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3.5推理,证明数归法

3.5推理,证明数归法
3.5推理,证明数归法

第三专题 五 推理与证明

知识梳理 1.合情推理

(1)归纳推理:①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理,或者由个别事实推演出一般性的结论的推理.

②归纳推理的思维过程如下:实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论

(2)类比推理

①类比推理是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面边相似或相同的推理.

②类比推理的思维过程如下:观察、比较→联想、类推→猜测新的结论

2.演绎推理

(1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般性原理.②小前提——所研究的特殊情况.③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2)合情推理与演绎推理的区别

归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理;类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确. 3.直接证明

(1)综合法:用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为P ?Q 1→Q 1?Q 2→Q 2?Q 3→…→Q n ?Q

(2)分析法:用Q 表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为

Q ?P 1→P 1?P 2→P 2?P 3→…→得到一个明显成立的条件

4.间接证明

反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用如图所示的框图表示:

5.数学归纳法

数学归纳法证明的步骤 (1)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *

)时结论成立.

(2)假设n =k (k ∈N *

,且k ≥n 0)时结论成立,证明n =k +1时结论也成立.

由(1)(2)可知,对任意n ≥n 0,且n ∈N *

时,结论都成立. 热点突破

题型一 合情推理

例1(1)(2012·合肥模拟)先阅读第①题的解法,再解决第②题:①已知“a =(3,4),b =(x ,y),a ·b =1,

求x 2+y 2的最小值.”解 ①由|a ·b |≤|a |·|b |?1≤5x 2+y 2?x 2+y 2≥125,故x 2+y 2的最小值为1

25

.

②已知实数x 、y ,z 满足:2x +3y +z =1,则x 2+y 2+z 2

的最小值为________;

解析:(1)设a =(x ,y ,z ),b =(2,3,1),则a·b =1,由|a·b |≤|a |·|b |?1≤14 x 2+y 2+z 2?x 2+y 2+z 2≥1

14

故x 2+y 2+z 2的最小值为1

14

.

(2) 观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律,第n 个等式为 . 【解】把已知等式与行数对应起来,则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ,加数的个数是21n ;

肯定条件P 否定结论q 导致逻 辑矛盾

既p又非q为假 若P 则q 为真 → → →

等式右边都是完全平方数,

行数 等号左边的项数

1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7

…… …… ……

所以2(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=-,即2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-

变式1 (2012·江西高考)观察下列各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…, 则a 10+b 10=( )

解析:(2)a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4=3+1,a 4+b 4=4+3=7,a 5+b 5

=7+4=11,…规律为从第三

组始,其结果为前两组结果的和,∴a 6+b 6=11+7=18,a 7+b 7=18+11=29,a 8+b 8=29+18=47,a 9

+b 9=47+29=76,a 10+b 10

=76+47=123.

2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列.类比以上结论有:设等

比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4,________,________,T 16

T 12

成等比数列.

解析:等差数列的相邻四项和类比等比数列中的相邻四项之积,故T 4,T 8T 4,T 12T 8,T 16

T 12

成等比数列.

3.设函数f(x)=x

x +2(x>0),观察:

f 1(x)=f(x)=x x +2;f 2(x)=f(f 1(x))=x 3x +4;f 3(x)=f(f 2(x))=x 7x +8;f 4(x)=f(f 3(x))=x

15x +16

;….

根据以上事实,由归纳推理可得当n ∈N *且n ≥2时,f n (x)=f(f n -1(x))=________.

解析 由已知:f 1(x)=f(x)=x x +2,f 2(x)=f(f 1(x))=x 3x +4=x (4-1)x +4=x (22-1)x +22,f 3(x)=f(f 2(x))=x

7x +8

=x (8-1)x +8=x (23-1)x +23,f 4(x)=f(f 3(x))=x 15x +16=x (16-1)x +16=x

(24-1)x +24

. 猜想:f n (x)=x

(2n -1)x +2n

.

4.设数列{a n }是首项为0的递增数列,n ∈N *,f n (x)=????sin 1

n (x -a n ),x ∈

[a n ,a n +1],满足:对于任意的b ∈[0,1),f n (x)=b 总有两个不同的根,则{a n }的通项公式为________.

解析 ∵a 1=0,当n =1时,f 1(x)=|sin(x -a 1)|=|sin x|,x ∈[0,a 2],又∵对任意的b ∈[0,1),f 1(x)=b 总有

两个不同的根,∴a 2=π;f 2(x)=????sin 12(x -a 2)=????sin 12(x -π)=???

?cos x

2,x ∈[π,a 3],∵对任意的b ∈[0,1),f 2(x)=b 总有两个不同的根,∴a 3=3π;f 3(x)=????sin 13(x -a 3)=????sin 13(x -3π)=???

?sin 1

3x ,x ∈[3π,a 4],∵对任意的b ∈[0,1),f 3(x)=b 总有两个不同的根,

∴a 4=6π.由此可得a n +1-a n =nπ,∴a n =n (n -1)π

2

.

5. 在平面直角坐标系中,设△ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO 上(异于端点),设a ,b ,c ,p 均为非零实数,直线BP ,CP 分别交AC ,AB 于点E ,F ,一同学已正确算出OE

的方程:????1b -1c x +????1p -1a y =0,请你求OF 的方程:(________)x +???

?1p -1

a y =0. 解析 方法一 类比法E 在AC 上,OE 的方程为(1

b -1

c )x +(1p -1

a

)y =0.F 在AB 上,它们的区别在于B 、C

互换.因而OF 的方程应为(1

c -1b )x +(1p -1a )y =0.∴括号内应填1c -1

b

.

方法二 画草图如右,由对称性可猜想填1c -1

b

.事实上,由截距式可得直线

AB :x b +y a =1,直线CP :x c +y p =1,两式相减得? ????1c -1b x +? ??

??1p -1a y =0,显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程,又原点O 也满足此方程,故为所求直线OF 的方程.

6.(2012·惠州模拟)我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题:如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值k ,那么甲的面积是乙的面积的k 倍,你可以从给出的简单图形①(甲:大矩形ABCD ,乙:小矩形EFCB )、②(甲:大直角三角形ABC ,乙:小直角三角形DBC )中体

会这个原理,现在图③中的曲线分别是x 2a 2+y 2

b

2=1 (a >b >0)与x 2+y 2=a 2,运用上面的原理,图③中椭圆的面

积为________.

解析 由①②类比推理可得S 椭圆S 圆=b

a

故S 椭圆=b a S 圆=b

a

·πa 2=ab π.

拓展提升:

合情推理分为归纳推理和类比推理。

1.归纳递推思想在解决问题时,从特殊情况入手,通过观察、

分析、概括,猜想出一般性结论,然后予以证明.这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用.其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”,解题的关键在于正确的归纳猜想.归纳推理关键是找规律。

2.“观察、类比”是解决本题的基本思路,由于直线OE 、OF 在图形上的“对称性”在其方程上也必然有某种“对称性”,观察直线OE 的方程和题目中给出的直线OF 的部分信息,它们的共性是y 的系数一样,那就只有x 的系数具备“对称性”,这样就可大胆、合理地进行解答了.类比推理关键是看共性。 题型二 演绎推理

例2 已知函数f(x)=-2

4x +2

.

(1)证明:函数y =f(x)的图象关于点(12,-1

2

)对称;

(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.

解析:(1)函数的定义域为R ,设点P(x ,y)是y =f(x)图象上任意一点,则点P(x ,y)关于(12,-1

2

)的对称点

P ′(1-x ,-1-y).∵y =-24x +2,则-1-y =-1+24x +2=-4x

4x +2.又f(1-x)=-241-x +2=-4x

4x +2

.

∴-1-y =f(1-x),即点P ′(1-x ,-1-y)在函数y =f(x)的图象上,因此y =f(x)的图象关于点(12,-1

2

)

对称.

(2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1.因此,f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.

变式1 已知二次函数f(x)的二次项系数为a ,且不等式f(x)>2x 的解集为(-1,3).

(1)若函数g(x)=xf(x)在区间(-∞,a

3

)内单调递减,求a 的取值范围;

(2)当a =-1时,证明:方程f(x)=2x 3-1仅有一个实数根.

解 (1)∵f(x)-2x>0的解集为(-1,3).∴可设f(x)-2x =a(x +1)(x -3),且a<0.∴f(x)=a(x +1)(x -3)+2x

=ax 2+2(1-a)x -3a ,①;g(x)=xf(x)=ax 3+2(1-a)x 2-3ax.∵g(x)在区间(-∞,a

3

)内单调递减.

∴g ′(x)=3ax 2+4(1-a)x -3a 在(-∞,a

3)上恒有g ′(x)≤0成立.由于a<0,对称轴x =2(a -1)3a

>0.故只需

g ′(a 3)=a 33+4

3

a(1-a)-3a ≤0.即a 2+4(1-a)-9≥0,解得a ≤-1或a ≥5(舍).

故所求a 的取值范围是(-∞,-1]. (2)当a =-1时,证明方程f(x)=2x 3-1仅有一个实数根,即证方程2x 3+x 2-4x -4=0仅有一个实数根.令

h(x)=2x 3+x 2-4x -4,则h ′(x)=6x 2+2x -4.令h ′(x)=0得x 1=-1,x 2=23.易知h(x)在(-∞,-1),(2

3

+∞)上递增,在(-1,2

3

)上递减,h(x)的极大值h(-1)=-1<0,故函数h(x)的图象与x 轴仅有一个在

(2

3

,+∞)上的交点,∴a =-1时,方程f(x)=2x 3-1仅有一个实数根. 2.数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n +1=n +2

n

·S n (n ∈N *),证明:

(1)数列?

???

??

S n n 是等比数列;(2)S n +1=4a n .

证明 (1)∵a n +1=S n +1-S n ,a n +1=

n +2

n S n

,∴(n +2)S n =n(S n +1-S n ),即nS n +1=2(n +1)S n . ∴S n +1n +1

=2·S n n ,又S 11=1≠0,(小前提)故??????S n n 是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列

的定义,这里省略了)

(2)由(1)可知S n +1n +1=4·S n -1n -1 (n ≥2),∴S n +1=4(n +1)·S n -1n -1=4·n -1+2

n -1

·S n -1=4a n (n ≥2)(小前提)又a 2=3S 1=

3,S 2=a 1+a 2=1+3=4=4a 1,(小前提)∴对于任意正整数n ,都有S n +1=4a n (结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

3.(2012黄冈模拟)已知数列{a n }满足:a 1=12,3(1+a n +1)1-a n =2(1+a n )

1-a n +1

,a n a n +1<0 (n ≥1);数列{b n }满足:b n =a 2n +1

-a 2n (n ≥1).

(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;

(2)证明:数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列.

解 (1)由题意可知,1-a 2n +1=23(1-a 2n ).令c n =1-a 2n ,则c n +1=23c n .又c 1=1-a 2

1=34

,则数列{c n }是首项

为c 1=34,公比为23的等比数列,即c n =34·? ????23n -1.故1-a 2

n =34·? ????23n -1?a 2n =1-34·? ????23n -1.又a 1=12>0,

a n a n +1<0,故a n =(-1)

n -1

1-34·? ??

??23n -1

. (2)证明 用反证法证明.假设数列{b n }存在三项b r ,b s ,b t (r

是首项为14,公比为2

3

的等比数列,于是有b r >b s >b t ,则只可能有2b s =b r +b t 成立.

∴2·14? ????23s -1=14? ????23r -1+14? ??

??23t -1.两边同乘21-r =3t -1,化简得3t -r +2t -r =2·2s -r 3t -s

.由于r

左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立.导致矛盾.故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列. 拓展提升:

1.演绎推理是由一般性命题推出特殊性命题的一种推理方式,是一种必然性推理。演绎推理前提与结论之间有着蕴含关系。因而,只要前提是真实的,推理的形式值正确的,那么结论必是真实的。但是错误的前提可能导致错误的结论。

2.演绎推理的主要形式主要有:大前提,小前提,结论三段论式的推理. 题型三 直接与间接证明

例3 (2012湖南)已知数列{a n }的各项均为正数,记A (n )=a 1+a 2+……+a n ,B (n )=a 2+a 3+……+a n +1,C (n )=a 3+a 4+……+a n +2,n =1,2,……

(1)若a 1=1,a 2=5,且对任意n ∈N ﹡,三个数A (n ),B (n ),C (n )组成等差数列,求数列{ a n }的通项公式.

(2)证明:数列{ a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意N n *

∈,三个数A (n ),B (n ),C (n )组成公比为q 的等比数列.

解析(1)对任意N n *

∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列,所以()()()(),B n A n C n B n -=- 即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=故数列{}n a 是首项为1,公差为4的等差数列.于是

1(1)44 3.n a n n =+-?=-

(Ⅱ)(1)必要性:若数列{}n a 是公比为q的等比数列,则对任意N n *

∈,有1.n nq a a -=由0n a >知,

(),(),()A n B n C n 均大于0,于是

12)

2311212(......(),()......n n n n

q a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++231)

342231231

(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++

()()B n A n =()

()

C n B n =q ,所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. (2)充分性:若对于任意N n *

∈,三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列,则

()(),()B n q A n C n q B n =

=,于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即

2121.n n a qa a a ++-=-由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =,从而210n n a qa ++-=.因为0n a >,所以22

11

n n a a q a a ++==,故数列{}n a 是首项为1a ,公比为q 的等比数列,综上所述,数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意n ∈N ﹡,三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.

变式1 设数列a 1,a 2,…,a n ,…中的每一项都不为0.证明:{a n }为等差数列的充分必要条件是“对任何n

∈N *,都有1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1=n

a 1a n +1

解析:先证必要性:若数列{a n }为等差数列,设公差为d ,当d ≠0时,有1a n a n +1=1d (1a n -1

a n +1

),

∴1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1=1d [(1a 1-1a 2)+(1a 2-1a 3)+…+(1a n -1a n +1)]=1d (1a 1-1a n +1)=1d ·a n +1-a 1a 1a n +1=n a 1a n +1

, 即对任何n ∈N *,都有1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1=n a 1a n +1成立;当d =0时,显然1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1=

n

a 1a n +1

也成立.

再证充分性:∵对任意n ∈N *,有1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1=n a 1a n +1,①1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1+1

a n +1a n +2=n +1a 1a n +2,

②;由②-①得:1a n +1a n +2=n +1a 1a n +2-n

a 1a n +1

.上式两端同乘a 1a n +1a n +2, 得a 1=(n +1)a n +1-na n +2,③同理可得

a 1=na n -(n -1)a n +1,④由③-④得:2a n +1=a n +a n +2,所以{a n }为等差数列.

2.已知数列{a n }和{b n }满足:a 1=λ,a n +1=2

3

a n +n -4,

b n =(-1)n (a n -3n +21),其中λ为实数,n 为正整数.

(1)对任意实数λ,证明:数列{a n }不是等比数列; (2)试判断数列{b n }是否为等比数列.

证明 (1)假设存在一个实数λ,使{a n }是等比数列,则有a 2

2=a 1a 3,即? ????23λ-32=λ? ????49λ-4?49

λ2-4λ

+9=49

λ2

-4λ?9=0,矛盾.所以{a n }不是等比数列.

(2)解 因为b n +1=(-1)n +1[a n +1-3(n +1)+21]=(-1)n +1? ??

??23a n -2n +14=-23(-1)n

·(a n -3n +21)=-

23b n ,又b 1=-(λ+18),所以当λ=-18时,b n =0 (n ∈N *

),此时{b n }不是等比数列;当λ≠-18时,b 1

=-(λ+18)≠0,由b n +1=-23b n ,可知b n ≠0,所以b n +1b n =-23

(n ∈N *

).故当λ≠-18时,数列{b n }是以

-(λ+18)为首项,-2

3

为公比的等比数列;综上知,当λ=-18时,数列{b n }构不成等比数列;当λ≠

-18时,数列{b n }是以-(λ+18)为首项,-2

3

为公比的等比数列.

拓展提升:

本题对分析问题的能力要求极高,对数学证明的灵活性要求也非常高.本题一个误区就是试图求出数列的通项公式,在以考查不等式的证明为主的数列试题中,有很多试题是不需要求出其通项公式的(大部分题目也求不出通项公式),而是根据给出的已知直接变换后进行推理论证,在解决与数列有关的不等式问题时,要树立这个思想意识.当然在有的题目中是求出通项公式或者相关的式子,再解决不等式问题.这是数列与不等式结合的两个主要题目类型. 题型四 数学归纳法

例4 (2012·镇江模拟)已知数列{a n }满足关系式a n +1=n

a n

+2,n ∈N *,且a 1=2.

(1)求a 2,a 3,a 4;

(2)求证:n +1≤a n

(3)求证:n +1-1<1a 1+1a 2+…+1

a n

<2(n +3-3).

解 (1)由题意,知a 2=52,a 3=145,a 4=43

14.

(2)证明 由a n +1=n

a n

+2及a 1=2,知a n >0.下面用数学归纳法证明:

①当n =1时,a 1=2满足1+1≤a 1<1+1+1,成立.②假设当n =k (k ∈N *)时,k +1≤a k

则当n =k +1时,a k +1=k a k +2>k k +1+1+2=k +1+1.a k +1=k a k +2≤k k +1+2.下面用分析法证明:

k

k +1+2

欲证k

k +1

+2

证2k +1>0,此式显然成立.所以k k +1+2

k +1+2

由①②可知,对一切k ∈N *,n +1≤a n

(3)证明 由(2),知1n +1+1<1a n ≤1n +1,而1n +1+1≥1

n +1+n

=n +1-n ,

1n +1=2(n +1)+(n +1)<2n +3+n +2

=2(n +3-n +2),所以n +1-n <1

a n <2(n +3-n +2),

所以(2-1)+…+(n +1-n )<1a 1+1a 2+…+1

a n

<2(4-3)+…+2(n +3-n +2),所以n +1-1

<1a 1+1a 2+…+1

a n

<2(n +3-3). 变式1 (2012·南通模拟)已知函数f (x )=13x 3-x ,数列{a n }满足条件:a 1≥1,a n +1≥f ′(a n +1),试比较

1

1+a 1

+11+a 2+11+a 3+…+11+a n

与1的大小,并说明理由. 解析:由f ′(x)=x 2-1,a n +1≥f ′(a n +1),得a n +1≥(a n +1)2-1.∵函数g(x)=(x +1)2-1=x 2

+2x 在区

间[1,+∞)上单调递增,于是由a 1≥1,得a 2≥(a 1+1)2-1≥22-1,进而得a 3≥(a 2+1)2-1≥24-1>23

-1,

由此猜想:a n ≥2n

-1.

以下用数学归纳法证明:

①当n =1时,a 1≥21-1=1,结论成立;

②假设n =k (k ∈N *)时结论成立,即a k ≥2k -1,则当n =k +1时,由g (x )=(x +1)2-1在区间[1,+∞)上单

调递增知,a k +1≥(a k +1)2-1≥22k -1≥2k +

1-1,即n =k +1时,结论也成立.由①②知,对任意n ∈N *,

都有a n ≥2n -1,即1+a n ≥2n ,∴11+a n ≤1

2

n ,

∴11+a 1+11+a 2+11+a 3+…+11+a n ≤12+122+12

3+…+12n =1-(12)n <1.

2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ∈N *,点(n ,S n )均在函数y =b x +r (b >0且b ≠1,b ,r 均为常数)的图象上. (1)求r 的值;

(2)当b =2时,记b n =2(log 2a n +1)(n ∈N *).证明:对任意的n ∈N *,不等式b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1

b n

>n +1成立.

【解】 (1)由题意,S n =b n +r ,当n ≥2时,S n -1=b n -1+r ,所以a n =S n -S n -1=b n -

1(b -1),由于b >0且b ≠1,

所以n ≥2时,{a n }是以b 为公比的等比数列,又a 1=b +r ,a 2=b (b -1),a 2

a 1=

b ,即b (b -1)b +r

=b ,解得r =

-1.

(2)证明 由(1)知当b =2时,a n =2n -

1,因此b n =2n (n ∈N *),所证不等式为2+12·4+14·…·2n +12n

>n +1.

①当n =1时,左式=3

2

,右式=2,左式>右式,所以结论成立.

②假设n =k 时结论成立,即

2+12·4+14·…·2k +1

2k

>k +1,则当n =k +1时, 2+12·4+14·…·2k +12k ·2k +32(k +1)>k +1·2k +32(k +1)=2k +32k +1,要证当n =k +1时结论成立,只需证2k +3

2k +1≥k +2, 即证2k +32≥(k +1)(k +2),由均值不等式2k +32=(k +1)+(k +2)2≥(k +1)(k +2)成立,故2k +32k +1≥k +2

成立,所以,当n =k +1时,结论成立.

由①②可知,n ∈N *时,不等式b 1+1b 1·b 2+1b 2·…·b n +1

b n

>n +1成立.

3.(2012·南京模拟)记????1+x 2????1+x 22…????1+x

2n 的展开式中,x 的系数为a n ,x 2的系数为b n ,其中n ∈N *. (1)求a n ;

(2)是否存在常数p ,q(p <q),使b n =1

3????1+p 2n ????1+q 2n ,对n ∈N *,n ≥2恒成立?证明你的结论. 解 (1)根据多项式乘法运算法则,得a n =12+122+…+12n =1-1

2n .

(2)计算得b 2=18,b 3=732.代入b n =1

3????1+p 2n ???

?1+q 2n ,解得p =-2,q =-1.下面用数学归纳法证明 b n =13????1-12n -1????1-12n =13-12n +23×1

4n (n ≥2且n ∈N *) ①当n =2时,b 2=1

8

,结论成立.

②设n =k 时成立,即b k =13-12k +23×1

4

k ,则当n =k +1时,

b k +1=b k +a k 2k +1=13-12k +23×14k +12k +1-12

2k +1=13-12k +1+23×1

4k +1.由①②可得结论成立.

4. (2012·泰州中学调研)已知多项式f(n)=15n 5+12n 4+13n 3-1

30

n.

(1)求f(-1)及f(2)的值;

(2)试探求对一切整数n ,f(n)是否一定是整数?并证明你的结论. 解 (1)f(-1)=0,f(2)=17

(2)先用数学归纳法证明,对一切正整数n ,f(n)是整数. ①当n =1时,f(1)=1,结论成立.

②假设当n =k (k ≥1,k ∈N)时,结论成立,即f(k )=15k 5+12k 4+13k 3-1

30k 是整数,则当n =k +1时,

f(k +1)=15(k +1)5+12(k +1)4+13(k +1)3

-130(k +1)=C 05k 5+C 15k 4+C 25k 3+C 35k 2+C 45k +C 555+

C 04k 4+C 14k 3+C 24k 2+C 14k +C 442+C 03k 3+C 13k 2+C 23k +C 33

3-130

(k +1)=f(k )+k 4+4k 3+6k 2+4k +1.

根据假设f(k )是整数,而k 4+4k 3+6k 2

+4k +1显然是整数.∴f(k +1)是整数,从而当n =k +1时,结论也成立.由①、②可知对一切正整数n ,f(n)是整数. (Ⅰ)当n =0时,f(0)=0是整数

(Ⅱ)当n 为负整数时,令n =-m ,则m 是正整数,由(Ⅰ)知f(m)是整数,

所以f(n)=f(-m)=15(-m)5+12(-m)4+13(-m)3-130(-m)=-15m 5+12m 4-13m 3+1

30

m =-f(m)+m 4是整数.

综上,对一切整数n ,f(n)一定是整数. 拓展提升:

1.在递推数列问题中,如果给出的是形如a n +1=f (a n )的递推式,则可以考虑用数学归纳法进行证明,这是因为在设出a k 满足的结论后,可以根据a n +1=f (a n )得到a k +1满足的结论.在使用数学归纳法证明问题时,在归纳假设后,归纳假设就是证明n =k +1时的已知条件,把归纳假设当已知条件证明后续结论时,可以使用综合法、分析法、反证法,也可以再次使用数学归纳法.

2.运用数学归纳法证明命题P(n),由P(k)成立推证P(k +1)成立,一定要用到条件P(k),否则不是数学归纳法证题.

高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)

2012高考真题分类汇编:推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 : 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A .28 B .76 C .123 D .199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11,数列的前两项相加后面的项,即 21++=+n n n a a a ,所以可推出12310=a ,选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,AE =BF = 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 (A )16(B )14(C )12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA 点时,需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数, 以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断,下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B .d C .d D .d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由,得设选项中常数为则;中代入得, 中代入得,C 中代入得中代入得,由于D 中值最接近的真实值,故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<,

高中数学专题讲义-直接证明与间接证明

题型一:综合法 【例1】若 11 0a b <<,则下列结论不正确的是 ( ) A.22a b < B.2ab b < C.2b a a b +> D.a b a b -=- 【例2】如果数列{}n a 是等差数列,则( )。 (A )1845a a a a +<+ (B ) 1845a a a a +=+ (C )1845a a a a +>+ (D )1845a a a a = 【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( ) (A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或 【例4】下列四个命题:①若1 02 a << ,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a -1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ,满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是7 8;④ 若a 、b ∈R ,则221a b ab a b +++>+。其中正确的是( )。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】下面的四个不等式:①ca bc ab c b a ++≥++222;②()4 1 1≤ -a a ;③2≥+a b b a ;④()()()2 2222bd ac d c b a +≥+?+.其中不成立的有 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠,则在① ab b a ≥+222;②2≥+b a a b ; 典例分析 板块二.直接证明与 间接证明

③2 )2 (b a ab +≤;④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中,恒成立的个数是 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例7】已知c b a ,,均大于1,且4log log =?c b c a ,则下列各式中,一定正确的是 ( ) A b ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 【例8】已知不等式1()()9,a x y x y ++≥对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值是 ( ) A .2 B .4 C .6 D .8 【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+,sin sin b αβ=+,则a 、b 之间关系为 ( ) A .a b > B .b a > C .a b = D .不确定 【例10】设M 是ABC ?内一点,且AB AC ?=u u u r u u u r 30BAC ∠=?,定义()(,,)f M m n p =, 其中m 、n 、p 分别是MBC ?,MCA ?,MAB ?的面积,若1 ()(,,)2 f P x y =,则14x y + 的最小值是 ( ) A .8 B .9 C .16 D .18 【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数,则)4 3(-f ,)1(2+-a a f (a ∈R ) 的大小关系是)4 3(-f )1(2+-a a f . 【例12】设≥++=++>>>c b a c b a c b a 111 ,1,0,0,0则若 【例13】函数()y f x =在(0,2)上是增函数,函数()2y f x =+是偶函数,则 ()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 . 【例14】已知 5,2==b a ρρ,向量b a ρρ与的 夹角为0 120,则a b a ρρρ.)2(-=

新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结 第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点) 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点) 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳: 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: 归纳推理: 1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. 2.归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想). 思考探究: 1.归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ;….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a

2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________. 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式 [解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 2.类比推理的一般步骤: 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想. 思考探究: 1.类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 [解析]原问题的解法为等面积法,即h r ar ah S 3121321=??== ,类比问题的解法应为等体积法, h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结:(1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2)类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比;实数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等

历年高考数学真题精选46 推理与证明

历年高考数学真题精选(按考点分类) 专题46 推理与证明(学生版) 一.选择题(共9小题) 1.(2019?新课标Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为() A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙2.(2019?新课标Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此 外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - .若某人满足上述两 个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( ) A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 3.(2017?新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则() A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩4.(2016?新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?,B点表示

四月的平均最低气温约为5C ?,下面叙述不正确的是( ) A .各月的平均最低气温都在0C ?以上 B .七月的平均温差比一月的平均温差大 C .三月和十一月的平均最高气温基本相同 D .平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5.(2016?北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每 次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A .乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B .乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C .乙盒中红球不多于丙盒中红球 D .乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6.(2014?北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不 合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有( ) A .2人 B .3人 C .4人 D .5人 7.(2013?广东)设整数4n ,集合{1X =,2,3,?,}n .令集合{(S x =,y ,)|z x ,y , z X ∈,且三条件x y z <<,y z x <<,z x y <<恰有一个成立}.若(x ,y ,)z 和(z ,w ,)x 都在S 中,则下列选项正确的是( )

苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1

高考中的类比推理 大数学家波利亚说过:“类比是某种类型的相似性,是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉,是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π,周长r r C ?=π2)(,若将r 看作),0(+∞上的变量,则r r ?=?ππ2)'(2, ①,①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球,若将R 看作),0(+∞上的变量,请你写出类似于①的式子:_________________,②,②式可用语言叙述为___________. 解:由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式,类似写出恰好成立, ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案:①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评:主要考查类比意识考查学生分散思维,注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列{a n }中,若a 10=0,则有等式a 1+a 2+……+a n =a 1+a 2+……+a 19-n (n <19,n ∈N *)成立。类比上述性质,相应地:在等比数列{b n }中,若b 9=1,则有等式 成立。 分析:这是由一类事物(等差数列)到与其相似的一类事物(等比数列)间的类比。在等差数列{a n }前19项中,其中间一项a 10=0,则a 1+a 19= a 2+a 18=……= a n +a 20-n = a n +1+a 19-n =2a 10=0,所以a 1+a 2+……+a n +……+a 19=0,即a 1+a 2+……+a n =-a 19-a 18-…-a n +1,又∵a 1=-a 19, a 2=-a 18,…,a 19-n =-a n +1,∴ a 1+a 2+……+a n =-a 19-a 18-…-a n +1= a 1+a 2+…+a 19-n 。相似地,在等比数列{b n }的前17项中,b 9=1为其中间项,则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17-n (n <17,n ∈N * )。 例3 在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直,则AB 2+AC 2= BC 2。”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得到的正确结论是:“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直,则 ________________”。 分析:这是由低维(平面)到高维(空间)之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中(当然必须经过论证其正确性),像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中,则有S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是,勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中,过A 作AH ⊥BC 于H ,则由AB 2=BH ·BC ,AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2+AC 2=BC 2;在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中,过A 作AH ⊥平面BCD 于H ,类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ,S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ,S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2= S △BCD 2。

推理与证明(教案)

富县高级中学集体备课教案 年级:高二科目:数学授课人:授课时间:序号:第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧,并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值,提高学生的学习兴趣,使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入:“阿基米德曾对国王说,给我一个支点,我将撬起整个地球!” ②提问:大家认为可能吗?他为何敢夸下如此海口?理由何在? ③探究:他是怎么发现“杠杆原理”的? 正是基于这两个发现,阿基米德大胆地猜想,然后小心求证,终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考:整个过程对你有什么启发? ⑤启发:在教师的引导下归纳出:“科学离不开生活,离不开观察,也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6=3+3,12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程

高中数学选修2-2推理与证明教(学)案及章节测试及答案

推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 (1)归纳推理的定义:从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 (2)类比推理的定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式:三段论 “三段论”可以表示为:①大前题:M 是P②小前提:S 是M ③结论:S 是 P。其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 (1)综合法就是“由因导果” ,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论。 (2)分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式:要证 A,只要证 B,B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。 4反证法 (1)定义:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 (2)一般步骤:(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;②从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式: ????sin π3-2+????sin 2π3-2=43 ×1×2; ????sin π5-2+????sin 2π5-2+????sin 3π5-2+????sin 4π5-2=43×2×3; ????sin π7-2+????sin 2π7-2+????sin 3π7-2+…+????sin 6π7-2=43×3×4; ????sin π9-2+????sin 2π9-2+????sin 3π9-2+…+????sin 8π9-2=43 ×4×5; … 照此规律,????sin π2n +1-2+????sin 2π2n +1-2+????sin 3π2n +1-2+…+??? ?sin 2n π2n +1- 2=__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n +1) 【解析】观察等式右边的规律:第1个数都是4 3,第2个数对应行数n ,第3个数为n +1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i =1,2,3,…,n ),观察下列不等式: a 1+a 2 2≥a 1a 2; a 1+a 2+a 33≥3 a 1a 2a 3; a 1+a 2+a 3+a 44≥4 a 1a 2a 3a 4; … 照此规律,当n ∈N *,n ≥2时,a 1+a 2+…+a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *,n ≥2). 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式:

(整理)合情推理和演绎推理》.

第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式,它包括:(1)大前提---已知的一般原理;(2)小前提---所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点:利用合情推理的原理提出猜想,利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<;…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2:已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真命题为 . 点拨:圆锥曲线有很多类似性质,“通径”最短是其中之一,答案可以填:过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短(22 2||a b AB ≥) 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3:定义[x]为不超过x 的最大整数,则[-2.1]= 点拨:“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++;23150sin 90sin 30sin 0 20202=++; 23165sin 105sin 45sin 020202=++;23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(1)结构的一致性,(2)观察角的“共性” [解析]猜想:2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明:左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】(1)先猜后证是一种常见题型 (2)归纳推理的一些常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循环型”(周期性) [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图

2021届高考数学一轮复习《算法初步、推理与证明、复数》测试卷及答案解析

2021届高考数学一轮复习测试卷 算法初步、推理与证明、复数 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.适合2i ()i x x y -=-的实数x ,y 的值为( ) A .0=x ,2=y B .0=x ,2-=y C .2=x ,2=y D .2=x ,0=y 2.将2019化为二进制数是( ) A .211111100011() B .21111100001() C .2111111000011() D .21111100111() 3.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( ) A .甲、乙、丙 B .乙、甲、丙 C .丙、乙、甲 D .甲、丙、乙 4.当2 53 m - <<时,复数(32)(5)i z m m =++-在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 第二象限 第三象限 D .第四象 5.该边程序运行结果为( ) A .3 B .4 C .5 D .6 6.已知数列11, 21,12,31,22,13,41,32,23,14 ,依它的前10项的规律,这个数列的第2019项2019a 满足( ) A .2019110a ≤≤ B .201910a > C .20191010 a << D . 20191 110 a ≤< 7.已知i 为虚数单位,则复数37i i z +=的实部与虚部分别为( ) A .7,3- B .7,3i - C .7-,3 D .7-,3i 8.“二进制”来源于我国古代的《易经》,该书中有两类最基本的符号:“一”和“一一”,其中“一”在二进制中记作“1”,“—一”在二进制中记作“0”,例如二进制数(2)1011化为十进制的计算如下: 3210(2)(10)10111202121211=?+?+?+?=,若从两类符号中任取2个符号进行排列,则得到的 二进制数所对应的十进制数大于2的概率为( ) A .0 B . 1 2 C . 13 D . 14 9.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:222 233=,33 3388 =,444 41515=5552424=则按照以上规律,若88 88n n =具有“穿墙术”,则n =( ) A .35 B .48 C .63 D .80 10.已知复数2 i(3i) z =-,i 为虚数单位,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 11.秦九韶算法01(1,2,)n k k n k V a k n V V x a --=?=???? =+?是将求n 次多项式11()n n n n f x a x a x --=++ 2210a x a x a +++的值转化为求n 个一次多项式的值.已知7632()2341f x x x x x =-+-+,求 (2)f ,那么4V =( )

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

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高二数学选择进修2-2第二章推理与证明

高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是( ). ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A .①②③; B .②③④; C .②④⑤; D .①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 ( ). A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ (c ≠0) ” D.“n n a a b =n (b )” 类推出“n n a a b +=+n (b )” 3、 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ?/平面α,直线a ≠ ?平面α,直线b ∥平面α,则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的, 这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )。 (A)假设三内角都不大于60度; (B) 假设三内角都大于60度; (C) 假设三内角至多有一个大于60度; (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?,那么在5进制中数码2004折合成十进制为 ( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1+a +a 2+…+a n +1=a a n --+112 , (a ≠1,n ∈N)”时,在验证n=1 成立时,左边应该是 ( ) (A)1 (B)1+a (C)1+a +a 2 (D)1+a +a 2+a 3 7、某个命题与正整数n 有关,如果当)(+∈=N k k n 时命题成立,那么可推得当1+=k n 时

高考复习数学直接证明与间接证明专项练习(附解析)

2019高考复习数学直接证明与间接证明专 项练习(附解析) 直接证明是相对于间接证明说的,综合法和分析法是两种常见的直接证明。以下是直接证明与间接证明专项练习,请考生认真练习。 1.(2019山东,文4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是() A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 2.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明() A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-≤0 C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0 3.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+() A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 4.(2019天津模拟)p=,q=(m,n,a,b,c,d均为正数),则p,q的大小为() A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定 5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()

A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 6.(2019福建三明模拟)命题“如果数列{an}的前n项和 Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立() A.不成立 B.成立 C.不能断定 D.与n取值有关 7.用反证法证明“如果a>b,那么”假设内容应是. 8.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到角A为钝角的结论,三边a,b,c应满足. 9.已知a>0,求证:≥a+-2. 10.已知在数列{an}中,a1=5,且an=2an-1+2n-1(n≥2,且nN*). (1)证明:数列为等差数列; (2)求数列{an}的前n项和Sn. 能力提升组 11.已知m>1,a=,b=,则以下结论正确的是() A.a>b B.aa+b,那么a,b应满足的条件是. 13.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:≥1. 14.△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c. 求证:. 15.(2019福建宁德模拟)设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f'(x)=,g(x)=f(x)+f'(x).

推理与证明练习题汇编

合情推理与演绎推理 1.下列说法正确的是 ( ) A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2.下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A .“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”; B .“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”; C .“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ (c ≠0)”; D .“n n a a b =n (b )” 类推出“n n a a b +=+n (b )” 3、下面几种推理是合情推理的是( ) (1)由正三角形的性质,推测正四面体的性质; (2)由平行四边形、梯形内角和是360?,归纳出所有四边形的内角和都是360?; (3)某次考试金卫同学成绩是90分,由此推出全班同学成绩都是90分; (4)三角形内角和是180?,四边形内角和是360?,五边形内角和是540?, 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A .(1)(2) B .(1)(3) C .(1)(2)(4) D .(2)(4) 4.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→ 明文(解密).已知加密规则为:明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++, 例如,明文1,2,3,4,对应密文5,7,18,16,当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密 得到的明文为( ) A .4,6,1,7 B .7,6,1,4 C .6,4,1,7 D .1,6,4,7 5.观察以下各式:???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222, 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?,那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 ( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案,则第五 个图案中有白色地面砖( )块. A.21 B.22 C.20 D.23

高考数学推理与证明

第十二章推理与证明 考纲解读 分析解读 本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.

五年高考 考点一合情推理与演绎推理 1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( ) A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B 2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;

②该小组人数的最小值为. 答案①6 ②12 3.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是. 答案1和3 4.(2016山东,12,5分)观察下列等式: π- +π - =×1×2; π- +π - +π - +π - =×2×3; π- +π - +π - +…+π - =×3×4; π- +π - +π - +…+π - =×4×5; …… 照此规律, π- +π - +π - +…+π - = . 答案 5.(2015陕西,16,5分)观察下列等式 1-= 1-+-=+ 1-+-+-=++ …… 据此规律,第n个等式可为. 答案1-+-+…+ - -=++…+ 6.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

合情推理与演绎推理的意义

合情推理与演绎推理的意义 (1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 (2)在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养。例如,在研究球体时,我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方,即都具有完美的对称性,都是到定点的距离等于定长的点的集合,因此我们推测圆的一些特征,球也可能有。 圆的切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于圆的半径,类似地,我们推测可能存在这样的平面,与球只交于一点,该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆,类似地,我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。 演绎推理是数学中严格证明的工具,在解决数学问题时起着重要的作用。“三段论”是演绎推理的一般模式,前提和结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的。 例如,三角函数都是周期函数,sinx是三角函数,因此推导证明出该函数是周期函数。又如,这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在(-0,1)上是增函数”。大前提是增函数的定义,小前提是推导函数f(x)在(-c,1)上满足增函数的定义,进而得出结论。 合情推理从推理形式上看,是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确。 就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理。因此,合情推理与演绎推理是相辅相成的。

高中数学高考总复习推理与证明

高考总复习推理与证明 一、选择题 1.设1250a a a ,,,是从101-,, 这三个整数中取值的数列,若12509a a a +++=, 且2221250(1)(1)(1)107a a a ++++ ++=,则1250a a a ,,,中为0的个数为( ) A .10 B .11 C .12 D .13 2.平面内有n 条直线,最多可将平面分成)(n f 个区域,则()f n 的表达式为( ) A . 1+n B . n 2 C . 12++n n 3.某人进行了如下的“三段论”推理:如果0)('0=x f ,则0x x =是函数)(x f 的极值点,因为函数3 )(x x f =在0=x 处的导数值0)0('=f ,所以0=x 是函数3 )(x x f =的极值点。你认为以上推理的 A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确 4.观察(x 2)′=2x ,(x 4)′=4x 3,()′=-,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)= ( ) A .f(x) B .-f(x) C .g(x) D .-g(x) 5.已知2() (1),(1)1()2 f x f x f f x += =+ *x N ∈() ,猜想(f x )的表达式为( ) A.4()22x f x = + B.2 ()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2 ()21 f x x =+ 6.用反证法证明命题“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”时 ,应先假设( ) A. 没有一个内角是钝角 B. 有两个内角是钝角 C. 有三个内角是钝角 D. 至少有两个内角是钝角 7.设 N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+),()(,),()(),()(,sin )('1'12'010 ,则 = )(2007x f ( ) A. x sin B. x sin - C. x cos D. x cos - 8.已知整数对按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……,则第60个数对是( ) A (10,2) B.(2,10) C. (5,7) D .(7,5) 9.设数列 {} n a 的前n 项和为 n S ,n S n + +称 n T 为数列 1a ,2 a ,……,

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