初等数学研究答案 李长明 周焕山编 习题二1至20题
习题二1.
2.
3.解：()()()则有设.21124442
22
234b ax x m x m p qx px x ++=+++-+-
2
223
422
3
42)4(44)1()1(2444b abx x a b ax
x m x m p qx
px
x +++++=+++++-
???
???
?=+=++==∴222)1(2)1(24444-b m ab m p a
b q a p ?
???
?--=+=-=∴1
412n m b a q a p 4.证明：（1）因个互异的根的是方程501,,,,15
4
3
2
=-x λλλλ
又()())()1(1112
3
4
5
x F x x x x x x x -=++++-=-
所以的根，依据因式定理，
（是方程0)F ,,,4
32=x λλλλ
(
)()())1.....(..........)()F(4
3
2
λλλ
λ----=x x x x x
（2）设
)2.......().........()()(()()(G 5
2
5
5
x S x F x R x x xQ x F x =++=） ()()而）知，由（,0)()G(14
3
2
====λ
λλ
λG G G
??
?
????=++=++=++=++0)1(R )1()1(0)1()1()1(0
)1()1()1(0)1()1()1(342
4
22λλλλλλλλQ p R Q p R Q p R Q p
因为由以上方程组易得：
,01)(234=++++=λλλλλT
0)1(R ,0)1(,0)1(P ===Q
故由因式定理可知，x-1是P(x),Q(x)和R(x)的因式，又根据（2），x-1也是F(x),S(x)的因式，但x-1不是F(x)的因式，所以x-1是Ｓ（ｘ）的因式
5.即（，推出由题设,3),2-0c b a 333222abc c b a ca bc ab c b a =++++=++=++
)(2
1(-2
22c b a ca bc ab ++=++）
)(3
13
3
3
c b a abc ++=
))(2
2
2
3
3
3
c b a c b a ++++因此（
）
c a c a c b c b b a b a c b a ++++++++=()()(2
22222555 )()()(2
2
2
2
2
2
5
5
5
b c a a c b c b a c b a -+-+-+++= )(5
5
5
ac bc ab abc c b a +++++=
2
.
3
2
223
335
55c
b a c
b a
c b a +++++
++=
)).(6
52
223335
5
5
c b a c b a c
b a ++++=++∴（ 2
.
3
5
2
223
335
55c
b a c
b a c
b a ++++=
++∴
6.解：由试除法知，当k=2时，有一次因式，为了探求二次因式，可用待定系数法，求得当k=1时，
)2)(1()(2
2
-+-=x x x x f )
)(-2
2234
q px x n mx x a akx kx x ++++=-+-（设
nq x np mq x n mp q x m p x ++++++++=)()()(2
34
??
?
??
?
?-==+-=++-=+)4.......(....................23.....................2)2.(....................)1...(..........1nq k np mq k n mp q m p ）（则有： 由（4），有??
?=-=???-==???=-=??
?==1
2
12,212-1q n q n q n q n ，
)5.....(....................22-),32
1k p m q n =+???-==有代入（把 ???
??
?
?===-==?????
-=-+-=2
10
11K )6(........................................)1(3232)1(151q n p m k p k m 故当）得：）（由（ 不合）不满足，故
代入（??
?-==2
1
2q n ………………….
7.解：（1）原式=2
222444y x y x y x y x -++++）（
=[][]2
22244)(.)(y
x xy y x xy y x y x +++-+++
(
)()
[]()[]
xy y x xy y x y x
y x ++-++
-+=2
2
2
2
2
2.
()[]()[]()
[](
)
xy y x xy y x xy
y x
xy y
x
+++++-+++=
2
22
2
2
2
2
.
(
)()[
]
xy y x xy y x xy y x +++-+++=2
2
2
2
2
(
)()
xy y x
y
xy x ++?++=2
2
2
22
()
2
2
2
2y xy x ++=
（2）原式=()[]()11212
++++x x x x
()[]2
11++=x x
=()2
21++x x
（3）此多项式是对称多项式。当x=-（y+z ）时，
yz z y y z y z y z z y z y x f )]([])()][()[(),,(+-+++-+-+= 0))()()((=+--+=yz z y z y z y
所以f （x,y,z ）有因式（x+y+z ），因原式为三次式，故还有另一个二次对称式的因
式，设，
)]()()[())((z y 2
2
2
xz yz xy n z y x m z y x xyz y x x z +++++++=++++）（ 令x=1,y=1,z=0.得，2=（2m+n ）即2m+n=1…………………………(1) 令x=1,y=1,z=1.得，9=3(3m+3n)即m+n=1…………………………….(2) 由（1）（2）得，m=0,n=1,
所以，（y+z ）(z+x)(x+y)+xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)
(4)原式是轮换多项式，
0))(())((3
3=+-++-==y z y z z y z y y x 时，原式
当
因式有因式（x-y ）（y-z ）（z-x ），设
))()()(())(())(())((3
3
3
x z z y y x z y x k x z x z z y z y y x y x ---++=+-++-++-
令x=1.y=2,z=0得：)1.(2).1(31)1(2.23).1(333--=-++-k 所以k=-2
)
)()()((2))(())(())((3
3
3
x z z y y x z y x x z x z z y z y y x y x ---++-=+-++-+--∴
8.解：（1）先用综合除法，可能的试除数是1553,1±±±±，，，，
由于多项式偶次次系数都是正数，奇次次系数都是负数，就只选择正的试除数，试除结果都被排除，因此原式在Ｑ上没有一次因式，假设因式含有x 的二次因式。设
))((1562
2
2
3
4
l nx x k mx x x x x x ++++=+-+-
kl nk x l mn k x ++++++++=)ml )n)x
m 2
3
4（（（
比较等式两端对应次的系数，得方程组： ??
?
??
?
?=-=+=++=+)4.....(........................................15)3(..............................1)
2.........(....................61........................................-1n m kl nk ml l mn k ）（ 由（4）知，k 和l 的值可能有下面八组：
?
??-=-=???==???-=-=???==???-=-=???==???-=-=???==35
,35115,115,5353,151,151l k l k l k l k l k l k l k l k 经检验得。方程组的解为???
??
??==-==532
1
l k n m
)52)(3(562
2
2
3
4
+-++=+-+-∴x x x x x x x x
（2）先用综合除法可能的试除数是21,7,3,1±±±±， 由于
正数，因此只能选择负的试除数，试除结果都被排除，因此原式在Q
上没有一次因式，假设原式含有x 的二次因式，设
()
l nx x x
x x x x +++==++++2
2
2
3
4
k mx (2129207）
kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++=)()()(234 比较各式两端对应次的系数，得方程组： ???
??
?
?==+=++=+)4......(..............................21)3.......(....................29)
2...(....................20)1.....(..............................7kl nk ml l mn k n m 由（4）知，k 和l 的值可能有8组
?
??-=-=???==???-=-=???==???-=-=???==???-=-=???==37
37,73,73,121121,211,211l k l k l k l k l k l k l k l k 经检验得方程组解为：???
??
??====635
2
l k n m
7)x 5)(32(21292072
2
2
3
4
++++=++++∴x x x x x x x
9.解：（1）原式=4515623=---x x x x ())
3(1562----=x x x x
)3(15)2)(3(----=x x x x =（x-3）[x(x-2)-15] )152x 3)-x 2
-+=x （（ =(x-3)(x+5)(x-3) )5()3(2
+-=x x (2)原式61324722234+-+-+=-
x x
x x x
)6)(12()472(2
2
--+-+=x x x x x )
6)(12()4)(12(2
--++-=x x x x x
6)-x 4)x )[12(2
（（+
+-=x x ] ()641-x 22
3
-++=
x x x ）（
)66541)-x 22
3-+-+=x x x x （（
1)]-x 26)54()[12(2（+-+-=x x x x 1)]-x 65)x 1)-x )[12(（（（++-=x x
]65)[1)(122++--=x x x x （
=(2x-1)(x-1)(x+2)(x+3)
(3)此多项式是轮换多次试，当x=-y 时。原式=0 所以有因式（x+y ）(y+z)（z+x ）设
))()((4-()(z y x 2
2
2
x z z y y x k xyz y x z x z y +++=+++++））（1.2.3.210)10(2)02.1,0,2.12
2
2
k z y x =+++++===）（（得：令
即6k=6,所以k=1
x)z z)y y)x 4-y)x )()(2
2
2
+++=+++++∴（（（（xyz z x z y z y x
(4)原式2224]14)24)][(1124[(x x x x -++++=
2222224154)24.(1124.14)24x x x x x x x -++++++=）（（
x x x x 15025).24()24(222++++= ]10)24].[(15)24[(22x x x x ++++= )2410)(2415(2
2++++=x x x x )6)(4)(2415(2
++++=x x x x 第10,11题，无答案 12.解：012
=++x x
1113
=-=+
∴x x
x 和
2
2
4
3
2
4
3214
14
1)
1).(1x
x x x x x x
x
+
=+
=+∴（
1212)1
2
-=-=-+
=x x （
13证明：
c
b a
c b
a ++=
++
1111
01111=++-
+
+
∴c b a c
b
a
01
=++-
++∴
c
b a abc
ab
ac bc
0)
(abc
-c)b a (c b )((=++++++++∴
c b a abc a ab ac bc ）
0)
(2
22
22
2
=++-++++++++∴
c b a abc abc
abc ab
b a ac
abc c a bc
c b abc
0c)
b abc(a b)
ab(a b)a )()a (2
=+++++++++∴（c b a ac b bc
0)
())()((=+++++∴
c b a abc a c c b b a
所以（a+b ）(b+c)(c+a)=0
所以a,b,c 中必有两数之和为零，不妨设a+b=0，b=-a
()因而得证等式必然成立
为奇数因则k a b
k
k
-=
14.证明：（分析法） 要证明原式成立，即证明：
01111111)1
1(=+??
?
??+++??
?
??++++b a c c a b c b a 即要证：
0)111(111)1
11(==+++??
?
??+++++c b a c c b a b c b a a 即要证：
()0111c b a =??
?
??+
+
++c b
a
因为a+b+c=0，末式成立，各部皆可逆，故原命题成立 15.证明：（运用数学归纳法） （1）右边，左边右边时，左边
当=+
=+=
+
==,111,1111
1
11
a a a a n
所以，当n=1时，等式成立 （2）假设当n=k 时，等式成立，即 ()()2
1211212
111
.1)1(1111+++++++
++++
k k k a a a a a a a a a a a
()
()2
1211211
211211)(1)1(111)(1(++++++++++
+++=
k k k k
k K a a a a a a a a a a a a a a ）
（）
2
2112121211)(1()1(1(.1()1(1(++++++++++++=
k k k k k a a a a a a a a a a a ）
）））
2
212121)
1)(1()1(1+++++++=
k k k a a a a a a a ）（ 所以当n=k+1时，等式成立
16.解：（1）先将分子表达成（x-2）的幂形式：
)2(54)2(42)2(15)2(26222
3
4
3
4
+-+-+-+-=-+-∴x x x x x x x
5
2
345
34
)
2(22
)2(52)2(42)2(15)2(2)
2(6
22-+-+-+-+-=
--+-x x x x x x x x x
5
432)
2(22
)2(54)2(422)-x 15)2(2
-+-+-++-=
x x x x （ （2）设
，则有2
22
2
22
)
1(1
3
)
1)(3(1645+-++
+-++
-=+--+-x x E Dx x x C Bx x A x x x x x
)3)(()1x 3)-x )()1(16452
2
2
2
-+++-+++-=+-x E Dx x C Bx x x A x x （（
令x=3,有：49A=49，所以Ａ＝１
令x=0,有：-3C-3E=15，所以C+E=-5 (1)
令x=1,有：17=1+（B+C ）（-2）+（D+E ）（-2），所以B+C+D+E=-8......................(2) 令x=2,有：28=9+（2B+C ）（-1）.3+（2D+E ）(-1).所以6B+3C+2D+E=-19................(3) 令x=4,有：80=169+13（4B+C ）+4D+E ，所以52B+13C+4D+E=-89.. (4)
解（1），（2），（3），（4）得：???
???
?====3
-E 2-D 2-C
1-B
2
2
2
22
)
1(321
2)
3(1)
1)(3(5+-+-
+-+--=
+--∴
x x x x x x x x x x x
17.
（1）解：设y x +
=
+=
+
222
148214
???
??==?????==+214,2
214y x xy y x 解得：
则有 22
122
1482
14
+
=+
=+∴
（2原式=)4(22
2
2
-+
-a a a
()
()
2
4
222
)
4()2(22
2
2
2
2
1
2
2
2
2
----
-+
----=a
a
a
a a a a a
(
)
()
42
22
4222
2
2
-+
=
-+
?=
a a a a
（3）
(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)()
2
322-32232(5322332233
22332
32
32
32
2
325
3
2233232
++-
+-+-
+
-
+=
--
--
-）（）
(
)
232105
-322363-2232+
++=）（
022
1
32-223-2232=++= (4)原式=(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
3
6
3
6
1
1
1
1
1
1
-+--
-++
--
-+
--a a a a a a a a a a a a
(
)(
)
2
2
11
-++--
=a a a a
()()()11.2112-+-++-+--=a a a a a a a a 24-=a
18.解：（1）原式=
(
)(
)
5
325
32532-
+
+
+
-+
(
)
5-3
25322
+-+=
6
25
-
32+
=
（2）略 19.解：（1)原式=2
64-
2
-53-
5
-61+
(
)(
)(
)()(
)
(
)(
)
2
62
62
642
52
5253
-5
65
-656-
+
--
+
-
++
+
=
0262556=+
--
-+
=
（2）原式=
()(
)(
)
()(
)(
)(
)
3
-51
-35
33
13
-51
-35
32
1=
+
++
(
)(
)2
23
-55
-
1532-321-3?+
?+=
=
(
)(
)4
3
-53
-5-515+
4
3
15-155-55-5553-35++
+=
2
154
2
52-=-=
（3）原式=
162711
6271++-+-
01
161
1
161=-+-
+-=
（4）原式=18022935---
320(35---=
2065--
=
=5265--
(
)
155--
=
=1 20.解：原式=
()(
)
()(
)()(
)
()(
)
1]1111111111111111[
2
12
2
+++
+--
+++++-
+
----+
-----+
-x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
()()()1_1(11111212
222
+???
? ??+-+--+------=x x x
x x x x x x ()11111212
2
+???? ??++----=x x x x x x x x x 11111212
2
+???
?
??++----=x x x
x x 111
11212
2
+????
??+---=x x
x 1111212
2
2
+???
?
?
?
---
+-=
x x x x 1112212
2
2+--?-=x
x
x
2
1x -=
二年级数学20以内加减法
一对一个性化学案 教师：_________ 学生：__________ 日期: _______ 年 ______ 月 ______ 时间： _______ 第—次课?课题名称：20以内口算题 ?教学目标： ?重点： ?难点： ?教学步骤及内容：1、例题讲解2、课堂练习 3 、讲解练习4 、巩固练习 知识点一：20以内进位加法 1二年级数学20以内加减法. 加数+加数=和 如：3+13=16中；3和13是加数；和是16 2、熟记20以内内加法得数 知识点二：20以内退位减法 1二年级数学20以内加减法数-减数=差 如：19-6=13中；19是被减数；6是减数；差是13.
【例】口算 7 + 7= 7 + 5= 7 + 3= 5 + 8= 1 + 14= 20 — 4= 19 —4= 15 + 2= 16- 7= 1 + 11 = 10 + 5= 19 — 12= 2 + 14= 8 + 8= 1 + 16= 20 —1 = 20- 6= 1 + 18= 1 +13= 20 —3= 对应练习 20- 2= 6 + 10= 11 + 8= 2 + 18= 9 + 10= 8 + 6= 13 —4= 3 + 14= 5 + 4= 19 —1 = 5 + 5= 10 —2= 15 + 4= 13 —5= 6 + 6= 5 + 6= 10 —3= 17 —1 = 15 —7= 18 —2= 6 + 8= 10 + 10= 1 + 12= 2 + 16= 7 + 7= 8 + 8= 12 —5= 16 + 2= 4 + 3= 20 —2= 9+ 10= 19 —1 = 15 + 5= 6 + 6= 5 + 6= 18- 2= 10 + 7= 7 + 3= 20 —4= 1 5 + 2=
2020年部编人教版小学二年级数学下册全册教案
2020年部编人教版小学二年级数学下册全册教案
二年级下册数学教材分析 一、本学期教学的指导思想 1、重视以学生的已有经验知识的生活经验为基础，提供学生熟悉的具体情景，以帮助学生理解数学知识。 2、增加联系实际的内容，为学生了解现实生活中的数学，感受数学与日常生活的密切联系。 3、注意选取富有儿童情趣的学习素材和活动内容，激发学生的学习兴趣，获得愉悦的数学学习体验。 4、重视引导学生自主探索，合作交流学习方式，让学生在合作交流与自主探索的气氛中学习。 5、把握教学要求，促进学生发展适当改进评价学生的方法。 二、教材分析 本册教材包括下面一些内容：数据收集整理、表内除法、图形的运动、混合运算、有余数的除法、万以内数的认识、克和千克、数学广角——推理、总复习等。 三、教学目标 1、了解统计的意义，体验数据的收集、整理、描述和分析的过程；会用简单的方法收集和整理数据，认识条形统计图和简单的复式统计表；能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能进行简单的分析。 2、知道除法的含义，除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系；能够熟练地用乘法口诀求商。 3、认识轴对称、平移和旋转，剪一剪等。帮助学生建立空间观念。培养学生的空间想象能力。
4、使学生经历把平均分后有剩余的现象抽象为有余数除法的过程，初步理解有余数除法的含义。 5、结合生活实际，体会生活中有大数。感受学习大数的必要性，经历数数的过程，能认识万以内的数，结合实际物体知道这些数的组成与分解。 6、认识生活中常见的秤。在实践活动中感知1克、1千克的物体有多重，了解克、千克的实际意义及1千克=1000克。 7、通过一系列的猜测、比较、推理等活动，使学生感受简单推理的过程，找出简单事物的排列数与组合数。 四、情感态度 1、通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作和创新精神。 2、培养学生认真观察，独立思考等良好的学习习惯。 3、通过观察操作活动，发展学生的空间观念，培养学生的观察能力和动手能力，学会欣赏数学美。 4、让学生在学习中体验到成功的喜悦，增强学生学好数学家的信心。 5、使学生在解决实际问题的过程中，培养学习兴趣和敢于探索的科学精神。训练学生养成认真审题，仔细验算的良好习惯。 6、进一步学习用具体的数学描述生活中的事物，经历与他人交流活动，培养学习数学的兴趣和自信心。 五、教学措施
初等数学研究复习题
1、 因式分解：32 35113x x x ---= 2、 已知21x a x x =++，则2 421 x x x =++ 3、 已知1abc =，求 111a b c a ab b bc c ca ++++++++的值； 4、 已知 111a b c a ab b bc c ca ++++++++=1，求证1abc =；
5、 = 6、 解不等式： 2233132 x x x x +-≤-+ 7、 求一个方程，使其各根分别等于方程43 67620x x x x -++-=的各根减去2。
8、 解方程22223223132231 x x x x x x x x ++++=-+-+。 9、 求不定方程7517x y -=的整数解。 10、 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(f x y f x f y x y x y R +=++∈、，(1)2f =，则(3)f -等于 11、 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是 12、 0= 13、 将多项式32 22x x x -++表示成(1)x -的方幂形式是 14、 将分式22233(1)(25) x x x x x ----+分解成部分分式之和
15、 求函数2 y =的值域 16、 已知5,4x <求函数14245 y x x =-+-的最大值。 17、 解方程：4322316320x x x x +-++=
18、 已知x y z 、、是互不相等的正数，且1,x y z ++=求证：111(1)(1)(1)8x y z ---> 19、 利用多项式对称性因式分解： （1）555()()()()f x y z x y y z z x =-+-+-、、 设222(,,)()()()[()()],f x y z x y y z z x L x y z M xy yz xz =---+++++ （2）5555 ()()f x y z x y z x y z =++---、、 设222()()()[()()]x y y z z x k x y z m xy yz zx ++++++++
初等数学研究课后习题答案(2020年7月整理).pdf
初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07（1） 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 （1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >. （2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立. 证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B == （1）“?” b a <，则B B ??,,使,~B A ，A B B ~, ?∴,a b >∴ “?” a b >，则B B ??,,使A B ~,，B B A ?∴,~,b a <∴ 综上 对任何N b a ∈,，b a （2）由（1）b a b a <∴与b a >不可能同时成立， 假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ??,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立， 综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.. 2、证明自然数的加法满足交换律. 证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合 先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立 φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则 +++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1 k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N + ∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+ 3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ?∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合， ()()1f b g b a ==? 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ?∈，()()f b g b =
二年级20以内的加减法练习训练
姓名：时间：成绩： 18－5 ＝17－11 ＝13＋6 ＝17－5 ＝16－10 ＝ 5 －4 ＝9 －4 ＝16－1 ＝7 ＋10 ＝9 －0 ＝18＋1 ＝ 6 ＋10 ＝4 －0 ＝18－12 ＝17－17 ＝10＋2 ＝10－10 ＝9 －0 ＝15－0 ＝ 4 ＋1 ＝0 ＋16 ＝ 2 ＋2 ＝13－12 ＝ 4 ＋12 ＝13＋4 ＝ 6 －5 ＝15－13 ＝14＋1 ＝3 ＋12 ＝0 ＋0 ＝0 ＋17 ＝7 －2 ＝2 ＋14 ＝11－10 ＝11＋4 ＝10＋4 ＝14－3 ＝11－1 ＝ 3 －1 ＝13－2 ＝12－0 ＝11＋0 ＝13－10 ＝15＋4 ＝3 ＋5 ＝10＋7 ＝0 ＋1 ＝19－14 ＝11＋1 ＝17－1 ＝16＋2 ＝16－4 ＝3 ＋4 ＝ 1 ＋14 ＝14＋2 ＝ 4 ＋12 ＝12＋5 ＝14＋1 ＝10＋8 ＝17－15 ＝15－3 ＝9 －8 ＝11＋5 ＝16＋1 ＝12＋3 ＝17－12 ＝ 1 ＋17 ＝11＋5 ＝2 ＋6 ＝19－5 ＝7 －3 ＝12＋4 ＝10＋7 ＝ 1 ＋12 ＝11＋1 ＝17－10 ＝9 －9 ＝ 4 ＋12 ＝11＋2 ＝13＋2 ＝
姓名：时间：成绩： 16－1 ＝19－13 ＝ 4 －3 ＝ 1 ＋14 ＝15－3 ＝ 6 －5 ＝13＋1 ＝11＋1 ＝19－1 ＝ 2 ＋6 ＝19－18 ＝ 2 ＋11 ＝ 2 ＋6 ＝18－1 3 ＝12＋7 ＝ 3 ＋1 ＝ 3 ＋ 4 ＝16－14 ＝18－2 ＝ 5 ＋4 ＝2 －2 ＝7 －3 ＝ 6 －0 ＝ 7 ＋11 ＝13－3 ＝ 8 －6 ＝0 ＋18 ＝10＋3 ＝18－11 ＝17＋0 ＝ 2 －2 ＝ 1 ＋7 ＝ 6 －3 ＝13＋1 ＝ 5 ＋14 ＝11＋0 ＝ 7 －1 ＝0 ＋10 ＝ 6 －1 ＝ 2 ＋6 ＝11－10 ＝11＋3 ＝ 5 ＋10 ＝12－10 ＝0 ＋11 ＝ 5 ＋10 ＝ 5 －5 ＝19－11 ＝17－13 ＝ 2 ＋2 ＝ 3 ＋11 ＝10＋3 ＝17－3 ＝ 1 －0 ＝9 －5 ＝19－8 ＝8 ＋0 ＝17－1 ＝13－10 ＝17＋0 ＝5 －3 ＝9 －8 ＝7 －3 ＝ 2 －2 ＝14－2 ＝ 5 －3 ＝0 ＋4 ＝9 －8 ＝17－14 ＝16－14 ＝ 3 ＋12 ＝ 3 －0 ＝19－15 ＝18－2 ＝11＋2 ＝14－12 ＝1 ＋3 ＝ 5 ＋11 ＝10＋5 ＝11－1 ＝
最新部编人教版小学二年级下册数学《估数、数数》教案
估数、数数。(教材第74、第75页) 1.使学生学会数1000以内的数,体会数的含义和作用。 2.使学生能大致估出1000以内物品的数量,培养学生的数感。 3.理解事物之间的相互联系,提高解决问题的能力。 重点:正确数1000以内的数,掌握十进制关系。 难点:接近整十、整百、整千数的数法。 课件,计数器。 师:同学们,今天我们上一节非常有趣的数学课。(课件出示:教材第74页情景图) 师:这是宽敞、明亮的体育馆,你能猜猜体育馆大约能坐多少人吗? 学生可能会说: ·比100多得多。 ·5000人。
·8000人。 …… 师:看来同学们估计的结果不一样,要想知道每样东西大约有多少,可以用数数的方法,我们以前学过百以内的数是怎么数的? 生:一个一个地数,一十一十地数…… 师:如果数目比较大,我们还是这样一个一个地数,显然就不恰当了,今天我们就一起来认识、研究1000以内的数。 【设计意图:引导学生回忆百以内数的数法,为学习新课做准备,培养学生的迁移类推能力】 1.教学例1。 师:如果我们一个一个地数,10个一是多少? 生:10个一是十。 师:如果我们一十一十地数,10个十是多少? 生:10个十是一百。 师:看图中的小木块有多少?该怎样数呢?在小组里讨论交流一下,告诉大家你数出的个数是多少?(课件出示:教材第75页例1图) 学生在小组里讨论交流,教师巡视了解情况。 组织学生交流,重点要说清是怎样数的。 生1:我先数出最下边的一行是10块,然后就一行一行地数出最前面的一排是100块,最后就一百一百地数,发现有10排,也就是10个一百。 师:10个一百又是多少呢?
生2:我也是先数出一列有10块,然后一列一列地数,也就是一十一十地数,发现最下面的一层是100块,后来就一百一百地数,结果是一千。 师:是啊。我们可以一百一百地数,10个一百是一千。 2.教学“做一做”。 师:现在请同学们拿出计数器,按要求边拨珠边数数,同桌互相检查,看谁能都数对。 同桌互相监督边拨珠边数数,教师巡视了解情况。 指定学生数数,其他人认真倾听并作出评价。 【设计意图:在引导学生数数的过程中,体会十进制关系,帮助学生掌握数数的策略】 师:同学们,通过今天的学习,你们知道了什么? 生活中充满了数学,数学是课内外相结合的一个纽带。本节课的教学引导学生深入实际生活,通过自己经常看到的体育馆的座位,帮助学生形成对较大数的初步印象。教学过程重视创造学习情境和数学活动,让学生在观察、讨论活动中体会、思考“关于数数有什么发现”。这些数数的方法、数的组成不是教师教给学生,而是学生在探索过程中自己感悟、总结出来的。 A类 填空。 (1)一千里面有( )个百。
初等数学研究试题答案
习题一 1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为： （1）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （2）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。 （3）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。 数系扩展的方式有两种： （1）添加元素法。 （2）构造法。 2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则 （3）,a b ac bc >>若则； 证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。 （2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9） 由（1）有()bc a k c =+ ac bc ∴< （P17.定义9） 或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ 3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则 （1）,;ac bc a b ==若则
（2）ac bc a b <<若，则； （3）ac bc a b >>若，则。 证明（1）（用反证法） （2）方法同上。 （3）方法同上。 4、依据序数理论推求： 解： 1313134++=='（）先求，， （P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求， （2）31313??=先求，， 5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。 证明：1n 141511189,1n =+?-==①当时，是的倍数故时命题成立。 k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。即是的倍数。则当n=k+1时： k 1k 415k 11 4415k 1315k 18441519(52) k k k +++-=+--?+=+---（）（）（）。 1n k ∴=-当时，命题成立。 由①，②知，对于任一自然数n 成立。 6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 证明： ①412111--3-3.11-21n +?==== ==?当时，左边，右边左边右边。 ②n k =假设当时，等式成立，即：
初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案
初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案
初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合C A ?的基数c a +大于集合D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155 )25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''' '===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法）
【新】部编人教版小学2二年级数学下册全册测试卷(附答案)
第一单元测试卷 (满分：100分 时间：60分钟) 姓名： 得分： 一、下面是二(1)班班长统计的本班同学最喜欢的动物的情况。(共16分) 1.把统计的结果填在表里。(4分) 2．最喜欢( )的人数最多。(2分) 3．最喜欢( )和( )的人数同样多。(4分) 4．我最喜欢( )，最喜欢这种动物的有( )人。(4分) 5．全班共有( )人。(2分) 二、二(2)班要选班长啦！(共18分) 1.把上面的统计结果填入下表。(4分) 2．根据统计结果应该选( )当班长。(2分) 3．郭芳比丁丽多( )票。(2分) 4.( )的得票最少，是( )票。(4分) 5．如果每人只能投一票，也必须投一票，那么二(2)班一共有( )名学生。(2分) 6．现在班里又转来了两名同学，如果他们也参与投票，那么会影响到班长的人选吗？请说明理由。(4分) 二年级数学(下) (RJ 版)
三、根据下表提供的天气情况，回答下面的问题。(共17分) 1．用画“正”字的方法整理记录结果。(3分) 2.把记录的结果填在下表中。(6分) 3．这个月共有( )天。(2分) 4．( )的天数最多，比雨天多( )天。(4分) 5．和一共有多少天? (2分) 四、根据本周图书的借阅情况，回答下面的问题。(共9分) 1.借阅科学书的有( )人。(2分) 2.借阅( )书的人数最多。(2分) 3.图书室要新买一批图书，你有什么建议？(2分) 4．你还能提出其他数学问题并解答吗？(3分)
五、下面是二(1)班同学最喜欢的玩具的统计情况。(12分) 1．把上面的统计结果填入下表。(4分) 2．二(1)班同学最喜欢( )的人数最多。(1分) 3．最喜欢手枪的比最喜欢洋娃娃的多( )人。(2分) 4．如果每人都只选其中一种玩具，那么这个班一共有( )人。(2分) 5．如果你是店主，你的店里应多购进什么玩具？为什么？(3分) 六、二(2)班上学期的数学成绩如下表。(共18分) 1．这个班一共有( )人。(2分) 2．把上面的统计结果填入下表。(8分) 3.二(2)班上学期数学成绩得( )等级的人数最多，得( )等级的人数最少。(4分) 4．得优秀的人数与得不及格的人数相差( )。总的来看，二(2)班上学期
初等数学研究考试大纲
《初等数学研究》考试大纲 Elementary Mathematics Research 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、考试目的 测试学生对初等数学的基本内容和方法的熟练程度。 三、考试内容 第一章数系 1. 考试知识点 （1）数的概念的扩展； （2）自然数序数理论及其性质； （3）整数环、有理数域、实数域、复数域的建立及性质。 2. 考试要求 （1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则； （2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造； （3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质； （4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质； （5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。 第二章解析式 1. 考试知识点 （1）多项式的恒等定理； （2）待定系数法； （3）因式分解方法； （4）分式恒等变形； （5）根式的化简和计算； （6）解不等式（组）； （7）不等式的证明； （8）几个著名的不等式。
（1）了解解析式的概念及其分类； （2）了解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法； （3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等变形； （4）掌握根式的运算和变形； （5）掌握不等式的基本性质、解法和证明； （6）熟悉几个著名的不等式。 第三章方程与函数 1. 考试知识点 （1）方程（组）的同解理论及基本解法； （2）几类特殊的高次方程的解法； （3）分式方程、无理方程和超越方程的解法 （4）函数概念的形成和发展； （5）初等函数的性质。 2. 考试要求 （1）掌握各种代数方程中的同解理论（弄清增、失根原因及检验方法）及基本解法； （2）掌握特殊的高次方程的解法； （3）掌握简单的分式方程、无理方程和超越方程的解法； （4）了解函数概念的发展与几种定义方式； （5）掌握初等函数的基本性质。 第四章数列 1. 考试知识点 （1）数列的通项公式； （2）等差与等比数列； （3）高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）数学归纳法的基本形式和其他形式； （5）数列的母函数。 2. 考试要求 （1）掌握求数列通项的方法； （2）熟练掌握等差与等比数列的综合题； （3）了解高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）熟练掌握数学归纳法的各种形式的应用； （5）了解数列的母函数。 第五章排列与组合
最新部编版二年级数学下册一单元必考题及答案
最新部编版二年级数学下册一单元必考题及答案班级：姓名：满分：100分考试时间：90分钟 一、填空题。（20分） 1、根据六八四十八写出的算式有（___________）和（______________）。 2、一个角有（____）个顶点，（____）条边。 3、从4个不同的故事书中任意选2个借给一位同学，一共有________种不同的借法． 4、1平角＝________直角1周角＝________直角＝________平角。 5、在测量物体时，尺子的_____要对准物体的左端，再看物体的_____端对着几。 6、一个四位数，它的最高位上的数是6，个位上是最大的一位数，其余各位都是0，这个数是（__________）。 7、火箭升空，是________现象。（用“平移”或者“旋转”作答） 8、在（）里填上合适的长度单位。 一条鱼长约30（______）。一棵树高约6（______）。 玻璃杯高约12（______）。长颈鹿高约5（______）。 9、时间是（____）也可以表示成（_____）。过20分钟是（_____）。 10、连接两点可以画________条线段。 二、我会选（把正确答案前面的序号填在（）里）（10分） 1、如图，如果将三角形ABC向左平移2格得到三角形A′B′C′，则新图形中点A′(点A平移后对应的点)的位置用数对表示为( )。
A．(5，1) B．(1，1) C．(7，1) D．(3，3) 2、分针从一个数字走到下一个数字，经过的时间是（）。 A．1分钟 B．5分钟 C．1小时 3、直尺上1厘米的长度中间有（）个小格。 A．5 B．10 C．100 4、由钢笔：15元，帽子：8元，篮球：25元得知，（）这两件物品价格的和最接近30元。 A．钢笔和帽子B．帽子和篮球C．钢笔和篮球 5、如图所示，图中有（）个小于90°的角。 A．3 B．4 C．5 D．6 三、判断题：对的在（）里画“√”，错的画“×”。（10分） 1、1千克铁的重量比1千克棉花的重。（） 2、观察物体时，只能从前面和后面观察。（） 3、平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小。（） 4、因数末尾有几个0，积的末尾就有几个0。（） 5、有三个同学，每两人握一次手，一共要握6次手。（）
初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案教程文件
初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数 bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合 C A ?的基数c a +大于集合 D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155)25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法）
20以内加减法的技巧
20 以内加减法的技巧 一、手指辅助延伸法。 例1：计算6 ＋8= 我至今记得有这样一位小朋友，5 以内的加减法很勉强能通过，10 以内的就得靠他那10个手指头了。当我们教到20以内的加减法时他就束手无策了，无奈只好脱掉鞋子把自己的10 个脚趾头也搬了上来。对于这样的学生，我起初真的也束手无策了，这样下去该如何是好，总得想出点办法来。看着自己的双手我也动了一番脑筋，于是我就把一只手看成是9，大拇指代表5，其他各指都代表1，另外一只手也是如此。 以例1 计算6 ＋8= 为例，计算像这样20以内的进位加法时，我就告诉他：左手拿出6（大拇指加食指），右手拿出8（大拇指加另3 个手指），然后把两个大拇指合起来就是1（0 5+5=10），再数数还有几个手指（4 个），那合起来就是十几了（14）。就这么反复的教了几遍后，这位小朋友就明白了我的意思，以后做 20 以内的进位加法速度也快多了，比以往手指、脚趾并用得心应手多了。计算20 以内的进位加法都可以用这种方法来解决。 低年级学生尤其是一年级学生以具体形象思维为主要形式，对“一只手是5个手指头，两只手合起来是10 个手指头。”这一概念在幼儿时期就已经形成在小朋友的大脑中了。我只是让他们把这一概念继续延续下去，两
个大拇指一并就是10，然后数数还有几个手指就是十几。因为我把20 以内的进位加法转化成为10以内的加法和整十数加几的加法了，这对小朋友来说要比进位计算简便的多，所以学生计算速度大大提高了。 后来，我也把这种方法教给了计算速度很一般的小朋友，他们的速度也有了大大提高。 在教学活动中，我们不光要注重交给学生理论知识，面对学困生不要一味地用同一种方法去教学，要尽可能想出一些巧妙既便于记忆的方法来，只要结果相同，教无定法。 二、将错就错倒减法。 例2：计算15 －8= 这是20 以内的退位减法，在教学生的过程中，我们老师一般教学程序如下：让学生把被减数15 分成10 和5，然后用10 去减8 还多出2，再与5 相加等于7，所以15－8=7，而且在练习的过程中教师都非常注重过程，还要让学生说说是怎样做的。这对一些成绩优秀的学生来说是小菜一碟，有的甚至已经能熟练地口算了。中等生一般都会一步一个脚印地跟着老师走，可想而知，速度会较优生慢许多。而对那些刚对20 以内加法有那么“一点点熟练”的小朋友来说无疑碰到了难题，他们往往是这样做的：个位上5 减8 不够减，他就倒过来8－5=3，所以把15 －8 的答案做成13。面对这样的后进生，教师更应设计好攻难坡度，多花时间耐心指导。以例2 为例，我尝试使用了“倒减法”：就是在学生
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二年级下册数学教材分析一、本学期教学的指导思想
1、重视以学生的已有经验知识的生活经验为基础，提供学生熟悉的具体情景，以帮助学生理解数学知识。 2、增加联系实际的内容，为学生了解现实生活中的数学，感受数学与日常生活的密切联系。 3、注意选取富有儿童情趣的学习素材和活动内容，激发学生的学习兴趣，获得愉悦的数学学习体验。 4、重视引导学生自主探索，合作交流学习方式，让学生在合作交流与自主探索的气氛中学习。 5、把握教学要求，促进学生发展适当改进评价学生的方法。 二、教材分析 本册教材包括下面一些内容：数据收集整理、表内除法、图形的运动、混合运算、有余数的除法、万以内数的认识、克和千克、数学广角——推理、总复习等。 三、教学目标
1、了解统计的意义，体验数据的收集、整理、描述和分析的过程；会用简单的方法收集和整理数据，认识条形统计图和简单的复式统计表；能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能进行简单的分析。 2、知道除法的含义，除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系；能够熟练地用乘法口诀求商。 3、认识轴对称、平移和旋转，剪一剪等。帮助学生建立空间观念。培养学生的空间想象能力。 4、使学生经历把平均分后有剩余的现象抽象为有余数除法的过程，初步理解有余数除法的含义。 5、结合生活实际，体会生活中有大数。感受学习大数的必要性，经历数数的过程，能认识万以内的数，结合实际物体知道这些数的组成与分解。 6、认识生活中常见的秤。在实践活动中感知1克、1千克的物体有多重，了解克、千克的实际意义及1千克=1000克。
初等数学研究期末试题及答案A
课程名称： 初等数学研究 任课教师姓名： 左晓虹 卷面总分： 100 分 考试时长： 100 分钟 考试类别：闭卷 √ 开卷 □ 其他 □ 注：答题内容请写在答题纸上，否则无效． 一、单选题（4*10=40分） 1．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆否命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则||||a b ≠ （B ）若a b =-，则||||a b ≠ （C ）若||||a b ≠，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =- 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ） 4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ） （A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） （A ）283π - （B ）83 π - （C ）82π- （D ）23 π 6．函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ） （A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点
（C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点 7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈， 1 {|||N x x i =-初等数学研究第三章答案
习题三 1、已知半径为r 的圆为内接等腰梯形ABCD。它的下底AB 是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上。 （1）写出梯形的周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求其定义域； （2）当腰长为何值时，该等腰梯形的周长有最大值，并求出最大值。 解：（1）作DE ⊥AB 于 E 连DB，则∠ADB = 90°∴ADB∽AED ∴AD AB = AE AD 2 AD 2 ∴AD = AE ? AB ∴AE = AB 又Q DC = AB ? 2 AE ∴y = DC + AB + 2 AD = AB ? 2 AE + AB + 2 AD AD 2 = 2r ? 2 + 2r + 2 x AB 2x2 = 2r ? + 2r + 2 x 2r x2 = 4r ? + 2 x r x2 = ? + 2 x + 4r . r x2 又Q x > 0 ，且= AE < r ，即x < 2r 2r ∴函数的定义域为（0，2r）。（2）y = ? (r ? x) 2 + 5r ，所以当腰长x=r 时，周长y 有最大值5r. 2、设函数y = f ( x) 定义在R 上，当x>0 时，f ( x) > 1 ,且对于任意m, n ∈R ，有f (m + n) = f (m) ? f (n). 又当m ≠ n 时，f (m) ≠ f (n). 求证：（1）f (0) = 1. （2）对于任意x ∈R ，均有f ( x) > 0. 证明：（1）Q对任意m, n ∈R ，有f (m + n) = f (m) ? f (n). 1 r ∴令m=n=0,则有f (0 + 0) = f (0) + f (0) 即f (0) = f (0) + f (0) . ∴f (0) ? [ f (0) ? 1] = 0. ∴f (0) = 1 或f (0) = 0. 若 f (0) = 0.则对于任意m>0,有f ( m) = f ( m + 0) = f ( m) ? f (0) = 0 和题设矛盾。因此，f (0) = 1. （2）由题设和（1）的结论，当x ≥ 0 时， f ( x) ≥ 1 > 0 ，假设x < 0 ，则? x > 0 ，因而 f (? x) > 1。但是 f ( x) ? f (? x) = f ( x ? x) = f (0) = 1 所以， f ( x) = 1 > 0. f (? x) 3、判断下列各组函数是不是同一函数，并说出理由。（1）f ( x) = lg x 2 , （2）f ( x) = x , g ( x) = 2lg rx . g ( x) = 3 x 3 . 解：（1）是同一函数。因为定义域相同：x ∈R ? {0} . 且对每个x,对应值也相等。（2）不是同一函数。因为当x<0 时，f ( x) > 0 ，而g ( x) < 0 . 4、求下列函数的定义域（1）y = (4 x ? 5) + 8 ?1 x （2）y = log (2 x?1) (3 x ? 2) （3）y = log 0.5 (log 2 x 2 + 1) （4）y = 7? x?2 lg(9 ? 3x ) （5）y = 1 ? ( ) 2 x?1 （6）y = lg x + lg(5 ? 2 x ) （7）y = arccos(2 x 2 ? x) （8）y = arcsin( x ? 1) + 1 3 1 5x ? 1 1 4 （9）y = sin x ? 1 + (1 ? sin x ) （10）y = lg cos3x ?4 x ? 5 ≠ 0 ? ?8 解：（1）Q ? ? 1 ≥ 0 ? x ? x ≠0 ? 5 ? x≠ ? 4 ? ，∴? x ≤ 8 ?x ≠0 ? ? 5 4 5 4 5 ? x≠ ? 4 ? ，∴? ?8 ≤ x ≤ 8 ? x≠0 ? ? ∴函数定义域为：[?8,0) U (0, ) U ( ,8] . ?3 x ? 2 > 0 ? （2）Q ? 2 x ? 1 > 0 ?2 x ? 1 ≠ 1. ? 2 3 2 ? x> ? 3 ? 1 ? ∴?x > 2 ? ? x ≠1 ? ? ∴函数的定义域为：( ,1) U (1, +∞). ?log 0.5 (log 2 x 2 + 1) ≥ 0 ? （3）Q ? log 2 x 2 + 1 > 0 ? x2 > 0 ? ? 0 < log 2 x 2 + 1 ≤ 1 ? ∴?log 2 x 2 > ?1 ?x≠0 ? ?2-1 ≤ x 2 ≤ 1 ? ∴? x 2 > 2?1 ?x ≠ 0 ? ? 2 2 ≤ x ≤ 1 或?1 ≤ x ≤ ? ? 2 ? 2 ? 2 2 或x ∴? 2 2 ? ? x≠0 ? ? ? 2 2 函数定义域为：[(?1, ? )U( ,1)] . 2 2 ?lg(9 ? 3x ) ≠ 0 ? Q （4）? 9 ? 3x > 0 ?7 ? x ? 2 ≥ 0 ? ? x ≠ log 3 8 ? ∴? x < 2 ??5 ≤ x ≤ 9 ? ? 9 ? 3x ≠ 1 ? ∴? 3x < 9 ? x?2 ≤ 7 ? ? 3x ≠ 8 ? ∴? 3x < 32 ??7 ≤ x ? 2 ≤ 7 ? ∴log 3 8 < x < 2 或?5 ≤ x < log 3 8 ∴函数定义域为：[(?5,log 3 8) U (log 3 8, 2)]. （5）Q1 ? ( ) 2 x?1 ≥ 0. 1 3 ∴( )2 x?1 ≤ 1. ∴ 2 x ? 1 ≥ 0. ? log x ≥ 0 ? （6）Q ? x > 0 ?5 ? 2 x > 0 ? 1 3 ∴1 ≤ x < log 5 2 1 1 ∴函数定义域为[ , +∞] 2 2 x ≥1 ? ? x ≥1 ? ? ∴? x > 0 ∴? x > 0 5 ? ?2 x < 5 ? x< ? 2 ∴x ≥ 5 ∴函数定义域为：[1, ) . 2 （7）Q ?1 ≤ 2 x 2 ? x ≤ 1 ? 2 x 2 ? x ? 1 ≤ 0LL ①∴? 2 ?2 x ? x + 1 ≥ 0LL ② 1 ? ?由①? ≤ x ≤ 1 ∴? 2 ?由②x ∈R ? ∴函数的定义域为：[1, ) . ??1 ≤ x ? 1 ≤ 1 （8）Q ? ? 5x ? 1 > 0 1 5 ?0 ≤ x ≤ 2 1 ? ∴? ∴
20以内加减法的技巧
２０以内加减法的技巧 一、手指辅助延伸法。 例1:计算6+8＝ 我至今记得有这样一位小朋友，５以内的加减法很勉强能通过，10以内的就得靠他那10个手指头了.当我们教到2０以内的加减法时他就束手无策了,无奈只好脱掉鞋子把自己的10个脚趾头也搬了上来.对于这样的学生,我起初真的也束手无策了,这样下去该如何是好，总得想出点办法来。看着自己的双手我也动了一番脑筋，于是我就把一只手看成是９,大拇指代表５，其他各指都代表1，另外一只手也是如此。 以例１计算6＋8= 为例，计算像这样20以内的进位加法时,我就告诉他：左手拿出6（大拇指加食指)，右手拿出8(大拇指加另3个手指），然后把两个大拇指合起来就是１0(5+5=10），再数数还有几个手指(４个），那合起来就是十几了(１４)。就这么反复的教了几遍后,这位小朋友就明白了我的意思，以后做20以内的进位加法速度也快多了,比以往手指、脚趾并用得心应手多了。计算20以内的进位加法都可以用这种方法来解决。 低年级学生尤其是一年级学生以具体形象思维为主要形式,对“一只手是5个手指头，两只手合起来是10个手指头.”这一概念在幼儿时期就已经形成在小朋友的大脑中了。我只是让他们把这一概念继续延续下去,两个大拇指一并就是10,然后数数还有几个手指就是十几.因
为我把2０以内的进位加法转化成为１０以内的加法和整十数加几的加法了,这对小朋友来说要比进位计算简便的多,所以学生计算速度大大 提高了。 后来，我也把这种方法教给了计算速度很一般的小朋友，他们的速度也有了大大提高。 在教学活动中,我们不光要注重交给学生理论知识，面对学困生不要一味地用同一种方法去教学，要尽可能想出一些巧妙既便于记忆的方法来，只要结果相同，教无定法. 二、将错就错倒减法。 例2:计算 15－8＝ 这是20以内的退位减法，在教学生的过程中，我们老师一般教学程序如下:让学生把被减数15分成１0和5，然后用１0去减8还多出2，再与5相加等于7，所以1５－8＝7，而且在练习的过程中教师都非常注重过程,还要让学生说说是怎样做的.这对一些成绩优秀的学生来说 是小菜一碟，有的甚至已经能熟练地口算了.中等生一般都会一步一个脚印地跟着老师走,可想而知，速度会较优生慢许多。而对那些刚对2０以内加法有那么“一点点熟练”的小朋友来说无疑碰到了难题，他们往往是这样做的:个位上5减8不够减，他就倒过来8－5=3，所以把1５－8的答案做成１3.面对这样的后进生，教师更应设计好攻难坡度，多花时间耐心指导.以例2为例，我尝试使用了“倒减法”:就是在学生
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