2021年高二下学期期中测试数学(理)
2021年高二下学期期中测试数学（理）
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．___▲___
2．已知，则▲
3．命题：“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题为▲．
4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设是▲
5．已知各个命题A、B、C、D，若A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D 是C的充分必要条件，则D是A的▲条件.
6．有这样一段“三段论”推理，对于可导函数f(x)，大前提：如果f’(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点；小前提：因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f’(0)=0，结论：所以x=0是函数f(x)=x3的极值点。以上推理中错误的原因是▲错误（填大前提；小前提；结论）。
7．函数的减区间是▲
8．若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种．
9．若命题“，使得”为假命题，则实数的范围▲．
10．直线与函数f(x)=x3图像相切，且与直线垂直，则直线的方程为▲
11．设的内角所对的边长分别为，则“”是“为锐角三角形”成立的▲条件（填充分不必要；
必要不充分；充要；既不充分也不必要）．
12．若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围
是▲．
13．下面给出三个类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）；
①“,若，则”类比推出“,若，则”
②“，若复数，则，”类比推出“，若，则，”。
③“,若，则”类比推出“,若，则”
其中类比结论正确的序号是_____________（写出所有正确结论的序号）
14．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是▲。
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本小题共14分）
设命题：曲线上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题：直线与曲线有两个不同的公共点；若命题和命题中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
16．（本小题共14分）
已知复数在复平面内所对应的点为．
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若点在第二象限，求实数的取值范围；
（3）求的最小值及此时实数的值．
17．（本小题共14分）
从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？
（Ⅰ）男、女同学各2名；
（Ⅱ）男、女同学分别至少有1名；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．
18．（本小题共16分）
阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
------①
------②
由①+②得------③
令有
代入③得.
(1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:
;
(2)若的三个内角满足,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断的形状.
19．（本小题共16分）
已知．
经计算得，，，，，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．
（1）试写出这个一般性的结论；
（2）请用数学归纳法证明这个一般性的结论；
（3）对任一给定的正整数，试问是否存在正整数，使得？
若存在，请给出符合条件的正整数的一个值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题共16分）
已知函数，，又函数在单调递减，而在单调递增．
（１）求的值；
（2）求的最小值，使对，有成立；
（３）是否存在正实数，使得在上既有最大值又有最小值？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
姜堰市2011-xx学年度第二学期期中测试
高二数学试题（理）参考答案
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）
15. 解：若命题为真命题，则对恒成立，…………2分
∴，得；…………………………５分
若命题为真命题，则方程组有两组不同的解，即有两个不等根，
∴，得；……………………………………10分
那么，命题为真命题而命题为假命题时，即且，得，；…………………………………………………………………………12分
命题为假命题而命题为真命题时，即，得，；
∴当命题和命题中有且只有一个是真命题时，．…………1４分
16. （1）由………………………………………………………………2分
解得……………………………………………………………………………4分
注：未舍解的扣2分
（2）由……………………………………………………………………6分
解得或………………………………………………………8分（3）………………………………………………9分
令，……………………………………………………11分
则……………………………………………12分
所以当即时，…………………………………………………13分
有最小值．…………………………………………………………………14分
17. 解：（1）（种）………………………………………4分
（2）（种）………………………………8分
（3）（种）（或（种））12分
答：（略）………………………………14分
18. 解：(Ⅰ)证明:因为，------①
②…………2分
①-②得③……………………4分
令有，
代入③得.………………8分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)中的结论有，……………10分
因为A,B,C为的内角，所以，
所以.
又因为，所以,
所以.
从而.……………………………………………12分
又,所以，故.…………………………14分
所以为直角三角形. ……………………………………………16分
（3）存在……………………………………………………………………………………13分可取…………………………………………………………………………16分
注：答案不唯一
20. 解：（１）由题意知是函数的一个极值点，即，∴，即，
此时，满足条件，∴．………４分
（２）由得，或，
列表可得，
，，，，
∴当时，；………………………………………………6分
又，
∴当时，；………………………………………………8分
因此，，∴；
∴满足条件的的最小值为52．………………………………………………………10分
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