二次函数与生活实际问题
例题:假如你是销售部经理,现有一批商品卖价60元,每周卖出300件,经市场调研发现;如果调整价格每件涨价1元,每周可少卖出10件,每件降价1元,每周可多卖出20件,商品成本40元,请问你应该如何定价,收益最高?
分析:首先我们设每件涨价x元,此时最大利润y1,那么每周可卖出300—10x件,每件获利(60+x—40)元,这样我们可得到y1=(60+x—40)*(300—10x)经化简得:y1=-10x*x-100x+6000
则函数最大值为:y1=6250(元)
涨价;x=-100/2*(-10)=5(元)
可卖出;300-10*5=250(件)
同理设每件降价x元,此时最大利润y2元,每周可卖出300+20x件,每件获利(60-x-40)元,则y2=(60-x-40)*(300+20x)化简有:
y2=-20x*x+100x+600
则函数最大值为;y2=6125(元)
涨价:x=-100/2*(-20)
可卖出:300+20*2.5=350(件)
由此我们可以看出:应该涨价5元,定价65元,将带来最大利润6250元。
总结:生活中有很多实际问题,看似很麻烦,但还是可以转化为数学问题的,尤其二次函数非常重要,因此我们应熟练掌握所学的知识,并且用于实际生活。
二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(含10元,14元)浮动时,每瓶售价每增加0.5元,日均销量减少40瓶;当售价为每瓶12元时,日均销量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大?最大日均毛利润为多少元? 解:设售价为每瓶x元时,日均毛利润为y元,由题意,得日均销售量为400-40[(x-12)÷0.5]=1 360-80x, y=(x-9)(1 360-80x) =-80x2+2 080x-12 240(10≤x≤14). -b 2a=- 2 080 2×(-80) =13, ∵10≤13≤14,∴当x=13时,y取最大值, y最大=-80×132+2 080×13-12 240=1 280(元). 答:售价定为每瓶13元时,所得日均毛利润最大,最大日均毛利润为1 280元. 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题,在建立函数关系式时,应注意自变量的取值范围,在这个取值范围内,需了解函数的性质(最大最小值,变化情况,对称性,特殊点等)和图象,然后依据这些性质作出结论. 【中考变形】 1.[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品,第一个月,按进价提高50%的价格出售,售出400件,第二个月,商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少.销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8-1所示. (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时,销售量为300件__;销售单价每提高1元时, 销售量相应减少__20__件; (2)请直接写出y与x之间的函数表达式:__y=20x图Z8-1
二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤: 1、基本思路:理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性; 2、基本步骤:审题→建模(建立二次函数模型)→解模(求解)→回答(用生活语言回答,即问什么答什么)。 二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题
解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点:①设未知数在“当某某为何值时,什么最大(最小、最省)”的设问中,“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;②问的求解依靠配方法或最值公
式而不是解方程。 (1)利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量,设未知数时,总利润必然是因变量y,而自变量有两种情况:①自变量x是所涨价多少或降价多少;②自变量x是最终销售价格。 例:商场销售M型服装时,标价75元/件,按8折销售仍可获利50%,现搞促销活动,每件在8折的基础上再降价x元,已知每天销售数量y(件)与降价x(元)之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0) ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。 (2)利用二次函数解决面积最值 例:已知正方形ABCD边长为8,E、F、P分别是AB、CD、AD上的点(不与正方形顶点重合),且PE⊥PF,PE=PF 问当AE为多长时,五边形EBCFP面积最小,最小面积多少 2、用二次函数解抛物线形问题
巧记实际问题要解决,正确建模是关键;根据题意的函数,提取配方定顶点; 抛物线有对称轴,增减特性可看图;线轴交点是顶点,顶点 纵标最值出。 练习 1:某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,测得水面宽1.6m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么 2:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面,装货宽度为。这辆汽车能否顺利通过大门若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售
二次函数的建模 知识归纳:求最值的问题的方法归纳起来有以下几点: 1.运用配方法求最值; 2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值; 3.建立函数模型求最值; 4.利用基本不等式或不等分析法求最值. 一、利用二次函数解决几何面积最大问题 1、如图1,用长为18米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x (米),面积为y (平方米),求y 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,所围成的苗圃面积最大?最大面积是多少? 解:(1)设矩形的长为x (米),则宽为(18- x )(米), 根据题意,得: x x x x y 18)18(2+-=-=; 又∵180,0180<x<x >x >∴? ??- (自变量x 的取值范围是关键,在几何类题型中,经常采用的办法是: 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围,例如上式 中,18-x ,就是含有自变量的加减代数式,考虑到18-x 是边长,所以边长应该>0,但边长最长不能超过18,于是有0<18-x <18,0<x <18) (2)∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中,a= -1<0,∴y 有最大值, 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时, 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时,苗圃的面积最大,最大面积为81平方米。 点评:在回答问题实际时,一定注意不要遗漏了单位。 2、如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠墙。问如何围,才能使养鸡场的面积最大? 解:设养鸡场的长为x (米),面积为y (平方米),则宽为(250x -)(米), 根据题意,得:x x x x y 252 1)250(2+-=-=; 又∵500,02 500<x<>x x >∴?????- ∵x x x x y 252 1)250(2+-=-=中,a=21-<0,∴y 有最大值,
中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题,主要是解答题,也有少量的选择和填空题,常见问题有以几何为背景问题,以球类为背景问题,以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境,修建了环境幽雅的环城公园,为了给公园内的草评定期喷水,安装了一些自动旋转喷水器,如图所示,设喷水管AB 高出地面1.5m ,在B 处有一个自动旋转的喷水头,一瞬间喷出的水流呈抛物线状.喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角,水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ,水流的落地点为D .在建立如图所示的直角坐标系中: (1)求抛物线的函数解析式; (2)求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ? 【答案】(1)213222y x x =-++;(2)(2+m . 【解析】 试题分析:(1)把抛物线的问题放到直角坐标系中解决,是探究实际问题常用的方法,本题关键是解等腰直角三角形,求出抛物线顶点C (2,3.5)及B (0,1.5),设顶点式求解析式; (2)求AD ,实际上是求当y=0时点D 横坐标. 在如图所建立的直角坐标系中, 由题意知,B 点的坐标为(01.5),, 45CBE BEC ∠=∴,△为等腰直角三角形, 2BE ∴=, 点坐标为(23.5), (1)设抛物线的函数解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠,
则抛物线过点(01.5),顶点为(23.5), , 当0x =时, 1.5y c == 由22b a -=,得4b a =-, 由24 3.54ac b a -=,得2 616 3.54a a a -= 解之,得0a =(舍去),1422a b a =-∴=-=,. 所以抛物线的解析式为213222 y x x =-++. 考点:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评:此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.结合实际问题并从 中抽象出函数模型,试着用函数的知识解决实际问题,学会数形结合解答二次函数的相关题型. 原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园的BC x 边长为(m ),花园的面积为y (m ). (1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2)满足条件的花园面积能达到200 m 吗?若能,求出此时x 的值;若不能,说明理由; (3)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当x 取何值时,花园的面积最大?最大面积为多少? 【答案】(1)x x y 202 12+- =)150(≤ 实际问题与二次函数 一、利用函数求图形面积的最值问题 一、 围成图形面积的最值 1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、 如图1,用长为18米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗 圃。 (1) 设矩形的一边长为 米),面积为y (平方米),求y 关 于x 的函数关系式; (2) 当x 为何值时,所围成的苗圃面积最大?最大面积是多少? 解:(1)设矩形的长为x (米),则宽为(18- x )(米), 根据题意,得:x x x x y 18)18(2 +-=-=; 又∵180,0180<x<x >x >∴? ??- (2)∵x x x x y 18)18(2+-=-=中,a= -1<0,∴y 有最大值, 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时,81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时,苗圃的面积最大,最大面积为81平方米。 2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、 如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠墙。问如何围,才能使养鸡场的面积最大? 解:设养鸡场的长为x (米),面积为y (平方米),则宽为( 250x -)(米), 根据题意,得:x x x x y 252 1)250(2+-=-=; 又∵500,02 500<x<>x x >∴?????- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中,a=2 1-<0,∴y 有最大值, 即当25)21(2252=-?-=-=a b x 时,2625)2 1(42504422max =-?-=-=a b ac y 故当x=25米时,养鸡场的面积最大,养鸡场最大面积为2 625平方米。 3、 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由. (1)解:设剪成两段后其中一段为xcm ,则另一段为(20-x ) cm . 初中数学专项训练:实际问题与二次函数(人教版) 一、利用函数求图形面积的最值问题 一、围成图形面积的最值 1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、 如图1,用长为18米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗 圃。 (1) 设矩形的一边长为x (米),面积为y (平方米),求y 关于x 的 函数关系式; (2) 当x 为何值时,所围成的苗圃面积最大?最大面积是多少? 分析:关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。 解:(1)设矩形的长为x (米),则宽为(18- x )(米), 根据题意,得:x x x x y 18)18(2 +-=-=; 又∵180,0 180 <x<x >x >∴?? ?- (2)∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中,a= -1<0,∴y 有最大值, 即当9) 1(218 2=-?-=- =a b x 时,81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时,苗圃的面积最大,最大面积为81平方米。 点评:在回扣问题实际时,一定注意不要遗漏了单位。 2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、 如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠 墙。问如何围,才能使养鸡场的面积最大? 分析:关键是明确问题中的变量是哪两个,并能准确布列出函数关系式 解:设养鸡场的长为x (米),面积为y (平方米),则宽为(2 50x -)(米), 根据题意,得:x x x x y 252 1 )250( 2+-=-=; 又∵500,02 500 <x<>x x >∴??? ??- ∵x x x x y 2521)250( 2+-=-=中,a=2 1 -<0,∴y 有最大值, 即当25) 2 1(2252=-?- =-=a b x 时,2625) 2 1(42504422max =-?-=-=a b ac y 1. 某商品的售价为每件60 元,进价为每件40元,每星期可卖出300件,该商场一星期卖这种商品的利润为元。 2、我班某同学的父母开了一个小服装店,出售一种进价为40元的服装,现每件60元,每星期可卖出300件. 该同学对父母的服装店很感兴趣,因此,他对市场作了如下的调查: 如调整价格,每降价1元,每星期可多卖出20件. 请问同学们,该如何定价,才能使一星期获得的利润最大? 3、某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售(按部门规定,单价不超过每件70元),可以卖出(100- x)件,应如何定价才能使利润最大? 4、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱。 (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式; (2)求该批发商平均每天的销售利润ω(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式; (3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 5、某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利5元,每天可售出200千克,经市场调查,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,销量将减少10千克 (1)该商场要保证每天盈利1500元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?(2)若该商场单纯从经济利益角度考虑,这种水果每千克涨价多少元,能使商场获利最多? 6、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程,下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系). (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与销售时Array间t(月)之间的函数关系式; (2)求截止到几月累积利润可达到30万元; (3)求第8个月公司所获利润是多少万元? 孟老师12月23日初三学案 二次函数在实际问题中的应用 一抛物线形的物体 研究抛物线的问题,需要建立适当的平面直角坐标系,根据已知条件,求出相关点的坐标,确定解析式,这是解答其它问题的基础,. (2012?益阳)已知:如图,抛物线y=a(x﹣1)2+c与x轴交于点A(,0)和点B,将抛物线沿x轴向上翻折,顶点P落在点P'(1,3)处. (1)求原抛物线的解析式; (2)学校举行班徽设计比赛,九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感:过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点,将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉,设计成一个“W”型的班徽,“5”的拼音开头字母为W,“W”图案似大鹏展翅,寓意深远;而且小明 通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等 于0.618).请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少?(参考数据:,,结果可保留根号) 2(2010?南充)如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内.已知AB=4米,AC=3米,网球飞行最大高度OM=5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计).(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,网球能不能落入桶内? (2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时,网球可以落入桶内? 二应用二次函数解决实际问题中的最值 求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法. 二次函数的性质在实际生活中的应用 二次函数的图象特点及其应用 二次函数的图象特点及其应用 课题名称: 二次函数的图象特点及其应用 课题的研究及意义: 数学是一门很有用的学科。古往今来,人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。数学是人们用来解决实际问题的,其实数学问题就产生在生活中。比如说,上街买东西自然要用到加减法,修房造屋总要画图纸。类似这样的问题数不胜数,这些知识就从生活中产生,最后被人们归纳成数学知识,解决了更多的实际问题。现在,就让我们一起领略数学中二次函数的无穷魅力 课题研究内容: 1.发展史:函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y,变量Y随着变量X一起变化,而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值,Y依确定的关系取相应的值,那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的,但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。17世纪末,在他的文章中,首先使用了“function" 一词。翻译成汉语的意思就是“函数。不过,它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样,它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。 直到18世纪,法国数学家达朗贝尔在进行研究中,给函数重新下了一个定义,他认为,所谓变量的函数,就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式,即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范,他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系,各自有它们的优点,但是如果作为函数的定义,还有欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现象上,而没有提示出函数的本质来。 19世纪中期,法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果,第一次准确地提出了函数的定义:如果某一个量依赖于另一个量,使后一个量变化时,前一个量也随着变化,那么就把前一个量叫做后一个量 课题:人教版第二十六章第一节《实际问题与二次函数》 教学目标: 1、知识与技能: 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数求出实际问题中的最大(小)值,发展学生解决问题的能力。 2、过程与方法: 经历探索商品销售中最大利润问题的过程,进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题,增强学生数学应用能力。 3、情感态度与价值观: 提高学生解决问题的能力,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值。 教学重点与难点: 1、重点: 让学生通过解决问题,掌握如何应用二次函数来解决经济中最大(小)值问题。 2、难点: 如何分析现实问题中数量关系,从中构建出二次函数模型,达到解决实际问题的目的。 教学过程: 一、创设情境: 请同学们考虑下列问题: 已知某商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润,该商品应定价为多少元? 学生根据相应的数量关系列出方程。 设每件涨价x元 (60+x -40)×(300-10x)=6090 (从实际生活入手,创设问题情境,提高学生兴趣,激发求知欲望。) 二、探索新知,进入新课 1、商场的服装,经常出现涨价、降价,这其中有何奥妙呢?商家的利润否是随涨价而增多,降价而减少呢? 2、某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件。如何定价才能使利润最大? 教师展示问题, (1)、本题中的变量是什么? (2)、如何表示赚的钱呢? 学生分组讨论,利用函数模型解决问题 设每件涨价x元,由此商品 ①每件的利润为:(60+x -40)元 ②每星期的销售量为:(300-10x)件 ③所获利润是:(60+x -40)×(300-10x)元 若设所获得利润为y元,则有y=(60-40+x)(300-10x),即 y=-10x2+100x+6000。二次函数与实际问题
实际问题与二次函数-详解与练习(含答案)
实际问题与二次函数典型l例题
二次函数在实际问题中的应用
二次函数的图象特点及其应用
二次函数与实际问题-利润问题
二次函数及实际应用之利润最大(小)值问题