跟华罗庚求学的日子

学校研究生院要我为《研究生教育》写一篇文章，这使我回忆起自己做华

罗庚老师研究生的那些难忘的日子。我愿意把它讲述给现在的年轻研究生们，并藉此寄托我对导师的怀念之情。

一

和中国的许多学生一样，我在孩童时期就对数学着了迷。我和妹妹只吵过一次架，而且我把她揍得很凶，那是因为在小学时她把我的数学习题本剪碎了，使我心疼至极而愤怒得失去控制。在天津一中上高二时，每个星期天中午不吃饭，跑到天津市图书馆去读华罗庚的《数论导引》。高三毕业时，中国科技大学招生人员来天津一中，说1958年我校上届学生朱滨考上科大，使天津一中的信誉很高，动员我们也考科大。我在招生手册中看到华罗庚

给科大58级学生上课的一张照片，便马上报了名。在科大五年（1959—1964）的大学生活是难以忘怀的。那时的科大学生生活真正是“团结、紧张、严肃、活泼”。学校领导对我们的教导是：他们和先烈们创建了统一的新中国，我们的任务就是努力学好知识，把中国建成强大的国家。当时的祖国一派生机勃勃，年青人充满了单纯的理想。我在科大踏踏实实地念了五年数学。许多老科大人都知道科大数学系有三条“龙”，即华龙（华罗庚）、关龙（关肇直）和吴龙（吴文俊），我在大学前三年属于关龙，关肇直老师的课有一种高屋建瓴的气势，并富有哲理性。我也听过吴文俊先生的代数几何课，每次课一气呵成，条理清晰，思路敏捷。到了1962年，华罗庚要在我们班开设代数与数论专业，我成了这个专业的学生。当时教我们代数的是华罗庚、万哲先和曾肯成三位大家，教数论的是王元和吴方两名高手，辅导教员是谢盛刚和徐诚浩，在这样的教授手下学习真是令人振奋。1963年，吴方老师带我做大学毕业论文，题目是《椭圆内的整点问题》，那是把陈景润关于圆内整点的最新结果推广到椭圆上，曾经得到陈景润的亲自指点。文章作好后，华罗庚同意作为大学毕业论文，并发表在《科大校庆五周年论文集》中，这是我的第一篇学术论文。1 964年毕业前夕，我考上了华罗庚的数论研究生。

二

华罗庚在60年代共招了11名研究生，他任科大副校长之后，把很大的精力放在科大培养学生。62年研究生为钟家庆、孙继广、曾宪立和陆洪文，63年为林秀鼎，64年为徐传宣、那吉生、贺祖琪、陈文德、裴定一和我。我们分别学习华罗庚从事的三个重要研究方向：多复变函数论、代数学和数论。他给我定的方向是代数数论。40年代他本人在美国作过不少杰出的数论工作。回国后于50年代培养了一批优秀的解析数论学生（陈景润、王元、越民义、吴方等）。但他一直希望有人继续从事代数数论工作。这期间，他和王元正在从事数在积分近似计算中的应用的研究，考虑用分圆域的单位构作积分插值，减小高维积分的计算量并提高误差精度。我对代数和数论相交叉并有实际应用的这个研究领域非常合意。华罗庚指导研究生的方针是以自学为主，指定要念的书，参加一些讨论班，并平均每两周和他谈一下学问。他要我念一本Landau的书：《代数数域上的解析方法》，要我念几篇文章，包括他和王元正在做的积分近似计算的文章初稿。参加他主持的一个“不等式”讨论班，大家共同讨论Bellman当时刚出版的一本关于不等式的书。参加讨论班的除了我们研究生，还有其他专业的科大教员，比如有作概率论的殷涌泉。在一个权威人士带领下，不同学科的人员共同讨论一个课题，是华罗庚从事研究和培养人材的十分显著的特点。而且每个讨论班都有明确的长远目的。他组织“不等式”讨论班的目的是锻炼我们的基本功，更长远的想法是他想从事数理经济学的研究，不等式是一个重要工具。这个讨论班给我的印象极为深刻。在讨论班第一次课上他说：“我叫你们念这本书是因为我不认为这本书写得很好”。他认为，用他精湛的矩阵技巧可以更系统地整理此书中许多矩阵不等式，归结于少数几个手段，使书中的内容看起来非常简单。这是他一贯倡导的“从薄到厚，又从厚到薄”读书方法的典型体现。记得我在他这种不迷信前人的熏陶之下，改进了此书中的一个不等式，并且在某种意义下改进到最佳程度。听殷涌泉和当时华罗庚的秘书王柱对我讲，华对我的结果和方法颇为欣赏，但他并没有为此事当面夸奖过我。他对学生的要求是非常严格的。他要我们干的事，都要定期有个交待，决不能抱有“他会忘记”的侥幸心理。每次见他之前，都抱着小心翼翼的敬畏的心情，不但在数学上作好准备，而且要想好如何答复他提出的问题。对于不满意的学生他会当众训斥（但是次数不多），但对符合心意的人，或者看到我们的成绩，他是由衷高兴的。这从严的要求使我终生受益匪浅，督促我学业不断进步，永不自满。正是在1964年，张劲夫和郁文等有远见的中科院领导决定成立中科院研究生院，把在全国各所的研究生集中到北京中关村学习一年。我们一共分成四个班，大家的专业从数理化一直到考古学，我对这些五花八门的专业感到很新奇，大家相处很融洽。1965年，我去北京顺义县“四清”，然后就开始了“文化大革命”，所以，我的研究生学习只进行了不到一年。1968年10月，我们六位同班同学均被分配到北京之外，我被分配到山西太原公司在动力厂当电工。1973年5月回到已下迁合肥的科大，不久去北京随万哲先老师学习代数编码理论。万哲先老师组织我们几位举行代数数论讨论班，随后北大的聂灵沼、丁石孙先生也参加进来。于是时隔8年，我又重操旧业，继续华老师叫我从事的工作。1979—1981年，我去美国进修，学习了西方代数数论的新进展，直到今天，这仍是我的主要研究方向。

三

华罗庚老师于1985年6月12日在日本东京大学的讲台上猝然倒地，至今已经9年了。他对世界数学的杰出贡献是举世公认的。他的治学精神和对待人生的态度，则集中表达在他经常

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讲的名言警语之中。他多次讲过“天才在于勤奋，聪明在于积累”。熟悉他经历的人都懂得这句话的份量。华罗庚于1910年11月12日出生在江苏省金坛县。父亲华瑞栋开代销店。华罗庚在金坛中学初中毕业后，家里无力供他上高中，便帮助父亲经营小店。1928年，金坛发生流行瘟疫，他的母亲染病去世，他也卧床六个月未翻身，导致左腿残废。就在这时，留法回国的王维克在金坛中学教书，借书给华罗庚看（一本大代数，一本解析几何，一本50页的微积分）。他开始对数学着迷，边站柜台边自学数学。由于影响作生意，他父亲多次要撕掉他的“天书”。1929年他在《科学》第14卷上发表了第一篇论文。他的第二篇论文（1930年《科学》第15卷）引起清华大学数学系主任熊庆来的注意。他于1931年推荐华罗庚作数学系助理，管图书、公文和打字等。至1933年，他的数学水平和能力已为大家公认，由于叶企荪教授仗义执言（“清华出了个华罗庚是好事，不应资格问题限制人才使用”）。他破格提升为助教，教微积分。1935年又升为教员，这期间，他除了对高等数学基础知识全面认真学习之外，对数论尤有兴趣，曾受到杨武之教授的指点。1936年法国数学家阿达玛和美国数学家维纳来清华系统讲学，好学勤奋的华罗庚使他们深深感动。193 6年，在维纳推荐下华罗庚以访问学者身份去英国进修，在剑桥大学受著名解析数论学家哈代的指点。至此，由于他顽强的努力和众多专家的引荐，他终于登上了数学研究的世界

舞台。在这里，起根本作用的是他自强不息的精神，即他所说的，要“锲而不舍，持之以恒”，“勤奋刻苦”。诚如他于1980年3月的一次为别人的题词：“苦干猛攻埋头干，熟能生出百巧来。勤能补拙是良训，一分辛苦一分才”。我到他家或办公室去，总是看到桌上铺满了书籍和草稿纸。1978年他已身背氧气瓶，我到北京医院去看他，他正躺在床上计算分圆单位，寻找新的恒等式，亲手把布满公式的一个笔记本交给我。后来，裴定一和我完成了他的一个想法，尽管他和王元都参与过这项研究，他让裴和我发表了（1980年），这是他（在病床上）指导我的最后一篇论文。我还要讲一件事，那是在78年前后，我去北京时中午常在他办公室休息。每天午睡前都要从一个布袋里随机地抽取五封信读读，那是从全国各地寄给他的。多数表达了人们对他的热爱和敬仰，其中也不乏溢美之词，有些甚至到肉麻的程度。他逝世后，中科院数学所在他办公室里整理出足足四麻袋草稿纸！这些年来，我常把这个故事讲给年青人，希望他们不要只看到那个布袋，不要只看到他的成绩和荣誉，而那四个麻袋是他劳动和汗水的化身，才是他的真正价值。当前改革开放的形势为年青人创造了更多的机会，但也助长了某些人逃避艰苦的思想。我相信，任何一种真正的事业都是通过艰苦劳动得来的，我这种坚定的信念来源于华罗庚老师的榜样：尽管他是天才，他仍然勤奋了一生！

四

华罗庚非常强调基本功的重要性。首先，他舍得在基础知识上多花工夫，他说“在中学时，别人花一小时，我就花两小时。而到工作时，别人花一小时解决的问题，我有时就可能用更少的时间去解决了”。他多次对我们讲过，他花了整整两年去念了Weyl的《群表示论》一书，一直到他认为真正念懂了，并且化成了自己的语言—矩阵，然后作为工具研究多复变函数，写了《典型域上调和分析》一书。“基本功要练成什么样呢？”他说“要练得很熟，熟了才能有所发明和发现，熟能生巧，在练基本功时最忌讳好高婺远，不要怕粗活，不要轻视点滴工作。轻视困难和惧怕困难是孪生兄弟，往往会出现在一个人身上，例如有人轻视复杂的计算，实际上是惧怕计算。我看见过不少青年，眼高手低，浅尝辄止，匆匆十年，一无成就。”他把练基本功比喻为练拳，要“拳不离手，曲不离口”。他鼓励年青人，做学问要勇于和强者较量。为此，他把“班门弄斧”这句成语反其道而行之，主张“弄斧必到班门”。只有和强者较量才能增长见识和做出高水平成果。另一方面，他又强烈主张不迷信别人，“只是跟着别人的脚印走路，那就总要落后别人一步”，“在科学研究中最主要的精神之一是创新精神”。他多次对我们讲，要做出好的文章，关键是要有几手自己的“招路”和“拿手好戏”，别人都不如你，这样你才能做出新的东西，人家才注意你。华罗庚的这一治学思想对他的学生影响极大。前面说过，华罗庚对矩阵工具的纯熟使他在数学的多个领域中都取得国际水平的成就，并使研究工作有他自己的特点。曾肯成先生曾有一句戏言：“龙生龙，凤生凤，华罗庚的学生会打洞”，所谓“打洞”即指矩阵对角化，使非对角元素均为零。又如：他对于体的研究也是很独特的他发现了体一些别开生面的恒等式，由此出发建立了体上许多新奇结果。这种方法经曾肯成又传李尚志，使李尚志近年来在体上典型群的极大子群研究中得出国际上最完整和系统的成果。华罗庚用矩阵工具发展出矩阵几何，并用来研究模形式理论，他和他的学生万哲先写了《典型群》一书。在六十年代，万哲先带领学生们用限域上典型群理论系统地构作试验设计方案，近来又用于编码理论。在解析数论方面，他的许多世界一流的贡献归结于他对数论工具的创新。他还和王元一起发展了近似计算的数论方法（国际上称为华—王方法）。这一切表示出华罗庚的数学研究有一种鲜明的个性，具有从庞杂中看透本质的深刻洞察能力和一种数学大家的风范，体现着勇攀高峰的强烈创新精神。这种风格深深地影响了下几代而形成“中国学派”。

五

华罗庚对于中国的数学教育和科学发展倾注了极大的热情，也发表了许多精辟的见解。他多次为全国各地中学生和中学教员做演讲，是中国数学竞赛的创始人之一。1981年他访美六个月，受到48个大学的邀请，访问了其中26所美国大学，感触颇深，写了一个汇报。在汇报中他对于中外的数学教育作了对比，对于中国的教育和科研提出许多中肯的意见。这里只举几个例子，他认为，“中国人一般刻苦用功，考试可以得好分数，但创造性的思考欠缺，这和国内填鸭式教学有关”。他极力主张派人出国学习，至于这些人的回国问题，关键不在于“物质上差异”而在于“安置好他们的工作，让他们发挥作用”。他认为“研

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究人员应当教书，有助于他的研究工作和培养新人”，研究所“人数要少而精”。“我们某个所的党委书记给外宾介绍情况说：我们所很小，只有六百人，云云，已被人传为笑谈”，“研究员和教授不应都是永久牌的”。对于学术评价，他也有两句名言：“早发表，缓评价”，“努力在我，评价由人”，“我认为这对学术的发展是有益的，我们以往有许多评价太急，在国外造成不好的印象，在国内我就不知道有华不等式，华方程、华算子、华定理等第，出来之后才知道那是指的什么，好的工作，国外人家是不会抹煞的，与其自己这样说倒不如迟十年二十年由人家说去”。对于目前学术鉴定会过滥和自己动不动就称为“国际水平”的风气，华罗庚的这些话是很值得深思的。以上是我想到的华老师的教诲。但我还没有说到他对我更重要更深远的影响，这个影响在我作学生的时候并没有多少察觉。因为那时我还是未出校门阅历不深的学生，在我到了中年，经历了社会的风风雨雨，这种影响才显露出来，那就是一个人应当如何对待困难和挫折，如何选择人生的道路。我已经说到华罗庚少年和青年时代之艰苦，我也听过华师母泪流满面地诉说，丈夫远渡重洋去英国求学时，她只身一人在上海照顾两个生病的孩子，可以想象一个残疾人离开妻子儿女是什么滋味。1937年抗日战争爆发，华罗庚从英国回来，在昆明市的西南联大作教授。据段学复回忆，他们的讨论班常被敌机轰炸中断，华罗庚拖着残腿跑路极不方便，有一次

被弹片溅起的泥土盖住全身，后来索性住在农人家里。1946年华罗庚到了美国，1948年成为伊利诺大学正教授，他的数学研究处在顶峰时期，工作也有了保障，这对于艰苦奋斗了半生的华罗庚，无疑是极好的人生归宿。然而，他在1950年2月又毅然放弃了优厚的职位，携全家动身回到新中国，这是他一生中最重要的抉择！

六

对于他的回国，特别是看到或听到他回国后的坎坷经历，国内外数学家历来有各种不同的看法后评价，他在美国的不少朋友都抱有惋惜之情，华罗庚自己则是充满信念的。在回国途中，他发表了热情洋溢的《致中国全体留美学生的公开信》，信中说：“梁园虽好，非久居之乡，归去来兮！……为了抉择真理,我们应当回去，为了国家民族，我们应当回去，为了为人民服务，我们也应当回去！”1992年，美国数论学家哈泼斯坦在国际数论杂志《Acta Arithmefiea》上写了一篇纪念华罗庚逝世的文章，文中说：“如果有许多中国数学家现在在科学的新领域中作出特殊的贡献，如果数学在中国享有异常的普遍尊重，那就要归功于作为学者与教师的华罗庚50年来对他国家的数学事业所作的贡献”。研究数学史的美国人贝特曼写道：“华罗庚一直是中华人民共和国第一流的科学巨人之一，像爱因斯坦在美国一样，最后成为本国传奇式的科学家，……人们可能会设想，如果他留在西方，他将可能完成更多的个人研究计划。然而，如果这样做，他就不可能如他最后30年所做的，在中国发展数学及其应用中起到中心作用”。他的好友赛尔伯格也说：“要是华罗庚像他的许多同胞那样，在第二次世界大战之后仍然留在美国的话，毫无疑问，他本来会对数学作出更多的贡献。另一方面，我认为，他回国对中国是十分重要的，很难想象，如果他不曾回国，中国的数学会是什么样”。上届美国数学会主席格雷厄姆也说：“华罗庚比起历史上任何一位数学家来，受他直接影响的人可能更多。”这些外国人对华罗庚的评价他是当之无愧的。华罗庚于1950年3月16日到达北京，执教于清华大学数学系，并筹备成立中科院数学所。1952年被任命为所长，一切工作重新开始。他诸方网罗人材，生气勃勃，工作进展神速，先成立数论组（华罗庚，越民义，王元，许孔时，吴方，魏道政）和微分方程组（吴新谋，秦元勋，王光寅，丁夏畦，邱佩璋），后成立代数组（华罗庚，陆启铿，龚升），拓扑组（吴文俊，张素诚，孙以丰），泛函分析组（关肇直，田方增，冯康），数理逻辑组（胡世华，唐稚松，陆钟万），概论统计组（张宗燧，戴元本），力学组（庄逢甘等），计算机设计组（闵乃大，吴几康，夏培肃），他从厦门大学调来陈景润，亲自领导“数论导引”和“歌德巴赫猜想”两个讨论班，数学所还向全国开放。从回国到1 957年，他的工作受到毛主席和数学家们广泛支持，写了四本专著，工作十分有成效。他在50年代的许多学生后来为中国数学作出杰出贡献，或者改行后，在计算机科学等领域成为学术带头人。

七

1957年反右运动中他成了数学所重点批判对象。在1962年，他又以极大的勇气整顿数学所，提倡在研究实习员中进行基础课考试，成绩太差的调离，并开辟“练拳园地”以增强学术空气。但好景不长，华罗庚这些作法被说成是“资产阶级的反功倒算”，使他非常灰心，几次对我们说：“数学所的所长我不干了，没什么关系，厕所也是所。”于是，他把工作重心转到中国科技大学。从1958年，他的研究工作明显地放慢了速度，但仍以固有的顽强毅力，在科大重整旗鼓，培养学生，把王元也带到科大来。并开始从事积分近似计算和统筹优选化等应用性研究工作。1966年文革开始，他被抄家，手稿散失，至今没有下落。他遭到多次批判，被罚打扫数学所的厕所。直到1970年3月4日，周恩来批示要保护华罗庚，将他的关系转到人大常委，才得以安静。他仍然到全国各地推广优选法。1976年文革结束，他积极工作，但已年迈体弱，力不从心，患心肌梗塞多次，背起氧气瓶还提出“甘作人梯”的口号，一直工作到倒在东京大学的讲台上。1982年，他回忆起刚回国时的心情说：“50年由美国回来时，好象入伍的新兵，斗志旺盛，一心想在祖国建设中尽一份力”。他为祖国耗尽了最后一份精力，他的一生有许多好的机遇和顺利的环境，也有不少艰难与困苦。他在任何环境中都自强不息和勇于开拓，使我们永不忘怀。对于那些艰苦创业的人们，人类历史总是给予特殊的地位。

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《统筹方法》教案

《统筹方法》教案 教学目标 1．了解统筹方法的简单原理，认识统筹方法在现实社会中的重要作用，培养学生学科学爱科学的兴趣。 2．学习本文下定义、举例子、画图表的说明方法的使用。 3．培养学生实际运用统筹方法的初步能力。 教学重难点 重点：理解课文内容，理清文章结构。 难点：将统筹方法用于社会实践中去。应引导学生多设例，并将这些例子绘制成图表示意，掌握画图表这一说明方法的特点和作用。 教学方法： 采用自主学习和合作探究的方法，可在学习课文的基础上，适当拓宽，让学生生活中的统筹知识，将本文的学习与调查实践结合起来，体现课程标准的新理念，提高学生的生活实践能力。 课前准备 1. 教师分析教材，准备PPT课件及相关视频。 2.学生查阅资料，了解作家作品，借助工具书和网络搜集有关统筹方法的事例。 课时安排：2课时。 教学过程 第一课时 一、新课导入 1.出示课件：生活事例 负责人王工程师讲，造一座桥,总部要求他们必须在25天内完成任务。可是,大梁浇注要5天，大梁凝固要20天，围堤抽水要5天，砌桥墩要15天，加起来共需要45天，同学们，25天的时间做45天的活儿，能完成吗？ 我们在日常生活、学习、劳动中，或是工业、农业以及各行各业工作过程中，无一不想节省时间、提高效益。如何才能少费时、少费事、多干活、干好活呢？著名数学家华罗庚先生写的《统筹方法》就是专门解决这一问题的，我们认真研究，肯定会大有裨益。 2.介绍作者华罗庚。

华罗庚，我国现代著名的数学家。他在数学理论的研究上有卓越的贡献，在国际上也有一定影响。生前曾担任中国科学院数学研究所所长。为了使数学更好地为祖国的工农业生产建设服务，他致力于研究并推广数学在实际中的应用，使小、数学在工农业生产实践中发挥巨大威力。他重视实用数学的普及工作，为了使文化水平不高的广大生产者了解有关数学原理，并懂得其原理在生产中是怎样运用的，他用通俗易懂的语言写下了《统筹方法平话》、《统筹方法平话及补充》《优选法平话》等科普读物。以为外国数学家曾感叹说：“我们从来没有见过一位数学家和群众有这样的关系。”这说明了华罗庚致力于科学普及工作的突出成就。 （观看华罗庚视频） 二、新课学习 1．课题为“统筹方法”，讲的是一种方法，因此它是一篇事理说明文。那么，什么是统筹方法呢？请大家找出课文中严谨、科学地说明这一概念的语句。（理解“下定义”的说明方法的特点及作用） 学生思考，很容易地找到第一段的第一句话：统筹方法，是一种安排工作进程的数学方法。 2．这句话用了什么说明方法？ 下定义的说明方法。 教师讲析“下定义”的特点：定义=内涵+外延。在这儿，安排工作进程是统筹方法的内涵，本质属性，数学方法是精确地计算（时间或路程）的方法，并非其他方法，这是它的所属，是外延，两者合在一起准确而简明地指出统筹方法的性质特点。 3．作者为什么开篇即用下定义的方法说明“统筹方法”？ 学生能想到：这是使读者对这种数学方法的性质和内涵有所了解，以便于下文具体说明。 4．第一段还讲了什么内容？ 明确：统筹方法的应用范围，正因为运用范围广泛，所以才有研究、介绍、普及的必要。 三、学习语言特色 理解作者是怎样通俗、生动地把这一数学方法介绍得清楚、明白的。 “统筹方法”既然如此有用，那“如何应用呢”？这是读者最关心的问题，最能引起兴趣，因此作者在第二段用一个“设问句”开头，在结构上起到了承前启后的过渡作用。（可以由老师步步设问，学生跟着回应，启发学生的思考。） 1．问：那么，作者是怎样说明统筹方法的应用的呢？

华罗庚学校数学课本电子版

华罗庚学校数学课本电子版 第一讲认识图形（一） 1．这叫什么？这叫“点”。 用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。 2．这叫什么？这叫“线段”。 沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。线段有两个端点。 3．这叫什么？这叫“射线”。 从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。 4．这叫什么？这叫“直线”。 沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边无限延伸。 5．这两条直线相交。 两条直线相交，只有一个交点。 6．这两条直线平行。 两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。 7．这叫什么？这叫“角”。 角是由从一点引出的两条射线构成的。这点叫角的顶点，射线叫角的边。角分锐角、直角和钝角三种。 直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。教室里天花板上的角都是直角。 锐角比直角小，钝角比直角大。

习题一 1．点（1）看，这些点排列得多好！ （2）看，这个带箭头的线上画了点。 2．线段下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣！ （1）一根小棍。可以横着摆，也可以竖着摆。 （2）两根小棍。可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可以一横一竖摆。 （3）三根小棍。可以像下面这样摆。 3．两条直线 哪两条直线相交？哪两条直线垂直？哪两条直线平行？

4．你能在自己的周围发现这样的角吗？ 第二讲认识图形（二） 一、认识三角形 1．这叫“三角形”。 三角形有三条边，三个角，三个顶点。 2．这叫“直角三角形”。 直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角。它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边。 3．这叫“等腰三角形”。 它也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长（相等），相等的两条边叫“腰”，另外的一条边叫“底”。 4．这叫“等腰直角三角形”或叫“直角等腰三角形”。它既是直角三角形，又是等腰三角形。

华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛

图1 第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 一、填空题： 1 ）计算： 2）如图1所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图形中，共有25个格点，在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有 个。 3）将七位数1357924重复写287次组成一个2009位数“13579241357924……”。删去 这个新数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字组成一个新数，再删去新数中所有 位于奇数位上的数字，按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数 字是 。 4）如图2所示，在由七个小正方形组成的图形中，直线l 将原图形分为面积相等的两部 分，l 与AB 的交点为E ，与CD 的交点为F ，若线段CF 与线段AE 的长度之和为91厘米， 那么小正方形的边长是 厘米。 5）某班学生要栽一批树苗，若每个人分k 棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有 名学生。 6）已知三个合数A 、B 、C 两两互质，且A ×B ×C =11011×28，那么A +B +C 的最大值是 。 7）方格中的图形符号“◇”，“○”，“▽”“☆”代表填入方格内的数，相同的符号表示相同的数。如图所示。若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37。则第三行的四个数的和是 。 8）已知1＋2＋3＋……＋n (n ＞2)的和的个位数为3，十位数为0，则n 的最小值 为 。 二、解答下列各题（要求写出简要过程）： 9）下列六个分数的和在哪两个连续自然数之间？

10）2009年的元旦是星期四。问：在2009年，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？ 11）已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270，求b与c的最小公倍数是多少？ 12）在51个连续奇数1，3，5，……，101中选取k个数，使得他们的和为1949，那么k的最大值是多少？ 三、解答下列各题（要求写出详细解答过程） 13）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BC相交于O点，已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积。 14）如下算式，汉字代表1至9这9个数字，不同的汉字代表不同的数字。若“祝”字和“贺”字分别代表数字“ 4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数。

第4届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛含答案

多有几个？ [5分] 参考答案： 6. 在正方体的8个顶点处分别标上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每条棱两 端所标的两个数之和写在这条棱的中点，问各棱中点所写的数是否可能恰有五种 不同数值？各棱中点所写的数是否可能恰有四种不同数值？如果可能，对照图a 在图b的表中填上正确的数字；如果不可能，说明理由。 [5分] 参考答案：

2. 这是一个中国象棋盘（图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方 形边长），黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一 个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12， 13，14中的两个位 置。 问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为 顶点构成的三角形的面积最大？[5分] 参考答案： 3. 将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管 （加工损耗忽略不计） 问：剩余部分的管子最少是多少厘米？[5分] 参考答案：

甲、乙二人同时从A出发向B行进，甲速度始终不变，乙在走前面1/3路程 时，速度为甲的二倍，而走后面2/3路程时，速度是甲的7/9，问甲、乙二人谁 先到达B？请你说明理由。[5分] 参考答案： 5. 这是一个长方形。（AE的长度与ED的长度之比是9∶5） （BF的长度与FC的长度之比是7∶4）问：涂红色的两块图形的面积与涂蓝色的两块图形的面积相比较，哪个大？请说明理由。 [5分] 参考答案： 6. 这是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。 问：涂红色的部分的面积是多少平方厘米？ [5分]

7. 这是两个分数相加的算式。问：等号左边的两个方格中各是怎样两个不同的自然 数？[5分] 参考答案： 9. 图中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积已在图中标出（单 位：平方厘米） 问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？请说明理由。[5 分] 参考答案：

统筹方法 (华罗庚)

统筹方法(华罗庚) 统筹方法，是一种为生产建设服务的数学方法。它的实用范围极为广泛，在国防、在工业的生产管理中和关系复杂的科研项目的组织与管理中，皆可应用。 比如，想泡壶茶喝。当时的情况是：开水没有。开水壶要洗，茶壶茶杯要洗；火已升了，茶叶也有了。怎么办？ 办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时候，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶；等水开了，泡茶喝。 办法乙：先做好一些准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧水；坐待水开了，泡茶喝。 办法丙：洗净开水壶，灌上凉水，放在火上；坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，泡茶喝。 哪一种办法省时间？谁都能一眼看出，第一种办法好，因为后二种办法都“窝了工”。 这是小事，但这是引子，引出一项生产管理等方面有用的方法来。 开水壶不洗，不能烧开水，因而洗开水壶是烧开水的先决问题，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能泡茶。因而这些又是泡茶的先决问题。它们的相互关系，可以用以下的箭头图来表示： 从这个图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟（而办法乙、丙需要20 分钟）。如果要缩短工时、提高工作效率，主要抓的是烧开水这一环节，而不是拿茶叶这一环节。同时，洗壶杯、拿茶叶总共不过4分钟，大可利用“等水开”的时间来做。

是的，这好像是废话，卑之无甚高论。有如，走路要用两条腿走，吃饭要一口一口吃，这些道理谁都懂得，但稍有变化，临事而迷的情况，确也有之。在近代工业的错综复杂的工艺过程中，往往就不能像泡茶喝这么简单了。任务多了，几百几千，甚至有好几万个任务；关系多了，错综复杂，千头万绪，往往出现“万事俱备，只欠东风”的情况，由于一两个零件没完成，耽误了一架复杂机器的出厂时间。也往往出现：抓得不是关键，连夜三班，急急忙忙，完成这一环节之后还得等待旁的部件才能装配。 洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶没有什么先后关系，而且同是一个人的活，因而可以合并成为： 用数字表示任务，上面的图形可以写成为： 看来这是“小题大做”，但在工作环节太多的时候，这样做就非常有必要了。会主义制度下能更有效地发挥作用。 法来考虑问题，也是不无裨益的。当然，这种方法，需要通力合作，因而在社的许多问题。这种方法虽然不一定能直接解决所有问题，但是，我们利用这种方这里讲的主要是有关时间方面的问题，但在具体生产实践中，还有其他方面

华罗庚学校数学课本(6年级下册)第01讲 列方程解应用题

第一讲列方程解应用题 这一讲学习列方程解应用题． 例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数． 分析被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出方程． 解：设乙数为x，则甲数为2x+17． 10x=3（2x＋17）+45 10x=6x＋51+45 4x=96 x＝24 2x+17=2×24+17=65． 答：甲数是65，乙数是24． 例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？ 思路1： 分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因此列出方程的等量关系是：提高后的工效x所需的天数=剩下台数． 解：设完成计划还需x天． 1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5 80×1.25x=1600-400 100x=1200 x=12．

答：完成计划还需12天． 思路2： 分析“思路1”是从具体数量入手列出方程的．还可以从“率”入手列方程．已知“效率提高25％”是指比原效率提高25％．把原来效率看成 解：设完成计划还要x天． 答：完成计划还需12天． 例3有一项工程，由甲单独做，需12天完成，丙单独做需20天完成．甲、乙、丙合作，需5天完成．如果这项工程由乙单独做，需几天完成？ 工作总量． 解：设乙单独做，需x天完成这项工程．

华罗庚杯六年级数学竞赛试题：

华罗庚杯六年级数学竞赛试题： 华罗庚杯六年级数学竞赛试题：一、认真思考、填一填。(18分，每空0.5分) 1、猪八戒的电话号码是4个8、3个0组成的7位数，且只能读出一个零的最小数，是( )。 2、一个多位数，省略万位后面的尾数约是6万，这个多位数最大可能是( )、最小可能是( )。 3、 =( )：( )=0.375=6 ÷( )=( )% 4、a是b的7倍，b就是a的( )。2个白球，2个黄球装在一个口袋里，任意摸一个( )是红球。 5、被减数，减数与差的和是4 ，被减数是( )。被除数+除数+商=39，商是3，被除数是( )。 6、甲、乙、丙三个数之和是194，乙数是甲数的1.2倍，丙是乙的1.4倍，甲是( )。 7、圆的周长与直径的比是( )。上5层楼花1.2分钟，上8层楼要( )分钟， 8、任意写出两个大小相等，精确度不一样的两个小数( )、( )。 9、甲数比乙数多25，乙数比丙数多75，甲数比丙数多( )。 10.、三个连续偶数的和是a，最小偶数是( )。 11、的分母增加10，要使分数值不变，分子应增加( )。 12、小红比小刚多a元，那么小红给小刚( )元，两人的钱数

相等。 13、一本故事书页，小华每天看m页，看了y天，还剩( )页未看。 14、a的与b的相等，那么a与b的比值是( )。 15、甲÷乙=15，甲乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 16、一个数的小数点向左移动一位，比原来的数小了2.25，原数是( )。 17、：6的前项乘4，要使比值不变，后项应该加上( )。 18、是把整体“1”平均分成( )份，表示其中的( )份，也可以说把( )平均分成( ) ，份表示其中的( )份，或许说( )是( )的。 二、我是聪明的小法官(对的√、错的×)(5分，每空0.5分) 1、40500平方米=40.5公顷 ( ) 2、统计一个病人的体温最好选择条形统计图。 ( ) 3、小刚生于1995年2月29日。 ( ) 4、圆的半径是，求半圆周长公式是 ( +2)。 ( ) 5、与20%表示意义完全相同。 ( ) 6、一根绳子长剪成两段，第一段长米，第二段占全长的， 第二段绳子长( )米 7、众数的特点是用来代表一组数据的“多数水平”。( ) 8、甲数比乙数多，则乙数比甲数少20% 。 ( ) 9、4900÷400=49÷4=12……1 ( ) 10、同样长的铁丝，围成正方形和围成圆形，它们的面积一

数学奇才华罗庚阅读练习题及参考答案

数学奇才华罗庚阅读练习题及参考答案 阅读下面的文字，完成(1)～(4)题(25分) 数学奇才华罗庚 无论研究数学中的哪一个分支，华罗庚总能抓住中心问题，并 力求在方法上有所创新。他反对将数学割裂开来，永远只搞一个小分支或其中的一个小题目，而对别的东西不闻不问。他将这种做法形容为“画地为牢”。他曾多次告诫学生：“我们不是玩弄整数，数论跟其他分支是有密切关系的。”在《数论导引》中，华罗庚首先强调的就是数学的整体性与各部分之间的联系。 1945年，尽管华罗庚已经是世界数论界的领袖学者之一，但他并不满足，决心中断他的数论研究，另起炉灶。关于他改变自己研究方向的主要原因，正如他以后多次说的，“加入我当时不改行，大概只写几篇数论文章，我的数学生命也就结束了，但该行了就不一样了。”“在研究数学时，选准方向拼命进攻固然重要，但退却有时也很重要。善于退却，把握住退却的时机，这本身就是一种艺术。”他的改行，实际上是其治学之道“宽、专、漫”中的“漫”，即他在搞熟弄通的分支附近，扩大眼界，在这个过程中逐渐转移到另一个分支，使自己的专业知识“漫”到其他领域。这样，原来的知识在新的领域还有用，选择的范围就越来越大。他一直认为，从解析数论中“漫”出来是他一生研究数学的得意之笔。 对于我国数学教育中存在的问题，华罗庚认办，主要出在太注 意方法而忽略了原则。一个数学问题往往要教十几种方法，其实只要

一种就够了。学会一种方法，别的自然可以想到。在教学方法上，一种毛病是不少老师不愿意改作业，许多题目自己在黑板上演算一遍，让学生照抄了事；另一种毛病是不愿当堂答复学生的问题，这一种态度最坏。华罗庚上课时，对学生提的任何问题总要在课堂上答复，认为这样可以训练学生如何去“想”。有时实在解决不了，他也很坦白地告诉学生，他要回去继续想，而不是只顾面予，使问题解决得模模糊糊。他还讲到“由薄到厚"和“由厚到薄"的读书方法：“譬如我们读一本书，厚厚的一本，加上自己的注解，就会愈读愈厚，我们知道的东西也就‘由薄到厚’了。但这还只是接受和记忆的过程，读书并不是到此为止。‘由厚到薄’是消化、提炼的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的问题来。” 1979年3月底，华罗庚应英国伯明翰大学邀请,去英国讲学，历时八个月，其间还应邀到荷兰、法国与西德访问了一个多月。7月下旬，“解析数论会议”在英国达勒姆召开，华罗庚应邀参加，他的学生王元与潘承洞也参加了。王元代表华罗庚和他自己做了“数论在近似分析中的应用"的大会报告，潘承洞做了“新中值公式及其应用"的大会报告。一些白发苍苍的数学家用“突出的成就"、“很高的水平"等评语，赞扬中国数学家在研究解析数论方面所作的努力，并向华罗庚表示祝贺。 通过对欧洲的访问，华罗庚深刻领悟到“班门弄斧”这个成语是要人隐讳缺点，不要暴露，不如改成“弄斧必到班门"。他每到一个地方去演讲，必讲对方最拿手的东西，其目的就是希望得到帮助与

统筹方法 华罗庚

统筹方法华罗庚 40多年前，华罗庚写的《统筹方法》曾影响了许多人的做事习惯。 统筹方法，是一种安排工作进程的数学方法。它的实用范围极广泛，在企业管理和基本建设中，以及关系复杂的科研项目的组织与管理中，都可以应用。 怎样应用呢？主要是把工序安排好。比如，想泡壶茶喝。当时的情况是：开水没有；水壶要洗，茶壶茶杯要洗；火生了，茶叶也有了。怎么办？ 办法甲：洗好水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶；等水开了，泡茶喝。办法乙：先做好一些准备工作，洗水壶，洗茶壶茶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧水；坐待水开了泡茶喝。 办法丙：洗净水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开；水开了之后，急急忙忙找茶叶，洗茶壶茶杯，泡茶喝。 是的，这好像是废话，卑之无甚高论。有如走路要用两条腿走，吃饭要一口一口吃，这些道理谁都懂得。但稍有变化，临事而迷的情况，常常是存在的。在近代工业的错综复杂的工艺过程中，往往就不是像泡茶喝这么简单了。任务多了，几百几千，甚至有好几万个任务。关系多了，错综复杂，千头万绪，往往出现「万事俱备，只欠东风」的情况。由于一两个零件没完成，耽误了一台复杂机器的出厂时间。或往往因为抓的不是关键，连夜三班，急急忙忙，完成这一环节之后，还得等待旁的环节才能装配。 这里讲的主要是时间方面的事，但在具体生产实践中，还有其它方面的许多事。而我们利用这种方法来考虑问题，是不无裨益的。工序一改变就节省了时间，这只是统筹方法的一个简单的例子，体现了此方法的合理性，及时性和科学性。 统筹方法其实是一种安排工作过程的数学方法，应用的关键是把工序安排好，简而言之就是在最短的时间里，有效地完成较多的事情。 工作效率的高低将直接影响着各项生产指标的完成，所以班组职工应将本班组中所进行的工作做一个时间范畴上的统筹安排，谁先谁后，谁轻谁重，谁急谁缓，做到心中有数，计划周到，循序渐进，达到提高工作效率的目的。当然，这离不开统筹方法。 我们在生产现场中会经常遇到“万事俱备，只欠东风”的情况，也许就差一个小配件，施工暂时停了下来，我们应该在等待“东风”的过程中，做一些诸如设备保养，安全隐患排查等工作，不要让这宝贵的上产时间白白逝去。 今天在办公室的时间安排得比较紧凑，超出了昨天的工作计划，也就是在完成今天工作内容之余额外地完成了其他的事项。到了下班时间，身体和脑筋的确都已经很累了，总结时发现，每一件事情都处理妥善，并且恰到好处，也可以准时下班。感觉良好的同时，简单分析了自己的工作效率中，认为统筹方法的运用非常重要！ 作为一个工作人员，要在有限的时间里面创造出无限的价值，就必须懂得安排时间，也就是善于运用统筹方法。一个善于运用统筹方法的人，花一个小时的时间，就可以达到甚至超越普通人（即不懂得运用统筹方法的人）１０个小时的工作成果，这是经过本人多次观察得出的结果。

(完整word版)华罗庚学校数学课本：一年级(上册)

华罗庚学校数学课本 一年级 上册 刘彭芝主编子悦爸整理

目录 第一讲认识图形（一） (1) 习题一 (2) 第二讲认识图形（二） (4) 习题二 (7) 第三讲认识图形（三） (8) 习题三 (9) 第四讲数一数（一） (11) 习题四 (12) 习题四解答 (14) 第五讲数一数（二） (15) 习题五 (16) 习题五解答 (18) 第六讲动手画画 (20) 习题六 (21) 第七讲摆摆看看 (23) 习题七 (24) 习题七解答 (25) 第八讲做做想想 (27) 习题八 (27) 习题八解答 (29) 第九讲区分图形 (31) 习题九 (32) 习题九解答 (33) 第十讲立体平面展开 (35) 习题十 (36) 第十一讲做立体模型 (37) 习题十一 (38) 第十二讲图形的整体与部分 (39)

习题十二 (40) 习题十二解答 (42) 第十三讲折叠描痕法 (43) 习题十三 (44) 习题十三解答 (44) 第十四讲多个图形的组拼 (46) 习题十四 (47) 习题十四解答 (48) 第十五讲一个图形的等积变换 (50) 习题十五 (51) 习题十五解答 (52) 第十六讲一个图形的等份分划 (54) 习题十六 (55) 习题十六解答 (56) 第十七讲发现图形的变化规律 (58) 习题十七 (59) 习题十七解答 (61)

第一讲认识图形（一） 1．这叫什么？这叫“点”。 用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。 2．这叫什么？这叫“线段”。 沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。线段有两个端点。 3．这叫什么？这叫“射线”。 从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。 4．这叫什么？这叫“直线”。 沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边无限延伸。 5．这两条直线相交。 两条直线相交，只有一个交点。 6．这两条直线平行。 两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。 7．这叫什么？这叫“角”。

《数学奇才华罗庚》阅读答案

《数学奇才华罗庚》阅读答案 数学奇才华罗庚 无论研究数学中的哪一个分支，华罗庚总能抓住中心问题，并力求在方法上有所创新。他反对将数学割裂开来，永远只搞一个小分支或其中的一个小题目，而对别的东西不闻不问。他将这种做法形容为“画地为牢”。他曾多次告诫学生：“我们不是玩弄整数，数论跟其他分支是有密切关系的。”在《数论导引》中，华罗庚首先强调的就是数学的整体性与各部分之间的联系。 1945年，尽管华罗庚已经是世界数论界的领袖学者之一，但他并不满足，决心中断他的数论研究，另起炉灶。关于他改变自己研究方向的主要原因，正如他以后多次说的，“假如我当时不改行，大概再写几篇数论文章，我的数学生命也就结束了，但改行了就不一样了”。“在研究数学时，选准方向拼命进攻固然很重要，但退却有时也很重要。善于退却，把握住退却的时机，这本身就是一种艺术。”他的改行，实际上是其治学之道“宽、专、漫”中的“漫”，即他在搞熟弄通的分支附近，扩大眼界，在这个过程中逐渐转到另一个分支，使自己的专业知识“漫”到其他领域。这样，原来的知识在新的领域还有用，选择的范围就会越来越大。他一直认为，从解析数论中“漫”出来是他一生研究数学的得意之笔。 对于我国数学教育中存在的问题，华罗庚认为，主要出在太注意方法而忽略了原则。一个数学问题往往要教十几种方法，其实只要一种就够了。学会一种方法，别的自然可以想到。在教学方法上，一种毛病是不少老师不愿意改作业，许多题目自己在黑板上演算一遍，让学生照抄了事；另一种毛病是不愿当堂答复学生的问题，这一种态度最坏。华罗庚上课时，对学生提的任何问题总要在课堂上答复，认为这样可以训练学生如何去“想”。有时实在解决不了，他也很坦白地告诉学生，他要回去继续想，而不是只顾面子，使问题解决得模模糊糊。他还讲到“由薄到厚”和“由厚到薄”的读书方法：“譬如我们读一本书，厚厚的一本，加上自己的注解，就会愈读愈厚，我们知道的东西也就‘由薄到厚’了。但这还只是接受和记忆的过程，读书并不是到此为止。‘由厚到薄’是消化、提炼的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的问题来。” 1979年3月底，华罗庚应英国伯明翰大学邀请，去英国讲学，历时八个月，其间还应邀到荷兰、法国与西德访问了一个多月。7月下旬，“解析数论会议”在英国达勒姆召开，华罗庚应邀参加，他的学生王元与潘承洞也参加了。王元代表华罗庚和他自己做了“数论在近似分析中的应用”的大会报告，潘承洞做了“新中值公式及其应用”的大会报告。一些白发苍苍的数学家用“突出的成就”、“很高的水平”等评语，赞扬中国数学家在研究解析数论方面所作的努力，并向华罗庚表示祝贺。 通过对欧洲的访问，华罗庚深刻领悟到“班门弄斧”这个成语是要人隐讳缺点，不要暴露，不如改成“弄斧必到班门”。他每到一个地方去演讲，必讲对方最拿手的东西，其目的就是希望得到帮助与指教。他形象地说：“你要耍斧头就要敢于到鲁班那儿去耍，如果他说你有缺点，一指点，我下回就好一点了；他如果点点头，就说明我们的工作有相当成绩。”在《数论导引》的序言里，华罗庚曾把搞数学比作下棋，号召大家找高手下，即与大数学家去较量。l982年，在淮南煤矿的一次演讲中，华罗庚还将“观棋不语真君子，落子无悔大丈夫”改成

华罗庚-统筹方法平话及补充(全)

统筹方法平话及补充 （修订本） 华罗庚 中国工业出版社

重印序 在这本小册子重印的时候，乘便讲几点意见。 由于领导重视，群众努力，统筹方法在实际工作中试用，已经开始出成果了。在缩短工期、提高工效等方面，都有显著的收效。那么，我们对这些成果如何估价呢？笔者认为，统筹方法充其量不过是一个数学方法，不应当把一切效果都归功于统筹方法。我们称之为统筹方法，只不过是想为毛主席所提的“统筹兼顾”的大统筹、全面统筹，作一个小的注脚，提供一个工作方法，以便于搞管理工作的同志参考采用而已。特别是，政治挂帅的因素，人的因素，技术革新的因素，都必须考虑进去，而实际上，这些因素才是本质的，主要的。目前各单位都在大搞革命化运动，而统筹方法则是适逢其会，恰遇其时，在这些有利的客观条件下，进行了比较合理的安排而已。 当然，另一方面，我们也不要因为虽用了统筹方法，但还没有完成任务，而低估或否定这一方法。诚如有位同志所说，这个方法的一个好处是，即使任务完不成，也知道完不成任务的道理所在。比如，如果是由于“外协”定货延误的原因，那来就注意“外协”，注意更大的统筹。如果由于某项技术没有过关，那我们就应当加强技术革新、技术革命。在技术水平没有提高之前，我们必须根据现有技术状况实事求是地确定工序完成时间（包括检验、返工的时间），而不要由于与统筹方法无关的其他因素，延误了完成时间，过早地不加分析地否定统筹方法。 有人说，某一工序仅需一分钟的时间，但就是技术不过关，老是要返工，因而统筹方法用不上。其实，这是不对的。这道工序所需要的时间，确定为一分钟是错误的。如果要试一百次才成功，那我们应当填上的时间，是一百分钟而不是一分种。在必要的时候，还应当添加一些检查质量的工序并在箭头图上。因为对零件的检查，往往比对总装后的成品检查方便得多。 我们试用统筹方法，从简单开始，但目的不仅仅是满足于简单，而是为了要应用于更大范围更复杂的任务，因而不要怕大、怕复杂。越大越复杂，这个方法愈有用武之地，愈可以帮助我们安排计划，揭示矛盾，解决问题。至于那些繁杂的计算工作，我们还可以求助于电子计算机。 这本书所讲的箭头图，远不是我们所设想的统筹方法的全部。为了容易普及，我们尽可能地把内容讲得集中些。那么，统筹方法的范围究竟有多大呢？这就需要我们在实践中摸索。找出真正需要进一步做的课题，探索它的数学模型和合适地处理这个数学模型的工具。例如，上面所说的必须返工一百次才合适，难道真是不多不少的整整一百次吗？当然不是，而问题的实质是一个统计问题，应当用统计方法来处理。例如，在保证成功率85%的要求下，看应当确定多长的时间更为合适。又如，如果在一个车间里，我们发现时间花在计算上等，比花在加工操作上的还要多，那我们就应当为它搞一套简单实用的计算工具。再如时间的缩短，工效的提高，必然反映在整个产品的增加上，因而

华罗庚学校数学教材(五年级上)第11讲 简单的抽屉原理

本系列共15讲 第十一讲简单的抽屉原理 . 文档贡献者：与你的缘 把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里。尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果。由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了。由此得到： 抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。 如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理。不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。 比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔…等十二种生肖）相同。怎样证明

这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚。事实上，由于人数（13）比属相（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13个人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。 应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。 例1：有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉，把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉，由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。 例2：一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？ 分析与解答扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，

第十届华罗庚金杯数学竞赛试卷

第十届华罗庚金杯初赛试题 1. 2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年, 西班牙伟大航海家哥伦布首次远洋航行是在1492 年. 问这两次远洋航行相差多少年？ 2. 从冬至之日起每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, …, 九九. 2004年的冬至为12月21日, 2005年的立春是2月4日. 问立春之日是几九的第几天？ 3. 左下方是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于 1 的正方形. 问这个直三棱柱的体积是多少？ 4. 爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶. 若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？ 5. 在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的 4 倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米. 求三项的总距离. 6. 如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形. 其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为: 3, 6, 10, 15, 21, … 问这列数中的第 9 个是多少？ 7. 一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示. 若用甲容器取水来注满乙容器, 问: 至少要注水多少次？

8. 100 名学生参加社会实践, 高年级学生两人一组, 低年级学生三人一组,共有 41组. 问: 高、低年级学生各多少人？ 9. 小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本. 如果按批发价购买, 每本便宜 2元, 恰好多买4本. 问: 零售价每本多少元？ 10. 不足100 名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈. 问最多有多少名同学？ 11. 输液100毫升, 每分钟输2.5毫升. 请你观察第12分钟时吊瓶图像中的数据, 回答整个吊瓶的容积是多少毫升？ 12. 两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”. 现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是 300, 600 或 900. 问: 至多有多少条直线？ 初赛试题答案 1 87年. 2 六九的第一天.

统筹方法 华罗庚——优秀实用

【文章导读】 一直对我产生巨大影响的初中课文终于找到了。每当事情繁多、时间又紧张的时候，就会不自觉的想起华罗庚关于烧开水的这篇文章，心中就会计划好如何统筹自己的时间，收益颇多。 时间就是生命，时间就是财富。失去了时间，就失去了一切。 古往今来，一切成功的人，都是善于利用时间的人。 最充分地节约时间和利用时间，最充分地利用资源和开发资源，这是所有成功者的诀窍。统筹方法，是巧妙地利用时间和利用资源的艺术。统筹方法，是合理安排、提高效率的一种方法。勤奋增加了时间，统筹则节约了时间。 时间是生命的元素，一切过程都在时间中运行。运用统筹方法，通过优化组合，可以用最少的时间完成预定的目标。 【经典文章】 统筹方法（华罗庚） 统筹方法，是一种安排工作进程的数学方法。它的实用范围极广泛，在企业管理和基本建设中，以及关系复杂的科研项目的组织与管理中，都可以应用。 怎样应用呢？主要是把工序安排好。 比如，想泡壶茶喝。当时的情况是：开水没有；水壶要洗，茶壶茶杯要洗；火生了，茶叶也有了。怎么办？ 办法甲：洗好水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶；等水开了，泡茶喝。 办法乙：先做好一些准备工作，洗水壶，洗茶壶茶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧水；坐待水开了泡茶喝。 办法丙：洗净水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开；水开了之后，急急忙忙找茶叶，洗茶壶茶杯，泡茶喝。 哪一种办法省时间？我们能一眼看出第一种办法好，后两种办法都窝了工。 这是小事，但这是引子，可以引出生产管理等方面的有用的方法来。 水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶是烧开水的前提。没开水、没茶叶、不洗茶壶茶杯，就不能泡茶，因而这些又是泡茶的前提。它们的相互关系，可以用下面的箭头图来表示：箭杆上的数字表示，这一行动所需要的时间，例如15表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟。 从这个图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟（而办法乙、丙需要20分钟）。如果要缩短工时、提高工作效率，应当主要抓烧开水这个环节，而不是抓拿茶叶等环节。同时，洗茶壶茶杯、拿茶叶总共不过4分钟，大可利用“等水开”的时间来做。 是的，这好像是废话，卑之无甚高论。有如走路要用两条腿走，吃饭要一口一口吃，这些道理谁都懂得。但稍有变化，临事而迷的情况，常常是存在的。在近代工业的错综复杂的工艺过程中，往往就不是像泡茶喝这么简单了。任务多了，几百几千，甚至有好几万个任务。关系多了，错综复杂，千头万绪，往往出现“万事俱备，只欠东风”的情况。由于一两个零件没完成，耽误了一台复杂机器的出厂时间。或往往因为抓的不是关键，连夜三班，急急忙忙，完成这一环节之后，还得等待旁的环节才能装配。 洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，或先或后，关系不大，而且同是一个人的活儿，因而可以合并成为： 用数字表示任务，上面的图形可以写成为： 看来这是“小题大做”，但在工作环节太多的时候，这样做就非常必要了。 这里讲的主要是时间方面的事，但在具体生产实践中，还有其它方面的许多事。而我们利用这种方法来考虑问题，是不无裨益的。 当然，这种方法，需要通力合作，因而在社会主义制度下能更有效地发挥作用。【知识链接】 作者简介：华罗庚，我国现代著名的数学家。他重视实用数学的普及工作，为了使文化水平不高的广大生产者了解有关数学原理，并懂得其原理在生产中是怎样运用的，他用通俗易懂的语言写下了《统筹方法平话及补充》《优选法平话》等科普读物。华罗庚被誉为人民的数学家，也是著名的科普作家。 华罗庚教授于1964年倡导并开始应用推广的“统筹法”，1965年华罗庚著的《统筹方法平话及其补充》由中国工业出版社出版，该书的核心是提出了一套较系统的、适合我国国情的项目管理方法，包括调查研究，绘制箭头图，找主要矛盾线，以及在设定目标条件下优化资源配置等。华罗庚带领“推广优选法统筹法小分队”，到过全国23个省市自治区推广双法。尤其值得指出的是，在这一期间开发出了数以百计的作业流程，为进一步实施规范化和标准化奠定了坚实的基础。 【经典赏读】 一、自读积累： 1.积累词语：万事俱备只欠东风：比喻一切准备工作都做好了，只差最后一个重要条件。临事而迷：临到事情却迷惑。错综复杂：形容头绪繁多，情况复杂。小题大做：比喻把小事当作大事来办，有不值得这样做或有意扩大事态的意思。不无裨益：不是没有益处。卑之无甚高论：指见解很一般，没有什么高明的见解。 二、阅读思考： 1.整理出全文的结构思路： 第一部分（1段）概括介绍统筹方法的性质以及应用范围。 第二部分（2-15段）具体说明统筹方法的应用及其应用价值。

初一华罗庚杯数学竞赛

绝密★启用前 2015-2016学年度???学校12月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．船在江中顺水航行与逆水航行的速度之比为7：2，那么它在两港间往返一次的平均速度与顺 水速度之比为( )。 (A) 14 7 (B) 14 9 (C) 92 (D) 94 。 【答案】D 【解析】分析：设出顺水速度和逆水速度，那么可让总路程÷总时间求得平均速度，相比即可． 解答：解：设船在江中顺水速度为7x ，则逆水速度为2x ，一次的航程为1． ∴平均速度= 2117x 2x += 28 9 x ， ∴它在两港间往返一次的平均速度与顺水速度之比为 289 x ：7x=94． 故选D ． 2． 如右图所示，三角形ABC 的面积为1cm 2 。AP 垂直∠B 的平分线BP 于P 。则与三角形PBC 的面积相等的长方形是( )。 【答案】B 【解析】分析：过P 点作PE ⊥BP ，垂足为P ，交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面 0.5cm 0.5cm 0.9cm 1.0cm 1.1cm 1.2cm (A) (B) (C) (D) B

试卷第2页，总5页 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ 内 ※ ※ 答 ※ ※ 题 ※ ※ 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ 积相等，即可证明三角形PBC的面积． 解答：解：过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∠ABP=∠EBP， 又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°， ∴△ABP≌△BEP， ∴AP=PE， ∵△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC=S△PCE， ∴三角形PBC的面积=1 2 三角形ABC的面积= 1 2 cm2， 选项中只有B的长方形面积为1 2 cm2， 故选B． 3．设a，B的解集为x x的不等式bx-a>0的解集是( )。 (A) x x x。 【答案】C 【解析】分析：这是一个含有字母系数的不等式，仔细观察，通过移项、系数化为1求得解集，由不等式解集是x 式的性质3，运用性质3的前提是两边都乘以（?或除以）同一个负数，从而求出a＜0，b＞0．再通过移项、系数化为1求得关于x的不等式bx-a＞0解集． x＜-a b ，x 所以a b a＜0，b＞0， 所以不等式bx-a＞0的解集为 bx＞a x＞ a x＞ 故选C． 4．下图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定。如果在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加( )个螺栓。

华罗庚阅读答案

那是在北京召开数学研究会的时候。 有一天，著名的数学家华罗庚收到了一位普通中学青年教师的来信。 信的大意是：我读了您写的《堆叠素数论》，觉得这本书写得很好。可是经过反复核算，发现有一个问题的计算错了。这好比是在明珠上蒙上了一粒微尘，希望您能更正。 华罗庚读完信，翻开书来看，再一算，果然有错，他赞不绝口：“真是太好了，他的意思完全正确，他很有才华。” 华罗庚在数学研究会上宣读了这封信，写信的青年也被邀请来参加会议。这个青年人就是陈景润，后来也成为一个有名的数学家。 就这样，华罗庚从自己的错误中发现了一个难得的人才。 1．联系上下文理解词语。 赞不绝口：_________________________ 2．查字典。 不认识“庚”，可用_______查字法查字典，先查_______，再查_______ ； 会读“意”，不知文中加点词“大意”中“意”的确切意思，可以用_______查字法查字典，先查_______，再查_______。字典中有三种解释：①意思；②心愿，愿望；③意料，料想。“大意”的“意”应取第_______种解释。 3．填空。 （1）陈景润写信时，华罗庚是一位____，陈景润是一位____。 （2）文中画线句子中的“明珠”指_______，“一粒微尘”指_______。 4．陈景润的信写了哪三层意思？ （1）_______________________

（2）_______________________ （3） _______________________ 参考答案： 1．赞美的话说个不停，形容对人或事物十分赞赏。2．部首广 5画音序 Y yi ① 3．（1）数学家中学教师 （2）《傩叠素数论》一个算错的问题 4．（1）觉得《堆叠素数论》得很好。 （2）发现一个问题计算错了。 （3）希望能更正。