t ?-+ B .)()(212121t t t t t t x +-? C . )()(2212121t t t t t t x ++? D .)()(212121t t t t t t x ++? 2.某人骑自行车以4m/s 的速度匀速前进,某时刻在他正前方7m 处以10m/s 速度同向行驶的汽车开始关闭发动机,然后以2m/s 2加速度匀减速前进,则此人追上汽车需要的时间为( ) A .7s B .9 s C .8 s D .10 s 3.在水平面上有相距20cm 的A 、B 两点,一质点以恒定的加速度从A 向B 做直线运动,经0.2s 的时间先后通过A 、B 两点,则该质点通过A 、B 中点时的速度大小为( ) A .若加速度方向由A 向 B ,则大于1m/s ;若加速度方向由B 向A ,则小于1m/s B .若加速度方向由A 向B ,则小于1m/s ;若加速度方向由B 向A ,则大于1m/s C .无论加速度的方向如何,均大于1m/s D .无论加速度的方向如何,均小于1m/s 4.甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动,v-t 图象如图所示,图线在t =t 1时相交于P 点,P 在横轴上的投影为Q ,△OPQ 的面积为S 。在t =0时刻,乙车在甲车前,相距为d 。 已知此后两车相遇两次,且第一次相遇的时刻为t ′,则下面四组t ′ 和d 的组合可能是( ) A .t ′=t 1 ,d =S B .t′=113t , 59 d S = C .t ′112t =,12d S = D .t ′=112t ,34d S = 5.从离地H高处自由下落小球a ,同时在它正下方H 处以速度v 0竖直上抛另一小球b ,不计空气阻力,有 A.若v 0>gH ,小球b 在上升过程中与a 球相遇 B.若v 0<gH ,小球b 在下落过程中肯定与a 球相遇 C.若v 0>2gH ,小球b 和a 不会在空中相遇 D.若v 0=gH ,两球在空中相遇时b 球速度为零 6.跳伞运动员以5 m/s 的速度竖直匀速降落,在离地面h =10 m 的地方掉了一颗扣子,跳伞员比扣子晚着陆的时间为(扣子受到的空气阻力可忽略,g =10 m/s 2) A .2 s B.2s C .1 s D .(2-2) s 7.在研究匀变速直线运动的实验中,算出小车经过各计数点的瞬时速度为了计算加速度, 最合理的方法是( ) A.依次算出通过连续两计数点间的加速度,算出平均值作为小车的加速度 B.根据实验数据画出v-t 图象,量取其倾角,由公式a =tanα求出加速度 C.根据实验数据画出v-t 图象,由图象上相距较远的两点所对应的速度、时间用公式a =Δv/Δt 算出加速度 D .依次算出通过连续两个计数点间的加速度,算出平均值作为小车的加速度 【答案】C 8.如图所示,甲乙两个同学在直跑道上练习4×100 m 接力, 锐角三角函数 1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A ,A ′的余弦值的关系为( ) A .cosA=cosA ′ B .cosA=3cosA ′ C .3cosA=cosA ′ D .不能确定 2.如图1,已知P 是射线OB 上的任意一点,PM ⊥OA 于M ,且PM :OM=3:4,则cos α的值等于( ) A .34 B .43 C .45 D .35 图1 图2 图3 图4 图5 3.在△ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列各项中正确的是( ) A .a=c ·sin B B .a=c ·cosB C .a=c ·tanB D .以上均不正确 4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=23 ,则tanB 等于( ) A .35 B .3 C .25 D .2 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则sinA=______,cosA=______,?tanA=_______. 6.如图2,在△ABC 中,∠C=90°,BC :AC=1:2,则sinA=_______,cosA=______,tanB=______. 7.如图3,在Rt △ABC 中,∠C=90°,b=20,,则∠B 的度数为_______. 8.如图4,在△CDE 中,∠E=90°,DE=6,CD=10,求∠D 的三个三角函数值. 9.已知:α是锐角,tan α=724 ,则sin α=_____,cos α=_______. 10.在Rt △ABC 中,两边的长分别为3和4,求最小角的正弦值为 10.如图5,角α的顶点在直角坐标系的原点,一边在x 轴上,?另一边经过点P (2,,求角α的三个三角函数值. 12.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD ⊥AC 于D ,∠CBD=α,AB=3,?BC=4,?求sin α,cos α,tan α的值. 解直角三角形 一、填空题 1. 已知cosA=2 3,且∠B=900-∠A ,则sinB=__________. 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( ) 1.---What’s up , Maria? ---- My friend argued with me. What should I ____ to him? A. say B. speak C. tell D. talk 用say speak tell talk 的正确形式填空。 1. Hello! May I _____ to Miss Zhao? 2. ----What do you think of her speech? ---- She ______ for one hour but didn’t ____ anything useful. 3. He _____ he is busy. 4. How do you _____ it in English? 5. What were they ______ about? 6. When my sister phoned me, I could not hear clearly what she was ______. 7. She began to _____ something but stopped when she heard the teacher _______. 8.----- Why didn’t you go to the party? ----- Because I wasn’t _______. 9. Mother ______ the boy not to play football after lunch, but he just wouldn’t listen. 10. Mary only ______ me the secret. 不定代词 all, both, either, neither, none, each , every 1.两个范围的:both (两者都), either ( 两者之中任何一个), neither(两者都不) 2.两个或两个以上each 每一个 3.三个或以上范围的: all都, none都不,没一个, every 每个,所有的(后面加上名词或代词,例如:every student every one 1. I had to buy ___ these books because I didn’t know which one was the best. A. both B. none C. neither D. all 2. —How many of these books have you read? —___ of them. Every one. A. Many B. Some C. All D. None 3. — Have you invited Dave and Eric to go hiking with us? —Yes, ___ of them have come already. 中考数学易错题专题训练 班级: 姓名: 一、选择题。 1、在实数123.0,330tan ,60cos ,7 22 , 2121121112.0,,14.3,64,3,80032---- π中,无理数有( ) A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 2、算式2222 2222+++可化为( ) A 、42 B 、28 C 、82 D 、16 2 3、关于x 的一元二次方程(a -5)x 2 -4x -1=0有实数根,则a 满足( ) A .a ≥1 B .a >1且a ≠5 C .a ≥1且a ≠5 D .a ≠5 4、如果关于x 的一元二次方程0962 =+-x kx 有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是( ) A 、1中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
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