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高中数学 参数方程的概念参数方程的概念教案 北师大版选修4-

高中数学 参数方程的概念参数方程的概念教案 北师大版选修4-
高中数学 参数方程的概念参数方程的概念教案 北师大版选修4-

参数方程的概念

教学目标:(1)通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方程,

体会参数的意义。

(2)分析曲线的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。

(3)能掌握消去参数的一些常用技巧:代人消参法、三角消参等;

重点难点:根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义

教学过程:1.问题提出:已知圆C 的方程为1)2(22=+-y x ,过点P 1(1,0) 作圆C 的任意弦,交圆C 于另一点P 2,求P 1P 2的中点M 的轨迹方程.

书中列举了六种解法,其中解法六运用了什么方法求得M 点的轨迹方程?此种方法是如何设置参数的,其几何意义是什么?

设M(y x ,) ,由???

????+=++=222112k k

y k k x ,消去k,得41)23(22=+-y x ,因M 与P 1不重合,所以M 点的轨迹方程为4

1)23(22=+-y x (1≠x ) 解法六的关键是没有直接寻求中点M 的轨迹方程0),(=y x F ,而是通过引入第三个变量k (直

线的斜率),间接地求出了x 与y 的关系式,从而求得M 点的轨迹方程.实际上方程???

????+=++=222112k k

y k k x (1)和4

1)23(22=+-y x (1≠x )(2)都表示同一个曲线,都是M 点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.

方程组(1)是曲线的参数方程,变数k 是参数,方程(2)是曲线的普通方程.

(2)、抽象概括:参数方程的概念。

1、 曲线的参数方程

在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数,???==)

()(t g y t f x (1)

并且对于t 的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.

联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数.

2、 求曲线的参数方程

求曲线参数方程一般程序:

(1) 设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标;

(2) 选参:选择合适的参数;

(3) 表示:依据题设、参数的几何或物理意义,建立参数与x ,y 的关系

式,并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式.

(4) 结论:用参数方程的形式表示曲线的方程

3、 曲线的普通方程

相对与参数方程来说,把直接确定曲线C 上任一点的坐标(x,y )的方程F (x,y )=0叫做曲线C 的普通方程.

4、 参数方程的几个基本问题

(1) 消去参数,把参数方程化为普通方程.

(2) 由普通方程化为参数方程.

(3) 利用参数求点的轨迹方程.

(4) 常见曲线的参数方程.

3、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系

曲线的普通方程),(y x F =0是相对参数方程而言,它反映了坐标变量x 与y 之间的直接联系;而参数方程?

??==)()(t g y t f x , t D ∈是通过参数t 反映坐标变量x 与y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数,变数的个数比方程的个数多1;曲线的参数方程中,有三个变数两个方程,变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲,曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.

参数方程 普通方程 ; 普通方程 参数方程

这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.

说明:(1)一般来说,参数的变化范围是有限制的。

(2)参数是联系变量x ,y 的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。

曲线的参数方程?

?

?==)()(t g y t f x (t 为参数,t D ∈)是表示一条确定的曲线; 含参数的方程),,(t y x F =0却表示具有某一共同属性的曲线系,两者是有原则区别的. (3)由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生,在求轨迹方程的过程中,我们通过设参变量k,先求得曲线的参数方程再化为普通方程,进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法.

例1、(课本第28页例1)已知曲线C 的参数方程是???+==1232t y t

x (t 为参数)(1)判断点1M (0,1),

2M (5,4)与曲线C 的位置关系;

(2)已知点3M (6,a )在曲线C 上,求a 的值。 分析:只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。学生练习。

反思归纳:给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。

1、参数方程化普通方程

例2:化参数方程?

??+=-=142

t y t x (t ≥0,t 为参数)为普通方程,说明方程的曲线是什么图形. 解:???+=-=(2)

1(1) 42t y t x 由(2)解出t ,得t=y -1,代入(1)中,得2)1(4--=y x (y ≥1)即x y 4

1)1(2-=- (y ≥1)方程的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于x 轴,开口向左的抛物线的一部分.

点拨:先由一个方程解出t ,再代入另一个方程消去参数t,得到普通方程,这种方法是代入消参法.

消去参数 恰当选择参数

例3:当t ∈R 时,参数方程???????+-=+-=2

224448t t y t t x (t 为参数),表示的图形是( ) A 双曲线 B 椭圆 C 抛物线 D 圆

点拨:解法1使用了代数消元法,解法2观察方程(1)、(2)的“外形”很像三角函数中的万能公式,使用了三角消参法.

当x 和y 是t 的有理整函数时,多用代入或加减消元法消去参数;

当x 和y 是t 的有理分式函数时,也可以用代入消参法,但往往需要做些技巧性的处理.至于三角消参法,只在比较巧合的情况下使用.

例4:将下列方程化为普通方程: (1) ???????+=+=)sin 1(212sin 2cos θθθy x (θ为参数) (2) ???

????-=+=--

22t t t t e e y e e x (t 为参数) 解:(1)做y x 22-=(cos 22θ+sin 22

θ+sin θ)-(1+sin θ)=0 y x 22-=0,但由于)4sin(2π

θ+=x ,即0≤x ≤2. ∴参数方程只表示抛物线的一部分,即y x 22=(0≤x ≤2)

(2)解方程组得t

e y x =+(1) t e y x -=- (2) (1)×(2)得22y x -=1 从2

t

t e e x -+=知x ≥1(提示应用均值定理) 所求的普通方程为22y x -=1 (x ≥1)

点拨:(1)从方程组的结构看含绝对值,三角函数,通过平方去绝对值,利用三

角消参法化为普通方程;

(2)观察方程组的结构,先利用消元法,求出t e ,t

e -,再消t.

方法总结:将参数方程化普通方程方法:(基本思想是消参)

(1)代入消参法; (2)代数变换法(+,-,×,÷,乘方)

(3)三角消参法

注意:参数取值范围对y x ,取值范围的限制.(参数方程与普通方程的等价性)

2、普通方程化参数方程

例5:设θsin 1+-=y ,为参数,化方程0182422=++-+y x y x 为参数方程。 解:???+-==++-+

sin 1018222θy y x y x 消y 得 01sin 882)sin sin 21(422=++--+-+θθθx x

?03sin 4222=-+-θx x ?θ22cos 4)1(=-x ∴θθcos 21,cos 21-=+=x x 或

由于θ∈R ,所以θθcos 21,cos 21-=+=x x 或和所确定的x 取值范围是一致的,故主要任选其一构成参数方程即可.

所求的参数方程为???+-=+=

sin 1 cos 21θθy x θ∈R 例6:以过点A(0,4)的直线的斜率k 为参数,将方程422y x +=16化成参数的方程是 .

解:设M(y x ,)是椭圆422y x +=16上异于A 的任意一点,则k x

y =-4, (x ≠0)以4+=kx y 代入椭圆方程,得]8)4[(2k x k x ++=0, ∴???

????+-=+=+-=2224416448k k kx y k k x 另有点???-==40y x ∴所求椭圆的参数方程为 ???

????+-=+-=222441648k k y k k x 或???-==40y x 方法总结:将普通方程化参数方程方法:

已知???==0

),()(y x F t f x )(t y ?= ???==)()(t y t f x ? 四)基础知识测试:

1、曲线???-=+=3

412

t y t x (t 为参数)与x 轴交点的坐标是( )

A (1,4)

B (1625,0)

C (1,-3)

D (±16

25,0) 2、在曲线???+-=++=2

3134

2t t y t t x (t 为参数)上的点是( ) A (0,2) B (-1,6) C (1,3) D (3,4)

3、参数方程?????-==θ

θθctg tg y x 2sin 2(θ为参数)所表示的曲线是( )

A 直线

B 抛物线

C 椭圆

D 双曲线

4、与参数方程???-==t

y t x 1(t 为参数, t ∈R )表示同一曲线的方程是( )

A ???=-=t y t x 1 (t 为参数, t ∈R )

B ???-==221t

y t x (t 为参数, t ∈R ) C ???-==θθsin 1sin y x (θ为参数, θ∈R ) D ???==t

y t x sin 2cos 2(t 为参数, t ∈R )

5、曲线1=xy (0

A ???==θθctg y tg x (θ为参数, θ2πk ≠,k ∈Z )

B ??

???==t y t x 1 (t 为参数, t ≠0) C ???-==θ

θcsc 1sin y x (θ为参数, θ为锐角)

D ???==θ

θsec cos y x (θ为参数, θ2ππ+≠k , k ∈Z ) 小结:1.本节学习的数学知识;2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教师引导,抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。

消去x

人教版高中数学选修44坐标系与参数方程全套教案

人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案 课型: 复习课 课时数: 1 讲学时间: 2010年1月18号 班级: 学号: 姓名: 一、【学习目标】: 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化。 3、能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质,选择适当的参数写出它们的参数方程,能进行参数方程与普通方程的互化。 二、【回归教材】: 1、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》152P P -,试了解以下内容: (1)设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在伸缩变换公式???>?='>?=') 0()0(:μμλλ?y y x x 的作用下,如何找到点P 的对应点),(y x P '''?试找出x y sin =变换为x y 2sin 3=的伸缩变换公式 . (2)极坐标系是如何建立的?试类比平面直角坐标系的建立过程画一个,并写出点M 的极径与极角来 表示它的极坐标,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,写出极坐标和直角坐标的互化公式 . (3)在平面直角坐标系中,曲线C 可以用方程0),(=y x f 来表示,在极坐标系中,我们用什么方程来 表示这段曲线呢?例如圆222r y x =+,直线x y =,你是如何用极坐标方程表示它们的? 2、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》3721P P -,了解以下内容: (1)直接给出这条曲线上点的坐标间的关系的方程叫做普通方程,那如果变数t 都是点坐标x ,y 的函 数,我们如何建立这条曲线的参数方程呢? (2)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线的类型,我们是如何做到的?在互化的过程中, 必须注意什么问题?试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。

最新高中数学参数方程大题(带答案)精选

参数方程极坐标系 解答题 1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数) (Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程. (Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. +=1 , , 的距离为 则 取得最小值,最小值为 2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为: ,曲线C的参数方程为:(α为参数). (I)写出直线l的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. 的极坐标方程为: cos= ∴

y+1=0 ( d= 的距离的最大值. 3.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数). (1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值. :(化为普通方程得:+ t=代入到曲线 sin =,),﹣

4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为 ,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C 上不同于A,B的任意一点. (Ⅰ)求圆心的极坐标; (Ⅱ)求△PAB面积的最大值. 的极坐标方程为,把 ,利用三角形的面积计算公式即可得出. 的极坐标方程为,化为= 把 ∴圆心极坐标为; (t , = 距离的最大值为 5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值. 由题意椭圆的参数方程为为参数)直线的极坐标方程为

椭圆的参数方程(教案)

学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质(5) ——椭圆的参数方程(教案) 齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求: 1?了解椭圆参数方程,了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识,并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。 二.教学目标: 1. 知识目标:学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程,理解它与普通方 程的相互联系;对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标:巩固坐标法,能对简单方程进行两种形式的互化;能运用参 数方程解决相关问题。 3. 德育目标:通过对椭圆多角度、多层次的认识,经历从感性认识到理性 认识的上升过程,培养学生辩证唯物主义观点。 三.重点难点: 1. 重点:由方程研究曲线的方法;椭圆参数方程及其应用。 2. 难点:椭圆参数方程的推导及应用。 四.教学方法: 引导启发,计算机辅助,讲练结合。 五.教学过程: (一)引言(意义) 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的,对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用,进一步完善对椭圆认识。(二)预备知识(复习相关) 1. 求曲线方程常用哪几种方法? 答:直接法,待定系数法,转换法〈代入法〉,参数法。 2. 举例:含参数的方程与参数方程

2 “ x = 2t 例如:y =kx+1 (k 参数)含参方程'而I 十1 (t 参数) 3 ?直线及圆的参数方程?各系数意义? (三)推导椭圆参数方程 1. 提出问题(教科书例5) 例题.如图,以原点为圆心,分别以 a b (a>b>0)为半径作两个圆。 点B 是大圆半径OA 与小圆的交点,过点 A 作AN _0x ,垂足为N ,过 点B 作BM _AN ,垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题,但动点较多,不易把握。故采用 间接法 --- 参数法。 引导学生阅读题目,回答问题: (1) 动点M 是怎样产生的? M 与A 、B 的坐标有何联系? (2) 如何设出恰当参数? 设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题(板演) 解:设点M 的坐标(x,y ),是以Ox 为始边,OA 为终边的正角, 取为参数,那么 x=ON=|OA|cos 「, y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步(板演:化普通方程) -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形,得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程,「为参数。

汇总高中数学教学案例分析.doc

教学案例 我所带的是高二(2)班,她是个庞大的班级,有56名学生。 在第一周上课的几天里,我渐渐的发现一名“怪”学生——张勇明。这名学生坐在教室正中间第二排的位置上。这样的位置是老师能看到的最佳位置,就在老师眼皮底下。上课时,其他这种位置的同学慑于被老师盯上,一般都规规矩矩的坐着,认认真真的听课,而这位同学却不然,他好象一点也不怕被我盯上。 上课时,先是看着黑板听一会儿,然后就弯下腰半趴在课桌上什么也不看,懒懒的样子,不知道在干什么。下课后我走到他跟前问他是不是有什么事,他笑着摇摇头说没有。 课后(2)班主任周老师告诉我,其实那个学生的数学基础挺扎实的,只是有些懒不能长久坚持下去,应该多注意多关照一下。 在以后的上课中,我在提问其他同学问题的时候,也有意无意的去提问他。课后,走到他跟前问他有没有不清楚的问题。 渐渐的在以后的课堂上,这位同学半趴在课桌上的次数少了,当讲到关键处时,我也能看到他在集中精力听。而且我还发现他一个很好的学习习惯——提前预习书本内容,提前做课后练习及习题。有一次我讲四种命题的关系,下课后我走到张勇明跟前,看到他已经把下一节充分必要条件的练习题做过啦,而且准确无误。 中段考试成绩出来了,张勇明的数学考了75分(满分150分),全班第一名。其中有一道数学大题难度较大,我曾在课堂上给同学们讲过,可是只有张勇明一个学生作对,其他做对的同学寥寥无几。 由此,我体会到:由于(2)班大部分同学基础比较薄弱,而高中阶段新内容新知识的接受又需要以前所学内容做铺垫,而以前的知识又没真正掌握,这样恶性循环下去以致使他们失去了学习的兴趣。所以在课堂上,多数同学听的蒙蒙胧胧似懂非懂。 针对这种现象,我要求同学做到:(1)把以前的数学课本从家里找到带到教室来,放在课桌上有意识的经常翻一翻。这样有些没记住的公式或不熟悉的公理定理就能记住了。(2)同学们作课堂笔记的时候,对于涉及到的旧知识内容如果不了解,那么也要做笔记。这样易于查漏补缺,新旧内容一起巩固并掌握。(3)当天事情当天做。每天上完新课后,若有不懂的问题争取当天解决,或者问我或者问同学。(4)经常复习巩固。 高二(班)路玉

高中数学 《参数方程的概念》教案 新人教A版选修4-4

参数方程 目标点击: 1.理解参数方程的概念,了解某些参数的几何意义和物理意义; 2.熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别,掌握他们的互化法则; 3.会选择最常见的参数,建立最简单的参数方程,能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义; 4.灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击: 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数,?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序: (1) 设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标; (2) 选参:选择合适的参数; (3) 表示:依据题设、参数的几何或物理意义,建立参数与x ,y 的关系 式,并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论:用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说,把直接确定曲线C 上任一点的坐标(x,y )的方程F (x,y )=0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数,把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x ),倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x (t 为参数)t 的几何意义:t 表示有向线段P P 0的数量,P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x ),斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 (t 为参数) (2)圆的参数方程

最新高考数学解题技巧-极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧 解答题模板3:极坐标与参数方程 1、 题型与考点(1){极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 (2) {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程:直线参数方程:00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点, t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量; 圆锥曲线参数方程:圆的参数方程:cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心,r 为半径; 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数; 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数; 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式: 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,点P 的极坐标为(,)ρθ,直角坐标为(,)x y , 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 (1)、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法;化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数t ,先确定一个关系()x f t =(或()y g t =,再代入普通方程(),0F x y =,求得另一关系()y g t =(或()x f t =).一般地,常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标) 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222(t 为参数)表示的曲线是( ) A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析:注意到2t t 与2t -互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t 的项,4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ,即有422=+y x ,又注意到 02>t ,222222=?≥+--t t t t ,即

椭圆参数方程教学设计2

椭圆的参数方程教学设计 一、基本说明 1、教学内容所属模块:选修4-4 2、年级:高三 3、所用教材出版单位:人民教育出版社(A版) 4、所属的章节:第二讲第二节第1课时 5、学时数:45 分钟 二、教学设计 (一)、内容分析 1、内容来源 普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社A版数学选修4-4第二讲第三课时:椭圆的参数方程 2、地位与作用 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体,从另一个角度认识椭圆。在建立椭圆方程过程中,展示引进参数的意义和作用。以及根据椭圆的特点,选取适当的方程表示形式,体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性,拓展学生的思路,开阔学生的视野。 (二)、教学目标 1、知识与技能: (1)理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。 (2)引导学生体验构造参数法的应用思想,探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。 (3)会根据条件构造参数方程实现问题的转化,达到解题的目的。 2、过程和方法: (1)通过以熟悉的椭圆为载体,进一步学习建立参数方程的基本步骤,加深对参数方程的理解,同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质,体会参数对研究曲线问题的作用。 (2)通过利用信息技术从参数连续变化而形成椭圆的过程中认识参数的几何意义。 3、情感、态度和价值: 通过师生共同探究进一步学习建立参数方程的基本步骤,加深对参数方程的理解,体会参数法的应用。同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质。以及用参数方程解决某些曲线问题的过程中分享体会类比思想、数形结合的思想、构造转化思想。培养学生用“联系”的观点看问题,进一步增强“代数”与“几何”的联系,培养学生学好数学的信心。 (三)、教学重点、难点 重点:椭圆的参数方程及其参数的几何意义 难点:巧用椭圆的参数方程解题 (四)、学情分析: “坐标法”是现代数学最重要的基本思想之一。坐标系是联系几何与代数的桥梁,是数形结合的有力工具。虽然我们的学生已经学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程有关知识,但我们的学生对其了解甚少,再说椭圆参数方程的探求与应用,与代数变换、三角函数有密切联系,以及由学生独立获取椭圆参数方程中的参数的几何意义是极其困难的。因此我们必须从实际问题入手,由浅入深的帮助学生学习理解知识,通过“思考”、“探究”、“信息技术应用”等来启发和引导学生的数学思维,养成主动探索、积极思考的好习惯。

高中数学全参数方程知识点大全

高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中,参数t 不具备标准式中t 的几何意义,若a 2 +b 2 =1,②即为标准式,此 时, | t |表示直线上动点P 到定点P 0的距离;若a 2+b 2 ≠1,则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +|t |. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) 若P 1、P 2是l 上的两点,它们所对应的参数分别为t 1,t 2,则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α); (2)|P 1P 2|=|t 1-t 2|; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ,则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离|PP 0|=|t |=|2 2 1t t +| (4)若P 0为线段P 1P 2的中点,则 t 1+t 2=0.

2019-2020学年高中数学 2.2圆的参数方程及应用教案 北师大版选修4-4.doc

2019-2020学年高中数学 2.2圆的参数方程及应用教案 北师大版选 修4-4 一、教学目标: 知识与技能:分析圆的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值(数形结合) 过程与方法:能选取适当的参数,求圆的参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:能选取适当的参数,求圆的参数方程 教学难点:选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一)、圆的参数方程探求 1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程,教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数θθ θ?? ?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。 说明:(1)参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。(2)随着选取的参数不同,参数方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的。(3)在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。 思考交流:你能回答课本第33页的思考交流题吗? 3、若如图取

???==θθ sin 5cos 5:1y x C (θ为参数)和???+=+=0 0245 sin 345cos 4:t y t x C (t 为参数) (1)、判断这两条曲线的形状;(2)、求这两条曲线的交点坐标。学生练习,教师准对问题讲评。 (二)、最值问题:利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值(数形结合) 例2、1、已知点P (x ,y )是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点,求(1) x2+y2 的最值, (2)x+y 的最值, (3)P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。 解:圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即(x- 3)2+(y- 2)2=1,用参数方程表示为 由于点P 在圆上,所以可设P (3+cos θ,2+sin θ), (1) x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θ sin(θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为 。 (2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ ( θ + 4 π )∴ x+y 的最大值为 ,最 小值为 。 (3)2 | )4 sin(24|2 | 1sin 2cos 3|π θθθ++= -+++= d 显然当1)4 sin(±=+ π θ时,d 取最大值,最小值,分别为1+ 1-2、 过点(2,1)的直线中,被圆x 2 +y 2 -2x+4y=0截得的弦:为最长的直线方程是_________;为 最短的直线方程是__________; 3、若实数x ,y 满足x 2 +y 2 -2x +4y =0,则x -2y 的最大值为 。 (三)、课堂练习:学生练习:1、2 (四)、小结:1、本课我们分析圆的几何性质,选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同,可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。 (五)、作业:课本P39页A 组6、7、8 B 组5 1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是(D ) 3cos 2sin x y θ θ =+?? =+?

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:如图4-4-1所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角. 2.极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ,y ) 极坐标(ρ,θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ,则点P 的直角坐标为 ( ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1) 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<,则点P 的极坐标为( ) A .3(32, )4π B .5(32,)4π- C .5(3,)4π D .3(3,)4 π- 3.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 4.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A .ρ=cos θ B .ρ=sin θ C .ρcos θ=1 D .ρsin θ=1 5.曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为________. 6. 在极坐标系中,求圆ρ=2cos θ与直线θ=π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标.

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

一、极坐标系 1.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:如图4-4-1所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角. 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为,则点P 的直角坐标为 ( ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1) 2、设点的直角坐标为,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点的极坐标为( ) A . B . C . D . 3.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 4.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A .ρ=cos θ B .ρ=sin θ C .ρcos θ=1 D .ρsin θ=1 5.曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为________. 6. 在极坐标系中,求圆ρ=2cos θ与直线θ=π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标. 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.

曲线的参数方程(教案)

曲线的参数方程 教材 上海教育出版社高中二年级(理科)第十七章第一节 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念,能选取适当的参数建立参数方程; 2、通过对圆和直线的参数方程的研究,了解某些参数的几何意义和物理意义; 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中, 形成数学抽象思维能力,初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 (一)曲线的参数方程概念的引入 引例: 2002年5月1日,中国第一座身高108米的摩天轮,在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列,居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为51.5米,逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示,某游客现在点(其中点和转轴的连线与水平面平行)。问:经过秒,该游客的位置在何处? 引导学生建立平面直角坐标系,把实际问题抽象到数学问题,并加以解决 (1、通过生活中的实例,引发学生研究的兴趣;2、通过引例明确学习参数方程的现实意义;3、通过对问题的解决,使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果,从而了解学习曲线的参数方程的必要性;4、通过具体的问题,让学生找到解决问题的途径,为研究圆的参数方程作准备。) (二)曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 (1)一般的,设⊙的圆心为原点,半径为,0OP 所在直线 为轴,如图,以0OP 为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角 速度作圆周运动,则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢? (其中与为常数,为变数) 结合图形,由任意角三角函数的定义可知: ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω 为参数 ① (2)点的角速度为,运动所用的时间为,则角位移t ωθ=,那么方程组①可以改写为何种形式? 结合匀速圆周运动的物理意义可得:),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x 为参数 ② (在引例的基础上,把原先具体的数据一般化,为圆的参数方程概念的形成作准备,同时也培养了学生数学抽象思维能力)

2.3.1圆锥曲线的参数方程教案新人教版选修4_4

第三课时 圆锥曲线的参数方程 一、教学目标: 知识与技能:了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一)、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆2 2 2 r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x (θ为参数) (2)圆2 2020)\()(r y y x x =+-参数方程为:?? ?+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x (θ为参数) 2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3.能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗? (二)、讲解新课: 1.椭圆的参数方程推导:椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x (θ为参数),参 数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 2.双曲线的参数方程的推导:双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ???==θ θtan sec b y a x (θ为参数)

参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 3.抛物线的参数方程:抛物线Px y 22 =参数方程???==Pt y Pt x 222 (t 为参数),t 为以抛物 线上一点(X,Y )与其顶点连线斜率的倒数。 (1)、关于参数几点说明: A.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式,它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来,参数方程与变通方程同等地描述,了解曲线,参数方程实际上是一个方程组,其中x ,y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。 (3)、参数方程求法:(A )建立直角坐标系,设曲线上任一点P 坐标为),(y x ;(B )选取适当的参数;(C )根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P 坐标与参数的函数式;(D )证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取:选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t 做参数;与旋转的有关问题选取角θ做参数;或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 4、椭圆的参数方程常见形式:(1)、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x (θ为

高中数学选修4-4坐标系与参数方程-高考真题演练

高中数学选修4-4坐标系与参数方程------高考真题演练 1(1)(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中,O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=?? =? , (θ为参数), 过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ,两点. (1)求α的取值范围; (2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 1(2)(2018全国卷II )在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参 数),直线的参数方程为(为参数). (1)求和的直角坐标方程; (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率. 1(3)(2018全国卷I )在直角坐标系 中,曲线的方程为,以坐标原点为 极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 (1)求的直角坐标方程 (2)若 与有且仅有三个公共点,求 的方程 1(1)(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中,O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ =?? =?, (θ为参数), 过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ,两点. (1)求α的取值范围; (2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. xOy C 2cos 4sin x θy θ=?? =? , θl 1cos 2sin x t αy t α=+??=+? , t C l C l (1,2) l

解:(1)O e 的参数方程为cos sin x y θθ =?? =?,∴O e 的普通方程为22 1x y +=,当90α=?时, 直线::0l x =与O e 有两个交点,当90α≠?时,设直线l 的方程为tan y x α=-直线l 与O e 1<,得2tan 1α>,∴tan 1α>或tan 1α<-,∴ 4590α?<

高考数学参数方程所有经典类型

高考数学参数方程所有经典类型(必刷题) 1.极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. (Ⅰ)求C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求弦长||AB . 2.已知直线l 经过点1 (,1)2P ,倾斜角α=6 π,圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程,并把圆C 的方程化为直角坐标方程; (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ,求点P 到A 、B 两点的距离之积. 3.在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线1C :cos sin θθ=??=? x y (θ为参数),将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C .以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l :sin )4ρθθ+=. (1)试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程; (2)在曲线2C 上求一点P ,使点P 到直线l 的距离最小,并求此最小值. 4.在直角坐标系xoy 中,直线l 的方程为40x y -+=,曲线C 的参数方程为

x 3cos y sin ααα ?=??=??(为参数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,)2π ,判断点P 与直线l 的位置关系; (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值. 5.在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ,M ,N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点. (1)写出曲线C 的直角坐标方程,并求M ,N 的极坐标; (2)求直线OM 的极坐标方程. 6.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 (为参数),(为参数). (1)化 的方程为普通方程; (2)若上的点P 对应的参数为为上的动点,求中点到直线 (为参数)距离的最小值.

苏教版数学高一苏教版选修4-4教案 4.4.1《参数方程的概念》

选修4-4 第二章 参数方程 【课标要求】 1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。 2、理解直线的参数方程及其应用;理解圆和椭圆(椭圆的中心在原点)的参数方程及其简单应用。 3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。 第一课时 参数方程的概念 一、教学目标: 1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方程,体会参数的意义。 2.分析曲线的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。 二、教学重点:根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。 教学难点:根据几何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方程。 三、教学方法:启发诱导,探究归纳 四、教学过程 (一).参数方程的概念 1.问题提出:铅球运动员投掷铅球,在出手的一刹那,铅球的速度为0ν ,与地面成 α角, 如何来刻画铅球运动的轨迹呢? 2.分析探究理解: (1)、斜抛运动: 为参数) t gt t v y t v x (21sin cos 200?? ? ??-?=?=αα (2)、抽象概括:参数方程的概念。(见课本第27页) 说明:(1)一般来说,参数的变化范围是有限制的。 (2)参数是联系变量x ,y 的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。 (3)平抛运动:【课本P27页例题】 为参数) t gt y t x (215001002?? ? ??-==

(4)思考交流:把引例中求出的铅球运动的轨迹 的参数方程消去参数t 后,再将所得方程与原方程进行比较,体会参数方程的作用。 (二)、应用举例: 例1、(课本第28页例1)已知曲线C 的参数方程是???+==1 232 t y t x (t 为参数)(1)判断点 1 M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系;(2)已知点3M (6,a )在曲线C 上, 求a 的值。 分析:只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。学生练习。 反思归纳:给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。 例2、设质点沿以原点为圆心,半径为2的圆做匀速(角速度)运动,角速度为60 π rad/s,试以时间t 为参数,建立质点运动轨迹的参数方程。 解析:如图,运动开始时质点位于A 点处,此时t=0,设动点M (x,y )对应时刻t ,由图可知 ???==θθsin 2cos 2y x 又t 60πθ=,得参数方程为22?? ??? ==y x (三)、课堂练习:课本P28页中练习题1、2 (四)、小结:1.本节学习的数学知识;2(五)、作业:课本P28页中1、3 补充:设飞机以匀速v=150m/s 作水平飞行,若在飞行高度h=588m 处投弹(设投弹的初速度等于飞机的速度,且不计空气阻力)。(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程;(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标。简解:(1))(9.45881502 为参数t t y t x ???-==。 (2)1643m 。

高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案

第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 三、讲解新课: 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系,表示边长为1的正六边形的顶点。

高考数学参数方程大题

高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,设点A 的极坐标为)6 ,2(π ,直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π,圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=. (1)写出直线l 参数方程,并把圆C 的方程化为直角坐标方程; (2)设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点,求AC AB .的值. 【答案】(1)直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ;(2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??(α为参数),以直角坐标系原点 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹. (2)若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ,求直线被曲线C 截得的弦长. 【答案】(1)6cos 2sin ρθθ=+(2 3、在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数),若以 O 点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 (1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程; (2)将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ,再将所得曲线向左平移1个单位,得到曲线1C ,求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】(1)() 422 2 =+-y x ,052=+-y x (2 )

高中数学选修坐标系与参数方程知识点总结

坐标系与参数方程 知识点 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸 缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程

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