复变函数论

《复变函数论》复习指导

刘敏思

《复变函数论》是数学专业本科的一门必修课程，它以复数理论及数学分析的理论和方法作为基础，内容较庞杂，定理较多，且应用范围也比较广泛。为了便于学员们学习，以数学大纲

及数学中心教研组的教材为依据，简要地介绍本课程的主要内容及重点、难点并提出具体意见，供大家自学中参考。

一、复数与复变函数-

主要内容复数的概念、复平面上的点集以及复函数极限与连续.

具体要求理解并掌握复数的三种表示法:代数表示法:= s -f-勿;三角表示法:=r (cos0

+isin0)(z"0);指数表示法:=re'B(z"0)及它们之间的互相转换。熟练掌握复数的加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算及复数的共扼和共扼运算。对于复数在代数、几何等方面的应用只需

作简单的了解即可。

理解平面点集上诸如邻域、去心邻域、聚点、孤立点、内点、外点、开集、闭集、边界及有(无)

---一’一’一’--一’一’---一’---一‘’一一”--一’/

界集这些基本概念，简单曲线、光滑曲线、逐段光滑曲线及围线的含义，区域与闭区域、单连通

区域与复连通区域的含义，同时应会判断一个给定的平面点集是否是区域及单连通区域。重点掌握复变函数的概念，特别是复函的两种表示法即代数表示法了(:)=。(:，;)+‘(二，

妇和几何表示法—映射;理解复函的极限与连续的概念，特别应理解复函极限和连续与实、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系以及有界闭集上连续函数的有界性、最值性与一致连续性。

，二、解析函数

主要内容复变函数论研究的主要对象—解析函数、解析函数的代数判别法((C.-R.条

件)、一些具体常见的初等解析函数及解析函数的求法(即已知实部求虚部或已知虚部求实部)。

具体要求掌握复函数可导与解析的概念及复函可导与连续的联系与区别、可导与解析

的联系与区别;理解判断复函可导的充要条件及复函解析的充要条件(特别应理解C.-R.条件在其中所起的重要作用)，并会用这些条件判断或证明一个给定的复函的可导性及解析性。重点掌握复指数函数与复三角函数的定义与性质(特别应注意它们与实指数函数和实三

角函数的区别)，了解双曲函数的定义。

理解根式函数。~护丁(z}0)与对数函数。=L:ez (z}0)这两种多值函数的意义，知道如

何限制幅角arg:的变化范围分出它们的单值解析分支。

掌握调和函数的概念及解析函数与调和函数的关系，要求会证明一个给定的二元函数是

否是调和函数并掌握给定一解析函数的实部(或虚部)，如何求出其虚部(或实部)，从而求出此

理相基不公式—刊四积分公式以坟乞们的一些I}早厘用。

具体要求理解复积分定义的基本思想(分割、求和、取极限及复积分的有向性)、复积分

与复函实、虚部两个二元实函数的第二型曲积分之间的关系及复积分的简单性质。重点掌握复

积分的参数方程计算沙，关于此方法要求记住复积分的参数方程计算公式(记公式时应特别

注

意积分上、下限的确定与有向曲线的起点和终点的一致性)，会写出一些常见曲线的参数方程

(比如连接两点。,U的直线段:z=a <1-t)-I-bt(0

27G) )，除此之外还应知道积分卜刃二兰二不(其中C :卜一。}= T)的计算，并记住其积分值。一’一”’~厂“~‘’~一产，”~’‘、/‘J。(2一“).、~’一”一’一”NJ W~’/’W I}-.7}'1/\lJ 以o

掌握柯西积分定理的三种形式(基本形式、推广形式及复围线的形式)，熟练掌握柯西积分定理在计算某些围线积分的值及证明某些积分的值万面的应用。掌握复函中原函数和不定积分的概念及解析函数的原函数的积分表达式，复积分中的牛顿—莱布尼兹公式(但要注意此公式的条件)，并会用它来简便地计算某些复积分的值。理解柯西积分公式的形式及含义、解析

函数高阶导数公式的形式及含义;熟练掌握它们在计算某些复积分的值方面的应用;了解复积分中的五个重要结果(柯西不等式、刘维尔定理、代数学基本定理、莫勒拉定理及解析函数的积

分定义法)。

四、解析函数的幂级数表示

主要内容复级数的基本概念及幂级数;解析函数的幂级数表示;解析函数的零点孤立

性、解析性函数的唯一性及简单应用。

具体要求理解复数列及复级数的基本概念以及一些常用结论(特别是与实数列和实级

数的等价关系)，重点掌握幂级数的定义、收敛性、收敛半径、收敛圆、收敛圆周的计算以及幂级

数和函数的性质(连续性、解析性、逐项可积性和逐项可微性)。

掌握泰勒定理的条件和结论，熟记五个基本展式‘即e`一。"''。( I "' I-oni<一，;1n(1+·卜竺一、一。名二。__、1_二__竺___.- z.一i

万(一1)一‘于(!川<1);~E扩(}:}<1);sinz =￡(一1)’一‘丁石二一下二( }z}<-}}>;

._}’一‘””一’一‘’1一“。:。一‘’一’一”一~.-a}“一’( 2n一1)1、’一’、’一产’~，2:

cost = E'_(一1)"苏"" ,(INI<十oo)，熟练掌握解析函数在指定点处幂级数展式的求法(主要。:。、一’(2n )!、’一’、‘/’.},c7J.-7-}YSmr-vlva}Wna/Vy:.vJVe.'m'}IIJS.W vcJ-Vy J}7ca、二二是利用上述五个基本展式及幂级数的加、减运算性质，幂级数的逐项可导和逐项积分来求展式

的方法)，同时也要求会确定所求展式成立的最大范围。理解解析函数零点和零点级的概念以

及零点级的判定、不恒为零的解极函数的零点孤立性。关于解析函数的唯一性及最大模原理只

要求了解相应的条件和结论。

五、解析函数的罗朗展式与孤立奇点

主要内容圆环形区域(特别是去心邻域)内解析函数的罗朗级数表示，并以此为工具研

究解析函数孤立奇点的分类及各类孤立奇点的特征。

具体要求掌握罗朗定理的条件及结论，熟练掌握解析函数在指定圆环或指定点(有限

点)的去心邻域内的罗朗展式的求法，理解罗朗展式与泰勒展式的联系与区别。掌握解析函数

孤立奇点及孤立奇点分类的定义，以及各类孤立奇点的判别方法。注意对本性奇点的判定只要

求掌握罗朗展式法。

六、留数理论及其应用

主要内容留数的概念(实际上也是一种围线积分)、留数的计算、留数定理(它实际上包

含了柯西积分定理及公式)以及I效理论的某些应用(比如在某些实积分的计算中的应用等). 具体要求掌握解析函数在有限孤立奇点处留数的定义及留数计算的基本方法—罗朗

展式法，熟练掌握解析函数在可去奇点、极点、本性奇点这三类孤立奇点处留数的特殊计算法;

留数定理在计算某些围线积分中的应用(注意只要求考虑被积函数在围线内孤立奇点的个数不太多的情形)。

掌握三类实积分的计算:

1·形如{:xR (cos0,sin0)d0“或{乙，R (cos0,sin0)rlx“的积分，其中R‘一“，·‘·“，是一”，·‘·”的实有理函数，并且R (cosl},sin0)在[0 , 2:c]致〔一，，，〕上有意义。

2.形如{二二*(·)‘·的积分，其中“(·)是·的实有理函数且“(·，在实轴上有意义。此类

积分可归结为如下公式直接计算:

记R(二)=

P (x)

心(二)

2次，且心(:)} 0(一

则

，其中P(x),Q(x)是互质的多项式，C} ( x)的次数比P (x)的次数至少高

二

「+n。，、，。

}_Mnmm‘一G二‘

万Re}R (z)

Ima}>0 z=a}

其中

万R esR(:)

r}a,>o ==a,

表示R (})在上半平面内所有孤立奇点处留数的和。

若*(·)为偶函数，贝，积分丁+}R (x )d r,0

或」__R“)d‘

可通过公式丁+}R(x)0‘一

fo_、1r+’_、…_，山、，，、，、:，，，一、，一

I“(z川x~n I“(x)‘x州箱刀工还1胃水术甘异。

J一。〕乙J一帕

3·形如{二二R (x )e}'""d x的积分，其中“(·)是·的实有理函数，且“‘·，在黝上有意义，。>0。此类积分可归结为如下公式直接计算:

记R(:)-

P (x)

l} ( x)

1次，且Q(二)} 0(一

则

，其中P(x),Q(x)是互质的多项式，} (x)的次数比P (x)的次数至少高

co0，

「十的。，、‘。二J

J_。“、‘}e。二

=2 }ca￡R es〔R(:)eimz,

用二>0:~口.

其中

、，

h二>0

Res}R

z.a‘

(z )e}mz〕表示R (z )e'm’在上半平面内所有孤立奇点处留数的和。

，，一r+}，、，~f+’。，、.，“.二。，、~、二二，、一f+}，、

?I% uu J -}}s lx l}osmx“x TuJ__ }s }x lstnmxJ_}.x kfJ 1%v71' }'J 7V}711. L}; }l,J__ } lx l}osmxaxJ_}十

」__}s lx lslmnxax~J__}lxl“一“x J} -a l}J上121ATTL71C1T3}-’}"}J-}rslxlcosmxax

。r}+}。，、im.，，f+~。，、.，，r' +M。，、im.，

一石e LJ___“}x }e._...a x」’J一_rs }x }stmrcr.ax='mLJ__“t x l e-_...-rax }

}" } lx l J}J 1FTl }I ill，"'J J。a }x }cosmx“x

石}lxl }J可h1}J i"JC’yJJ_，n }x }cosmxJ _}“x

一1 }+}R。:)cosy。二‘二

一0，丁:一;(·)sinTrc二‘二

七、保形变换

「十闰n，、.，。

,} _}ts }x }smmx2x~u

1产+}

-......目...~

2.

(下转第9-61页)

的阐述，应适当地对教材的知识拓展引伸，让学生在学习本节知识的基础上进行发散思维的训

练。例如在讲“二次不等式”时，对自变量的取值范围即不等式组的解集的讨论，可引伸出一些

简单的高次不等式的概念，可使用数轴标根法求解，使之不致于漏解或缺解，这样就会使学生

的思维上升到一个新的层次。学生思考这些问题既拓宽了知识，又扩大了视野。效果往往很显

著。

六、激励式即教师使用激励手段触发学生奋发向上.努力进取的一种方式。如单元小结、

单元测试评讲时，发现新的解题思路或新颖别致的思维方法应积极给予充分肯定，并给予“小发明”、“小创造”等称号予以激励，号召全班同学加以学习以求最佳教学效果。此种方法多

用于

培养优等生或竞赛辅导，效果较佳。

总之，终课形式是多样的，教师采用什么形式要根据教材的内容、学生的学习状态、教师的教学风格来确定.只要我们使用得恰当，就能使课堂教学更加完美，教学效果更为显著。(上接第小13页)

主要内容解析函数所构成的映射(也称解析映射)的几何特性—保形性，以及一些常用的

简单的保形映射(比如线性映射，。~:‘与。=丫丁,w =e}与w =do;所构成的保形映射)的

映射特征。

具体要求理解复函导数的几何意义的含义，两有向曲线在一点处的夹角的含义及复函

的保角性与保形性的含义。掌握分式线性映射的形式及分式线性映射的四个重要特征(即保形

性、保圆周性(注意直线是作为通过co的圆周)、保对称点性、保交比性(即三对对应点可唯一决

定一个分式线性映射)，熟练掌握两种特殊的分式线性映射的求法及简单的应用(即把上半平面Imz>0映射成单位圆}zv l G l的线性映射;把单位圆}:I<1映射成单位圆Iw IG1的线性

映射)。牢记，~:’与:~护石，zo = e:与:=lnz。的变换特征，并掌握它们的一些简单应用. 1. w =.,’与:~夕飞丁的变换特征:

(n ):平面上角形区域D ; OGarg}

(ce<2})

二一城万

。平面上角形区域。:0<

argzvGzaca

(v)二平面上角形区域

”:OGarga<子

一一-~由

，~~~~~~~‘~~一‘一

:~杯丁

脚=砂

., _ " ru

上半，平面。:O

‘·，;平面上角形区域:Ofarg}<竿

，平·面除掉原点及正实轴的区域G:0

Gargw G2n

2.，~。·与:=lnw的变换特征:

(n)D:O

脚= e'

一..月毛

，~~~~~~-一

Z二mr}

区域‘:O

(G) D:OGlznz

(c) D:OGlmz<2n

ru=尸.

____‘

气一~-一.

名一Inl口

扭一护.

一‘

叹~~~一一

:=!n，”

上半平面G ; 0

复变函数论文

复变函数在GIS上的运用与地位 一摘要 该论文主要研究复变函数在GIS专业上的作用和地位，通过复变函数发展简介和内容，我们认识到复变函数的发展史和学术地位，因为它运用广泛，作为当代大学生，我们应该明白它在学习中起到举足轻重的作用，从学习中的地位延伸到专业中的地位，从而了解他在GIS的运用，借助复变函数推出柯西—黎曼曲面，进而导出复球面的紧性，得出扩充复平面是紧的，得出结论，体会，心德和认识，最后对结论进行推导和运用。 二关键词 复变函数，地理信息系统，复平面，柯西—黎曼曲面 三正文 （一）复变函数的发展简况与内容 复变函数理论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。复变函数理论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。为复变函数理论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。复变函数理论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 复变函数理论主要包括解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、积分和级数、广义解析函数等方面的内容。复变函数理论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。

复变函数论第一章复数与复变函数

引言 复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是16世纪人们在解代数方程时引入的． 1545年，意大利数学物理学家H Cardan （卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)x x -的根，它求出形式的根为 5+525(15)40--=． 但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点． 直到十八世纪，,D Alembert （达朗贝尔）：L Euler （欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数． 复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕..A L Cauchy （柯西），K Weierstrass （魏尔斯特拉斯）和B Riemann （黎曼）三人的工作进行的． 到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用． 第一章 §1 复数 教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算. 重点：德摩弗()DeMoiVre 公式. 难点：德摩弗()DeMoiVre 公式. 课时：2学时. 1． 复数域 形如z x iy =+或z z yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，称为复数z 的 实部和虚部，记为Re x z =，Im y z = i =，称为虚单位． 两个复数111z x iy =+，与222z x iy =+相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12x x =且12y y =虚部为零的复数可看作实数，即0x i x +=，特别地，000i +=，因此，全体实数是全体复数的一部分． 实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记

复变函数论第三版课后习题答案

第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z

复变函数论第三版课后习题答案解析

1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2

(完整版)《复变函数》教学大纲

《复变函数》教学大纲 说明 1．本大纲适用数学与应用数学本科教学 2．学科性质： 复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数几何理论的基本概念。；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。 3．教学目的： 复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。 4．教学基本要求： 通过本课程的学习，要求学生达到： 1．握基本概念和基本理论； 2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数 的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映 照等）； 2．固和加深理解微积分学的有关知识。 5．教学时数分配： 本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表： 教学时数分配表

以上是二年制脱产数学本科的教学时数。函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。 教学内容 第一章复数与复变函数 复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。 （一）教学内容

复变函数论第四版答案钟玉泉

复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和

零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=

（2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =

复变函数习题答案第4章习题详解

第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+= 11； 2) n n i a -?? ? ? ?+=21； 3) ()11++ -=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-= 。 2． 证明：??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞ =1n n n i ； 2) ∑∞ =2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；

2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞ =1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) ()∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7． 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c

第一章-复数与复变函数

复变函数教案 2012—2013学年度第二学期 任课教师郭城 课程名称复变函数 采用教材高教三版（钟玉泉编） 周课时数 4 数统学院数学教育专业2010 年级1班

引言 数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。 我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4 ac

复变函数论第四版第四五章练习

复变函数 第四、五章 练习 一、 掌握复级数收敛，绝对收敛的判别 1. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛。 （1）2ln n n i n ∞ =∑ （2）01cos 2n n in ∞=∑ （3）0(1)2n n n n i ∞=+∑ 2.如果级数1n n c ∞=∑收敛，且存在0,,..,|arg |,2n s t c πααα><≤证明级数1n n c ∞ =∑绝对收敛. 二、充分掌握幂级数，及解析函数的泰勒展开式 3. 证明级数11n n n z z ∞ =-∑在||1z ≥上发散；在||1z <内绝对收敛且内闭一致收敛 4. 试证：黎曼函数 11(),(ln 0)z n z n n ζ∞ ==>∑，在点2z =的邻域内可展开为泰勒级数，并求收敛半径。 5.求下列幂级数的收敛半径： （1）0()n n n n a z ∞=+∑ （2）0[3(1)](1)n n n n z ∞=+--∑ （3）(1)0()(1)n n n n i z n ∞ +=-∑ 6.设0n n n a z ∞ =∑的收敛半径为R , 证明：0[Re()]n n n a z ∞=∑的收敛半径大于等于R 。 7．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，试回答该级数在2=z 处的敛散性。 8.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，求幂级数∑∞=0 n n n z c 的收敛半径。 9. 将函数31()z f z z -= 在点1z =-展成泰勒级数。 10.证明：若1||,2z ≤则2|ln(1)|||z z z +-≤. （这里ln(1)z +取主值支） 三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达 式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理

《复变函数论》试题库及答案

《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 }{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________.

第一章复数复变函数

第一章复数与复变函数 (Complex number and function of the complex variable) 第一讲 授课题目：§1.1复数 §1.2 复数的三角表示 教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方. 学时安排：2学时 教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 2、切实理解掌握复数的辐角 3、掌握复数的表示 教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 教学难点：复数的辐角 教学方式：多媒体与板书相结合. P思考题：1、2、3.习题一：1-9 作业布置： 27 板书设计：一、复数的模和辐角 二、复数的表示 三、复数的乘方与开方 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算 2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导） 3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算

教学过程：

引言 复数的产生和复变函数理论的建立 1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转. 2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的. 3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的. 4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域. 5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.

复变函数与积分变换课后习题答案详解

… 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==．

复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)

《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数.

复变函数论文

复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用 姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系 专业：自动化 指导教师：秦志新 评阅人：

复变函数与积分变换在自动控制原理中的 应用 【摘要】： 复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。 【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换 【正文】： 提出问题： 众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。 随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了

我们的首要问题。 分析问题： 虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。 例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向 2端，R=10 Ω ，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。 解：因换路前电路已达稳态，故可知 ()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为 ()()()+ ++-0c u dt t di L t Ri ?- t d i C 0)(1ττ=10)(t ε 对上式进行拉普拉斯变换，得

复变函数论第四版第一章练习

复变函数论 第一章 练习题 2014-03 一、复数的表示、运算------充分掌握非零复数的三种表示及其互相转换（要善于根据不同问题选用适当的表示以简化计算）；熟悉掌握复数运算，与共轭有关的等式，模的性质等，并能灵活运用。 1. 设(1)(2)(3)(3)(2) i i i z i i +--=++，求||.z 2. 将复数2 3(cos5sin 5)(cos3sin 3) i i θθθθ+-和复数tan ()2z i πθθπ=-<<分别化为指数形式和三角形式. 3. 设0,2x π <<试求复数1tan 1tan i x z i x -=+的三角形式，其中x 为实数. 4．求复数(1cos sin )n i θθ++()πθπ-<<的模和辐角. 5. 设3||),4z z i π=-= 求z . 6.已知210x x ++=，求1173x x x ++值. 7.若0,z ≠∈证22||2.z z zz -≤ 8. 试证：（1）1Re 0||1;1z z z -≥?≤+ （2）设||1,z =则|| 1.az b bz a +=+ 9. 设0,arg ,z z ππ≠-<≤ 证明|1|||1||arg z z z z -≤-+. 10.试证：满足||||2||z z ααβ-++=的复数z 存在的充要条件为||||αβ≤；求满足条件时||z 的最大值和最小值. 11. 设(1)(1)n n i i +=-，求整数n 之值. 12. 一个向量顺时针旋转 3π后对应的复数为1，求原向量对应的复数. 13. 24(49)0.z iz i ---=解方程 二、复数在几何上的应用 1. 设,x y 为实数，12,z x yi z x yi ==且有1212z z +=，则动点(,)x y 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线

复变函数论文(DOC)

复变函数论文 《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用 系别： 专业名称： 学号： 姓名： 指导老师： 年月日

《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用 摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。 关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。 1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的； 当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项

虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。 例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为 ''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+ 系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。 解：由于输入激励()x t 的频谱函数为 1 ()3 x j j ωω= +， 根据微分方程可得到该系统的频率响应为 2 2()32()3 ()()3()2(1)(2) j j H j j j j j ωωωωωωω++= =++++， 故该系统的零状态响应()zs y t 的频谱函数()zs Y j ω为 2()3 ()()()(1)(2)(3) zs j Y j X j H j j j j ωωωωωωω+== +++， 将()zs Y j ω表达式用部分分式法展开，得 13 122()23 zs Y j j j j ωωωω- =++ ++， 由Fourier 反变换，可得系统()zs y t 的零状态响应为 2313 ()()()22 t t t zs y t e e e u t ---=+- 例2：已知某连续时间LTI 系统的输入激励()()t x t e u t -=，零状态 响应2()()()t t zs y t e u t e u t --=+，求该系统的频率响应()H jw 和单位冲 激响应()h t 。 解：对()x t 和()zs y t 分别进行Fourier 变换，得

第1章复变函数习题答案习题详解

第一章习题详解 1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231+ 解： () ()() 13 234 9232323231231i i i i i i -=+-=-+-= + 实部：133231 = ??? ?? +i Re 虚部：132231- =??? ?? +i Im 共轭复数：1323231 i i +=? ?? ?? + 模： 13 113 232312 2 2= += +i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3 13 22231231+?? ? ??-=+-=+?? ? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解： () ()() 2 532 3321 133******** i i i i i i i i i i i i i i -= -+-= ++-- -=+-+- =-- 实部：23 131=??? ??-- i i i Re 虚部：25 131-=??? ??-- i i i Im 共轭复数：2 53131i i i i +=? ?? ??-- 模： 2 344 342 531312 2 2= = += -- i i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2352232 52131131+??? ??-=+??? ? ? ??-=+?? ? ??--=??? ??--arg

3) ()() i i i 25243-+ 解： ()()()2 2672 2672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部：()()2725243-=? ? ? ??-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模： ()() 292 522627252432 2= ? ? ? ??-+??? ??-= -+i i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 27262272 26 25243+??? ??=+??? ? ? ??--=?? ? ??-+ 4) i i i +-2184 解：i i i i i i 31414218-=+-=+- 实部：()14218=+-i i i Re 虚部：()3421 8 -=+-i i i Im 共轭复数：()i i i i 314218+=+- 模：103 142 221 8 =+=+-i i i 辐角：()()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 23213244218218+-=+?? ? ? ?- =++-=+-arg 2． 当x 、y 等于什么实数时，等式() i i y i x +=+-++13531成立？ 解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ? ? ?=-=+832 1y x ???==?111y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。

复变函数课后习题答案全

. .. . . 资料. 习题一答案 1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1）1 32i +（2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i --（4）821 4i i i -+- 解：（1）1323213i z i -== +， 因此：32 Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310 i i i z i i i -+=== ---， 因此，31 Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122 i i i z i i i --=-=-+= -， 因此，35 Re , Im 32z z ==-， （4）821 41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=， 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+（3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+

.. .. 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--（4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）2 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ????+- （5 = （6 ） =4． 设12 ,z z i = =-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1 2cos sin , 2[cos()sin()]4 466 z i z i π π ππ =+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212 i i ππππππ =-+-=+， 5． 解下列方程： （1）5 () 1z i +=（2）440 (0)z a a +=> 解：（1 ）z i +=由此 25 k i z i e i π=-=-，(0,1,2,3,4)k = （2 ）z ==